Sampling dengan Simulasi Komputer
|
|
- Teguh Kurniawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul Sampling dengan Simulasi Komputer PENDAHULUAN Sutawanir Darwis M etode statistika merupakan alat untuk menyelesaikan masalah apabila solusi analitik tidak mungkin diperoleh. Dengan metode statistika diperoleh solusi parsial. Survei yang didasarkan atas sampel dinamakan survei sampel. Survei sensus merupakan hal khusus dari sampel survei; sensus merupakan survei berdasarkan 00% sampel. Survei geologi dirancang untuk mendeteksi cadangan mineral dan bahan tambang lainnya. Survei tanah dirancang untuk memetakan jenis tanah di suatu lokasi. Misalkan hendak diteliti persentase mahasiswa yang setuju dengan sistem ujian semester terhadap sistem ujian dua semester. Suatu solusi yang mungkin adalah menanyai semua mahasiswa pada universitas yang bersangkutan. Persentase mahasiswa yang setuju dapat dihitung dan permasalahan telah terpecahkan. Tetapi, misalkan terdapat mahasiswa, dan fasilitas hanya memungkinkan untuk menanyai 00 mahasiswa maka solusi yang berdasarkan informasi dari 00 mahasiswa yang dipilih sebagai sampel merupakan solusi parsial. Misalkan 50 dari 00 menyatakan setuju maka sekurang-kurangnya 50 dari tidak setuju. Persentase sebenarnya merupakan bilangan antara 50/0.000 sampai 9.950/0.000, yaitu dari 0,5% sampai 99,8%. Persentase setuju berdasarkan data sampel adalah 50/00 = 75%. Permasalahan yang muncul adalah bagaimana mengukur ketelitian nilai taksiran; dalam hal ini 75%, terhadap nilai sebenarnya, namakan. Masalah ketelitian suatu penaksir dikaitkan dengan pernyataan P ( ˆ 0, 07) 0,95 atau dinyatakan secara verbal peluang sekurang-kurangnya 95% selisih antara ˆ dengan tidak lebih dari 0,07. Dalam pernyataan ini, ˆ adalah penaksir untuk dan nilainya dapat berubah bila diambil sampel 00 lainnya.
2 . Metode Sampling P Kegiatan Belajar Populasi, Sampel, dan Penaksir opulasi adalah kumpulan objek yang menjadi perhatian penelitian. Misalnya, populasi mahasiswa, populasi petani, populasi ikan. Pada populasi dikaitkan satu atau beberapa karakteristik yang hendak diukur. Sampel didefinisikan sebagai bagian dari populasi. Sampel merupakan wakil populasi, yang mana informasi dari sampel digunakan untuk menyimpulkan keadaan populasi. Pemilihan sampel merupakan hal yang penting dalam metode sampling. Istilah sampel acak berarti tiap anggota populasi mempunyai peluang sama untuk terpilih sebagai sampel jika sampel diperoleh dari kelompok tertentu maka kesimpulan yang diperoleh lebih mencerminkan kelompok dari pada populasi, dalam hal ini dikatakan hasil yang diperoleh merupakan hasil yang bias, tidak mencerminkan keadaan populasi. Masalah ketelitian (accuracy) taksiran parameter dapat diselesaikan dengan eksperimen. Survei pendapat mahasiswa tentang sistem ujian semester pada bagian pendahuluan hanya mempunyai dua jawaban yang mungkin setuju atau tidak setuju. Eksperimen di mana hanya ada dua hasil yang mungkin dikenal dengan nama eksperimen Bernoulli. Proses pengambilan sampel dari populasi mahasiswa untuk mengukur ketelitian taksiran proporsi dapat dimodelkan dengan eksperimen Bernoulli sebagai berikut. Populasi mahasiswa direpresentasikan oleh kelereng. Misalkan,.46 di antaranya berwarna merah dan sisanya berwarna hitam. Warna merah merepresentasikan jawaban setuju dan hitam menyatakan tidak setuju. Proporsi sebenarnya (proporsi teoretis) adalah = 46/0.000 = 0,74. Misalkan, diambil sampel sebesar 00 dan 45 di antaranya berwarna merah maka taksiran adalah ˆ = 45/00 = 0,75. Perbedaan antara nilai sebenarnya dengan taksiran untuk parameter, adalah 0,75 0,74 0,008. Untuk menentukan ketelitian penaksir ˆ, dilakukan pengulangan pengambilan sampel sebesar 00, dari populasi kelereng. Misalkan, dilakukan pengulangan 000 kali dan diperoleh tabel frekuensi berikut.
3 SATS4/MODUL. Tabel. Distribusi ˆ dari 000 Pengulangan Pengambilan Sampel Ukuran 00 dari Populasi Bernoulli Frekuensi Frekuensi Relatif ˆ 0, 0 5,5% 0,0 ˆ 0, ,6% 0, 05 ˆ 0,0 4,4% 0,0 ˆ 0, 0 4 0,4% 0, 0 ˆ 0,50 0,% 0,50 ˆ 0 0% Hasil Tabel. menyatakan bahwa 5 kali dari 000 pengulangan nilai ˆ kurang dari 0,0; 646 dari 000 nilai ˆ terletak di antara 0,0 sampai 0,05, dan seterusnya. Hasil Tabel. dapat dinyatakan dengan notasi peluang (kemungkinan) P (0, 0 ˆ 0, 05) 64, 6% Bila dikerjakan secara manual, proses pengulangan pengambilan sampel ukuran 00 merupakan pekerjaan yang membutuhkan waktu cukup lama. Pekerjaan ini dapat digantikan oleh komputer. Proses pengulangan pengambilan sampel oleh komputer dikenal dengan nama simulasi pengambilan sampel. Salah satu algoritma pembangkit bilangan acak adalah Linear Congruential Generator (LCG) Algoritma LCG. Tetapkan konstanta a, c, m dan I 0. Konstanta a, c, m dipilih agar tidak terjadi pengulangan bilangan yang sama. Misalnya a = 6.807, c = 0, m =.. Hitung: I n = (a I n- + c) mod m. = sisa hasil pembagian (a I n- + c) dengan m, misalnya 75mod7 = 5, karena 75 : 7 =0, sisa 5.
