M O D U L ANALISIS VARIABEL KOMPLEK

Transkripsi

1 M O D U L ANALISIS VARIABEL KOMPLEK Y r cs, sn r cs, sn Y r y y r X X Y X Y X y r r y r cs, sn r cs, sn O l h Dw Purnm PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA IKIP BUDI UTOMO MALANG TAHUN 0

2 DAFTAR ISI Hlmn Hlmn Smpul... I Dftr Is... Kt Pngntr.... Pndhulun.... Rprsnts Grfk Blngn Rl Sstm Blngn Kmplk Oprs Dsr Blngn Kmplk.... Nl Mutlk Pmbngun Aksm Sstm Blngn Kmplk Rprsnts Grfk Blngn Kmplk....8 Bntuk Plr Blngn Kmplk Trm d Mvr....0 Akr-kr Blngn Kmplk.... Rumus Eulr Prsmn Plnml Akr-kr k-n dr Stun Intrprts Vktr dr Blngn Kmplk Rprsnts Sphrcl Blngn Kmplk Hsl Kl Ttk dn Slng Krdnt-krdnt Knjugt Blngn Kmplk Hmpunn-hmpunn Ttk Sl-sl... 8 Dftr Pustk Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm

3 KATA PENGANTAR Puj dn syukur pnuls pnjtkn khdrt Allh swt. ts smu lmphn rhmt dn krun-ny, shngg pnulsn mdul Anlss Vrbl Kmplk dpt dslskn ssu dngn rncn sblumny. Nmun dmkn mngngt kkurngn dn sft mnusw pnuls shngg mtr dlm mdul yng tlh dsusun blum ssu dngn hrpn pmbc. Pnulsn mdul Anlss Vrbl Kmplk dmksudkn untuk mnjlskn bbrp knsp yng brktn dngn sstm blngn kmplk, prs dn rprsntsny dlm grfk mupun vktr. Mdul n mnjlskn pkk bhsn blngn rl rprsntsny scr grfs, sstm blngn kmplk, prs-prs dsr, blngn rl, nl mutlk, pmbngun ksm sstm blngn kmplk, rprsnts grfs blngn kmpk, bntuk plr blngn kmplk, trm d Mvr, kr-kr blngn kmplk, rumus Eulr, prsmn plnml, kr-kr k n blngn kmplk, ntrprts vktr blngn kmplk, rprsnts sphrcl blngn kmplk, hsl kl ttk dn slng, krdnt-krdnt knjugt kmplk, hmpunn-hmpunn ttk. Pnyusunn mdul Anlss Vrbl Kmplk mul wl hngg khr sngt dbntu lh tmn dn klg, khususny tmn stu prfs d Prgrm Stud Pnddkn Mtmtk Insttut Kgurun dn Ilmu Pnddkn Bud Utm Mlng, lbh-lbh pr mhssw mtmtk, ntr ln mtmtk ngktn 009 A/B, 00 A/B dn khususny ngktn 0 B Mr Susnt N. dkk. yng mnjd sumbr nsprs dn bntun mtvs kpd pnuls untuk sgr mnylskn bhn jr. Hrpn pnuls smg knsp tr, pmbhsn sl, dn sl-sl lthn yng dsjkn dpt brgun dn mmbntu mhssw. Kkurngn dn kkhlfn dsn sn Insy llh dprbk dkmudn hr. Mlng, Agustus 0 Pnuls Dw Purnm Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm

4 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm v

5 Untuk yng trcnt Pndu, Prsm, Csr, dn Mmny Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

6 BILANGAN KOMPLEK. Pndhulun Sstm blngn sprt yng kt knl hngg st n mrupkn hsl dr pngmbngn scr brthp sprt yng dtunjukkn dlm dftr brkut.. Blngn sl,,,,.., jug dsbut blngn bult pstp, prtm kl dgunkn dlm mnghtung. Smbl brvrs dngn wktu, mslny yng dgunkn bngs Rmw I, II, III, IV..., jk dn b dlh blngn sl, jumlh b dn prkln. b, b tu b jug dsbut blngn sl. Untuk lsn n hmpunn blngn sl dktkn trtutup d bwh prs pnjumlhn dn prkln tu mmnuh sft trtutup clsur trhdp prs n.. Blngn bult ngtp dn nl, dlmbngkn dngn -, -, -... dn 0 msngmsng, muncul untuk mmungknkn slus dr prsmn sprt b, dmn dn b dlh stp blngn sl. Hl n mngrh pd prs pngurngn, tu nvrs pnjumlhn, dn kt tuls dngn b hmpunn blngn bult pstp, ngtp dn nl dsbut hmpunn blngn bult dn trtutup d bwh prs-prs pnjumlhn, prkln, dn pngurngn.. Blngn rsnl dn pchn sprt 6,,,,... muncul sbg bgn 7 yng mmungknkn slsn prsmn brbntuk bult dn b d mn b 0. prkln, dn dtuls dngn dlh pmblng dn b dlh pnybut. b untuk smu blngn Hl n mngrh k prs pmbgn tu nvrs yng dsbut hsl bg dn b, d mn b Hmpunn blngn bult dlh hmpunn bgn tu subst dr blngn rsnl, krn blngn bult ssu dngn blngn rsnl dmn b. b Hmpunn blngn rsnl trtutup d bwh prs-prs pnjumlhn, pngurngn, prkln, dn pmbgn, slm pmbgn dngn nl tdk dlkukn. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

7 . Blngn rsnl sprt =.... dn π = dlh blngn yng tdk rsnl, yng tdk dpt dnytkn dngn b dmn dn b dlh blngn bult dn b 0. Hmpunn blngn rsnl dn rsnl d sbut dngn hmpunn blngn rl. Dsumskn bhw ssw sudh mngthu blngn rl. dngn brbg prs pd. Rprsnts Grfs Blngn Rl Sblum pnuls mngurkn knsp sstm blngn rl R, trlbh dhulu mrlh kt ngt kmbl knsp hmpunn st. Hmpunn mmpuny prnn sngt pntng dlm mmhm sstm blngn rl. Scr ksplst hmpunn ddfnskn sbg skumpuln bjk, unsur tu ssutu yng mmpuny cr-cr, krtr dn syrt yng trtntu srt trdfns dngn jls. Objk tu unsur ssutu hmpunn A dnmkn nggt tu lmn. Anggt sutu hmpunn dnytkn dngn, b, c, d,... tu,,,,... sdngkn nm hmpunn dnytkn dngn huruf kptl A, B, C, D, dn strusny. Msl kt mndfnskn sutu hmpunn A dngn mnytkn scr jls nggt-nggtny yng trdr dr, b, c, d,, hmpunn A trsbut dpt dtuls dlm bntuk A {, b, c, d, } dngn msngmsng nggt hmpunn A dpshkn lh tnd bc km dn trdpt du tnd kurung { }. Jk hmpunn A mmpuny nggt bnykny tk hngg mk unsurunsurny tdk dtuls smuny kn ttp cukup dtulskn bbrp nggtny dn ttk-ttk sbnyk tu, Jk dlh nggt hmpunn A mk prnytn trsbut dtuls dngn nts hmpunn A, mk dtulskn A dn dbc nggt A. Jk bukn nggt Adn dbc bukn nggt A. Jk sutu hmpunn A tdk mmlk nggt, mk A dsbut hmpunn ksng, dn dnytkn dngn nts tu { }. Hmpunn sbg tlh dsbutkn d ts, dlm pnulsnny dpt dlkukn dngn du mtd, ytu mtd pncrn nts dn mtd prncn tbuls. Mtd pncrn dlkukn dngn cr mnulskn syrt knggtn yng dmlk lh sluruh nggt sutu hmpunn kn ttp tdk dmlk lh unsur-unsur yng bukn nggt hmpunn trsbut., Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

8 Cnth: A { y y blngn prm kurng dr 0} B { fktr gnjl dr } C {, blngn prm} D { fktr gnp dr } E { 0} 6 F { 0} 7 G { } 8 H {, y y } 9 V { hmpunn kus dr {,, }} Mtd prncn dlkukn dngn cr mndftr sluruh nggt hmpunn yng mmnuh syrt dn ktntun yng dbrkn dlm sutu hmpunn. Cnth A {,,,,,...} B { snn, sls, rbu, kms, jum' t, sbtu} C {,,,7,,,7,9,...} D { mrh, kunng, hju} E {0} 6 F { } 7 G {, } 8 H {,,,,,,...} 9 V {,{},{},{, }} Msl A dn B hmpunn B, dtuls dngn nts sutu hmpunn, hmpunn A dsbut hmpunn bgn A B, jk stp nggt A mrupkn nggt B. Krny tdklh sult untuk dphm bhw A untuk sbrng hmpunn A. Jk stp nggt hmpunn nggt A jug mrupkn nggt stp hmpunn B mk dntskn dngn A B Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

