Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi

Transkripsi

1 pendekatan dengan kasus Andi Kresna Jaya Jurusan Matematika September 22, 2014

2 Outline 1 Review 2 Teorema Limit Pusat 3 Teorema Limit Distribusi Back

5 Sasaran pembelajaran: Kemampuan mahasiswa menjelaskan konsep limit distribusi 1 Kemampuan memahami teorema limit pusat 2 Ketepatan dalam penjelasan limit distribusi untuk penaksir Metode: Kuliah dan Diskusi Text book: Hogg dan Craig, Introduction to Mathematical Statistics; Casella dan Berger, Statistical Inference

6 Opening It is a capital mistake to theorize before one has data. Insensibly one begins to twist facts to suit theories, instead of theories to suit facts. - Sherlock Holmes, A Scandal in Bohemia Sir Arthur Conan Doyle Planning a statistical analysis after you ve collected the data is like developing plans for a structure after you ve purchased the materials.

7 Opening It is a capital mistake to theorize before one has data. Insensibly one begins to twist facts to suit theories, instead of theories to suit facts. - Sherlock Holmes, A Scandal in Bohemia Sir Arthur Conan Doyle Planning a statistical analysis after you ve collected the data is like developing plans for a structure after you ve purchased the materials.

8 Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertama adalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah Hukum Bilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari pada mata kuliah tingkat lanjut) Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah (atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas dan identik adalah berdistribusi (hampiran) normal. Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasus sederhana. Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp { 0, 45 x = 1 f (x) = 0, 55 x = 2 dan nol untuk yang lain. Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi

13 Untuk n = 2, 3, 4, bentuk grafik fmp untuk X adalah:

14 Untuk n = 40, bentuk grafik fmp untuk X adalah: Bentuk kurva menyerupai kurva normal.

15 Pada materi distribusi untuk X, mean sampel distribusi N(µ, θ 2 ), bentuk peubah acak n( X µ) Z = σ untuk sembarang bilangan bulat positif n, akan berdistribusi N(0, 1). Jika n maka Z p Z 0, dimana Z 0 N(0, 1) Walaupun kondisi X bukan dari distribusi Normal, bentuk n( X µ) Y = σ akan mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean 0 dan variansi 1.

18 teorema limit pusat Teorema 1 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi peluang yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka peubah acak Y n = ( X i nµ)/ nσ = n( X µ)/σ konvergen dalam distribusi ke peubah acak yang berdistribusi N(0, 1). Misalkan X adalah mean sampel acak yang berukuran n = 75 dari distribusi dengan fkp { 1 0 < x < 1 f (x) = 0 yang lain Aproksimasi nilai P(0.45 < X < 0.55)

19 teorema limit pusat Teorema 1 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi peluang yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka peubah acak Y n = ( X i nµ)/ nσ = n( X µ)/σ konvergen dalam distribusi ke peubah acak yang berdistribusi N(0, 1). Misalkan X adalah mean sampel acak yang berukuran n = 75 dari distribusi dengan fkp { 1 0 < x < 1 f (x) = 0 yang lain Aproksimasi nilai P(0.45 < X < 0.55)

20 contoh 1 Diketahui f (x) = 1, 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain. maka µ = σ 2 = xdx = 1 2 (x 1/2) 2 dx = 1 12 Maka aproksimasi nilai P(0.45 < X < 0.55) adalah P(0.45 < X < 0.55) = P ( n( X µ) a < σ = P( 1.5 < Z < 1.5) = ) < b catatan a = n(0.45 µ) σ dan b = n(0.55 µ) σ

23 Misalkan X 1, X 2,, X n menyatakan sampel acak dari distribusi b(1, p). Misalkan Y n = X 1 + X X n, maka Y n b(n, p). Untuk menghitung peluang Y n akan lebih sederhana menggunakan fakta bahwa (Y n np) np(1 p) N(0, 1) dibandingkan dengan melakukan hampiran peluang dari pendekatan Poisson. Kerap kali, para statiskawan percaya bahwa Y n mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean np dan variansi np(1 p). Perhatikan untuk n = 10 (ini cukup kecil untuk menyatakan bahwa peluang untuk Y n dapat diaproksimasi dengan distribusi Poisson) dan p = 0.5. Perbandingan b(10, 1/2) dengan N(5, 5/2) mempunyai luasan yang (nyaris) sama.