4 .4 Metode Sampling. Hitung: u n = I n / m. Dari langkah dan terlihat bahwa 0 u n <, karena 0 I n < m. Ulangi langkah dan sebanyak bilangan yang diinginkan. Sebagai contoh, untuk a = 57, c = 849, m = 6556 dan I 0 = diperoleh I = (a I 0 + c) mod m = ( ) mod 6556 = 8608 Karena ( )/6556 =0, sisa u = 8608/6556 = 0,465 I = (a I + c) mod m = ( ) mod 6556 = 5465 u = 5465/6556 = 0,858 LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Misalkan u suatu bilangan acak yang diperoleh melalui metode LCG. Unit populasi yang terambil sebagai sampel ditentukan dari rumus N* u +, di mana N menyatakan ukuran populasi. Misal bilangan acak yang pertama adalah 0,44, 0,768, 0,7474. Tuliskan mata dadu yang muncul pada lantunan pertama. ) Misal pada algoritma LCG diambil I =, a = 749, c = 447, m = 94. Tuliskan bilangan acak pertama berdasarkan algoritma LCG. ) Histogram merupakan alat untuk mempelajari distribusi suatu populasi. Suatu histogram dapat dinyatakan dalam suatu tabel frekuensi seperti tabel berikut. Selang Kelas ( c, c ] ( c, c ] ( c, c ] k k ( c, c ] k k Frekuensi O O O O k k Frekuensi Kumulatif N N N k N N k Frekuensi Relatif f f f f k k Frekuensi Rel Kumulatif F F F k F k
5 SATS4/MODUL.5 O i = banyaknya anggota pada selang kelas ( ci, c i] Ni O O... O i = banyaknya anggota kelas ( ci, c i] f O / N i i Fi f f... fi Ni / N N = ukuran populasi = k = banyaknya selang kelas k O i i N k Penentuan data yang terambil pada populasi yang dikelompokkan dalam k. kelas ditentukan melalui prosedur berikut: i. Ambil suatu bilangan acak, misal u ii. Ambil kelas interval i, I memenuhi F i u F i ( u Fi ) iii. Data yang terpilih sebagai sampel ci Ai dengan f A c c i i i Misal tabel frekuensi umur 47 bola lampu diberikan pada tabel berikut. i Selang Kelas (0 00] (00 400] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] (000 00] (00 00] (00 00] (00 400] ( ] ( ] ( ] Frekuensi Frekuensi Relatif 0,00 0,000 0,000 0,007 0,04 0,050 0,08 0,8 0,04 0,9 0,06 0,055 0,0 0,007 0,004 Frekuensi Relatif Kumulatif 0,000 0,000 0,000 0,0090 0,00 0,080 0,90 0,400 0,640 0,8060 0,90 0,9670 0,9886 0,9956 0,9996
6 .6 Metode Sampling Tentukan data yang terambil sebagai sampel bila bilangan acak pertama adalah 0,0480, 0,7570, 0,909. 4) Misal waktu pelayanan 40 pelanggan, setelah dikelompokkan, tercatat sebagai berikut. Tentukan data yang terpilih sebagai sampel bila 5 bilangan acak yang pertama adalah 0,76; 0,67; 0,67; 0,4; 0,4. 5) Misalkan X, X,..., X n menyatakan data pada suatu populasi berukuran N. Unit populasi yang terambil sebagai sampel ditentukan dengan rumus j Integer ( N * u ), dengan u suatu bilangan acak yang diperoleh dari metoda LCG. Tentukan data yang terpilih sebagai sampel dari populasi: 65, 74, 70, 75, 8, 75, 66, 64, 7, 7, dengan N=0, jika 5 bilangan acak yang pertama adalah 0,7 0,6 0,7 0,4 0,. Petunjuk Jawaban Latihan ) Ambil N = 6, misal j Integer ( N * u ). Untuk u = 0,44 maka j Integer (60,44 ) Integer (,60046)=. Jadi, mata dadu yang muncul pada lantunan pertama adalah mata. ) I = ( ) mod 94 = 0686 mod 94 = 44 (hasil bagi 0686:94 mempunyai sisa 44). u = 44/94 = 0,5947 I = ( ) mod 94 = mod 94 = 49 (hasil bagi 45754:94 mempunyai sisa 49). u = 49/94 = 0,775 dan seterusnya I = ( ) mod 94 = mod 94 = 8694 (hasil bagi 90455:94 mempunyai sisa 8694). u = 8694/94 = 0,458 dan seterusnya
7 SATS4/MODUL.7 ) Untuk bilangan acak u = 0,048. Kelas interval yang memenuhi F i u F i. Diperoleh I = 7 data yang terpilih sebagai sampel u F6 c7 47 f 7 0,048 0, = ,98 = 80,98 0,08 4) Lihat Latihan no. 5) Untuk bilangan acak 0,7, diperoleh j = Int (0 0,7 + ) Int (8,) = 8. Jadi unit populasi yang terpilih sebagai sampel adalah unit ke-8 nilai datanya 64. untuk bila 0,6 diperoleh j = Int (0 0,6 + ) = 7 dan nilai data 66. RANGKUMAN Proses pengambilan sampel dapat disimulasikan dengan algoritma LCG (Linear Congruential Generator).. Pilih konstanta a, c, m dan I 0. Konstanta dipilih agar tidak terjadi pengulangan munculnya bilangan yang sama.. Hitung I k = (a I k- + c) mod m, k =,,.. Hitung u k = I k /m, 0 u k. Unit populasi yang terpilih sebagai sampel adalah unit populasi dengan indeks j = Integer (N * u + ), dengan N = ukuran populasi dan u bilangan acak yang diperoleh dari algoritma LCG. Untuk data yang dikelompokkan, data yang terpilih sebagai sampel u Fi ci Ai f 7 dengan F i u F i dan Ai ci c i