9 Slnjutny untuk mmudhkn pr pmbc dlm mmhm knsp sstm blngn rl brkut n dbrkn bbrp blngn dn hmpunn blngn yng pd bb-bb slnjutny dlm buku n srng dtmukn. Blngn dn hmpunn blngn trsbut dlh:. Hmpunn blngn sl Nturl Hmpunn blngn sl bsny dntskn dngn N dn nggt-nggt blngn sl dlh,,,,, 6,... shngg N {,,,,,6,...} Blngn sl trtutup trhdp prs pnjumlhn dn prkln, rtny untuk stp, b blngn sl mk b dn. b blngn sl. Olh krn tu, hmpunn smu blngn sl mmbntuk sutu sstm sstm blngn sl.. Blngn cch whl Blngn cch bsny dntskn dngn W dn nggt-nggt blngn cch dlh 0,,,,,, 6,..., shngg W {0,,,,,,6,...}. Blngn cch trtutup trhdp prs pnjumlhn dn prkln, rtny untuk stp, b blngn cch mk b dn. b blngn cch.. Sstm blngn sl brsm-sm dngn blngn nl dn lwn dr blngnblngn sl mmbntuk sstm blngn bult, Blngn bult bsny dntskn dngn Z yng nggt-nggtny dlh...-, -, -,, 0,,,,..., shngg Z {...,,,0,,,,...}.. Blngn pchn tu blngn rsnl qutnt bsny dnytkn dngn Q. Blngn rsnl dlh blngn yng scr umum dnytkn dngn Q b Cnth., b Z, b 0 p q r 7 Blngn-blngn rsnl d ts, dpt dnytkn dlm blngn-blngn dsml, ytu Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

10 p 0,... q 0, r, Jk kt crmt lbh mndtl, blngn-blngn dsml sbg mn trsbut d ts sllu brulng ngk-ngkny, shngg blngn rsnl jug dsbut blngn dsml brulng. Sblkny blngn dsml brulng dpt dnytkn sbg blngn rsnl. Untuk mnytkn bntuk dsml mnjd blngn rsn dlh dngn cr mlht ngk yng brulng pd blngn trsrsbut. Jk trdpt ngk yng brulng mk klkn blngn dmksud dngn 0. Jk trdpt ngk yng brulng mk klkn blngn trsbut dngn 0. dn strusny. Slnjutny cr slsh blngn smul dngn blngn yng bru. Dngn mtd prhtungn sdrhn khrny dprlh blngn rsnl yng dmksud. Untuk lbh jlsny prhtkn cnth-cnth brkut n. Cnth: Ubhlh blngn dsml brkut n mnjd bntuk rsnl Q., b Z, b 0 b. Tntukn bntuk rsnl blngn 0,... Jwb Blngn 0,... dlh blngn dsml dngn ngk brulng ytu ngk dn. Krn bnykny ngk yng brulng pd blngn 0,,... dlh ngk, klkn blngn 0,... dngn blngn 0. Msl 0,..., shngg dprlh 00,,... Akbtny 00,... 0,... 0,... 0, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 0

11 Shngg bntuk rsnl dr blngn 0,... dlh 99. Tntukn bntuk rsnl blngn,... Jwb Blngn,... dlh blngn dsml dngn ngk brulng ytu ngk. Krn bnykny ngk yng brulng pd blngn,... dlh ngk, klkn blngn,... dngn blngn 0. Msl,..., shngg dprlh 0,... Akbtny 0,...,... 9,7, Shngg bntuk rsnl dr blngn,... dlh 900. Tntukn bntuk rsnl blngn 0, Jwb Blngn 0, dlh blngn dsml dngn ngk brulng ytu ngk,7, dn. Krn bnykny ngk yng brulng pd blngn 0, dlh ngk, klkn blngn 0, dngn blngn 0. Msl 0, , Akbtny , , ,807 98, Shngg bntuk rsnl dr blngn 0, dlh Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

12 . Tntukn bntuk rsnl blngn 0,0... Jwb Blngn 0,0... dlh blngn dsml dngn ngk brulng ytu ngk,,, dn. Krn bnykny ngk yng brulng pd blngn 0,0... dlh ngk, klkn blngn 0,0... dngn blngn 0. Msl 0,0..., shngg dprlh 0000,... Akbtny 0000,... 0, ,, Shngg bntuk rsnl dr blngn 0,0... dlh Blngn Irsnl Q _ tu dsbut jug blngn tdk rsnl ytu blngn yng tdk dpt dnytkn dlm bntuk Q., b Z, b 0. Krn blngn b rsnl dpt dnytkn dngn blngn dsml yng ngk-ngkny brulng, mk blngn rsnl dlh blngn dsml yng ngk-ngkny tdk d yng brulng. Blngn rsnl jug dsbut dngn blngn bntuk kr. Prsln dlm khdupn shr-hr srng djump dny blngnblngn rsnl. Cnth blngn rsnl ntr ln dlh dn. Blngn dlh pnjng ss mrng sgtg sku-sku dngn pnjng ss-ss tgkny msng-msng dlh. Prhtkn gmbr brkut. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

13 Gmbr. Sdngkn blngn mrupkn hsl bg ntr kllng sbrng lngkrn dngn pnjng grs tngh lngkrn trsbut. Prhtkn gmbr brkut n. l l d d l d l d Cnth Gmbr. =,67... =, =, π = =, Brdsrkn cnth d ts, tmpk blngn-blngn dlm bntuk kr umumny dlh blngn dsml yng ngk-ngkny tdk d yng brulng. Shngg blngn kr jug dsbut blngn rsnl. Dngn dmkn p yng Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

14 slm n dnggp sm ytu blngn rsnl, sdngkn dlh blngn rsnl. = tdklh sllu bnr. Krn dlh Hmpunn smu blngn rsnl brsm-sm dngn blngn rsnl mmbntuk hmpunn smu blngn rl R, shngg R N W Z Q Q Sprt tlh dkthu, untuk mnytkn sbrng blngn rl srngkl dgunkn cr dsml. Cnth Blngn-blngn,, dn sbg,7,,666..., dn 7 66 msng-msng dpt dnytkn dlm dsml 0 0, Dpt dtunjukkn bhw bntuk dsml blngn-blngn rsnl dlh slh stu dr tp brkut:. brhnt,, dst., tu 8. brulng brturn, 7, dst. 66. Sft-sft Sstm Blngn Rl Untuk sbrng Sft kmuttf. b b.. b b. Sft sstf.. b c b c. b. c. b. c. b. c, b, c, d blngn rl brlku sft-sft sbg brkut: b c Sft dstbutf prkln trhdp pnjumlhn. b c. b. c.., b 0 b b c. d b. c., b 0, d 0 b d b. d c. c.., b 0, d 0 b d b. d.. b. b. b Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

15 .. b. b , untuk stp blngn 0. tk trdfnskn. 0., untuk stp blngn 0. 7 Hukum knsls. Jk. c b. c dn c 0 mk b.. c. Jk b, c 0 mk b. c 8 Sft pmbg nl b Jk. b 0 mk 0 tu b 0.. Blngn rl dpt drprsntskn lh ttk-ttk pd grs yng dsbut sumbu rl, sprt dtunjukkn pd gmbr. d bwh n. Ttk yng ssu dngn nl dsbut ttk sl. 0 Gmbr. Sblkny untuk stp ttk pd brs d stu dn hny stu blngn rl. Jk sutu ttk A ssu dngn blngn rl yng trltk d sblh knn ttk B ssu dngn b blngn rl, kt ktkn bhw lbh bsr dr b tu kurng dr dn dtuls scr brurutn dngn b tu b. Hmpunn dr nl-nl trmsuk < <b dsbut ntrvl trbuk pd sumbu rl bl b, yng mn ddlmny trdpt ttk wl dn ttk khr b, dsbut ntrvl trtutup. Lmbng, yng mn dpt brdr untuk smu susunn dr nl nl sl, yng dsbut vrbl sl. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

16 Nl mutlk dr sbuh blngn rl, dntskn dngn, dlh jk 0, untuk < 0 dn 0 jk = 0. Jrk ntr du ttk dn b pd sumbu rl dlh b. Atu dngn kt ln:, jk 0 0, jk 0, jk 0 Sft-sft trurut blngn Rl Prnsp dlh turn tu sft yng dgunkn sbg dsr tu lndsn dlm urn yng brktn dngn bukt ssutu. Prnsp dpt dmbl dr dfns, ksm, tu dll-dll yng dmunculkn kmbl untuk dgunkn pd bgn ln sutu knsp yng mmrlukn. Dntr prnsp dlm mtmtk dlh prnsp urutn wll rdrng prncpl. Prnsp urutn brktn dngn kpstpn dn ktksmn ntr blngnblngn rl. Cr yng dpt dlkukn untuk mlkukn sft ktrurutn dlh mngdntfks sutu subst khusus dr kpstpn. Dfns Mslkn P hmpunn bgn R dn pstp kut, mk brlku sft-sft brkut n: Jk, b P mk b P Jk, b P mk. b P R dngn mnggunkn ggsn P. Untuk slnjutny P dsbut blngn rl Jk R, mk tpt dr slh stu yng brkut dpnuh P, 0, P Du sft yng prtm mnjmn kssun dr urutn dngn prs pnjumlhn dn prkln scr brurutn. Sft bsny dsbut sft trktm krn mmbg R mnjd jns unsur yng brbd. Dnytkn bhw { P} dr blngn rl ngtp tdk mmpuny unsur prskutun dngn P, dn slnjutny hmpunn R mrupkn gbungn dr tg hmpunn yng slng sng. Dfns Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

17 Jk P, kt mngtkn bhw dlh sutu blngn rl pstp kut strctly pstp dn dtulskn dngn 0, Jk P {0}, mk dsbut blngn rl tdk ngtp dn dtulskn dlm bntuk 0. Jk P, kt mngtkn bhw dlh sutu blngn rl ngtp kut strctly ngtp dn dtulskn dlm bntuk 0, Jk P {0}, mk dsbut blngn rl tdk pstp dn dtulskn dlm bntuk 0. Jk, b R dn jk b P mk dtulskn dlm bntuk b tu b. k, b R dn jk b P {0} mk dtulskn dlm bntuk b tu b. Untuk kspktn brsm kt kn mnulskn b cyng brrt bdn b c. Dmkn jug jk b c yng brrt b mk b c dn strusny. Brkut n dbrkn bbrp trm yng brktn dngn prnsp ktrurutn Trm Mslkn, b, c R. Jk b dn b c mk c.. Tpt dr slh stu prnytn brkut n dpnuh b, b, b. Jk b dn b mk b Bukt b mk mnurut dfns b 0 tu b P b c mk mnurut dfns b c 0 tu b c P Krn b P dn b c P mk mnurut dfns dprlh b b c P shngg c P tu c Dngn sft trktm dlm dfns, mk tpt slh stu dr yng brkut mungkn trjd b 0, tu b 0 tu b 0 shngg b tu b tu b Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

