KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY

Transkripsi

1 KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY Joko Sungkono* Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi almost surely disertai suatu contoh. Metode penelitian yang digunakan studi literatur dengan bahan yang diambil dari referensi yang mendukung serta membahas teori yang ada pada pembahasan. Berdasarkan hasil pembahasan konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas. Jika variabel random konvergen secara almost surely pasti juga konvergen dalam probabilitas, tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya. Melalui suatu contoh ditunjukkan bahwa terdapat variabel random yang konvergen dalam probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely. Kata kunci: konvergensi, probabilitas, almost surely. PENDAHULUAN Pada bidang statistik, variabel random mempunyai peranan yang sangat penting untuk menganalisa permasalahan dalam kehidupan seharihari agar dapat diselesaikan berdasarkan kaidah statistik. Variabel random merupakan fungsi bernilai real yang memetakan seluruh anggota ruang sampel. Sekumpulan variabel random dapat membentuk barisan bilangan real yang disebut barisan variabel random. Konvergensi barisan variabel random dapat dikaji sebagaimana konvergensi barisan bilangan real. Konvergensi barisan variabel random dibedakan dalam konvergensi dalam distribusi, konvergensi dalam probabilitas (konvergen secara stokastik) dan konvergensi almost surely. Dari ketiga konvergensi tersebut terdapat hubungan satu sama lain. Konvergensi dalam probabilitas mempunyai kemiripan sifat dengan konvergensi almost surely. Pada tulisan ini akan dikaji kekuatan konvergensi dalam probabilitas dengan konvergensi almost surely serta memberikan suatu contoh yang menerangkan kekuatan dua konvergensi tersebut. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan pada tulisan ini adalah studi literatur yaitu dengan mengkaji teoriteori dalam referensi yang mendukung ke arah tujuan penulisan serta memberikan contoh yang sesuai. Beberapa teori penting dikaji dalam pembahasan. DASAR TEORI Beberapa definisi dan teori yang berkaitan dengan konvergensi diambil dari beberapa sumber dan diberikan dalam bentuk kutipan. Definisi variabel random diambil dari Bain dan Engelhardt (1992) Definisi 1. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel S ke dalam bilangan real, dengan e merupakan hasil yan mungkin dalam S. * Pendidikan Matematika FKIP UNWiDHA Klaten 56 Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013

2 Definisi limit barisan diambil dari Bartle and Sherbert (2000) Definisi 2. (Limit Barisan). Diberikan barisan bilangan real. Suatu bilangan real X dikatakan limit barisan jika untuk setiap terdapat sedemikian untuk semua dengan maka berlaku Definisi tentang konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi almost surely berikut dikutip dari Serfling (1980). Definisi 3. (Konvergensi Dalam Probabilitas). Diberikan dan adalah variabel random pada ruang probabilitas. dikatakan konvergen dalam probabilitas ke jika untuk sebarang Teorema 1. (Ketaksamaan Chebychev) Diberikan variabel random dengan mean dan variansi. Untuk sebarang maka berlaku PEMBAHASAN Teorema berikut memberikan gambaran bahwa kekuatan konvergensi almost surely lebih besar dari pada konvergensi dalam probabilitas. Teorema 2. Jika maka. Bukti Diketahui. Akan dibuktikan yang biasa ditulis sebagai Definisi 4. (Konvergensi Almost Surely). Diberikan dan adalah variabel random pada ruang probabilitas. dikatakan konvergen almost surely ke jika Karena, menurut definisi. Menurut Serfling (1980) untuk sebarang ekuivalen dengan Karena dan maka, yang biasa ditulis sebagai Menurut Serfling (1980), dengan menggunakan definisi, maka untuk sebarang suatu kondisi ekuivalensi dari konvergensi almost surely diberikan sebagai berikut Lebih umum Jadi. Ketaksamaan Chebychev berikut diambil dari Bain and Engelhardt (1992). Magistra No. 83 Th. XXV Maret

3 Sebagian besar buku memberikan contoh untuk penggunaan teorema ini dengan variabel random yang konvergen secara probabilitas sekaligus konvergen almost surely. Berdasarkan teorema ini harusnya terdapat suatu contoh variabel random yang konvergen secara probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely. Sangat sulit contoh variabel random yang konvergen secara probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely. Contoh 1 memberikan gambaran tentang variabel random yang konvergen secara probabilitas sekaligus konvergen almost surely, sedangkan contoh 2 menerengkan variabel random yang konvergen secara probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely. Contoh 1. (Hukum Kuat Bilangan Besar (Kolmogorov)). Misalkan barisan variabel random yang terdistribusi secara identik dan independen dengan, maka. Selanjutnya akan ditunjukkan. Menurut ketaksamaan Chebychev untuk sebarang akan. Didefinisikan, maka atau dapat dikatakan konvergen ke 0. Lebih lanjut konvergen ke 0. Misalkan didefinisikan kejadian Billingsley (1986),, maka menurut Pembahasan : Sebelumnya akan ditunjukkan kemudian dilanjutkan Misalkan maka. Menurut ketaksamaan Chebychev untuk sebarang akan Karena maka ada konvergen, yang akan mengakibatkan,. Atau Menurut sifat probabilitas Perhatikan bahwa Karena nilai probabilitas maksimal adalah 1, maka Jadi 58 Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013

4 dengan operasi gabungan terakhir merupakan gabungan atas bilangan real Karena dan saling asing, maka menurut sifat probabilitas akan Karena maka secara langsung dapat. Jadi Contoh 2. Misalkan variabel random yang saling independen dengan distribusi dan. Akan ditunjukkan bahwa tetapi tidak memenuhi. Pembahasan : Diambil sebarang bahwa untuk maka = = Perhatikan juga bahwa untuk, maka. Perhatikan = 0 Lebih lanjut. Diperoleh tidak konvergen almost surely ke 0. Jadi tetapi tidak memenuhi. Diperoleh =. Contoh 2 ini memberikan penjelasan bahwa konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas. atau dapat dikatakan Jadi konvergen dalam probabilitas ke 0. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa tidak konvergen almost surely ke 0. Perhatikan bahwa Magistra No. 83 Th. XXV Maret

5 SIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas. Hal ini diberikan dalam bentuk teorema 2. Jika variabel random konvergen secara almost surely pasti juga konvergen dalam probabilitas, tetapi jika variabel randon konvergen dalam probabilitas belum tentu konvergen almost surely. Melalui suatu contoh ditunjukkan bahwa terdapat variabel random yang konvergen dalam probabilitas tetapi tidak konvergen almost surely, lebih jelas terlihat bahwa konvergensi almost surely lebih kuat dari pada konvergensi dalam probabilitas. DAFTAR PUSTAKA Bain, L. J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to probability and mathematical statistics, 2 ed., Duxbury Press, California. Bartle, R.G and Sherbert, D.R, 2000, Intoduction to Real Analysis, 3ed, John Wiley and Sons, Inc., USA Billingsley, P., 1986, Probability and Measure, 2ed., John Wiley and Sons, Inc., New York Serfling, R. J., 1980, Approximation theorems of mathematical statistics, John Wiley and Sons, New York. 60 Magistra No. 83 Th. XXV Maret 2013