BAB 1 PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan. Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi Normal memodelkan fenomena kuantitatif padai ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor Pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata - rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. Oleh karena itu saya memilih judul ini, yakni KajianTentang Pendekatan Distribusi Binomial

2 2 kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. Oleh karena itu saya memilih judul ini, yakni KajianTentang Pendekatan Distribusi Binomial Berdasarkan Distribusi Normal. 1.2 Permasalahan Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah bagaimana kajian pendekatan distribusi Normal oleh distribusi binomial, dan sejauh mana simpangan yang ditimbulkan akibat dari dilakukannya pendekatan berdasarkan distribusi normal, jika dibandingkan dengan hasil perhitungan dari distribusi aslinya (distribusi binomial) yang dapat dikaji melalui pengaplikasian software Ms Excel. 1.3 Tinjauan Pustaka Distribusi Binomial Sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan B, dengan P(A) = p = peluang terjadinya peristiwa A. jika pada tiap eksperimen itu p= P(A) tetap harganya, maka percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen itu dinamakan percobaan Bernoulli. Jika kita lakukan percobaan Bernoulli sebanyak N kali secara independen, X diantaranya p = P(A) untuk tiap percobaan, jadi 1-p = q, maka peluang terjadinya peristiwa A sebanyak X = x kali diantara N dihitung oleh: ( )= ( = )= (1 ) Dengan x = 0,1,2,,N 0 < p < 1 =!!( )! Syarat dari distribusi binomial adalah: 1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat.

3 3 Contohnya suatu percobaan melambungkan koin sebanyak 2 kali percobaan, tidak mungkin 2 kali percobaan. 2. Setiap percobaan mempunyai dua outcome (hasil). Contoh : sukses/gagal, setuju/tidak 3. Peluang sukses sama setiap percobaan. Ciri-ciri distribusi binomial adalah: 1. Tiap percobaan dirumuskan dengan ruang sampel { S, G }. Dengan kata lain, tiap percobaan hanya memiliki 2 hasil : sukses (S) dan gagal (G). 2. Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan P. 3. Setiap Percobaan harus bersifat independen. 4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu. Distribusi Normal Satu diantara variable acak kontinu adalah Distribusi Normal ataus sering pula disebut distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan paling banyak digunakan. Jika variable acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan: ( ) = 1 2 Keterangan: = nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal =3,1416 = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal =2,7183 = parameter, ternyata merupakan rata-rata untuk distribusi = parameter, merpakan simpangan baku untuk distribusi

4 4 Dan nilai x mempunyai batas - <x< maka dikatakan bahwa variable acak X berdistribusi normal. Variable acak diskrit X menentukan distribusi peluang apabila untuk nilai-nilai 1, 2, terdapat peluang p ( = ) sehingga : ( ) = 1 p(x) disebut fungsi peluang untuk variable acak X pada harga X = x. untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P(a < X < b) digunakan rumus : 1 2 Untuk penggunaan praktis, untunglah rumus-rumus diatas tak perlu dirisaukan, karena sebuah daftar telah disusun untuk keperluan dimaksud. Daftar itu ialah daftar distribusi normal standar atau normal baku yang diberikan dalam lampiran Daftar F. Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan simpangan baku =1. Fungsi densitasnya berbentuk : ( ) = 1 2 untuk z dalam daerah - <z< dengan demikian kita memperoleh rumus distribusi normal baku yang sudah ditransformasikan seperti berikut : = Keterangan: Z = normal standard X = variabel random = rata - rata = simpangan baku

