KONSEP DASAR RING BERNORMA SKRIPSI. Untuk memenuhi sebagian persyaratan guna. memperoleh derajat Sarjana S-1. Program Studi Matematika.

Transkripsi

1 KONSEP DASAR RING BERNORMA SKRIPSI Untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika Diajukan oleh Burhanudin Arif Nurnugroho NIM Kepada PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2009

2

3

4

5 KATA PENGANTAR Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan semesta alam atas limpahan rahmat serta hidayah-nya. Atas ridho-nya sehingga tulisan ini dapat terselesaikan. Sholawat serta salam tak lupa tercurahkan kepada nabi Akhir zaman, nabi Muhamad SAW, yang telah menuntun umatnya menuju jalan yang terang. Skripsi ini disusun guna memperoleh gelar sarjana Sains (matematika). Isi dari skripsi ini membahas tentang konsep dasar ring bernorma. Atas terselesaikanya skripsi ini penulis tidak bisa terlepas dari bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak. Maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih setinggi-tinginya kepada: 1. Ibu Dra. Maizer Said Nahdi, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 2. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I Fakultas Sains dan Teknologi, sekaligus Ketua Prodi Matematika, Pembimbing akademik, serta pembimbing pertama, atas bimbingan, arahan, motivasi dan ilmu yang diberikan. 3. Bapak Muhamad Wakhid Musthofa, M.Si selaku pembimbing kedua, atas arahan, bimbingan dan ilmu yang diberikan kepada peneliti. 4. Bapak/Ibu Dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan Teknologi atas ilmu yang telah diberikan serta bantuan selama perkuliahan. v

6 5. Bapak, Ibu, kakaku, keponakanku (Riza) yang peneliti sayangi atas motivasi serta bantuan baik material maupun moral sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 6. Sahabat-sahabatku di prodi matematika maupun pendidikan matematika angkatan 2004 sampai terutama buat teman-teman angkatan 2005 dan 2006 baik murni maupun pendidikan, terima kasih atas ide/buah pikiran saat penulis mengajak diskusi. Semoga, segala bantuan dan motivasi yang penulis tarima dapat bermanfaat untuk melanjutkan ke jenjang selanjutnya. Dan semoga budi baik dari semua pihak yang diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT. Amin. Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis sangat mengharapakan kritik serta saran dari para pembaca demi sempurnanya skripsi ini. Walaupun masih banyaknya kekurangan yang ada, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada para pembaca terutama teman-teman di bidang matematika. Yogyakarta, 30 Maret 2009 Penulis Burhanudin Arif Nurnugroho vi

7 PERSEMBAHAN Skripsi ini penulis persebahkan kepada: Bapak dan Ibuku yang telah mendidik, membesarkan serta slalu mendo akanku Kakaku serta keponakanku(riza) Teman-teman matematika UIN Sunan Klijaga angkatan 2005 vii

8 MOTTO Allah Meninggikan Orang-orang yang beriman dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat (Al-Mujaadalah:11) Syukuri dan hargailah setiap apa yang kamu miliki saat ini, karma kamu akan sangat kehilangan ketika ia tak bersamau lagi kenalilah Allah saat kita senang, maka Allah akan menyayangi kita saat kita susah viii

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI... HALAMAN PENGESAHAN. HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN... KATA PENGANTAR. HALAMAN PERSEMBAHAN.. HALAMAN MOTTO.. DAFTAR ISI ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN... ABSTRAKSI i ii iii iv v vii viii ix xi xii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Batasan Masalah 1.3 Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian. 1.6 Tinjauan Pustaka BAB II DASAR TEORI 2.1. Himpunan 2.2 Fungsi Ring Ruang Vektor/Ruang Linear... BAB III METODE PENELITIAN..... BAB IV RUANG TOPOLOGI 1.1. Himpunan Konveks 4.2. Ruang Topologi ix

10 4.3. Ruang Linear Topologi 4.4. Ruang Metrik Ruang Bernorma Bab V RING BERNORMA 5.1 Ring pada ruang linear Ring Topologi.. 5.3: Ring Bernorma Penjumlahan dari identitas Ring Banach dengan identitas Homomorfisma kontinu dalam ring bernorma Representasi regular dari ring bernorma... Bab VI PENUTUP 6.1 Kesimpulan 6.2 Saran-saran DAFTAR PUSTAKA x