18 Jk b, mk b 0, shngg dr bukt b kt dptkn b P tu b c P ykn b tu b. Dlm ksus lnny slh stu dr hptss trsbut kntrdks. Jd hruslh b Trm. Jk R dn 0 mk Jk n N mk n 0 Bukt. Dngn sft trktm jk 0, mk P tu P. Jk P mk dngn dfns kt mmpuny., untuk P. Dngn cr yng sm Jk - P mk dngn dfns sblumny dprlh bntuk P. Brdsrkn trm sblumny brkbt bhw:. Akbtny bhw P. Jd kt smpulkn bhw jk. Krn P, mk 0., mnurut bukt d ts kn mnybbkn bhw > 0.. Kt dpt mnggunkn nduks mtmtk untuk mmbuktkn prnytn n. Prnytn trsbut bnr untuk n ykn > 0. Slnjutny kt nggp bnr untuk n k, dngn k blngn sl. Krn > 0 dn P, mk k P, shngg prnytn d ts bnr dny dngn mnggunkn dfns sblumny. Trm Mslkn, b, c R. Jk b, mk c b c. Jk b, dn b c mk c b d. Jk b, c 0 mk c bc. Jk b, c 0 mk c bc. Jk 0 mk 0 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

19 6. Jk 0 mk 0 Bukt trm d ts dpt djlskn sbg brkut:. Krn b brrt mnurut dfns sblumny b 0. Krn b 0 shngg b P. b b c c b c c c b c Shngg c b c P. Dngn kt ln c b c 0 Krn c b c 0 brrt c b c. Krn b dn c d brrt b 0 dn c d 0. Hl n brrt b P dn c d P. Mnurut dfns blngn rl pstp kut dprlh b c d P. Dngn kt ln b c d 0, tu b c d 0 shngg brlku b c d. Krn b dn c d brrt b 0 dn c d 0. Hl n brrt b P dn c d P. Mnurut dfns blngn rl pstp kut dprlh b c P. Dngn kt ln c bc P, tu c bc 0 shngg brlku c bc. Krn b dn c 0 brrt b 0 dn c 0 tu c 0. Hl n brrt b P dn c P. Mnurut dfns blngn rl pstp kut dprlh b c P. Dngn kt ln bc c P, tu bc c P shngg brlku bc c. Jk 0 mk 0 brdsrkn sft trktm. Krn 0 sft sblumny mk brlku 0, dprlh 0., brdsrkn Jk 0, brdsrkn trm sblumny Hl n brtntngn dngn knytn bhw < 0. Jd hruslh 0 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

20 6. Jk 0, mk 0 brdsrkn sft trktm. Krn 0, brdsrkn sft sblumny mk mk brlku 0, Jk 0, brdsrkn trm sblumny dprlh 0 Hl n brtntngn dngn knytn bhw < 0. Jd hruslh 0 Trm Jk Bukt. Krn,, mk b b b R Dmkn pul b, mk dpt dprlh b tu b Dr ktksmn b b b mk dpt dprlh b b b tu b b b dn b b ddptkn b b b b b Akbt dr trm d ts dlh: jk Cnth R dn 0 mk b b Tntukn slsn prsmn dn prtdksmn d bwh n. Jwb Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 0

21 Jd slsn prsmn dlh 7 0 Jwb tu 0 tu Jd slsn prsmn 0 dlh tu Tntukn slsn prtdksmn 7. Jwb Jd, slsn prtdksmn 7.dlh Prtdksmn tp ln mungkn lbh sult dslskn dbndngkn prtdksmn-prtdksmn sprt pd cnth d ts. Bbrp cnth dbrkn sbg brkut. Tntukn slsn 6 0 Jwb Dngn mmfktrkn rus kr prtdksmn, mk dprlh: 0 Tlh dkthu bhw hsl kl blngn rl pstf pbl k du pstf tu k du fktr ngtf. Olh krn tu,. Jk k du fktr pstf mk: 0 dn 0 dn fktr Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

22 Shngg dprlh:..jk k du fktr ngtf, mk: Dprlh:. 0 dn 0 dn Jd, slsn prsmn 6 0 dlh tu. Slsn prtdksmn d ts dpt pul dtrngkn sbg brkut: Rus kr prtdksmn brnl nl jk tu. Slnjutny, k du blngn n mmbg grs blngn mnjd bgn:,, dn. < << > 0 Gmbr. Pd bgn, nl dn kduny ngtf, shngg hsl kl kduny pstf. Pd sgmn, brnl pstf sdngkn brnl ngtf. Akbtny, hsl kl kduny brnl ngtf. Trkhr, pd bgn, dn msng-msng brnl pstf shngg hsl kl kduny jug pstf. Rngkumn urn d ts dpt dlht pd Tbl brkut. Tnd nl Ksmpuln Prtdksmn dpnuh Prtdksmn tdk dpnuh Prtdksmn dpnuh Jd, slsn prtdksmn dlh tu. Mtd pnylsn sprt pd cnth d ts dpt pul dtrpkn pd bntuk-bntuk prtdksmn yng mmut lbh dr fktr mupun bntuk-bntuk pchn. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

23 . Jwb Apbl k du rus pd prtdksmn d ts dtmbh, mk 0 0 dprlh: Jk 0, mk dprlh:,, tu. Slnjutny, prhtkn tbl brkut: Nl-nl pubh,, dsbut ttk krts. Tnd nl/nl Ksmpuln Prtdksmn dpnuh Prtdksmn tdk dpnuh Prtdksmn dpnuh Prtdksmn tdk dpnuh Prtdksmn dpnuh 0-0 Prtdksmn dpnuh 0 0 Prtdksmn dpnuh Jd, slsn prtdksmn tu. Cr ln untuk mnntukn slsn prtdksmn. dlh dngn mnggunkn grs blngn 0 0, Shngg ttk krts prtdksmn dlh,, dn Dngn mmlh stu ttk sbrng dstp ntrvl dts dprlh: Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

24 Brdsrkn grs blngn d ts slsn prtdksmn dlh tu. 8. Pnylsn Apbl pd k du rus dtmbhkn mk dprlh: Nl nl pmblng dlh dn, sdngkn nl nl pnybut dlh. Skrng, untuk mndptkn nl shngg 0 brkut: Tnd nl/nl dprhtkn tbl Ksmpuln Prtdksmn tdk dpnuh Prtdksmn dpnuh Prtdksmn tdk dpnuh Prtdksmn dpnuh Prtdksmn 0 - Tdk trdfns dpnuh Prtdksmn tdk dpnuh Prtdksmn dpnuh Jd, slsn prtdksmn dlh tu dn dtuls dngn nts ntrvl [, [, ~ Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

25 Sl-sl Mslkn, b, c, d R buktkn prnytn brkut:. Jk b, b c mk d bc c bd b. Jk b dn c d mk c b d c. b 0 jk dn hny jk = 0 tu b = 0 Crlh blngn, b, c, d R yng mmnuh 0 b dn d 0 dn brlku c bd b c bd. Tntukn blngn rl, sdmkn shngg: b c 0 d f g h 7 j. Sstm Blngn Kmplk Prsmn kudrt mrupkn slh stu knsp dlm mtmtk yng tlh dknlkn sjk dn. Prsmn trsbut mmpuny bntuk umum b c 0, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

26 dngn, b, c rl. Nl pubh yng mmnuh prsmn kudrt dnmkn slsn. Slsn sutu prsmn yng jug dsbut dngn kr-kr prsmn kudrt dpt brup blngn rl tu tdk rl. Msl 0 dlh sbrng prsmn kudrt, mk prsmn trsbut kr-krny tdk rl tu dngn kt ln tdk d blngn rl yng mmnuh prsmn 0, hl n dkrnkn. Prnytn n dlh ssutu yng tdk mungkn krn tdk d kudrt sutu blngn rl yng hslny. ytu sutu blngn yng mmpuny bntuk umum. Untuk tu prlu dprknlkn blngn kmplk b dmn, b rl dn Blngn kmplk ddfnskn sbg psngn brurutn dr blngn rl, b yng mmnuh sft-sft trtntu yng scr umum dtulskn sbg b. Kt dpt mngngp sbuh blngn kmplk mmpuny sft.. Untuk slnjutny dlm blngn kmplk b. dsbut bgn rl dr dr dn b dsbut bgn blngn mjnr dr, scr brturut-turut kduny dlmbngkn dngn R{} dn b Im{}. Vrbl yng brlku pd blngn kmplk dsbut sbg vrbl kmplk. jk Du blngn kmplk b dn c d dlh sm jk dn hny c dn b d. Kt dpt mngngp blngn sl sbg sbuh bgn dr susunn blngn kmplk dngn b = 0. Blngn kmplk dn - +0 kmbl dtunjukn blngn sl 0 dn - brturut-turut. Jk = 0,blngn kmplk 0 + b tu dsbut blngn mjnr sjt. Knjugt kmplk tu scr sngkt knjugt, sutu blngn kmplk b dlh b. Knjugt blngn blngn kmplk srng dndkskn * lh tu. Cnth: Jk,, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

