Gas dikatakan ideal apabila mempunyai sifat sebagai berikut : 2. Tumbukan yang terjadi antar molekul bersifat elastis.
|
|
|
- Hartono Setiawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bb 2 LANDASAN TEORI Gs dlh sutu fse bend. Gs mempunyi kemmpun untuk menglir dn dpt berubh bentuk seperti zt cir. Nmun berbed dengn zt cir, gs yng tk terthn tidk mengisi sutu volume yng telh ditentukn, seblikny gs mengembng dn mengisi rung ppun. 2.1 Persmn Kedn Gs diktkn idel pbil mempunyi sift sebgi berikut : 1. Volume yng diisi oleh molekul sngt kecil dibndingkn dengn volume yng diisi oleh gs secr keseluruhn. 2. Tumbukn yng terjdi ntr molekul bersift elstis. 3. Tidk d gy trik menrik tu tolk menolk ntr molekul. Hukum gs yng dpt mendeskripsikn perilku gs idel, yitu : 7
2 BAB 2. LANDASAN TEORI 8 Hukum Boyle Hukum Boyle menytkn, pd tempertur konstn, volume dn teknn berbnding terblik. Apbil dituliskn ke dlm bentuk persmn, mk menjdi : V 1 p. (2.1) Hukum Chrles Hukum Chrles menytkn, pbil teknn diperthnkn konstn, volume dn tempertur kn berbnding lurus. Apbil dituliskn ke dlm bentuk persmn, mk menjdi : V T. (2.2) Hukum Avogdro Hukum Avogdro menytkn, pd kondisi tempertur dn teknn yng sm, semu gs idel dengn volume yng sm mengndung jumlh molekul yng sm. Dengn kt lin, pd tempertur dn teknn tertentu, stu bert molekul tip-tip gs idel mengisi volume yng sm sebgimn stu bert molekul gs idel yng lin. Dlm penelitinny Avogdro menemukn terdpt 2, buh molekul dlm tip stu pound mol gs idel. Persmn kedn gs idel diperoleh dengn cr menggbungkn hukum Boyle, Chrles, dn Avogdro. Proses menggbungkn hukum Boyle dn Chrles yitu pertm, gs idel yng mempunyi mss tertentu dengn volume V 1 berd pd teknn p 1 dn tempertur T 1. Teknn gs kemudin dinikkn dri p 1 ke p 2 sedngkn tempertur diperthnkn konstn. Perubhn teknn ini mengkibtkn volume gs turun dri V 1 ke V. Proses di ts pbil ditulis dlm bentuk
3 BAB 2. LANDASAN TEORI 9 persmn yitu : p 1 V 1 = p 2 V. (2.3) Sedngkn proses yng kedu yitu, teknn dijg konstn pd p 2 sedngkn tempertur dinikkn dri T 1 ke T 2. Perubhn tempertur ini menyebbkn volume nik dri V ke V 2. Proses di ts pbil ditulis ke dlm bentuk persmn yitu : Gbungn dri Persmn (2.3) dn (2.4) yitu : V T 1 = V 2 T 2. (2.4) Jdi untuk gs idel berlku, p 1 V 1 T 1 = p 2V 2 T 2. (2.5) pv T = konstn. Konstnt untuk gs dengn volume stu bert molekul gs tu disebut volume molr (V M ) dlh R, yitu : Persmn (2.6) dpt ditulis dengn bentuk : R = pv M T. (2.6) pv M = RT. (2.7) Untuk n mol, Persmn (2.7) menjdi persmn kedn gs idel, yitu: pv = nrt, (2.8)
4 BAB 2. LANDASAN TEORI 10 dengn V = nv M, yitu volume untuk n mol gs. Pd kenytny semu gs yng d di lm tidk d yng bersift idel. Oleh kren itu, digunkn Z sebgi fktor pengkoreksi tu fktor devisi persmn gs idel, sehingg Persmn (2.8) menjdi : pv = ZnRT. (2.9) Dengn mensubstitusi persmn : ˆm = ρ g V, (2.10) ˆm = nm g, (2.11) pd Persmn (2.9), dengn ˆm dlh mss, M g dlh mss molekul reltif gs, dn ρ g dlh mss jenis gs, mk persmn kedn menjdi : p = ZRTρ g M g. (2.12) 2.2 Fktor Devisi (Z) Fktor devisi dlh perbndingn volume ktul n mol gs pd teknn dn tempertur tertentu dengn volume n mol gs pd teknn dn tempertur tertentu jik berperilku sebgi gs idel, yitu : Z = V ctul V idel. (2.13) Dlm tugs khir ini, perhitungn Z menggunkn korelsi Drnchuk, Purvis, dn Robinson. Adpun prosedur mencri Z yitu :
5 BAB 2. LANDASAN TEORI Mencri teknn kritis (P pc ) dn tempertur kritis (T pc ), yitu : P pc = γ g 3.6γ 2 g. T pc = γ g 74γ 2 g. 2. Mencri mss jenis kritis (ρ gc ), yitu : dengn Z pc = ρ gc = M g Z pc RT pc P pc, 3. Mencri tempertur reltif (T pr ) dn mss jenis reltif (ρ pr ), yitu : T pr = T T pc. 4. Menghitung Fktor devisi (Z), yitu : ρ pr = ρ g ρ gc. ( Z = 1 + A 1 + A 2 + A 5 A 6 ρ pr 5 T pr + A 7 ρ pr 2 T pr 3 ) ( ) ρ pr + A 4 + A 5 T pr ρ pr 2 ( ) 1 + A8 ρ pr 2 exp ( A8 ρ pr 2), T pr + A 3 T pr 3 (2.14) dengn A 1 = 0, , A 2 = 1, , A 3 = 0, , A 4 = 0, , A 5 = 0, , A 6 = 0, , A 7 = 0, , A 8 = 0,