8 .8 Metode Sampling TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) Jika pada algoritma LCG diambil a =, c = 4, m = 9, dan I 0 = maka I =(ai 0 +c)mod m. A. B. 7 C. D. 6 ) Jika pada algoritma LCG diambil a =, c = 0, m =, dan F 0 =, dan I =(ai 0 +c)mod m maka u = I /m. A. 0 B. / C. / D. / ) Jika suatu populasi berukuran N = 0 dan dari algoritma LCG diperoleh bilangan acak 0,4 maka unit populasi yang terpilih sebagai sampel adalah j =. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4) Jika suatu populasi berukuran N = 40 dan dari algaritma LCG diperoleh bilangan u = 0,97 maka unit populasi yang terpilih sebagai sampel adalah j =. A. 7 B. 8 C. 9 D. 40 5) Misalkan suatu populasi dikelompokkan kedalam kelas-kelas berikut. Selang Kelas Frekuensi (0, 5] (5, 0] (0, 5] 4 (5, 0] (0, 5]
9 SATS4/MODUL.9 Jika bilangan acak yang terpilih dari algaritma LCG adalah u = 0,8 maka data yang terpilih sebagai sampel adalah... 5 A. 9 B. 5 C D. 6 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.
10 .0 Metode Sampling D Kegiatan Belajar Populasi dan Simulasi ata yang ditemui dalam kehidupan sehari-hari berjumlah hingga, merupakan representasi suatu populasi. Misalnya seperti data yang dibicarakan pada Kegiatan Belajar, 00 peserta kuliah dapat dianggap sebagai wakil dari populasi takhingga. Data pengukuran tekanan udara merupakan sampel dari populasi takhingga. Semua nilai tekanan udara yang mungkin P( X 0) f (0) Pada kegiatan belajar ini akan dibahas simulasi untuk membangkitkan sampel dari suatu populasi. Populasi peserta ujian masuk dapat direprensentasikan oleh takhingga bilangan 0 atau ; 0 jika berusia kurang dari 5 tahun dan bila berusia lebih dari atau sama dengan 5 tahun. Kedua proporsi dinyatakan oleh dan. Frekuensi relatif dari kedua nilai yang mungkin disebut peluang P( X ) f ( ) ; P( X 0) f (0) dan P( X ) f (). Fungsi distribusi kumulatif adalah jumlah kumulatif semua nilai peluang untuk titik-titik ; F( ) P ( X ) f ( t) t 0, 0, 0, 0, dan f P X ( ) ( ) ( ), 0, Peluang f ( ) P( X ) memenuhi hukum peluang: i. 0 f( ) ii. P( X ) F ( ) merupakan fungsi tangga, dan loncatan merupakan nilai peluang P( X ). Sebagai contoh, diberikan distribusi peluang
11 SATS4/MODUL. P( X 0), P( X ), P( X ) 4 4 maka distribusi kumulatif F ( ) adalah 0, 0 / 4, 0 F( ) / 4,, Populasi abstrak di mana banyaknya nilai yang mungkin berhingga atau terhitung dinamakan populasi diskrit dan peubah acak X disebut peubah acak diskrit. Himpunan semua nilai peubah acak X yang mungkin disebut pendukung, notasi S. Untuk setiap S, f ( ) P( X ) menyatakan X peluang dari X =. Peubah acak X dikatakan berdistribusi seragam jika f ( ) P( X ) bernilai sama untuk setiap S. Jika S {,,..., n } maka X f ( ) P( X ), notasi X ~ U[,,..., n ]. Jika setiap bialangan 0,, n, 9 mempunyai peluang sama untuk terpilih maka X = angka yang muncul berdistribusi U[0,9], fungsi peluangnya adalah f ( ) P( X ), 0,,...,9 0 Distribusi Bernoulli adalah distribusi dengan pendukung yang terdiri dari nilai; S {0, }. Distribusi Bernoulli merupakan representasi dari eksperimen yang mempunyai dua nilai yang mungkin: sukses (kode ) dan gagal (kode 0). Distribusi peluang Bernoulli diberikan oleh P( X ) f () p, P( X 0) f (0) p. Jika eksperimen Bernoulli diulangi n kali dan saling bebas maka X = banyaknya sukses dari n eksperimen Bernoulli berdistribusi binomial dan dinotasikan dengan X b( n, p ) dan distribusi peluang binomial diberikan oleh X