11 ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN φ : Himpunan kosong : Himpunan Bilangan Real : Himpunan bagian (subset) : Superset : Irisan : Gabungan : Nilai mutlak P(X) τ (X, τ) U(x) d(x,y) (X,d) : Keluarga himpunan dari himpunan X : Topologi : Ruang Topologi : Persekitaran dari titik x : Jarak/metrik titik x dengan titik y : Ruang metrik : Norm (norma) (X, ) : Ruang bernorma A B( x, ε ) C[a, b] Sup Maks : Himpunan dari semua barisan fundamental di A : Bola terbuka (open ball) dengan pusat x dan berjari-jari ε : Koleksi semua fungsi kontinu dari [a, b] ke : Suprimun : Maksimal xi

12 KONSEP DASAR RING BERNORMA Oleh : Burhanudin Arif Nurnugroho ( ) ABSTRAKSI Ring merupakan salah satu konsep dasar dalam ranah aljabar abstrak. Ring terbangun oleh sebuah himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi aksioma ring. Berdasar konsep tersebut, dalam skripsi ini penulis mencoba meneliti pengkhususan dari konsep ring. Pengkhususan ini terletak pada ruang lingkup ring yang akan dibahas. Jika biasanya sebuah ring hanya terbangun dalam suatu himpunan, maka dalam penelitian ini akan dikhususkan pada konsep ring dalam ruang lingkup ruang bernorma. Lebih lanjut, akan dteliti juga bahwa sebuah ring bernorma merupakan sebuah ring topologi. Oleh karenanya dalam skripsi ini sebelum masuk pada pembahasan inti, disinggung terlebih dahulu tentang ruang topologi, ruang metrik, ruang bernorma, konsep topologi pada ruang bernorma dan lain sebagainya. Dilihat dari sifat kelengkapanya sebuah ruang bernorma dapat menjadi ruang Banach. Jika sifat kelengkapan ini berlaku pada ruang bernorma yang membangun ring bernorma maka ring ini menjadi ring Banach. Keywords : ring, ruang bernorma, ruang Banach, representasi, ring bernorma xii

13 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika menurut pandangan seorang filosof dan matematikawan August Comte bukanlah ilmu. Matematika adalah suatu alat berfikir logik, sehingga matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena. Walaupun demikian dalam praktik, fenomena memang lebih kompleks (Noeng Muhajir, 2001:70). Tak jauh beda dengan sains, matematika dapat dibagi dalam berbagai rumpun, misalnya rumpun aljabar, analisis, terapan, komputer dan statistik. Lebih lanjut, rumpun aljabar terbagi lagi dalam berbagai bidang antara lain aljabar abstrak, aljabar linear, aljabar geometri dan lain sebagainya. Demikian juga rumpun analisis masih terbagi dalam berbagai bidang misal analisis real, analisis kompleks dan analisis fungsional. Analisis merupakan salah satu cabang matematika yang terus menerus mengalami perkembangan yaitu dari analisis klasik dan berkembang menjadi analisis modern. Analisis klasik berbicara tentang sistem bilangan, kekonvergenan suatu barisan maupun deret, kekontinuan, pendiferensialan serta pengintegralan. Sedangkan analisis modern berbicara tentang konsep yang besifat abstrak, yang bekerja pada konsep ruang. Salah satu yang dibahas dalam analisis modern adalah analisis fungsional yaitu merupakan suatu studi tentang struktur aljabar- topologi (Fitri Hidayati, 2002:1).

14 2 Namun apakah tiap-tiap rumpun matematika berdiri sendiri? Ternyata tidak. Misal saat membahas bidang analisis real tentu akan dimulai dengan konsep bahwa sistem bilangan real adalah sebuah lapangan (field). Padahal diketahui bahwa field dibahas dalam aljabar abstrak. Salah satu cabang matematika yang menggabungkan dua konsep dalam matematika adalah analisis fungsional. Sebagaimana sudah dijelaskan di atas bahwa salah satu yang dipelajari dalam analisis fungsional adalah mempelajari struktur aljabartopologi. Demikian halnya dengan konsep ring yang dipelajari dalam aljabar abstrak, serta konsep ruang bernorma dalam aljabar linear. Jika kedua konsep ini digabung maka akan mempelajari konsep-konsep analisis fungsional. Penggabungan konsep ring dan ruang bernorma akan menjadi konsep ring bernorma. Teori ring bernorma merupakan pengembangan dari analisis fungsional. Walaupun merupakan sesuatu yang baru tetapi teori ring bernorma mempunyai aplikasi numeris di berbagai cabang matematika, misalkan applikasi teori ring bernorma komutatif pada teori grup komutaif bikompak lokal ( locally bicompact commutative groups). Ring dalam pemahaman dasar adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Operasi biner yang dimaksud dalam ring ini adalah operasi penjumlahan dan operasi pergandaan. Ruang lingkup dari ring di sini masih berkutat pada suatu himpunan. Namun teori ring bernorma, seperti telah dijelaskan di atas merupakan suatu penggabungan dari konsep dasar ring dengan konsep ruang bernorma.