26 Grafik fmp b(10, 1/2) dengan fkp N(5, 5/2)

27 contoh 2 Misalkan X 1, X 2,, X n menyatakan sampel acak berukuran n = 100 dari distribusi b(1, 1/2). Misalkan Y = X 1 + X X n, maka Y n b(n, p). Tentukan peluang P(Y = 48, 49, 50, 51, 52) Perhatikan bahwa dalam distribusi binomial untuk Y (Y b(100, 1/2)), maka nilai diskrit {Y = 48, 49, 50, 51, 52} dengan selang (47, 5; 52, 5) pada distribusi N(50, 25) adalah ekuivalen. P(Y = 48, 49, 50, 51, 52) = 52 y=48 P(47, 5 < Y < 52, 5) = 0, 3829 ( 100 ) y (1/2) 100 = 0, 3827 dikerjakan dengan menggunakan distribusi N(0, 1) P(Y = 48, 49, 50, 51, 52) = P(47, 5 < Y < 52, 5) = P( 0.5 < Z < 0.5) =

31 teorema dan bukti Teorema 2 Misalkan F n (u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak U n yang p bergantung pada n. Jika U n c, di mana c 0, maka peubah acak U n /c p 1. Untuk sembarang ε > 0 maka ( ) U n P c 1 < ε maka lim P n ( ) 1 = P c U n c < ε = P ( U n c < c ε) ( ) U n c 1 < ε = lim P ( U n c < c ε). n

34 Karena untuk sembarang ɛ > 0, maka lim n P ( U n c < ɛ) = 1, maka ( ) lim P U n n c 1 < ε = 1. U n c p 1.

35 Karena untuk sembarang ɛ > 0, maka lim n P ( U n c < ɛ) = 1, maka ( ) lim P U n n c 1 < ε = 1. U n c p 1.

36 Teorema 3 Misalkan F n (u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak U n yang p bergantung pada n. Jika U n c, di mana c 0 dan P(U n < 0) = 0 n, maka peubah acak p U n c. Perhatikan bahwa bentuk lim n P( U n c ɛ) = 0, dan (U n c) = ( U n c)( U n + c). maka P( U n c ɛ) = P( ( U n c)( U n + c) ɛ) ( = P U n ) ɛ c ( U n + c) ( P U n c ɛ ) (. c)

37 Perhatikan bahwa P n berlaku 0 lim n P Sehingga Un c ( U n ) c ɛ ( 0. Untuk c) ( U n c ɛ ( c) p 1. ) lim n P( U n c ɛ) = 0.

38 Teorema 4 Misalkan F n (u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak U n yang bergantung pada n. Jika limit distribusi U n adalah F (u) dan p misalkan terdapat peubah acak V n 1,maka limit distribusi dari peubah acak W n = U n /V n adalah F (w). Berikut adalah sebuah penerapan 4 teorema di atas, untuk X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi Bernoulli, b(1, π) dan Y n = X i. Misalkan Y n b(n, π) untuk 0 < π < 1, maka dengan teorema 1 diperoleh U n = Y n nπ N(0, 1). nπ(1 π) Perhatikan pula bahwa Y n /n p π dan (1 Y n /n) p (1 π), maka ( ) ( Yn 1 Y ) n p π(1 π). n n

41 Maka dengan teorema 2 diperoleh (Y n /n)(1 Y n /n) π(1 π) p 1. Selanjutnya dengan memakai teorema 2, misalkan V n p 1. ( (Yn /n)(1 Y n /n) V n = π(1 π) ) 1/2 Jika peubah acak W n = U n /V n, maka dengan teorema 4, diperoleh bahwa W n N(0, 1).

45 contoh 3 Misalkan Y b(n, p) Tentukan nilai peluang bahwa n Y n Y np ( 1 Y n terletak di selang ( 2, 1), jika n. Untuk menjawab ini dapat dimanfaatkan bentuk W n = U n /V n = Sehingga untuk n maka n Y n Y np ( 1 Y n n Y n ) Y np ( 1 Y n ) N(0, 1), ).

48 P 2 < n Y n Y np ( 1 Y n ) < 1 = P( 2 < Z < 1) = Φ(1) Φ( 2) = Φ(1) + Φ(2) 1 = 0, , = 0, 8186.

49 Closing Statistics really is like rocket science; it isn t easy, even to us who have studied it for a long time. Anybody who think it s easy surely lacks a deep enough knowledge to understand why it isn t! If your scientific integrity matters, and statistics is a mystery to you, then you need expert help. Find a statistician in your company or at a nearby university, and talk to her face-to-face if possible. It may well cost money. It s worth it. Russ Lenth