12 . Metode Sampling n n ( ) ( ) f P X p q, q p, 0,,..., n n n!!( n )! Peubah acak X = banyaknya eksperimen Bernoulli yang diperlukan untuk memperoleh sukses berdistribusi geometrik dengan distribusi peluang f P X pq ( ) ( ),,,,.... Hasil pengukuran yang mungkin suatu besaran (berat, isi, jarak) direprentasikan oleh selang, misalnya a b. Distribusi dengan pendukung berupa selang disebut distribusi kontinu. Fungsi f merupakan fungsi densitas dari X jika:. f( ) 0,. P ( a b ) b f ( ) d a. f ( ) d a 4. f ( ) 0 P ( a ) a Fungsi distribusi dari variabel kontinu adalah F( ) P( X ) f ( t) dt. Untuk variabel kontinu, F ( ) merupakan fungsi kontinu juga. Berapa contoh distribusi untuk variabel kontinu. Distribusi seragam X U( a, b ) dengan densitas, a b f( ) b a 0, yang lain
13 SATS4/MODUL. 0, a a F( ), a b b a, b. Distribusi normal baku Z N (0,) z f ( z) e ( z), z F( z) z f ( t) dt ( z) Nilai () z dan () z disajikan pada tabel normal.. Distribusi eksponensial X Ep( ) f ( ) e, 0 F( ) e, 0 Momen ke k dari peubah acak X k f ( ), X diskrit k EX ( ) k f ( ) d, X kontinu Variansi, V( X ), merupakan momen kedua terhadap mean EX ( ). V( X ) E( X ) E( X ) [ E( X )] Beberapa sifat mean dan variansi. a. E( ax b) ae( X ) b b. V ax b a V X ( ) ( ) Sampling dari distribusi diskrit Misalnya, diberikan distribusi peluang peubah acak diskrit X, P( X 0), P( X ), P( X ) 4 4
14 .4 Metode Sampling Dapat diturunkan fungsi distribusi dari X, 0, 0 / 4, 0 F( ) / 4,, Permasalahan yang dihadapi adalah bagaimana menggenerate (membangkitkan) nilai-nilai X dari distribusi ini. Misalkan 000 bilangan digenerate, dengan harapan 5% bernilai. Frekuensi relatif,,, 4 4, dapat diperoleh dari distribusi seragam U (0,). Selang [0,] dibagi menjadi selang, [0, 0,5), [0,5, 0,75), [0,75, ). Jika u [0, 0,5) maka X = 0, jika u [0,5, 0,75) maka X =, jika u [0,75, ) maka X =. Metode ini disebut metode balikan CDF (cumulative distribution function). Peubah acak u ~ (0,) diperoleh dari metode LCG. Algorima balikan CDF. Gerenate bilangan acak u, u ~ U(0,).. Tentukan nilai X terkecil sehingga F( X ) u, X min{ F( ) u }.. X bilangan acak dari distribusi peluang f ( ) P( X ). Contoh: Misal dengan algoritma LCG (Linear Congruential Generator) diperoleh barisan bilangan, k I k u k װ װ װ װ װ װ װ װ 0,0 0,97 0,66 0,76 0,9 0,55 0,4 0,4 8
15 SATS4/MODUL.5 k I k u k װ װ װ װ װ װ װ 8 0,4 0,87 0, 0,8 0,9 0,45 0,4 Misal ingin meng-generate peubah acak X dengan fungsi distribusi 0, 0 / 4, 0 F( ) / 4,, Selang [0,] dibagi menjadi selang [0, 0,5), [0,5, 0,75), [0,75, ] Untuk u = 0,0, X min{ F( ) 0,0} 0. Untuk u = 0,97, X min{ F( ) 0,97}. Diperoleh tabel Atau U 0,0 0,97 0,66 0,76 0,9 0,55 0,4 0,4 X 0 0 U 0,87 0, 0,8 0,9 0,45 0,4 0,0 X X # Frekuensi Relatif # : dibaca jumlah (frekuensi)
16 .6 Metode Sampling Contoh: Diketahui generator I i = I i- (mod 64), I 0 = 5 diperoleh barisan bilangan: 5,,, 5, 4, 59, 49,9, 57, 4,,, 9, 7, 7, 5, 5 dan barisan u i = I i /64 0,9 0,7 0,5 0,55 0,64 0,9 0,77 0,0 0,89 0,67 0,0 0,05 0,5 0,4 0,7 0,80 0,9 Untuk menggenerate bilangan dengan distribusi peluang,,,,4 f( ) 4 lainnya 0, dilakukan sebagai berikut.. Bagi selang [0,) menjadi Selang [0, 0,5), [0,5, 0,50), [0,50, 0,75) dan [0,75, ) dan diperoleh. U 0,9 0,7 0,5 0,55 0,64 0,9 0,77 0,0 0,89 X U 0,67 0,0 0,05 0,5 0,4 0,7 0,80 0,9 X 4. Tabel Frekuensi X # Frekuensi Relatif 4 4/7 5 5/7 4 4/ /7 7
17 SATS4/MODUL.7 Sampling dari Distribusi Kontinu Fungsi disribusi F dari distribusi kontinu merupakan fungsi kontinu dan monoton naik. Akibatnya, F merupakan fungsi. Prosedur generate bilangan X dari distribusi dengan fungsi distribusi F ( ) :. Generate bilangan u dari distribusi seragam U [0,).. U F( ), dengan F fungsi distribusi X. X F ( u ). Metode di atas dinamakan metode balikan (inverse) CDF. Dengan X F ( u ), diperoleh P ( X ) P( F ( u) ) P ( u F( ) F ( F( )) F( ) ( u ~ u[0,)) Karena U ~ U [0,), diperoleh 0, u 0 F ( u) u, 0 u, u Contoh. Misal X ~ Ep. Densitas X diberikan oleh f ( ) e, 0 u Fungsi distribusi dari X, 0, 0 F( ) e, 0 Untuk memperoleh bilangan dari distribusi eksponensial langkah-langkah berikut.. Generate barisan bilangan u, u,. Dari U [0,).. u F ( ) e, diperoleh j ln ( u j ) X j. Ep dilakukan