6 BAB 2. LANDASAN TEORI Mss Jenis (ρ g ) Mss jenis dlh kerptn mss fluid yng diformulsikn sebgi perbndingn mss dengn volume. Dengn demikin, dri persmn kedn, mss jenis gs dpt dinytkn sebgi : ρ g = pm g ZRT. (2.15) 2.4 Specific Grfity (γ g ) Specific grfity dlh perbndingn mss jenis gs dengn mss jenis udr kering diukur pd teknn dn tempertur yng sm, yitu : γ g = ρ g ρ udr. (2.16) Dengn mengsumsikn gs dn udr sebgi gs idel, mk specific grfity dpt ditulis sebgi : γ g = pm g RT pm udr RT = M g 29. (2.17) 2.5 Viskosits (µ g ) Viskosits fluid merupkn ukurn dy hmbt lirn fluid, yng jug dpt dinytkn sebgi keenggnn fluid untuk menglir. Semkin besr nili viskosits fluid, semkin sulit fluid tersebut menglir. Dlm tugs khir ini, perhitungn viskosits dilkukn dengn menggunkn korelsi Lee t l sebgi
7 BAB 2. LANDASAN TEORI 13 berikut : dengn µ g = K10 4 exp ( Xρ y g), (2.18) K = ( M)T1.5 ( M + T) X = T M,, y = X. 2.6 Fktor Gesekn ( f g ) Fktor gesekn merupkn penyebb terjdiny kerj yng hilng selm proses lirn. Fktor gesekn terjdi ntr fluid, dlm hl ini gs lm, dengn dinding pip. Hl ini disebbkn oleh keksrn pip dn viskosits fluid. Besrny fktor gesekn dipengruhi oleh koefisien keksrn pip dn jenis lirn. Bilngn Reynold Bilngn Reynold digunkn untuk menentukn sift lirn, bersift lminr tu turbulen. Persmn untuk menentukn bilngn Reynold secr umum untuk mslh lirn gs lm dinytkn dlm stun lpngn dlh : dengn Q dlh lju lir. N RE = 20Qγ g µ g D, (2.19)
8 BAB 2. LANDASAN TEORI 14 Dlm tugs khir ini, perhitungn fktor gesekn dilkukn dengn menggunkn korelsi Chen sebgi berikut ini : 1 ɛ = 2log fg D ɛ log D N RE dengn ɛ dlh koefisien keksrn pip , (2.20) N RE 2.7 Keceptn Sur (c) Keceptn sur dlh keceptn sutu gnggun kecil di dlm tbung lirn fluid, yitu : c = ZRT M g. (2.21) 2.8 Specific Het (C v dn C p ) C v dn C p diktkn sebgi specific het kren pd kondisi tertentu, C v dn C p berhubungn dengn perubhn tempertur sistem yng disebbkn dny energi yng ditmbhkn pd peristiw perpindhn pns. Jik terjdi perubhn tempertur pd kondisi volum tetp, digunkn C v sebgi specific het, sedngkn pbil perubhn tempertur terjdi pd kondisi teknn tetp, kn digunkn C p sebgi specific het. C v dn C p merupkn turunn prsil fungsi u(t,v) dn h(t, p), dengn u merupkn spesifiksi dri energi internl dn h merupkn entlpi, mk pbil C v dn C p direpresentsikn ke dlm bentuk persmn, yitu : C v = ( ) u T v,c p = ( ) h T p. (2.22)
9 BAB 2. LANDASAN TEORI Persmn Alirn Persmn lirn gs bersift trnsien pd pip dideskripsikn dengn pendektn stu dimensi yng berbentuk sistem persmn diferensil prsil. Persmn dsr lirn gs yng bersift trnsien diturunkn dri persmn kontinuits, persmn gerk (momentum), persmn energi, dn persmn kedn gs. Dri persmn-persmn tersebut dpt dikembngkn beberp model mtemtik tergntung pd sumsi-sumsi yng dibut sesui dengn kondisi opersi di lpngn Persmn Kontinuits Persmn kontinuits diturunkn dengn menggunkn prinsip hukum kekekln mss. Hukum Kekekln Mss menytkn, mss tidk bis dibut tu dimusnhkn. Dengn demikin, mss dlm kontrol volum dlh konstn. Dlm bentuk persmn kn direpresentsikn sebgi berikut, l ju lir mss l ju lir mss l ju kumulsi kelur dri kontrol volum msuk ke dlm kontrol volum + mss dlm kontrol volum = 0. (2.23) Misl sebuh medium 1-dimensi terletk pd sumbu-x, memut sejumlh substnsi yng dpt bergerk tu menglir. Mislny, definisikn ρ(x, t) sebgi rpt mss di posisi x dn pd wktu t. Penggunn fungsi dengn du vribel ini dimksudkn sebgi cr merepresentsikn dn memvisulissikn perjlnn lirn mss pd medium 1-dimensi. Akn diperhtikn proses lirn mss dlm sutu segmen S di dlm kontol volum, smpi dengn b (Gmbr 2.1).