27 Mk R{ } b R{ } c R{ } d Im 6 / 7 Im Sl-sl. Tunjukkn bhw, dlh kr-kr dr prsmn kudrt 0. Tunjukkn bhw kudrt 0, dlh kr-kr dr prsmn. Tntukn. b.. Oprs dsr pd blngn Kmplk Oprs yng dtunjukn pd blngn kmplk jug brlku sprt pd Aljbr. Oprs pd blngn kmplk mlput pnjumlhn, pngurngn, prkln, dn pmbgn. Pd prs blngn kmplk kt dpt mmprssny sprt ljbr dr blngn-blng sl dn mnggnt dngn - shngg dprlh hsl sbg prsny. Msl b dn c d hsl prsny dpt djlskn sbg brkut:. Pnjumlhn b c d b c d c b d Cnth Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

28 b. \ c Pngurngn b c d b c d c b d Cnth 7 7 b 0 c 8 8. Prkln b c d c d bc bd c d bc bd c bd d bc Cnth b 9 9 c Pmbgn b c d b c d. c d c d b c d c cd cd d c bd bc d c d c bd bc d c d c d Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

29 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9 Cnth b c.. d. Htunglh Sl-sl. Slsknlh. 7 b. 7 c d. 7

30 . 7 f. g. h.. j. 7 k. l. m. n p. 0 q. r. s. 7 7 t. u.. Jk = +, = dn = + Tntukn nl msng-msng brkut n.., b. 8 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 0

31 c. d.. f. g. h... Tntukn. b. R Im c. d.. Im / Im / Im dn Im Jk = +, = dn = +,. Nl Mutlk Nl Mutlk tu mdulus dr sutu blngn kmplk b dntskn dngn dn ddfnskn sbg b b Cnth 9 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

32 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- b 0 6 c 9 d Jk m...,,, dlh blngn kmplk, brlku sft-sft brkut. tu m m Bukt Msl d c b, bc d bd c d c b ` bc d bd c ` c b bcd d d b cbd c ` d d b c ` d c b d c b ` d c b., jk 0 Bukt Dr prs pmbgn du blngn kmplk dprlh: d c d bc bd c d c b, shngg

33 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- d c d c b d c d c b d b c d c d bcd c b d b bcd c d c d bc d c bd c Dln phk Shngg dpt dsmpulkn bhw, slkn 0.., b., c.. Pnylsn Msl, y y dn kt hrus mnunjukkn bhw y y y y Kudrtkn Prsmn kdu dts, kn bnr jk y y y y y y jk y y y y tu jk Kudrtkn Kdu prsmn lg y y y y y y y y Atu y y y y Ttp n sm untuk 0 y y jk bnr. Blkkn lngkh lngkh yng rvrsbl. Cnth sl. d c d c b d c d c d c b d c b

34 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- Jk,,, htunglh b c. d Tntukn blngn rl dn y sdmkn shngg y y 7 Jwb y y 7 y y 7 Shngg dprlh du prsmn 7 y y

35 Dngn mnggunkn mtd substtus dprlh, y Tunjukkn ksmn d bwh n: Bukt b c d c b d Krn c b d b shngg b c d shngg c d b c d b c d c b d Tmpk bhw shngg b Bukt c bd d bc c bcd b d d bcd b c c b d d b c b c d b c d b c d c d bc bd c bd d bc Sl-sl. Jk dn, htunglh. b. b. d.. Jk =, = dn = +, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

36 Tntukn nl msng-msng brkut n. b 8 c d f. Tntukn dr:. b. c. 7 d...6 Pmbngun-pmbngun Aksmts dr Sstm Blngn Kmplk Dr sutu sg pndngn yng lgs dpt dgmbrkn ngk-ngk cmpl sbg psngn, b dr blngn rl dn b mnunjuk pd yng dfns yng brgm trnyt sm dngn dfns dts. Smu dfns yng dgmbrkn n, dmn smu ngk mnggntkn blngn-blngn rl.. Prsmn, b c, d jk dn hny jk c, b d b. Pnjumlhn, b c, d c, b d c. Prduk, b c, d c bd, d bc dn m, b m, mb Dr n kt dpt mnunjukkn bhw, b,0 b0, dn kt brhubungn dngn n b d mn lmbng untuk 0, dn mmpuny 0,0,,0 yng dprtmbngkn str dngn blngn rl - dn, 0 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

37 jdlh str dngn blngn rl. Psngn yng dngnkn 0,0 ssu dngn blngn rl 0. Dr prnytn d ts kt dpt mmbuktkn bhw jk,, bgn dr blngn kmplk S.. dn trdpt d S Hukum trtutup. = Bukt b c d b c d c b d c d b c d b c d b c b d. b c d f b c d f b c d f b c d f c b d c b. Bukt d b c d c d bc bd c bd bc d f f Hukum Kmuttf Pnjumlhn Hukum Asstf Pnjumlhn Hukum kmuttf Prkln c d b c cb d db c db cb d. Hukum ssstf Prklm Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

38 b c d f bc cf d df b c df cf d c df cf d b c df b cf d c df bcf bd cf d bc bdf c df bcf bd cf d bc bdf b c d f c bc d bd f c bd bc d f c bd bc d c bd f bc d f c bd bcf df bc d cf bdf c bd bcf df bc d cf bdf 6. b c d f bc d f b c d f c b c d f b d c bc b d f bd bf c bd bf d bc b f f Hukum Dstrbutf Prkln trhdp Pnjumlhn b c d b c d bc bd b f bf c bd d bc bf b f c bd bf d bc b f f Untuk sutu blngn kmplk d stu blngn S 0 dsbut dntnts pnjumlhn dsbut dntnts prkln yng tunggl sdmkn shngg 0. Untuk slnjutny dsbut nvrs blkn pnjumlhn dr dn dlmbngkn dngn. 9. Untuk sutu 0 d stu blngn S yng tunggl sdmkn shngg. Untuk slnjutny Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

39 dsbut nvr prkln dr dn dlmbngkn dngn tu Scr umum sutu hmpun sdmkn shngg sprt pd S yng nggtnggtny mmnuh sft d ts dsbut dngn fld lpngn. Cnth. Gunkn dfns dr sbuh blngn kmplks sbg psngn rdrdr blngn rl dn dfns pd hlmn tg untuk mmbuktkn bhw,b=,0,b0,dmn 0,,0,=-,0=,c + c,b=,b Dr dfns jumlh dn prduk tu hsl d hlmn, kt mndptkn, b =, 0 + 0, b =,0 + b,0 dmn 0,0, = 0 0,0 + 0 =,0 Dr dntfks,0 dngn dn 0, dngn, kt mlht bhw, b = + b. Jk =, b, =, b dn =, b, mmbuktkn hukum prsmn dstrbus Kt mndptkn, =, b {, b +, b } =, b, + b, b = { + b b, b, b, b + b + } = b b + b b, b + b + b + b = b b, b + b + b b, b + b =, b, b +, b, b =, +,.7 Rprsnts scr Grfs Blngn Kmplk ytu Jk skl-skl blngn rl dplh pd du sumbu yng slng tgk lurus, XOX ' dn YOY ' slnjutny dsbut sumbu dn sumbu y scr brturutturut sprt pd gmbr. dbwh n. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

40 Gmbr. Slnjutny kt dpt mltkkn sbrng ttk pd bdng dngn cr mnrk grs yng sjjr msng-msng dn kdu grus dpt b rtmu d stu ttk, ttk trsbut dnmkn krdnt tgk lurus dn dntskn dngn, y. Pd gmbr d ts dplh ttk P,. Krn sutu blngn kmplk y dpt dpndng sbg psngn brurutn blngn rl shngg kt dpt mrprsntskn blng kmplk dngn sutu ttk pd bdng y. Bdng y sbg rprsnts blngn kmplk dnmkn bdng kmplk tu rgnd. Blngn kmplk yng dtunjukkn ttk P, sprt pd gmbr. dpt dpndng sbg. Stp blngn kmplk brkrpndsn stu dn hny stu dngn stp ttk pd bdng, sblkny stp stu ttk pd bdng brkrspndns dngn stu dn hny stu blngn kmplk. Krn hl n srng dn bs kt mnytkn blng kmplk, sbg ttk. Kdng-kdng kt dpt mnytkn sumbu dn sumbu y sbg sumbu rl dn sumbu mjnr scr brturut-turut dn bdngny dnmkn bdng. Jrk ntr du ttk y y y dn y pd bdng kmplk dbrkn lh Cnth sl Bntuklh prs-prs brkut scr nltk dn grfk. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 0

41 Scr nlts 6 Scr grfs Y X 6 Gmbr. b + Scr nlts Scr grfs Y 6 6 X gmbr.6 c 7 + d Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

42 Cnth.c,d dn dtngglkn pnuls sbg lthn bg pmbc.. Jk, dn mrupkn vktr yng dtunjukn dlm gmbr.7, butlh grfk :. + c b. + + d. - + Y X Gmbr.7. Jk = dn = - +, butlh grfk dn nltk:. b. b. d.. Ltk vktr dr ttk A, B dn C dr sgtg ABC msng-msng dbr = +, = - dn = 6. Buktkn bhw ABC mrupkn sgtg smkk dn htunglh pnjng ssny.. Mslkn,,,,ltk vktr tgk lurus untuk sg mpt ABCD. Buktkn bhw ABCD dlh sbuh jjrn gnjng jk dn hny jk 0.` 6. Jk dgnl sbuh sg mpt slng mmbg du,buktkn bhw sg mpt mrupkn sbuh jjrn gnjng. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