18 .8 Metode Sampling Contoh: Misal u 0,74, u 0,589, u 0,880 Dengan =, diperoleh ln ( 0, 74) X 0,, X 0,4449, dan X 0,064 Jika U ~ U [0,) maka U ~ U [0,). Sehingga U pada rumus ln ( u j ) X j dapat diganti dengan U. Diperoleh ln ( u j ) X j. Pada contoh di atas, =, diperoleh ln (0,74) X 0, 495, X 0,644, dan X 0,06 Contoh: Misalkan X mempunyai densitas f ( ), Fungsi distribusi F diberikan oleh dt F( ), t Untuk menggenerate X dari distribusi ini, ambil U dan selesaikan persamaan X U. Barisan bilangan U, U,. dapat ditransformasikan menjadi barisan bilangan X, X,. Syarat agar metode balikan CDF adalah () F ( ) mempunyai bentuk eksplisit dan () persamaan u F( ) dapat diselesaikan. Kedua syarat di atas tidak dapat diterapkan pada distribusi normal baku N (0, ). CDF distribusi normal N (0, ) hanya dapat dinyatakan sebagai integral z t () z e dt
19 SATS4/MODUL.9 Diperlukan metode lain dalam hal metode balikan CDF tidak dapat diterapkan Metode Sampling Penerimaan (Acceptance Sampling). Misalnya (a,b) suatu selang pada garis bilangan. Misal h maks f ( ). Jadi h merupakan titik a b tertinggi dari fungsi densitas f( ); h dapat dicapai pada a maupun pada b. Buat persegi panjang ( a, b) (0, h ). Luas persegi panjang adalah h( b a ) sedangkan luas daerah di bawah densitas f( ) sama dengan. Prosedur untuk menggenerate peubah acak dengan densitas f() adalah sebagai berikut. Algoritma sampling penerimaan:. Misal u, u dua bilangan acak dari distribusi U(0,). Generate X ( b a) U a. X berdistribusi U (a,b). Generate Y ~ U(0, h ) dengan transformasi y hu. Titik ( X, Y ) merupakan titik acak berdistribusi seragam pada persegi panjang ( a, b) (0, h ). 4. Bandingkan Y dengan f( X ). Jika Y f ( X ) maka terima X sebagai bilangan acak yang diinginkan. Jika Y f ( X ) maka tolak X (tidak terpakai). 5. Ulangi proses sampai 4 hingga diperoleh barisan bilangan acak X, X,., X n. b Gambar.. Metode Sampling Penerimaan
20 .0 Metode Sampling Contoh: Generate peubah acak dari distribusi dengan fungsi densitas 4 6 f ( ) 0 ( ), a dengan metode algoritma sampling. Penyelesaian Turunan pertama 5 f ( ) 460 ( ) ( 5 ) Persamaan f( ) 0 memberikan = 5 dan h maks { f ( )},759. Tentukan persegi panjang (0, ) (0,, 76) dan generate bilangan acak X dengan algoritma berikut.. Generate u ~ U (0,) dan u ~ U (0,). Ambil X = U dan Y =,76 U. Jika Y f ( ), terima sebagai bilangan acak selain itu tolak. Menggenerate Normal Acak Distribusi normal baku N (0, ) memegang peranan sangat penting dalam statistika. Normal acak dapat digenerate dengan metode balikan CDF, sampling penerimaan, teorema limit sentral, dan Bo-Muller.. Metode Balikan CDF Misal X ~ N (0, ). Fungsi distribusi dari X diberikan oleh t ( ) e dt dan balikannya ( u ). Baik ( ) maupun ( u ) tidak memiliki bentuk eksplisit. Untuk itu telah dikembangkan kesempatan a) Generate u ~ U (0, ) b) w ln u c) Untuk 0 U 0,5 a a w a w X u w 0 ( ) b wb w b w
21 SATS4/MODUL. dengan a 0 =,5557 a = 0,8085 a = 0,0008 b =,4788 b = 0,8969 b = 0,0008 Untuk 0,5 U a a w a w X u w 0 ( ) b wbw bw dengan w ln ( u ). Metode Sampling Penerimaan Metode sampling penerimaan didefinisikan pada persegi panjang ( a, b) (0, h ), h maks f ( ), a b. Distribusi normal didefinisikan pada selang (-, ). Penerapan metode sampling penerimaan pada distribusi normal memerlukan pemotongan selang (-, ) menjadi selang (a, b). Misalnya, bila selang (-, ) dipotong menjadi selang (-4, 4) maka peluang mendapatkan X di luar selang ini sangat kecil; P( X 4) 0, Metode Teorema Limit Sentral Salah satu metode sederhana untuk menggenerate bilangan acak normal adalah teorema limit sentral. Teorema Limit Setral Misal X, X,..., X n sampel acak dari distribusi dengan mean EX ( ) dan variansi Maka, untuk n besar, V( X). n X Xi n i berdistribusi hampir normal dengan mean dan variansi X N n ~ (, / ) / n, yaitu Jadi, untuk n cukup besar, Z X ~ N(0, ) / n