5 5 Pendekatan Distribusi Normal Berdasarkan Distribusi Binomial Sebagaimana distribusi poisson sebagai penghampir distribusi binomial, maka distribusi binomial dapat juga dihampiri dengan distribusi normal. Penghampiran ini atas dasar teori asimtotik, yaitu dengan mengandaikan banyak pengamatan n dan p tetap. Atas dasar perandaian ini maka : ( ) = ( = ) =!!( )! (1 ) Pendekatan distribusi normal ini dapat digunakan untuk pendekatan distribusi binomial, dengan memenuhi beberapa syarat, yaitu : a. Jumlah pengamatan relatif besar (n > 30), dan nilai dari np > 5 dan n(1-p) > 5, dimana n = jumlah data dan p adalah probabilitas sukses. b. Apabila n sangat besar dan p sangat kecil ( seperti np 5 dan n(1-p) 5, maka distribusi binomial tidak dapat di dekati oleh distribusi normal melainkan dapat didekati oleh distribusi Poisson. c. Jika kasus distribusi Normal memberikan pendekatan nilai probabilitas yang baik terhadap distribusi binomial dimana n besar dan p mendekati 0,5 bahkan bila n mengecil tetapi p tidak terlalu jauh dari 0,5 masih diperoleh pendekatan yang cukup baik seperti di bawah ini : P( a X b) P a np np(1 p) Z b np np(1 p) Untuk n besar ( n 50) dan p tidak mendekati 0 atau 1

6 6 P( a X a 0.5 np b 0.5 np b) P Z np(1 p) np(1 p) Untuk n sedang ( 20 n < 50). Jika p kecil ( mendekati 0) atau besar ( mendekati 1), gunakan pendekatan distribusi Poisson. d. Memenuhi syarat binomial yaitu mempunyai peristiwa hanya 2 (dua), antara percobaan bersifat independent, probabilitas sukses dan gagal sama untuk semua percobaan dan data merupakan hasil perhitungan. e. Rumus nilai normal untuk mendekati binomial adalah: = f. Faktor korelasi diperlukan dari binomial yang acak diskrit menjadi normal yang kontinu dengan menambah atau mengurang 0,5 terhadap nilai X. 1.4 Tujuan Penelitian 1. Untuk mengetahui proses pendekatan distribusil Binomoal berdasarkan distribusi Normal. 2. Untuk menghitung Pendekatan distribusi Binomial berdasarkan distribusi Normal dengan menggunakan Software Ms.Excel. 1.5 Manfaat Penelitian Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Bila percobaan dilakukan n kali dengan n maka akan sedikit sulit menghitungnya dengan

7 7 distribusi binomial, bentuk distribusi normal akan membantu dalam analisis yang lebih lanjut. 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah : - Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai pendekatan Distribusi Binomial dengan menggunakan Distribusi Normal. - Memaparkan sifat Distribusi Biomial dalam kajian pendekatan Distribusi Binomial dengan menggunakan Distribusi Normal. - Memaparkan teorema-teorema pendukung dalam kajian pendekatan Distribusi Binomial dengan menggunakan Distribusi Normal. - Membuat contoh kasus dalam kajian pendekatan Distribusi Binomial dengan menggunakan Distribusi Normal. - Menujukkan Cara penyelesaian Pendekatan Distribusi Binomial Berdasarkan Distribusi Normal dengan software MS excel. - Penarikan kesimpulan dan saran. 1.7 Sistematika Penulisan Penulisan tugas akhir ini disusun secara sistematis, yang di dalamnya dikemukakan bab sebagai berikut: Bab 1 : PENDAHULUAN Dalam bab ini diuraikan latar belakang masalah, perumusan masalah, tinjauan pustaka, maksud dan tujuan, manfaat penelitian, metode penelitian yang digunakan dan bagaimana sisitematika penulisan.

8 8 Bab 2 : LANDASAN TEORI Bab ini menguraikan tentang segala sesuatu yang menyangkut pada penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai dengan judul yang diuraikan. Bab 3 : PEMBAHASAN Bab ini menjelaskan tentang pembahasan terhadap data yang diperoleh. Bab 4 : IMPLEMENTASI SISTEM Bab ini menjelaskan tentang program ataupun software yang dipakai sebagai analisa terhadap data yang diperoleh. Bab 5 : KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini memberikan beberapa kesimpulan dan saran sesuai dengan apa yang telah disajikan dalam pembahasan sebelumnya.