10 BAB 2. LANDASAN TEORI 16 Totl mss di dlm segmen S pd st t dpt dihitung dengn integrl ρ(x, t)dx. Adny substnsi yng menglir sepnjng medium, mengkibtkn jumlh mss di dlm segmen S dpt berubh terhdp wktu. Dengn demikin, lju perubhn totl mss dpt dihitung mellui turunn d b ρ(x,t)dx. (2.24) dt Gmbr 2.1: Segmen S Sembrng. Selin itu, perhitungn lju perubhn totl mss dpt dijelskn dengn menggunkn fungsi fluks. Fungsi fluks mss fluid dinytkn dengn ρ(x, t) v(x, t) dengn v(x, t) dlh keceptn fluid menglir. Notsi tersebut berrti bnykny mss yng menglir melewti posisi x dn pd st t. Nili positif ρ(x,t) v(x,t) > 0 mengindiksikn lirn mss serh dengn kenikn nili x, sementr notsi ρ(x, t) v(x, t) < 0 menunjukkn lirn mss berlwnn rh dengn kenikn nili x. Dengn demikin, bnykny mss msuk mellui titik ujung x = pd st t dlh ρ(,t) v(,t). Jik ρ(,t)v(,t) bernili positif, mk mss menglir msuk ke dlm S mellui sebelh kiri titik ujung x =. Demikin hlny bnykny mss msuk mellui titik ujung x = b pd st t dlh ρ(b, t) v(b, t). Penulisn tnd minus untuk x = b dibutuhkn kren ρ(b,t) v(b,t) > 0 menunjukkn mss menglir ke sebelh knn pd x = b. Mk lju perubhn totl mss st
11 BAB 2. LANDASAN TEORI 17 mss msuk ke dlm S mellui titik-titik ujungny diberikn oleh persmn ρ(, t)v(, t) ρ(b, t)v(b, t). (2.25) Mensubsitusikn Persmn (2.25) ke dlm Persmn (2.24) menghsilkn sutu persmn, yitu : d b ρ(x,t)dx = ρ(,t)v(,t) ρ(b,t)v(b,t). (2.26) dt Alterntif lin dri bentuk integrl Persmn (2.26) dpt diturunkn ketik ρ(x,t) dn v(x, t) disumsikn memiliki turunn pertm yng kontinu. Berdsrkn sumsi tersebut, Persmn (2.26) dpt dituliskn sebgi ρ t (x,t)dx = (ρ(x,t)v(x,t)) x dx. yng disederhnkn menjdi [ ρt (x,t) + (ρ(x,t)v(x,t)) x ] dx = 0. Dn jik ρ t dn (ρ(x,t)v(x,t)) x kontinu, mk fkt bhw nili integrl di ts bernili nol untuk setip < b sepnjng medium mengimpliksikn bhw integrn (ρ t +(ρ(x,t)v(x,t)) x ) hruslh bernili nol. Hl ini menghsilkn persmn kontinuits dlm bentuk persmn diferensil dn dengn menotsikn fluks
12 BAB 2. LANDASAN TEORI 18 mss dengn m(x, t) = ρ(x, t)v(x, t), dimn fluks mss dlh bnykny mss bersih yng lewt per stun lus setip wktu, diperoleh : ρ t + (m) x = 0. (2.27) Persmn Momentum Persmn momentum diturunkn dengn menggunkn prinsip hukum kekekln momentum. Hukum Kekekln Momentum menytkn, lju perubhn momentum di kontrol volum sm dengn gy bersih yng bekerj pd kontrol volum tersebut. Apbil ditulis dlm bentuk persmn, menjdi : totl l ju l ju l ju gy momentum momentum kumulsi bersih yng beker j pd = kelur dri msuk ke dlm + momentum dlm. (2.28) kontrol volum kontrol volum kontrol volum kontrol volum Prinsip penurunn lju perubhn momentum menggunkn konsep yng sm dengn lju perubhn mss, yitu, misl sebuh medium 1-dimensi terletk pd sumbu-x, memut sejumlh substnsi yng dpt bergerk tu menglir. Misl, definisikn ρ(x,t) v(x,t) sebgi momentum di posisi x dn pd wktu t, dn v(x,t) sebgi keceptn fluid di posisi x dn pd wktu t. Akn diperhtikn proses lirn momentum dlm sutu segmen S di dlm kontrol volum, smpi dengn b (Gmbr 2.1). Totl momentum di dlm segmen S pd st t dpt dihitung dengn