22 . Metode Sampling Prosedur untuk menggenerate satu bilangan Z adalah sebagai berikut () Generate X, X,..., X n dari distribusi U (0,). () Hitung ekspetasi (mean) dan variansi U(0,), EX ( ), V( X) X, dan X. Dan distribusi dari mean adalah X ~ N, n X () Z ~ N (0,) (4) n n, Z ( X ) X 6. i i 4. Bo-Muller a. Generate U U (0,), U U (0,) b. V U, V U, S V V c. Jika S, ulangi menggenerate u, u. ln S ln S Jika S, hitung Z V dan Z V S S Dapat ditunjukkan PS ( ) 0, 46 %. Metode Bo- Muller merupakan metode eksak. Bo Muller polar (i) Generate U U(0,) dan U U (0,) (ii) Z ln S cos u dan Z ln S sin u Z, Z merupakan pasangan N (0,) Contoh: Misalkan U~ U (0,). Tentukan solusi X dari persamaan U= F( X ) bila X mempunyai densitas
23 SATS4/MODUL. a. f ( ), 0 b. f e 0,5 ( ) 0,5, 0 Penyelesaian a. f ( ), 0 0, 0 f ( ), 0, U F( X ) X, 0 X X U b. f e 0,5 ( ) 0,5, 0 untuk 0, F( ) P( X ) 0 untuk 0,5 0, ( ) ( ) 0,5 t F P X e dt e d t 0,5 0,5t 0,5 0 ( 0,5) 0,5t e 0 e 0,5 0 Persamaan u F( ) memberikan u e u 0,5, 0 0,5 u e 0,5 ue ln( u) 0,5 ln( u ) Penyelesaian U F( X ) diberikan oleh X ln( U ), 0 < U <
24 .4 Metode Sampling Contoh: Tuliskan algoritma sampling penerimaan untuk membangkitkan bilangan X yang berdistribusi a. f ( ), 0 b. f e 0,5 ( ) 0,5, 0 Penyelesaian a. h maks{ f ( )} maks{ } 0 0 Algoritma sampling penerimaan:. Bangkitkan U U (0, ), U U (0, ) X ( 0) U 0 U. Y U. Jika Y f ( X ), terima X, selain itu tolak. b. h maks f maks e { ( )} 0,5 {0,5 } 0,5 0 0 Algoritma sampling penerimaan:. Bangkitkan U U (0, ), U U (0, ). Misal selang (-, ) dipotong menjadi (0,4). X (4 0) U 0 4U = 4 U Y 0,5U. Jika Y f ( X ), terima X, selain itu tolak. Distribusi binomial dan penerapannya dalam simulasi. Misal p, 0 p, menyatakan peluang bahwa penyataan A benar. Misalkan dari n trial, pernyataan A benar r kali, 0 rn. Tentukan peluang bahwa pernyataan A benar. Permasalahan ini dapat didekati dengan distribusi binomial. Peluang memperoleh X = r sukses dari n trial bebas bila peluang sukses = p, adalah
25 SATS4/MODUL.5 n r n ( ) ( ) r P X r p p, r 0,,..., n r n n! dengan r r!( n r)! Distribusi di atas dinamakan distribusi binomial, dan diberi notasi X b( n, p ). Untuk n > 0 dan p ~ 0,5, distribusi binomial dapat dihampiri oleh distribusi normal, P( X i) P( i Y i ) dengan X b( n, p ) dan Y b( np, np( p )). Penyelesaian p dari pertaksamaan pˆ p z p( p) / n diberikan oleh p : pˆ ( z / n) z pˆ ( pˆ z ( / ) ( z / n) n 4 z n n pˆ ( z / n) ( z / n) d dengan z z / dan z pˆ ( pˆ) z d / n 4 z n n Bila n cukup besar dan p dekat dengan 0,5, z/ z/ pˆ( pˆ) ~, pˆ ~ p, d~ z / n n n ( )00% selang kepercayaan untuk p: pˆ z / pˆ( pˆ) n
26 .6 Metode Sampling Contoh: Misalkan dari suatu simulasi dengan n = 000 diperoleh ˆp = 0,0005 maka 95% selang kepercayaan p : pˆ z pˆ( pˆ) n / = (0,00, 0,07) (eksak) ~ (0,0006, 0,0094) (hampiran) LATIHAN ) Tentukan fungsi distribusi F ( ) dari peubah acak X dengan fungsi densitas a), 0 f( ) 0,,,,4,5 b) f ( ),,0, c) f ( ), 5,,,4,5 ) Tentukan fungsi distribusi F ( ) dari fungsi densitas a. b. c. f ( ) ( ), 0 ( ) f ( ), ( ) f ( ) e, ) Tentukan solusi X dari persamaan U F( ) dari distribusi dengan densitas a. f ( ) ( ), 0 b. Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ( ) f ( ), ( )
27 SATS4/MODUL.7 c. f ( ) e, 4) Tentukan solusi X F ( u ) dari fungsi densitas a. f ( ), 5 b. f ( ), 7 48 c. f ( ) ( ), 0 5) Tentukan rumusan u F( ), apakah dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi u; a. f ( ), F ( u ) dari densitas b. f ( ) sin, 0 / c. f ( ) e, 0 d. f ( ) k ( ), 0, k konstanta 6) Tentukan nilai maksimum dari fungsi densitas berikut. a. f ( ), b. f ( ) 6 ( ), 0, c. f ( ) ( ), 0, d. f ( ) e, 0 e. f ( ) e, f. f ( ) e, 0 7) Misal Y berdistribusi seragam U (0, ) ; Y U (0, ) Misal F fungsi distribusi peubah acak kontinu F( ) F( ) bila dan 0 F ( ). Definisikan peubah acak X dengan transformasi Y Y( ). Tunjukkan X mempunyai fungsi distribusi F ( ). 8) Misal X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F ( ). Tunjukkan Y Y( ) berdistribusi seragan U (0, ).