43 7. Buktkn bhw mdn dr sbuh sgtg dhubungkn dlm stu ttk. 8. Mslkn sg mpt ABCD dn E, F, G, H ttk tngh dr ssny. Buktkn bhw EFGH dlh sbuh jjrn gnjng. 9. Dlm jjr gnjng ABCD, ttk E mmbg du ss AD. Buktkn bhw dmn ttk BE dhubungkn dngn ttk AC mmbg AC. 0. Ltk vktr dr ttk A, B brturut-turut dlh + dn.. crlh sbuh prsmn grs AB. b. crlh sbuh prsmn grs yng tgk lurus k AB pd ttk tnghny.. Gmbr dn grfk bntuk mnkh yng dtunjukn d bwh n:., b. 6, c., d.,. Im.. Crlh sbuh prsmn. sbuh lngkrn jr-jrny dngn ttk pust -,, b. pnjng lngkrn dngn ttk pust pd 0, dn 0,- yng mn sumbu utm mmpuny pnjng 0..8 Bntuk Plr Blngn Kmplk Jk P dlh ttk pd bdng kmplk yng brkrpndns dngn blngn kmplk, y tu y mk brdsrkn gmbr.8 kt dpt mlht bhw: r cs, y r sn. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

44 Y P, y r y X Gmbr.8 Krn r y y dlh mdulus tu nl mutlk dr blngn kmplk y dntskn dngn md tu ; dn dsbut mpltud tu rgumnt dr y dntskn dngn rg, dlh sudut yng dbut lh grs OP dngn sumbu pstf. Olh krn tu, y rcs sn Yng dsbut bntuk plr dr blngn kmplk, r dn θ dsbut krdnt plr. Kdng-kdng dngn mudh untuk mnuls dn mnybut sbg sngktn untuk cs sn. cs Untuk sutu blngn kmplks 0 trdpt krspndns stu dn hny stu trdpt hny stu nl yng ssu dngn untuk 0 θ < π. Nmun, ntrvl ln dr pnjng π, mslny - π < θ π, dpt dgunkn. Stp plhn utm, dputuskn trlbh dhulu, dsbut jrk utm, dn nl θ dsbut nl utmny. Cnth. Nytkn stp ttk dlm krdnt tgk lurus brkut dlm bntuk plr. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

45 Y X Gmbr.9 Krn mk r 8 Krn ttkny trltk pd kudrn k- mk cs 7 / Shngg cs 7 / sn 7 / cs7 / b. Y / X Gmbr.0 Krn mk r Krn ttkny trltk pd kudrn k- mk sn 0 / Shngg cs / sn / cs / c. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

46 Y X Gmbr. mk r 6 Krn ttkny trltk pd kudrn k- mk cs / Shngg cs / sn / cs / d. Y X Gmbr. mk r 0 0 Krn ttkny trltk pd sumbu -Y mk cs 0 70 / Shngg cs / sn / cs /. - Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

47 Y X Gmbr. mk r 0 Krn ttkny trltk pd sumbu -X mk Shngg cs sn cs cs 80 f. Y X Gmbr. mk r 6 Krn ttkny trltk pd kudrn mk Shngg cs 0 sn 0 cs 0 g. Buktkn bhw tn / Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

48 Y X Gmbr. mk r Krn ttkny trltk pd kudrn mk rctn Dprlh tn tn / Shngg rctn/ csrctn/ snrctn/. Nytknlh bntuk plr brkut dlm krdnt tgk lurus. 6cs sn Krn / dn dprlh brrt 0, y 0 6cs 6 / y 6sn 6/ Shngg 6cs sn 6cs, Cttn 6cs sn 6 / b. cs 90 Krn 90 / dn dprlh brrt 0, y 0 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

49 cs y sn 90 Shngg cs 90 0, c. / Krn / brrt 0, y 0 dn dprlh cs / / y sn / / / Shngg, d. 7 / 6 Krn 7 / 6 0 brrt 0, y 0 dn dprlh cs 7 / 6 / / y sn 7 / / / / Shngg /, /. / Krn / 60 brrt 0, y 0 dn dprlh cs / / / y sn / / / / Shngg /, / Sl-sl. Tunjukkn bntuk plr dr. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

50 b. c. d.. f. 6 g. h.. Butlh grfk untuk ttk yng dnytkn lh. 6cs0 sn 0 b. cs 7 c. cs d.. / /. Ssrng mnmpuh prjlln wst km dlm rh tmur lut nrthst, dlnjutkn 0 km dlm rh 0 dsblh brt dr utr kmudn 8 km dsblh sltn dr brt. Tntukn scr nlts dn grfs jrk yng dtmpuh dn bgmn rh yng dtmpuh dr ttk wl Trm d Mvr Jk y r cs sn dn y r cs sn dpt mnunjukkn bhw: r cs sn r cs sn r r cs cs cs sn sn cs sn sn cs sn sn sn cs cs sn... r r cs sn r r cs kt r cs sn r cs sn Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 0

51 r cs sn r. r cs sn r cs cs sn sn r r cs cs sn cs sn cs r cs sn cs sn cs sn sn sn r r cs cs sn cs sn cs r cs sn sn sn r r cs cs r r r sn sn sn cs sn cs r cs sn r r cs sn sn... cs Bntuk gnrlss dr mnybbkn... n r r... rn {cs... n sn... n } dn jk bntuk mnjd n n n { rcs sn } r csn sn n... Bntuk srng dsbut trm d Mvr Cnth sl n. Buktkn trm d Mvr cs sn cs n sn n dngn nsbrng blngn bult pstp. Bukt Kt gunkn prnsp nduks mtmtk n Untuk n mk dprlh cs sn cs sn n cs sn Dnggp bnr untuk n = k, shngg cs sn n cs sn n k cs k sn k Slnjutny kn dbuktkn bnr untuk n = k+ cs sn cs sn cs k sn k Dngn dmkn bnr untuk n,,,... n k cs sn k cs sn Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm-

52 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- Hsl d ts kuvln ` n n. Buktkn dntts. cs 0 cs 6 cs cs Bukt sn cs sn cs sn sn 0cs sn cs sn cs sn 0cs cs sn sn cs sn cs 0 sn 0cs sn cs cs sn sn cs sn cs sn cs sn cs cs 0 shngg sn cs sn 0 cs cs cs cs cs cs 0cs cs cs cs cs 0cs 0cs cs cs 0cs cs 0cs 0cs cs b. sn sn 0 cs sn cs sn dngn cr yng sm dprlh sn sn 0cs sn cs sn sn sn sn 0 sn sn sn sn 0sn sn sn sn sn 0sn 0sn sn 0sn sn sn 0sn 0sn c. cs 6cs sn sn jk,...,, 0 sn sn sn 0cs sn cs sn sn sn sn 0cs cs cs cs 0cs cs cs cs 0cs 0cs cs

53 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- cs 6 cs. Buktkn bhw. cs Jwb sn cs, sn cs cs cs sn cs sn cs b. sn Jwb sn sn sn cs sn cs. Buktkn dntts. sn sn sn Jwb

54 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- sn sn sn sn b. 8 cs cs 8 cs Jwb 8 sn cs cs cs. Htunglh. 80 sn cs80 sn 0 cs 0 0 Jwb 80 sn 0 80 cs0. sn 80 cs80 sn 0 cs 0 0

55 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6 6 sn0 cs0 b. 7 cs cs Jwb cs cs cs cs cs cs cs c. 0 Jwb cs cs cs cs cs cs cs cs sn 0 cs0 0 cs / / 6 sn 00 cs00 6 sn 6.0 cs Jwb sn cs sn cs sn 0 cs0 sn 0 cs0

56 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6 sn. cs. sn. cs. sn.0 6cs.0 sn.0 6cs.0 sn 7 cs7 sn cs sn0 6cs0 sn 0 6cs0 / / / / / / 6 / / 6 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 8. Buktkn. rg rg rg Bukt Msl sn cs r dn sn cs r sn cs sn cs r r r sn sn cs sn sn cs cs cs r r r r sn cs cs sn sn sn cs cs r r sn cs Shngg rg rg rg b. rg rg / rg Bukt

57 r cs sn r cs sn r cs sn r. r cs sn r cs cs sn sn r r cs cs sn cs sn cs r cs sn cs sn cs sn sn sn r r cs cs r r cs cs r r cs sn r sn cs sn cs r cs cs sn sn sn sn sn sn sn cs sn cs r r cs sn r Shngg Sl-sl. Htunglh rg rg f. cs / cs / rg g. cs / cs / h. cs / cs7 /. cs cs 6 j. cs cs. Tntukn hsl prkln brkut dn nytkn dlm krdnt tgk lurus.. cs 0 sn 0 cs70 sn 70 b. cs0 sn 0 cs90 sn 90 c. cs sn 8 cs sn Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

58 d. cs8 sn 8 cs7 sn 7. cs0 sn 0 cs60 sn 60 f. 8cs sn 6cs 00 sn 00 0 g. cs0 sn 0 0 h. cs60 sn 60. j. 7 cs 6 cs 6. Buktkn bhw. sn sn sn b. cs cs cs. Buktkn bhw sn. 8cs cs 6cs sn b. cs 8sn 8sn. Buktkn trm d Mvr untuk blngn bult ngtf dn blngn rsnl 6. Buktkn bntuk-bntuk brkut n:. sn sn sc b. sc sc tn c. sc sn tn cs d. sc sn sc. sn sc f. csy cs y cs y g. sn s 8 sn s cs s sn s cs s h. cs cs sn Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