13 BAB 2. LANDASAN TEORI 19 integrl ρ(x, t) v(x, t) dx. Adny substnsi yng menglir sepnjng medium, mengkibtkn jumlh momentum di dlm segmen S dpt berubh terhdp wktu. Dengn demikin, lju perubhn totl momentum dpt dihitung mellui turunn, d b ρ(x, t)v(x, t)dx. (2.29) dt Selin itu, perhitungn lju perubhn totl momentum dpt dijelskn dengn menggunkn fungsi fluks. Fungsi fluks momentum fluid dinytkn dengn ρ(x,t) v(x,t) 2 dengn v(x,t) dlh keceptn fluid menglir. Notsi tersebut berrti bnykny momentum yng menglir melewti posisi x dn pd st t. Dengn demikin, bnykny momentum msuk mellui titik ujung x = pd st t dlh ρ(,t) v(,t) 2. Jik ρ(,t) v(,t) 2 bernili positif, mk momentum menglir msuk ke dlm S mellui sebelh kiri titik ujung x =. Demikin hlny bnykny momentum msuk mellui titik ujung x = b pd st t dlh ρ(b,t) v(b,t) 2. Penulisn tnd minus dix = b dibutuhkn kren ρ(b,t) v(b,t) 2 > 0 menunjukkn momentum menglir ke sebelh knn pd x = b. Oleh kren itu, lju perubhn momentum kibt dny momentum yng msuk ke dlm S mellui titik ujung x = dn ujung x = b pd st t dlh : ρ(,t)v(,t) 2 ρ(b,t)v(b,t) 2. (2.30) Sedngkn penmbhn tu pengurngn momentum mellui titik-titik dlm segmen S kn direpresentsikn oleh fungsi f. Fungsi f (x, t) dpt dipndng sebgi gy lur yng mempengruhi momentum. Nili positif f (x, t) > 0 mengindiksikn sejumlh momentum ditmbhkn ke dlm medium pd posisi x, sementr f (x, t) < 0 menunjukkn sejumlh momentum dikurngi. Dengn demikin, lju perubhn momentum kibt momentum ditmbhkn tu dikurngi di dlm
14 BAB 2. LANDASAN TEORI 20 segmen S pd st t diberikn oleh persmn f (x,t)dx. (2.31) Dengn mensubsitusi Persmn (2.30) dn (2.31) ke dlm Persmn (2.29) menghsilkn sutu persmn dengn bentuk integrl hukum kekekln momentum, yitu : d b ρ(x,t)v(x,t)dx = ρ(,t)v(,t) 2 ρ(b,t)v(b,t) 2 + dt f (x,t)dx. (2.32) Alterntif lin dri bentuk integrl hukum kekekln momentum dpt diturunkn ketik ρ(x,t)v(x,t) dn ρ(x,t)v(x,t) 2 disumsikn memiliki turunn pertm yng kontinu. Berdsrkn sumsi tersebut, Persmn (2.32) dpt dituliskn sebgi (ρ(x,t)v(x,t)) t dx = yng disederhnkn menjdi (ρ(x,t)v(x,t) 2 ) x dx + f (x,t)dx. ( (ρ(x,t)v(x,t))t + (ρ(x,t)v(x,t) 2 ) x f (x,t) ) dx = 0. Dn jik (ρ(x,t)v(x,t)) t, (ρ(x,t)v(x,t) 2 ) x, dn f kontinu, mk fkt bhw nili integrl di ts bernili nol untuk setip < b sepnjng medium mengimpliksikn bhw integrn (ρ(x,t)v(x,t)) t + (ρ(x,t)v(x,t) 2 ) x f hruslh bernili nol. Hl ini menghsilkn bentuk persmn diferensil hukum kekekln momen-
15 BAB 2. LANDASAN TEORI 21 tum, yitu : (ρ(x,t)v(x,t)) t + (ρ(x,t)v(x,t) 2 ) x = f. (2.33) Fungsi f bisny ditentukn tu dispesifiksi berdsrkn mslh fisis yng meltrbelkngi persmn tersebut. Dlm bnyk ksus nili f dlh nol. Sedngkn dlm ksus ini, fungsi f dlh fktor yng dpt menghilngkn momentum, seperti fktor gesekn. Fktor gesekn didefinisikn sebgi perbndingn ntr tegngn geser dinding, (τ w ) dengn energi kinetik per stun volume, (ρv 2 /2), yitu : f g = τ w ( ρv2 2 ) = 2τ w ρv 2, (2.34) dengn cttn f g hny melmbngkn sebgi notsi sj, bukn berrti sebgi turunn pertm. Kesetimbngn gy selm fluid menglir di dlm pip (Gmbr 2.2), yng terjdi ntr tegngn geser dinding dengn gy teknn kibt lirn fluid, dlh : { ( p p + ( dp )} πd 2 dx )dx 4 = τ w (πd)dx. (2.35) sehingg τ w = D 4 ( ) dp. (2.36) dx substitusi Persmn (2.36) ke dlm Persmn (2.34), sehingg diperoleh : dp dx = 2 f gρv 2 D. (2.37) Persmn (2.37) merupkn persmn Fnning, persmn tersebut dpt
16 BAB 2. LANDASAN TEORI 22 Gmbr 2.2: Kesetimbngn Gy Fluid Menglir di dlm Pip. dituliskn ke dlm bentuk fktor gesekn Drcy-Weisbch, dengn f g = 4 f g, sehingg menjdi : dp dx = f gρv 2 2D. (2.38) Dri Persmn (2.38) diperoleh bhw fungsi f dlm ksus ini dlh : f = f gρv 2 2D p x. (2.39) Dri Persmn kedn (2.12) dn Persmn keceptn sur (2.21) dpt diperoleh hubungn untuk mencri teknn, yitu p = c 2 ρ, sehingg Persmn (2.39) menjdi : f = f gρv 2 2D (c2 ρ). (2.40) x Dengn mensubstitusi Persmn (2.40) ke dlm Persmn (2.33), dn dengn menotsikn fluks mss dengn m(x, t) = ρ(x, t)v(x, t), kn diperoleh persmn khir, yitu : m t + ( m 2 ρ + c2 ρ ) = f gm m. (2.41) x 2Dρ