15 3 Hal ini mengakibatkan pembahasan ring bernorma tidak hanya akan berkutat pada ruang lingkup himpunan namun dikhususkan dalam ruang vektor, di mana ruang vektor dalam pembahasan skripsi ini akan dikhususkan lagi pada ruang bernorma. Berdasarkan uraian di atas, penulis akan melakukan studi literatur mengenai konsep dasar ring bernorma. Diharapakan dari penelitian ini, dapat memberikan gambaran tentang konsep ring bernorma Batasan Masalah Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangat penting, untuk menghindari kesimpang-siuran terhadap objek dari suatu penelitian. Permasalahan yang terdapat dalam penelitian ini adalah bagaimanakah konsep ring bernorma itu. Konsep dari teori ring bernorma masih mencakup ruang lingkup yang sangat luas. Karena bahasan dalam teori ring bernorma dapat meliputi ring simetris, ring bernorma yang komutatif, representasi ring simetris dan lain sebagainya, dimana setiap bahasan tersebut masih memiliki berbagai subbahasan yang sangat menarik untuk dikaji, namun dalam penelitian ring bernorma ini hanya akan difokuskan pada konsep dasar tentang ring bernorma serta sifat-sifatnya. Serta dibahas pula bahwa ring bernorma juga merupakan ring topologi.

16 4 1.3 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah diuraiakan diatas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1. Konsep-konsep apakah yang membangun ring bernorma? 2. Bagaimanakah konsep dari ring bernorma? 3. Bagimanakah konsep homomorfisma kontinu dari ring bernorma? 4. Bagaimanakah konsep representasi reguler dari ring bernorma? 1.4 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Mengkaji tentang konsep-konsep yang membangun ring bernorma. 2. Mengkaji tentang konsep ring bernorma. 3. Mengkaji tentang konsep homomorfisma kontinu ring bernorma. 4. Mengkaji representasi reguler dari ring bernorma. Secara umum tujuan penulis ingin mengkaji tentang konsep ring bernorma serta mengetahui dan memahami mengenai teorema-teorema, sifatsifat yang berkaitan dengan ring bernorma. 1.5 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain sebagai berikut: 1. Memberikan pengetahuan serta gambaran tentang ring bernorma.

17 5 2. Memberikan salah satu gambaran bahwa ternyata pengembangan konsep aljabar abstrak khususnya tentang ring masih sangat luas. 3. Memberi motivasi kepada para peneliti untuk lebih banyak mengembangkan konsep konsep teori ring bernorma. 1.6 Tinjauan Pustaka Tinjauan pustaka dalam penulisan tugas akhir ini adalah sebuah skripsi tentang Ruang Vektor Topologi oleh Fitri Hidayani mahasiswa UGM yang membahas tentang konsep-konsep yang ada pada ruang vektor topologi. Pembahasan skripsi tersebut memberi gambaran tentang konsep ruang vektor topologi. Tinjauan pustaka yang kedua adalah skripsi tentang Grup Topologi oleh Ratna Widi Utami yang juga merupakan mahasiswa UGM. Skripsi ini membahas tentang konsep-konsep dari grup topologi. Telah diketahui bahwa ring adalah suatu pengembangan dari konsep grup. Tinjauan pustaka ini lebih bersifat memberi motivasi penulis untuk melakukan studi literatur ke tingkat selanjutnya yaitu ring bernorma yang juga merupakan suatu ring topologi. Tinjauan pustaka yang pertama, seperti yang telah dijelaskan membahas tentang konsep-konsep ruang vektor topologi. Sementara dalam skripsi ini konsep ruang vektor topologi digunakan sebagai dasar untuk mengkaji konsep dari ring topologi. Konsep ini kemudian akan digunakan sebagai dasar mempelajari bahwa ring bernorma juga merupakan ring topologi, dimana konsep ini belum dibahas dalam tinjauan pustaka tersebut.