59 . sn p cs p cs p sc p j. cs ct k. sn tcsct sn t cs t l. csc y csc y sc t.0 Akr-kr Blngn Kmplk Sutu blngn w dsbut kr dpt kt tuls dlm bntuk w / n mnunjukkn bhw jk n dlh blngn bult pstp, / n y / n { rcs sn } / n cs sn } n { r / n n k n blngn kmplk jk w n tu. Brdsrkn trm d Mvr kt dpt / r n k k cs sn, n n k 0,,... n... 6 Brdsrkn bntuk d ts, untuk n nl yng brbd untuk brbd dr. slkn 0. Cnth sl. Tmukn smu nl, shngg, b Tmptkn tu msukkn nl n dlm bdng kmplks. Jwb / / 0 n /, ytu n kr yng Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

60 Y,0 X Dlm bntuk plr cs k sn k, k 0,,,,... 0 Shngg Dlm bntuk plr 0 / cs sn / Dngn mnggunkn trm d Mvr dprlh k k / cs sn / cs sn, k 0,,,, / Untuk k 0 cs sn cs sn / Untuk k cs sn cs sn / Untuk k cs sn 0 7 / Untuk k cs sn cs sn 7 9 / Untuk k cs sn cs sn Dngn mmprtmbngkn k =, 6 srt nl-nl ngtf, -, -,..., pngulngn dr lm nl d ts dprlh. Olh krn tu n dlh stustuny slus tu kr dr prsmn yng dbrkn. lm kr n dsbut " lm kr dr dn scr klktf dtunjukkn dngn /. Pd umumny, / mwkl Akr k-" n " dr dn. Dn trdpt n kr. b Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 60

61 Y cs / 6 X Gmbr.6. Tntukn / Jwb Y X Dlm bntuk plr cs / k sn / k Shngg / / cs / sn / cs / k sn / k / / / / k k cs sn, k 0,, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

62 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6 / sn / cs 0 6 / / cs k / sn / cs 6 / / cs k 9 / sn / cs 6 / / cs k Smu kr kr n dpt trlht pd gmbr brkut n y π/ Z Z π/ 9π/ Z Gmbr.7. / Jwb Dlm bntuk plr k k 6 / sn7 6 / cs7 Shngg / / 6 / sn 7 6 / cs 7 X Y

63 cs7 / 6 k sn7 / 6 k / 7 / 6 7 / 6 / k k cs sn, 0,,, k k k k k 0 / / / / 7 7 cs sn / 9 9 cs sn 7 cs / cs sn 7 7 cs sn / / 9 cs cs 7 cs Prnytn d ts dnytkn dlm gmbr d bwh n : Y π 9π 7π π X Gmbr.8. Mncr kr kr kudrt dr 8 Jwb Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

64 Y X 8 Gmbr.9 Dlm bntuk plr Cr 8 = 7 {cs θ + kπ + sn θ + kπ } Dmn, cs θ = dn sn θ = Mk kr kr kudrt dr 8 dlh : 7 cs θ + sn θ 7 cs θ + π + sn θ + π = 7 cs θ + sn θ Jd, Cs θ = ± + cs θ Sn θ = ± cs θ = = 7 = ± + 7 = ± 7 7 Krn θ dlh sudut yng brd d kudrn ktg, mk θ dlh sudut yng brd d kudrn kdu. Shngg Cs θ = dn Sn θ = Dn dr prsmn dn d ts, dkthu bhw kr kr kudrtny dlh + dn Untuk mmbuktknny, cb ck bhw : + = = 8 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

65 Cr Mslkn kt mbl p + q, dmn p dn r dlh nggt blngn Rl yng mwkl kr kr kudrt dr 8 Kmudn dkudrtkn mnjd p + q = p q + pq = 8 Atu p q = Dn pq = Substtuskn gntlh q = dr prsmn k prsmn Mnjd p = tu p + p 6 = 0 Sbg cnthny, p + 6 p = 0 tu p = 6, p =. / Jwb Y X Gmbr.0 Dlm bntuk plr cs7 / 6 k sn7 / 6 k Shngg 7 / 6 7 / 6 / / k k cs sn k 0 k 7 / 6 7 / cs sn / 6 7 / 6 7 / 6 cs sn / Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 6

66 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 66. / Gmbr.0 sn cs / / sn cs 0,,,,, / sn / cs / k k k Untuk 0 sn 0 cs 0 /0 / k Untuk / sn / cs /0 / k Untuk / sn / cs /0 / k Untuk 6 / sn 6 / cs /0 / k Untuk 8 / sn 8 / cs /0 / k Sl-sl Htunglh X Y

67 / 6 6. Dbc : Akr pngkt 6 dr. /. / 6 / `.. / 8 6. / 7. / 8. / 8 9. / 0. / 6. / 7. / 8. / 9. /. /. Rumus Eulr Brdsrkn sums prlusn drt brhngg...!! lmntr ktk, kt dpt mngmbl hsl: dr klulus!!!! n... n!!! n n... n!!! n n... n!!! n... n!!! n... n! Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 67

68 ! n...! n!!! n... n! Dngn mnggunkn dfns jumlh drt tk hngg dprlh: cs sn, Yng mn 7 kt sbut sbg rumus Eulr s yng ssu,bgmnpun scr sdrhn kt mndfnskn. umumny kt dfnskn y y cs sn y `...8 Mslny untuk cnth dmn y 0 mnghslkn Prlu dctt bhw bntuk dr 7 pd dsrny mrupkn hsl dr trm d n Mvr untuk n Cnth sl. Tntukn rumus Eulr untuk Y X Gmbr. mk r Krn ttkny trltk pd kudrn mk Dprlh rc 60 / cs Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 68

69 Shngg Shngg / rccs sn cs / Y X Gmbr. mk r 6 Krn ttkny trltk pd kudrn mk cs 0 7 cs 6 7 / 6 Shngg cs 0 sn 0 cs0 tn / Y X Gmbr. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 69

70 mk r Krn ttkny trltk pd kudrn mk Dprlh tn tn / Shngg rctn/ csrctn/ snrctn/ 6 Y 6 X Gmbr. 6 mk r 6 8 Krn ttkny trltk pd kudrn mk sn 0 6 cs 6 / 6 Shngg cs 0 sn 0 cs0. Nytkn hsl khrny dngn rumus Eulr Jwb cs0 cs0 sn 0 sn 0 cs cs sn sn 6cs.0 6cs.0 sn.0 sn.0 cs. cs. sn. sn. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 70

71 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7 sn 7 cs7 sn cs sn0 6cs0 sn 0 6cs0 / / / / / / 6 / / 6 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / r Krn ttk d kudrn k- mk rctn / rctn, / tn Shngg rctn'/ / snrctn / csrctn. Nytkn hsl khr sl d bwh n dngn rumus Eulr. / cs Jwb / / / sn cs sn cs cs Dngn mnggunkn trm d Mvr dprlh 0,,,, / sn / cs sn cs / / k k k

72 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7 k / / / sn cs 0 k / 7 / / 7 sn 7 cs k / / / sn cs k / 9 / / 9 sn 9 cs b. cs cs Jwb sn cs sn cs cs cs cs / 6 6 sn cs 6 sn cs. c. 7 Jwb Dlm bntuk plr 9 7 tn sn 9 7 rctn cs cr Bntuk Eulr cr 9 7 rctn tn sn 9 7 rctn cs 6

73 Sl-sl Tntukn rumus Eulr yng brssun dngn hsl khr dr prs d bwh n! Prsmn-prsmn Plnml Srng dlm hl-hl prkts kt mnmukn slsn prsmn pngkt bnyk plnml dngn bntuk umum : Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

74 n n n 0... n n Dmn..., 0 0, n dlh blngn kmplk dn n dlh blngn bult pstp yng dsbut pngkt dr prsmn. Slssn dr prsmn plnml jug dsbut pmbut nl rs rus kr prsmn 9 kr-kr prsmn. Trm n sngt pntng shngg dsbut trm mndsr dr ljbr yng mnytkn bhw stp prsmn plnml dr bntuk 9 mmpuny plng sdkt stu kr blngn. Brdsrkn fkt n kt dpt plnml mmpuny n kr blngn kmplk yng kdng-kdng bbrp d yng sm dn bhkn mungkn smu kr-krny sm. Jk tuls sbg:,,,,... n dngn n kr-kr prsmn plnml mk 9 dpt d... n yng mn d sbut bntuk pmfktrn dr prsmn plynml, sblkny jk kt dpt mnuls 9 pd bntuk 0 kt dpt mnntukn kr-krny dngn mudh. Cnth sl. Slsknlh prsmn kudrt brkut b c 0, 0 Dngn mnukr c dn mmbgny dngn 0 dprlh bntuk prsmn b c Jk msng-msng rus dtmbhkn dngn b Dprlh bntuk kudrt smpurn b b c b b b c b b b c Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

75 b b c b b c. b b c, b b c Untuk slnjutny. b b c Dsbut kr-kr b c 0, 0. Tntukn slsn prsmn plnml brkut:. 0 Jwb Dngn mnggunkn rumus pd sl nmr dprlh. b b c Shngg dn b. 0 Jwb Dngn fktrss dprlh Shngg, 0 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 7

76 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 76 c. Jbrknlh = 6 Jwb Dngn mnggunkn mtd. Prsmn pd sl dts jk djbrkn kn mnghslkn prsmn brkut. + 6 = 0, bs jug = 0, supy mnghslkn prsmn + 9 = 0, tu = 0 Mk kn mnghslkn jwbn dr + + = 0, dn + = 0, ytu ± dn ±. Dngn mnggunkn mtd. Kt bs mslkn w =, mk prsmn dts bs kt jbrkn mnjd + 6 = 0 dn gnt mnjd w mkw w + 6 = 0 tu w = ± 7. untuk mndptkn jwbnny bs dgunkn cr pd sl 0. d. 0 Jwb Atu 0 0 Shngg dprlh dn Atu