17 BAB 2. LANDASAN TEORI Persmn Energi Persmn energi diperoleh dengn menggunkn prinsip hukum kekekln energi. Hukum kekekln energi menytkn, lju perubhn energi di kontrol volum sm dengn jumlh pns dikurngi jumlh kerj pd kontrol volum tersebut. Pd ksus ini, disumsikn tidk d kerj yng dilkukn oleh sistem. Hukum kekekln energi dengn sumsi tersebut, pbil direpresentsikn dlm bentuk persmn, menjdi : jumlh l ju l ju l ju pns energi energi kumulsi yng msuk = kelur dri msuk ke dlm + energi dlm. (2.42) ke kontrol volum kontrol volum kontrol volum kontrol volum Prinsip penurunn lju perubhn energi per unit mss per stun lus menggunkn konsep yng sm dengn lju perubhn mss dn momentum. Dengn memperhtikn proses lirn energi dlm sutu segmen S di kontrol volum, smpi dengn b (Gmbr 2.1). Dengn demikin, lju perubhn totl energi per unit mss per stun lus dpt dihitung mellui turunn sebgi berikut : d b e(x, t)ρ(x, t)adx. (2.43) dt Selin itu, perhitungn lju perubhn totl energi per unit mss per stun
18 BAB 2. LANDASAN TEORI 24 lus dpt dijelskn dengn menggunkn fungsi fluks. Fungsi fluks energi per unit mss per stun lus fluid dinytkn oleh e(x, t)ρ(x, t)v(x, t)a dengn e(x, t) dlh energi per unit mss per stun lus. Notsi tersebut berrti bnykny e- nergi per unit mss per stun lus yng menglir melewti posisi x dn pd st t. Dlm pemberin tnd positif dn negtif menggunkn konsep yng sm dengn perhitungn lju perubhn mss dn momentum. Dengn demikin, bnykny energi per unit mss per stun lus msuk mellui titik ujung x = pd st t dlh e(, t)ρ(, t)v(, t)a sedngkn bnykny energi per unit mss per stun lus yng msuk mellui titik ujung x = b pd st t dlh e(b,t)ρ(b,t)v(b,t)a. Penulisn tnd minus untuk x = b dibutuhkn kren e(b, t)ρ(b, t)v(b, t)a > 0 menunjukkn energi per unit mss per stun lus menglir ke sebelh knn pd x = b. Oleh kren itu, lju perubhn energi per unit mss per stun lus kibt dny energi per unit mss per stun lus yng msuk ke dlm S mellui titik ujung x = dn ujung x = b pd st t dlh : e(, t)ρ(, t)v(, t)a e(b, t)ρ(b, t)v(b, t)a. (2.44) Sedngkn penmbhn tu pengurngn energi per unit mss per stun lus mellui titik-titik dlm segmen S direpresentsikn oleh fungsi q. Fungsi q(x, t) dpt dipndng sebgi pns yng dpt mempengruhi energi. Nili positif q(x, t) > 0 mengindiksikn sejumlh energi ditmbhkn ke dlm medium pd posisi x, sementr q(x, t) < 0 menunjukkn sejumlh energi dikurngi. Dengn demikin, lju perubhn energi kibt energi ditmbhkn tu dikurngi di dlm segmen S pd st t diberikn oleh persmn, q(x,t)dx. (2.45)
19 BAB 2. LANDASAN TEORI 25 Dengn mensubsitusi Persmn (2.44) dn (2.45) ke dlm Persmn (2.43) menghsilkn sutu persmn dengn bentuk integrl hukum kekekln energi, yitu : d b e(x,t)ρ(x,t)adx = e(,t)ρ(,t)v(,t)a e(b,t)ρ(b,t)v(b,t)a + dt q(x,t)dx. (2.46) Alterntif lin dri bentuk integrl hukum kekekln energi, ketik e(x, t)ρ(x, t)a dn e(x, t)ρ(x, t)v(x, t)a, disumsikn memiliki turunn pertm yng kontinu. Berdsrkn sumsi tersebut, Persmn (2.46) dpt dituliskn sebgi berikut : (e(x,t)ρ(x,t)) t Adx = (e(x,t)ρ(x,t)v(x,t)) x Adx + q(x,t)dx. yng disederhnkn menjdi ( (e(x,t)ρ(x,t))t A + (e(x,t)ρ(x,t)v(x,t)) x A q(x,t) ) dx = 0. Dn jik (e(x,t)ρ(x,t)) t A, (e(x,t)ρ(x,t)v(x,t)) x A dn q(x,t) kontinu, mk fkt nili integrl di ts bernili nol untuk setip < b sepnjng medium mengimpliksikn bhw integrn (e(x,t)ρ(x,t)) t A + (e(x,t)ρ(x,t)v(x,t)) x A q(x,t) hruslh bernili nol. Hl ini menghsilkn bentuk persmn diferensil hukum kekekln energi, yitu : (e(x,t)ρ(x,t)) t A + (e(x,t)ρ(x,t)v(x,t)) x A = q. (2.47) Fungsi q dlm ksus ini dlh klor per unit mss per unit lus yng