28 .8 Metode Sampling 9) Misal peubah acak U U (0, ), dan U U (0, ), Y, Y bebas stokastik. Peubah acak X, X didefinisikan dengan: X ln Y cos ( Y ) Tentukan a. distribusi gabungan X, X b. distribusi marjinal X. dan X ln Y sin ( Y ) 0) Tuliskan algoritma sampling penerimaan untuk menggenerate bilangan acak X dengan densitas f ( ) ( ), 0, Petunjuk Jawaban Latihan ) a. b. 0, 0, 0, F ( ),, 4, 4 5, 5 0,, 0 F( ), 0,
29 SATS4/MODUL.9 c. 0,, 5, 5 F( ), 4 5 4, 4 5 5, 5 ) a. Untuk 0, F ( ) f ( t) dt ( t) dt 0 ( t) d( t ) 0 ( ) t 0 ( ) ( ) 0, 0 F, ( ) ( ), 0 dt b. F( ) f ( t) dt ( t ) arctan t arctan arctan ( )
30 .0 Metode Sampling F( ), ( ) arctan ( ) arctan c) F( ) e, e, 0 e, 0 Untuk 0, t F( ) e dt t ( ) e e e ( e 0) e. Untuk 0, F( ) f ( t) dt 0 t t e dt e dt 0 t e ( e ) e 0 Jadi e, 0 F ( ) e, 0
31 SATS4/MODUL. ) a. f ( ) ( ), 0 0, 0 F, ( ) ( ), 0 u F u ( ) ( ), 0 u ( ) ( ) Jadi u ( u ) ( u ) ( u ) ( u ) b. F( ), ( ) F( ) arctan, u F( ), 0 u arctan ( u ) arctan tan ( u )
32 . Metode Sampling c. F e ( ), e, 0 F ( ) e, 0 u F( ), 0u Untuk 0u, u e u e ln( u ) Untuk u, u e u e ( u) e e ( u ) ln(( u )) ln(( u )) ln u, 0u ln ( u), u 4) a. f ( ), 5 Untuk 5, t t F ( ) dt 4 4 0, F( ), 5 4, 5
33 SATS4/MODUL. u F( ), 0u 4 4u 4u, 4u 0 Karena X > 0 maka solusi F ( u ) adalah 4u b. f ( ), 7 48 Untuk 7, F( ) t dt 48 Misal: z t, integral menjadi t z F( ) dt 48 dz z ( ) 0 ( ) , 0 F 96, 7 ( ) ( ), 7 u F( ), 0u ( ) u 96 ( ) 96u, 7 96 u, 0 96u F ( u) 96u c. f ( ) ( ), 0 Untuk 0
34 .4 Metode Sampling ( ) ( ) F t t dt 0 4 t t 4 ( t t ) dt , 0 4 F( ) 4, 0, 4 u F( ) 4, 0 u 4 4 u ( 4) u u 4 / 4 u Disini tidak dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi dari u. 5) a. f ( ),, 0, 0 Untuk 0, ( t) F( ) ( t) dt ( t) d( t ) ( ) Untuk 0 ( t) F( ) ( ) t dt 0 0 ( ) ( )
35 SATS4/MODUL.5 0, ( ), 0 F( ), ( ), 0 u F( ), 0 u Untuk 0 u : ( ) u u u Untuk u : ( ) u ( ) ( ) u F( ) ( ) u F( ) ( ) u, 0 ( u ) ( u ) b. f ( ) sin, 0 / Untuk 0 / : 0 F( ) sin t dt cos t cos 0, 0 F( ) cos, 0, u F( ) cos, 0u cos u arc cos( u ) 0
36 .6 Metode Sampling c. f ( ) e, 0 Untuk > 0, t t F( ) te dt td( e ) 0 0 t t t t e 0 e dt e e 0 0 e e e e 0, 0 F ( ) e e, 0 u F( ) e e, 0 u, 0 e e u e ( ) u u e e ( u) Disini tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi eksplisit. d. f ( ) k ( ), 0 Untuk 0 < <, t t F( ) kt ( t) dt k t t dt k k , 0 F( ) k, 0,
37 SATS4/MODUL.7 u F( ) u ( ) u u tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi dari u secara eksplisit. 6) a. Dari grafik maksimum f( ) b. c. f ( ) 6 6 f ' ( ) 6 f ( ) 0 ' maks { f ( )} f ( ) 6 0 f ( ), 0 f '( ) 4 6 f '( ) 0 ( ) 0 0 atau maks { f ( )} f ( ) 0 d. f ( ) e, 0 e. ' f ( ) e 0, 0 maks f ( ) f (0) 0 f ( ) e, e, 0 e, 0 Dari grafik f, maks f ( ) f (0) f. f ( ) e, 0 f '( ) 0. 0 f '( ) e e e ( ) maks f ( ) f () e
38 .8 Metode Sampling 7) Jika 0 F ( ) pertaksamaan X ekivalen dengan F( X ) F( ). P( X ) P( F( X ) F( )) P( Y F( )) G( F( )) F( ), 0 F( ) G merupakan fungsi distribusi Y, 0, y 0 G( y) y, 0 y, y Hasil di atas merupakan dasar simulasi peubah acak kontinu. Bangkitkan peubah acak Y, selesaikan persamaan Y F( ) baik secara eksplisit maupun numerik. Proses penyelesaian persamaan Y F( ) menghasilkan fungsi balikan X F ( Y ). 8) Untuk 0 < y < P( Y y) P[ F( X ) y] P( X F ( y )) F( F ( y )) y, 0 y 0, y 0 FY ( y) P( Y y) y, 0 y, y Jadi Y U (0, ). 9) Densitas gabungan Y, Y, 0 y, 0 y FY, Y( y, y ) 0, lainnya Transformasi balikan (invers): Y ep Y arc tan