77 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 77., / / sn cs 0,, / sn / cs / k k k / sn / cs 0 / k 7 / sn / cs / cs k / 0,, / sn / cs sn cs / k k k 7 / sn / cs 0 cs k k Sl-sl Slsknlh Crlh du blngn kmplk yng jumlhny dn hsl klny

78 Akr-kr k n dr Stun n Slsn dr prsmn dmn n dlh blngn bult pstp dsbut krkr k n dr stun dn d brkn lh : k cs k sn k n k 0,,,,..., n... n n cs k sn k k / n Msl jk, n kr-kr dr prsmnny dlh: n n n,,,...,. yng scr gmtr mnunjukkn bhw n vrtcl dr sbuh plygn sg bnyk brturn trtur dmn d smpng n d tulskn pd sbuh lngkrn dr jrk stu dngn pust yng sbnrny. Lngkrn n mmpuny prsmn dn srng d sbut lngkrn stun. Cnth sl Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 78

79 . Crlh smu kr-kn k- dr stun Jwb / 0 / cs0 sn 0 / / 0 k 0 k cs sn, k 0,,,, k k cs sn, k,,, Untuk k 0 cs0 sn 0 Untuk k cs sn Untuk k cs sn Untuk k cs sn. Jk n =,,... Tunjukkn bhw 6 n cs cs + cs... cs n n n n 6 n b sn sn sn... sn 0 n n n n n mslkn prsmn 0, mmpuny slus trhdp nl dr kr-kr kstun. n, k k 6 k,, 8k n n,... 0 Sl-sl. Tntukn kr-kr k- dr stun. Tntukn kr-kr k7 dr stun. Tntukn kr-kr k- dr stun. Crlh smu kr dr. Intrprts Vktr Blngn Kmplk Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 79

80 Bntuk blngn kmplk y dpt dpndng sbg vktr OP yng mmpuny ttk wl d ttk sl O rgn dn ttk khrny pd krdnt P, y sprt pd gmbr. brkut n. Y B A P, y O X Gmbr. Kdng-kdng kt mnybut OP y sbg vktr pstp dr P. Du vktr mmpuny pnjng mgntud dn rh yng sm, ttp ttk-ttk wl brbd sdmkn shngg OP dn AB pd gmbr. dpndng sm. Dlm hl n dpt dtuls OP AB y Jumlh dr blngn kmplk brkrspndns dngn hukum jjrngnjng dr jumlh untuk vktr. lht gmbr kmplk dn mlngkp jjrngnjng -6. Dngn dmkn jumlh blngn OABC dmn OA dn OC brkrspndns dngn dn. Dgnl OB pd jjrngnjng brkrspndns dngn. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 80

81 Y O X Gmbr.6 Cnth sl. Mslny vktr pss ttk A, y dn B, y brturut-turut dnytkn lh dn. Nytkn vktr AB sbg sutu blngn kmplks. b Tntukn jrk ntr A dn B. Jwb Y A, y B, y X Gmbr.7 b Dr gmbr.7 OA + AB = OB tu AB = OB OA = = + y + y Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

82 = + y y Jrk ntr ttk A dn B dbrkn lh AB = + y y = + y y. Mslkn = + y dn = + y mnytkn du vktr tk sgrs tu tk sjjr. Jk dn b mrupkn blngn rl sklr shngg + b = 0, buktkn bhw = 0 dn b = 0. Syrt yng dbrkn + b = 0 str dngn + y + b + y = 0, tu + b + y + by = 0. Mk + b = 0 dn y + by = 0. Prsmn-prsmn trsbut mmpuny jwbn brsm = 0, b = 0 jk y / y /, ytu jk vktr-vktr trsbut bukn vktr sgrs tu sjjr.. Buktkn bhw dgnl sutu jjr gnjng slng mmbg du ntr yng stu dngn lnny. A B P C Gmbr.8 Msl OABC gmbr.8 dlh jjrn gnjng yng dbrkn dngn dgnl-dgnlny brptngn d P. Krn + AC =, AC =. Mk AP = m dmn 0 m. Krn OB = +, mk OP = n + d mn 0 n. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

83 Ttp OA + AP = OP, ytu + m = n + tu m n + m n = 0. Olh krn tu mnurut sl n 9, m n = 0, m n = 0 tu m =, n = dn n mngkbtkn P mrupkn ttk tngn dr kdu dgnl trsbut.. Tntukn sutu prsmn untuk grs lurus yng pllu du ttk yng dbrkn, ytu A, y dn B, y. Mslkn, = + y dn = + y brturut-turut dlh vktr pss dr A dn B. Mslkn = + y dlh vktr pss dr sutu ttk P. pd grs yng mnghubungkn A dn B. A P B Gmbr.9 Dr gmbr.9 OA + AP = OP tu + AP =, ytu AP = OA + AB = OB tu + AB =, ytu AB = Krn AP dn AB sgrs, AP = t AB tu = t d mn t dlh rl, dn prsmn yng dngnkn dlh: Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

84 = + t tu = t + t Sl-sl. Jk, Tntukn hsl scr nlts dn grfs dr. b. c. d.. Vktr-vktr pss dr ttk-ttk pd ABC A, B, C 6. Buktkn bhw ABC dlh sm ss dn tntukn pnjng msngsg-msng ssny.. Msl,,, dlh vktr-vktr pss dr sgmpt ABCD. Buktkn bhw sgmpt ABCD jk dn hny jk 0. Pswt trbng WISATA trbng 0 km mnuju rh tnggr suthst, 00 km krh brt wst km dlm rh 0 dsblh utr dr tmur, dn km dlm rh tmur lut nrthst. Tntukn brp juh jrk yng dtmpuh lh pswt jk dhtung dr ttk wl pmbrngktn pnrbngn.. Rprsnts Sphrcl Blngn Kmplk, Pryks Strgrfs Mslny P pd gmbr.6 dlh bdng kmplk dn pndng sutu unt sphr jr-jr stu tngnt P d 0. Untuk dmtr NS tgklurus dngn P dn ttk N dn S kt sbut kutub-kutub utr dn bgn sltn dr. Bbrp krnspndns ttk A d P kt dpt mmbut grs NA brptngn dngn pd ttk A. Dngn dmkn stp ttk d bdng blngn kmplk brkrspndns stu-stu dn hny stu ttk dr sphr, dn kt dpt mnggmbrkn sbrng blngn kmplk lh stu ttk pd sphr. Untuk mlngkp ttk N hl tu brkrspndns dngn jumlh pd ttk dr bdng Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

85 trsbut. Dr hmpunn smu ttk-ttk trmsuk bdng kmplk untuk jumlh pd ttk dsbut smu bdng kmplks, smu bdng, tu bdng kmplks scr lus. Mthd yng tlh djlskn d ts untuk mmtkn bdng pd sphr dsbut pryks strgrfs. Sphphch. Sphr trsbut kdng-kdng dsbut Rmnn sphr. N A P S Gmbr.0.6 Hsl Kl Ttk dt dn Slng crss Msl y dn y dlh du blngn kmplk dn dnytkn sbg vktr-vktr. Hsl kl ttk ntr du blngn kmplk dn. mrupkn sbuh sklr. Hsl kl ttk ntr du blngn kmpl dn ddfnskn dngn bntuk :.... cs y y R Dmn dlh sudut dntr dn yng mn trltk ntr 0 dn. Hsl kl slng dr dn ddfnskn sbg Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 8

86 Im.... sn y y Jk dn dlh bukn nl, mk. Syrt prlu dn cukup bhw dn tgk lurus dlh bhw. 0. Syrt prlu dn cukup bhw dn sjjr dlh bhw 0. Mgntud pryks dr pd. dlh. /.. Lus jjrngnjng yng mmpuny ss dn dlh. Cnth sl. Jk,, tntukn:... cs y y 6 b. sn y y 7 c... cs y y 6 d. sn y y 7.. f.. g. h. Sl,f,g dn h dtngglkn pnuls untuk lthn bg pmbc.. Buktkn bhw:... Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 86

87 Bukt y, y Mnurut dfns hsl kl ttk dprlh. cs y y y y cs. b. Bukt y, y Mnurut dfns hsl kl slng dprlh y y cs. sn y y.. Dtntukn, tntukn bsr sudut yng dbntuk lh dn. Y X Gmbr. Mnurut dfns hsl kl ttk, dprlh. cs cs.. cs. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 87

88 rccs. Buktkn bhw jjrn gnjng ABCD yng mmpuny pnjng ss dn dlh t sn Gmbr. Lus jjrn gnjng ABCD t sn sn.7 Krdnt-krdnt Knjugt Blngn Kmplk Sutu ttk d bdng kmplks, dpt dltkkn pd krdnt tgk lurus, y tu krdnt kutub r, θ. Nmun bnyk jug kmungknn yng ln, mslny dlm bntuk,. Krn y dn y mk kn dprlh y y dn y y y y Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 88

89 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 89 Bntuk dn y dpt dsubsttuskn kdlm prsmn yng dkthu. Krdnt, yng mnntukn ltk sutu ttk dnmkn krdntkrdnt blngn kmplk dlm knjugt tu dsngkt dngn krdnt knjugt dr sustu ttk. Cnth sl. Nytkn prsmn brkut dlm bntuk krdnt knjugt. y Msl y shngg y Dngn mnggunkn mtd substtus dprlh dn y Shngg dprlh dn y Substtuskn dn y shngg y b. 6 y c. 9 y

90 Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm d. 6 y Sl-sl. Dskrpskn stp lcus brkut n yng dytkn dlm krdnt knjugt mnjd bntuk blngn kmplk... Ubhlh stp prsmn brkut dlm krdnt knjugt.8 Hmpunn-hmpunn Ttk Sbrng kumpuln ttk-ttk d bdng kmplks dnmkn sutu hmpunn ttk brdmns du, dn stp ttkny dnmkn sutu nggt tu unsur hmpunn trsbut. Dfns dsr brkut n dbrkn sbg bhn rujukn.. Lngkungn nghburhds Sutu lngkungn dlt tu δ dr ttk Z dlh Hmpunn smu ttk shngg Z < δ dmn δ dlh sutu blngn pstf yng dbrkn.