20 BAB 2. LANDASAN TEORI 26 diberikn pd sistem, yitu qρa. Dengn mengsumsikn tidk d efek nuklir, listrik, mgnetik, dn mengbikn energi potensil dn kinetik, mk energi yng terjdi pd sistem yitu hny energi pns dn energi yng menyebbkn kehilngn teknn sehingg diperoleh persmn khir, untuk e t (x,t) = C v T dn e x (x,t) = C v T + p ρ, yitu : [ ρa(cv T) ] + [ ( ρva C v T + p )] = qρa. (2.48) t x ρ 2.10 Newton Rphson Dlm menyelesikn sutu persmn berbentuk g(x) = h(x), lngkh pertm yng hrus dilkukn dlh mengubh persmn tersebut menjdi bentuk g(x) h(x) = 0. Sebut f (x) = g(x) h(x). Dri bentuk terkhir, terliht bhw proses pencrin penyelesin persmn g(x) = h(x) dlh ekivlen dengn proses pencrin kr dri fungsi f (x). Metode Newton Rphson merupkn slh stu metode numerik yng digunkn untuk mencri kr dri sutu fungsi. Pd metode Newton Rphson, dibutuhkn stu tebkn wl. Mislkn f (x) fungsi kontinu dn x 0 merupkn tebkn wl terhdp kr dri fungsi tersebut. Prinsip dri metode Newton Rphson dlh membut gris singgung terhdp fungsi f (x) di titik (x 0, f (x 0 )). Apbil f (x 0 ) 0 mk gris singgung tersebut kn memotong sumbu-x, sebut titik potongny dlh x 1, sehingg kn diperoleh x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 ). Ilustrsi geometri dri metode ini, dpt diliht pd Gmbr 2.3. Selnjutny proses yng sm kn dilkukn dengn tebkn wl yng bru yitu x 1. Apbil proses ini diteruskn, mk kn diperoleh brisn x 0, x 1, x 2,..., x j, sehingg kn
21 BAB 2. LANDASAN TEORI 27 diperoleh persmn umum yitu : dengn j = 0,1,2,... x j+1 = x j f (x j) f (x j ), (2.49) Gmbr 2.3: Itersi Newton Rphson dlm Menentukn Akr Hubungn Lju Alir Gs (Q) dn Fluks Mss Gs (m) Fluks mss dlh mss yng menglir tip unit re per stun wktu. Apbil direpresentsikn ke dlm bentuk persmn, m = ρv, (2.50)
22 BAB 2. LANDASAN TEORI 28 dengn v dlh keceptn gs. Adpun hubungn ntr keceptn gs dn lju lir gs dlh dlm persmn berikut, v = QB g A, (2.51) dengn B g dlh fktor formsi gs, yitu sutu konstnt yng membndingkn ntr volume gs dlm kedn ktul dengn volum gs dlm kedn stndr. Adpun B g dlm bentuk persmn, yitu : B g = Volum gs pd P dn T ktul Volum gs pd P dn T stndr (14.7 psi,520 0 R) = ZT P. Apbil persmn mencri B g disubstitusikn ke dlm Persmn (2.51), mk menjdi, v = QZT AP. (2.52) Dri persmn mencri mss jenis (2.15), yitu ρ = M gp ZRT dn Persmn (2.52) pbil disubstitusikn ke dlm persmn (2.50), mk kn diperoleh persmn hubungn ntr fluks mss dn lju lir yitu, m = QM g RA. (2.53)
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
ω = kecepatan sudut poros engkol
Kerj Untuk Mengtsi Gesekn 1. Pomp Tnp Bejn Udr Telh dijelskn pd bgin muk bhw pd wl dn khir lngkh hisp mupun lngkh tekn, tidk terjdi kerugin hed kibt gesekn. Kerugin hed mksimum hny terjdi pd pertenghn
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
1. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II)
MATA KULIAH KODE MK Dosen : FISIKA DASAR II : EL-22 : Dr. Budi Mulynti, MSi Pertemun ke-6 CAKUPAN MATERI. HUKUM SAMBUNGAN KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF I) 2. HUKUM CABANG KIRCHOFF (HUKUM KIRCHOFF II) SUMBER-SUMBER:.
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
PRINSIP PRINSIP PEMOD O ELA L N F I F S I IS
PRINSIP PRINSIP PEMODELAN FISIS Tig fse dlm menci model mtemtik Menyusun mslh secr terstruktur Meformulsikn ersmn ersmn dsr Membentuk model rung-kedn Pemodeln Hed Bo Mesin Kerts Mesin Kerts Digrm hed bo
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Aplikasi turunan dan integral dalam persoalan ekonomi