18 Bab VI PENUTUP 1.1 Kesimpulan Berdasarkan penelitian serta studi literatur yang dilakukan peneliti tentang konsep-konsep dasar ring bernorma, dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Ring bernorma dibangun oleh sebuah ruang bernorma yang dilengkapi dengan operasi pergandaan dan memenuhi beberapa aksioma ring bernorma. 2. Sebuah ruang bernorma juga merupakan sebuah ruang metriks. Akibatnya seluruh sifat dalam ruang metriks berlaku dalam ruang bernorma. Lebih lanjut, karena ruang metriks merupakan ruang topologi maka ruang bernormapun juga merupakan ruang topologi. Berdasar hal ini dapat dikembangkan bahwa sebuah ring bernorma juga merupakan ring topologi. 3. Berdasar sifat kelengkapan pada ruang bernorma, sebuah ring bernorma dapat dikembangkan menjadi sebuah ring baru dengan nama ring Banach. Yaitu jika dalam sebuah ring bernorma, ruang bernorma yang membangun adalah ruang bernorma yang lengkap (ruang Banach) maka ring tersebut dinamakan ring Banach. 4. Suatu pemetaan/operator yang mengawankan suatu ring bernorma R menuju suatu ring yang elemen-elemennya adalah operator-operaor

19 136 linear dari R ke R disebut sebuah representasi reguler dari R. Representasi reguler dapat dibedakan menjadi dua yaitu kanan dan kiri 1.2 Saran-saran Penelitian ini, diharapkan menjadi sebuah langkah awal dalam mengkaji konsep-konsep lanjut dari ring bernorma. Berdasar pada proses penelitian ini, saran-saran yang dapat disampaikan peneliti adalah: 1. Penelitian ini hanya membahas tentang konsep-konsep dasar saja yang harus ada pada sebuah ring bernorma. Pembahasan ring dapat dikembangkan lagi misalnya pembahasan tentang ring bernorma simertri serta sifat-sifatnya. 2. Selain itu, dapat dikembangkan pula tentang konsep dari spectra dalam ring Banach. Demikian saran-saran yang dapat disamapaikan oleh peneliti. Semoga dapat menjadi inspirasi bagi para pembaca untuk mengembangkan konsepkonsep lanjutan dari ring bernorma pada khususnya, serta konsep-konsep aljabar pada umumnya.

20 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard Aljabar Linear Elementer. Bandung: Erlangga. Bartle, Robert G. dan Donald R. Sherbert Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc. Darawijaya, Soeparna Pengantar Analisis Real. Yogyakarta: Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. Darawijaya, Soeparna.2007.Pengantar Analisis Abstrak. Yogyakarta : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. Debnath, L dan Mikusineksi, P Introduction to Hilbert Space With Applications.Academic Press. Fitri Hidayani Ruang Vektor Topologis. Skripsi. Yogyakarta :Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gajah Mada. Gupta S.L.,Nisha Rani Fundamental Real Analysis. New Dehli: vikas Publishing House PVT LTD. Herstein, I. N Abstract Algebra. 3 rd ed.new Jersey: Prentice-Hall, Inc. Hutahaean, E Fungsi Riil. Bandung: Penerbit ITB. Kartono dan F.W. Nurwiyati Pengantar Topologi. Yogyakarta: Andi Offet. Lipschutz, Seymour Schaum s Outline of Theory and Problems of general Topology.Singapore: Kin Keong printing Co.Pte. Ltd. Muhajir, Noeng Filsaft Ilmu Positivisme,PostPositivisme dan PostModernisme. edisi II.Yogyakarta:Rakesaeasin. Mungkers, James R Topology A Fist Course. Englewood, New Jersey: Prentice-Hall.Inc. Naimark, M.A Normed Ring. Netherlands: P. Noordhoff Ltd. Ratna Widi Utami Grup Topologi. Skripsi, Yogyakarta : Jurusan Matematika Fakultas MIPA UGM.

21 138 Rudin, Walter Functional Analysis second edition. Singapore: McGraw-Hill, Inc. Sukirman Aljabar Abstrak Lanjut Teori Gelanggang. Yogyakarta: Hanggar Kreator. Sukirman.2003.Pengantar Aljabar Abstrak (Penganatar Teori Grup). Yogyakarta: Jurusan matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Sukirman Logika dan Himpunan. Yogyakarta: Hanggar Kreator. Wahyudin.1987.Dasar-Dasar Topologi. Bandung: Transisto. Zeidler, Eberhard Applied Functional Analysis, Applications to Mathematical Physics. New York: Springer, Verlag New York Inc.