91 Sutu lngkungn δ yng dhlngkn dr Z dlh Sutu lngkungn dr Z yng ttk Z ny dbung, ytu 0 < Z < δ.. Ttk lsrmt lmt pnts Sutu ttk Z dsbut ttk lmt, ttk gbung, tu ttk kumpul dr hmpunn ttk S. Jk stp lngkungn δ yng dhlngkn dr Z mmut ttk d hmpunn S, krn δ dlh Sutu blngn pstf sbrng, mk hmpunn S hrus mmlk bnyk ttk yng tk brhngg. Prhtkn bhw Z mungkn trltk d dlm tu d lur hmpunn S.. Hmpunn-hmpunn trtutup clsd sts Sbuh hmpunn S dsbut trtutup jk stp ttk lmt dr S trmsuk d dlm S, yut S mmut smu ttk lmtny. Sbg cnth, hmpunn smu ttk shngg dlh sutu hmpunn trtutup.. Hmpunn-hmpunn trbts bundd sts Sbuh hmpunn S dsbut trbts jk kt dpt mnmukn sutu knstt M shngg M untuk stp ttk dn S. Sutu hmpunn tk trbts dlh hmpunn yng tdk mmlk bts. Sutu hmpunn yng trbts dn ttutup dnmkn Kmpk.. Ttk dlm, ttk lur, dn ttk trbts ntrr, trr, nd bundry pnts Sutu ttk Z dsbut ttk dlm dr hmpunn S jk kt dpt mnntukn sutu lngkungn δ dr Z yng smu ttkny trmsuk pd S. Jk stp lngkungn δ dr Z mmut ttk d S dn jug ttk d lur S, mk Z dnmkn ttk bts. Jk sutu ttk bukn sutu ttk dlm tu ttk bts dr sutu hmpunn S, mk ttk n dnmkn ttk lur dr S. 6. Hmpunn-hmpunn trbuk pn sts Sutu hmpunn trbuk dlh sutu hmpunn yng hny trdr dr ttk dlm. Sbg cnth, hmpunn ttk Z shngg < dlh sutu hmpunn trbuk. 7. Hmpunn-hmpunn trsmbung cnnctd sts Sutu hmpunn trbuk S dsbut trsmbung jk untuk stp du ttk d hmpunn trsbut dpt dhubungkn lh sutu lntsn yng brbntuk grs lurus lntsn sg bnyk yng smu ttkny trltk d dlm S. 8. Drh trbuk tu dmn pn rgns r dmns Sutu hmpunn trbuk trsmbung dnmkn sutu drh trbuk tu dmn. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

92 9. Clsur sutu hmpunn clsur f st Jk sutu hmpunn S kt gbungkn smu ttk lmtny, mk hmpunn bru yng trbntuk dsbut pnutup hmpunn S dn mrupkn sutu hmpunn trtutup. 0. Drh trtutup clsd rgns Pnutup sutu drh trbuk tu dmn dsbut sutu drh trtutup.. Drh rgns Jk pd sutu drh trbuk tu dmn kt gbungkn bbrp, smu tu tdk sm skl ttk lmtny, mk kt mnmukn sutu hmpunn yng dsbut drh. Jk smu ttk lmtny dgbungkn, mk drhny trtutup dn jk tdk dgbungkn sm skl, mk drhnytrbuk. Dlm buku n blmn kt mnggunkn stlh drh tnp mnglmpkknny, kt kn mngrtknny sbg drh trbuk tu dmn.. Gbungn dn Irsn dr hmpunn. sbuh hmpunn trdr dr smu ttk yng trgbung dlm hmpunn S dn hmpunn S tu kdu-duny yng dnmkn unn/gbungn dr hmpunn S dn S yng dtnd dngn hmpunn S + S / s s Sutu hmpunn trdr dr smu ttk yng trdpt dlm hmpunn S dn S dnmkn rsn S dn S yng dtnd dngn S, S / s s. Kmplmn dr hmpunn. Sutu hmpunn yng trgbung dr smu ttk yng tdk trmsuk dlm hmpunn S dnmkn kmplmn S dn dnytkn ~ dngn. Hmpunn ksng dr sub hmpunn. Mnrk untuk mmkr sbuh hmpun yg tk brnl, hmpunn n dnmkn hmpunn ksng. Jk du hmpunn S dn S tdk mmlk nl dmn kdu hmpunn trsbut dnmkn hmpunn yng tk brktn/slng ktrktn, kt dpt mnjlsknny dngn mnuls S - S =. Stp hmpunn yng dbntuk mllu pmlhn smu nl / tnp nl dr sbuh hmpunn dnmkn sub hmpunn dr S. bl kt mnjlskn hmpunn n dmn smu nl S tlh dplh mk hmpunn tu dnmkn sbuh hmpunn yng bnr dr S.. Hmpunn tk trhngg. Jk bgn sbuh hmpunn dpt dtmptkn dlm sbuh prsmn dngn ngk-ngk,, mk hmpunn tu dnmkn Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

93 hmpunn yng dpt dhtung, jk tdk dpt dhtung mk hmpunn trsbut dnmkn hmpunn tk trhngg. Brkut n d du tr pntng mngn nl-nl hmpunn: Trm Wlrstrss-Bln. Tr n mnytkn bhw stp hmpunn dsr trkt mmlk plng sdkt stu bts nl. b Trm Hn-Brl. Tr n mnytkn bhw S mrupkn sbuh hmpunn trpdu msng-msngny mngndung stu tu lbh hmpunn A, A... yng kmudn dktkn mlput hmpunn S tk trhngg. Kmudn kn trjd sjumlh hmpunn dsr A, A yng mlput S tk trhngg..9 Sl-sl Oprs Dsr Blngn Kmplk. Slsknlh 7 b 7 c d 7 7 f g h j 7 k 0 l 0 m 9. Jk = +, = dn = +, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

94 Tntukn nl msng-msng brkut n. g h 8 j. Buktkn bhw. R =, b. Im =.. Buktkn jk hsl dr du blngn kmplks dlh 0 < dr blngn nl. Jk w = dn = + y, crlh w dr dn y. Rprsnts Grfs Blngn Kmplk. Nytkn hsl prs blngn kmplk brkut n scr nlts dn grfs. b. c. 9. Jk = dn = - +, butlh grfk dn nltk:. b. b. d.. Ltk vktr dr ttk A,B dn C dr sgtg ABC msng-msng dbr = +, = - dn = 6. Buktkn bhw ABC mrupkn sgtg smkk dn htunglh pnjng ssny.. Mslkn,,,,ltk vktr tgk lurus untuk sg mpt ABCD. Buktkn bhw ABCD dlh sbuh jjrn gnjng jk dn hny jk 0. Jk dgnl sbuh sg mpt slng mmbg du,buktkn bhw sg mpt mrupkn sbuh jjrn gnjng. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

95 6. Buktkn bhw mdn dr sbuh sgtg dhubungkn dlm stu ttk. 7. Mslkn sg mpt ABCD dn E,F,G,H ttk tngh dr ssny. Buktkn bhw EFGH dlh sbuh jjrn gnjng. 8. Dlm jjr gnjng ABCD, ttk E mmbg du ss AD. Buktkn bhw dmn ttk BE dhubungkn dngn ttk AC mmbg AC. 9. Ltk vktr dr ttk A dn B brturut-turut dlh + dn.. crlh sbuh prsmn grs AB. b. crlh sbuh prsmn grs yng tgk lurus k AB pd ttk tnghny. 0. Gmbr dn grfk bntuk mnkh yng dtunjukn d bwh n:., b. 6, c., d.,. Im.. Crlh sbuh prsmn. sbuh lngkrn jr-jrny dngn ttk pust -,, b. pnjng lngkrn dngn ttk pust pd 0, dn 0,- yng mn sumbu utm mmpuny pnjng 0. DAFTAR PUSTAKA C.H Edwrds, Jr nd Dvd Pnny. 98. Clculus nd Anlytc Gmtry. Nw Jrsy, USA: Prntc-Hll Inc Englwd. Edwn J. Purcll., Dl Vrbrg., Stvn E. Rgdn., I Nymn Susl Ed Klkulus. Jld I Eds IX. Jkrt: Erlngg. Jhn B. Rd. 00. Clculus wth Cmpl Numbrs. Lndn, Nw Yrk: Tylr nd Frncs Inc. Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 9

96 Lus Lthld, 988. Klkulus dn Ilmu Ukur Anltk, Jdl I Eds V lh bhs S.M Nbbn dkk. Jkrt: Erlngg.. Murry R Spgl. 98. Trnsfrms Lplc, Sr Buku Schum tr dn sl-sl. trjmhn Pntur Slbn dn Hns Wspkrk. Jkrt: Erlngg. Murry R. Spgl, 98. Thry nd Prblms f Cmpl Vrbls wth n Intrductn t Cmfrml Mppng. Sngpr: Mc Grw-Hll Intrntnl Cmpny, Anlss Vrbl Kmplk: Dw Purnm- 96