Apliksi turunn dn integrl dlm persoln ekonomi Fungsi Produksi ( ) Fungsi q f K, L menghubungkn input (kpitl dn teng kerj) dengn output. Kren tidk dibtsi oleh spesifiksi tertentu, mk teori ini dpt dipliksikn
STATIKA (Reaksi Perletakan)
STTIK (Reksi erletkn) Meknik Rekys I Norm uspit, ST.MT. Tumpun Tumpun merupkn tempt perletkn konstruksi tu dukungn bgi konstruksi dlm meneruskn gy gyyng bekerj ke pondsi Dlm ilmu Meknik Rekys dikenl 3
METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
Medan Magnet. Tahun 1820 Oersted menemukan bahwa arus listrik yang mengalir pada sebuah penghantar dapat menghasilkan
MEDAN MAGNET Gejl kemgnetn mirip dengn p yng terjdi pd gejl kelistrikn Mislny : Sutu besi tu bj yng dpt ditrik oleh mgnet btngn Terjdiny pol gris-gris serbuk besi jik didektkn pd mgnet btngn nterksi yng
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
Hubungan integral garis yang umum antara ke dua kuantitas tersebut,
6 GRADIN PONSIAL Grdien ptensil dlh sutu metde ng sederhn untuk mencri intensits medn listrik dri ptensil. Hubungn integrl gris ng umum ntr ke du kuntits tersebut,. dl Dengn mengmbil N sebgi vektr stun
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
KINEMATIKA Kelas XI. Terdiri dari sub bab : 1. persamaan gerak 2. Gerak Parabola 3. Gerak Melingkar
Terdiri dri sub bb : 1. persmn gerk. Gerk Prbol 3. Gerk Melingkr KINEMATIKA Kels XI 1. PERSAMAAN GERAK Membhs tentng posisi, perpindhn, keceptn dn perceptn dengn menggunkn vector stun. Pembhnsn meliputi
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
KUIS I PROSES TRANSFER Hari, tanggal : Rabu, 8 November 2006 Waktu : 120 menit Sifat : Tabel Terbuka
KUIS I POSES ANSFE Hri, tnggl : bu, 8 November 2006 Wktu : 120 menit Sift : bel erbuk 1. entukn distribusi keceptn fluid yng menglir mellui pip silinder, jik fluid yng digunkn dlh fluid dengn model Ellis,
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Minggu ke 6 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001,, 2 + 1/10 n maka :
Minggu ke 6 Modul Mtemtik LIMIT FUNGSI LIMITS OF FINCTIONS). BRISN SEQUENCES) VS. LIMIT FUNGSI LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh : Sequence : fn) = + / n,,,,,,,,, + / n mk : Limit dri fungsi f) =, dimn vribel
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN ANALISIS
Dri Gmbr 4.7, Gmbr 4.8, dn Gmbr 4.9 di ts dpt diliht bhw hybrid film yng terbentuk menglmi retkn (crck). Hl ini sm seperti yng terjdi pd hybrid film presintered dn hybrid film dengn 5% wt PDMS terhdp TEOS
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Two-Stage Nested Design
Mteri #13 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN Two-Stge Nested Design Nested design dlh slh stu ksus dri desin multi fktor dimn level dri slh stu fktor (misl: fktor B) serup tpi tidk identik untuk setip level yng
Deret Fourier. (Pertemuan X) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 47 Mtemtik III Deret Fourier (Pertemun X) Dr. AZ Jurusn Teknik Sipil Fkults Teknik Universits Brwijy Pendhulun Deret Fourier ditemukn oleh ilmun Perncis, Jen Bptiste Joseph Fourier (768-83) yng menytkn
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan
APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn PENERAPAN INTEGRAL Indiktor 1 Indiktor 9 Lus derh di bwh kurv berdsr prinsip Riemn Volume bend putr, jik kurv diputr mengelilingi
PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2010
PNYLSAIAN SOAL UJIAN TNGAH SMSTR SOAL A Pengolhn dt nnul series curh hujn hrin mximum, H mm, di sutu stsiun ARR menunjukkn bhw sebrn probbilits sutu besrn curh hujn, p H (h), dpt dinytkn dengn sutu ungsi
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
11. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
11. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (, ) x 1 x 1 x 2 (b, ) b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 ) b. Persmn
Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Drpublic BAB 8 Fungsi Logritm turl, Eksponensil, Hiperbolik 8.. Fungsi Logrithm turl. Definisi. Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e. Bilngn
FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
VII. FUNGSI PERMINTAAN TAMAN WISATA TIRTA SANITA Fungsi Permintaan Taman Wisata Tirta Sanita
VII. FUNGSI PERMINTAAN TAMAN WISATA TIRTA SANITA 7.1. Fungsi Permintn Tmn Wist Tirt Snit Model persmn fungsi permintn di bwh ini sudh menglmi pemilihn independent vrible, untuk menghindri mslh multikolinerits.
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan
APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn Integrl digunkn pd design Menr Petrons di Kul lumpur, untuk perhitungn kekutn menr. Sdne Oper House di design berdsrkn irisn-irisn
Sistem pengukuran. Bab III SISTEM PENGUKURAN. III.1. Karakteristik Statis. Karakteristik instrument pengukuran. Akurasi (ketelitian)
Sistem pengukurn Bb III SISTEM PENGUKURAN III.1. Krkteristik Sttis III.2. Krkteristik Dinmis III.3. Prinsip Dsr Pengukurn Sistem pengukurn merupkn bgin pertm dlm sutu sistem pengendlin Jik input sistem
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Bab 3 Terapan Integral Ganda
Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Bb 3 Terpn Integrl Gnd 3. Integrl Gnd dlm koordint Krtesis dn Polr Koordint Krtesis Koordint Polr Ilustrsi b g f ={,, } Mss M, da, dd r ={,, r )},, M r da r rdrd sin
MODEL SIR (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVERY) UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKIT PADA SUATU POPULASI TERTUTUP
MODEL IR (UCEPTIBLE, INFECTION, RECOVERY) UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKIT PADA UATU POPULAI TERTUTUP Dosen Pengmpu : Dr Lin Aryti DIUUN OLEH: Nm : Muh Zki Riynto Nim : 2/56792/PA/8944 Progrm tudi : Mtemtik
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR
GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
MODEL MATEMATIKA SIR
MODEL MATEMATKA R (UCEPTBLE, NFECTON, RECOVERY UNTUK PENYEBARAN WABAH PENYAKT PADA UATU POPULA TERTUTUP Muhmd Zki Riynto NM: 2/56792/PA/8944 E-mil: zki@milugmcid http://zkimthwebid Dosen Pembimbing: Dr
AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA
JMP : Volume Nomor Oktober 9 AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA Eddy Mrynto Fkults Sins dn Teknik Universits Jenderl Soedirmn Purwokerto Indonesi emil: eddy_mrynto@unsoed.c.id Abstrct. A deterministic
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester II, 6/7 Februri 7 Kulih yng Llu 8. Bentuk Tk Tentu Tipe / Menghitung limit bentuk tk tentu / dengn menggunkn Aturn l Hopitl 8. Bentuk Tk Tentu Linny Menghitung bentuk
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Bab 3 Terapan Integral Ganda
Surdi Siregr Metode Mtemtik Astronomi Bb Terpn Integrl Gnd. Integrl Gnd dlm koordint Krtesis dn Polr Koordint Krtesis Koordint Polr Ilustrsi b g f ={,, } Mss M, da, Momen-, M dd Momen- M, d d dd r ={,,
17. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
17. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (0, ) 0 x 1 x 1 0 x 2 (b, 0) 0 b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 )
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()