39 SATS4/MODUL.9 Jacobian transformasi ep ep J / / / / ep Sehingga f X, X (, ) ep 0) 6 maks{ f ( )} 0 9 Algoritma sampling penerimaan. Generate U U(0, ), U U (0, ). 6 X U, Y U 9. Jika Y f ( ) terima X. Jika Y f ( ) tolak X. RANGKUMAN. Fungsi distribusi dan fungsi densitas peubah acak X : f ( t), X diskrit t F( ) P( X ) f ( t) dt, X kontinu. Beberapa distribusi: Bernoulli, Binomial, seragam, eksponensial, normal.. Sampling dari distribusi diskrit melalui algoritma balikan CDF a. Bangkitkan U U (0, )
40 .40 Metode Sampling b. X min{ F( ) u } c. X bilangan acak dari distribusi f ( ) P( X ) 4. Sampling dari distribusi kontinu a. metode balikan CDF. Misal X peubah acak dengan fungsi distribusi F () Algoritma balikan CDF i. Generate U U (0, ) ii. Selesaikan X = F - (u) dengan cara eksplisit atau cara numerik. b. metode sampling penerimaan. Misal X peubah acak dengan fungsi distribusi F(); F () = f(). Misal (a,b) suatu selang, dan h maks{ f ( )} ab Algoritma sampling penerimaan i. Generate U, U : U U(0, ), U U (0, ) ii. X ( b a) U a, X U( a, b ) Y hu, Y U(0, h ) iii. Jika Y f ( ), terima X, selain itu tolak N (0, ). c. Metode Limit Sentral untuk distribusi normal. i. Generate X, X,..., X dari distribusi U (0, ) ii i i Z X 6 berdistribusi N (0, ) d. Metode Bo-Muller untuk distribusi normal N (0, ). i. Generate U U (0, ), U U (0, ) Z ln U cos ( U ) ii. Z ln U sin ( U ) Z, Z normal bivariate dengan densitas z z f ( z, z) ep Z N (0, ) dan Z N (0, )
41 SATS4/MODUL.4 TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) Suatu peubah acak X mempunyai fungsi densitas f ( ) ( ), 0, ; 0 Fungsi distribusi peubah acak X adalah... A. 0, 0 F ( ), 0 B., 0 F ( ), 0 C. 0, 0 F( ), 0, D. 0, 0 F( ), 0, ) Suatu peubah acak X mempunyai fungsi densitas, 0 f( ) 0, lainnya Fungsi distribusi X adalah... A. B. 0, 0 F( ), 0,, F( ),
42 .4 Metode Sampling C. D. 0, 0 F( ), 0, 0, F ( ), ) Suatu peubah acak X dengan fungsi densitas 0, 0 f( ) e, 0 Fungsi distribusi F() =... A. ( e ) I ( 0) B. ( e ) I ( 0) C. ( e ) I ( 0) D. e I ( 0) Dengan, 0 I( 0) 0, 0 4) Fungsi acak X mempunyai fungsi distribusi 0, 0 F ( ) 0, 75 e, 0 Misal u F( ), 0, maka F ( u )... A. ln( u ) 4 B. ln ( u ) 4 C. ln ( u ) 4 D. ln ( u ) 5) Diketahui fungsi distribusi 0, 0 F( ) ( ) 0, dan u F( ), 0, maka F ( u )...
43 SATS4/MODUL.4 A. u B. - u C. - + u D. - + u 6) Diketahui fungsi distribusi 0, F( ), 4, Misal u = 0,, u = 0,. Dengan algoritma sampling penerimaan diperoleh X dan Y =... A. X 0,8, Y 0 B. X 0,, Y 0 C. X 0,6, Y 0 D. X 0,6, Y 0 7) Diketahui fungsi distribusi 0, F( ),, Misal U = 0,8, U = 0,9. Dengan algoritma sampling penerimaan A. X = 0,8 Y = 0,45 B. X = 0,9 Y = 0,40 C. X = 0,8 Y = 0,9 D. X = 0,9 Y = 0,8
44 .44 Metode Sampling 8) Diketahui fungsi densitas eksponensial terpotong (truncated) 0, 0 F ( ) e 4, 0 4 e Jika u = 0,, u = 0,, algoritma sampling penerimaan memberikan... A. X = 0, B. X = 0,8 C. X 0,8 Y 4 D. 0( e ) X Y e 4 0, 0( ) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 00% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.
45 SATS4/MODUL.45 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif ) B ) A ) D 4) C 5) C Tes Formatif ) f (0) P( X 0), f () P( X ) 0, 0 F( ), 0, Jawaban yang benar D. ) ) 0, 0 F( ), 0, Jawaban yang benar A. 0, 0 F ( ) e, 0 F( ) ( e ) I( 0) Jawaban yang benar A. 4) u F( ) 0,75e u e 4 ( ) u e 4
46 .46 Metode Sampling ln ( u ) 4 ln ( u ) 4 Jawaban yang benar D. 5) u F( ) ( ) u u Jawaban yang benar C. 6) ( b ) u a 0, 0,8 y hu 0, 4 0 Jawaban yang benar A. 7) u 0,8, u 0,9 ( b ) u a 0,8 0 0,8 y hu 0,9 0, 45 Jawaban yang benar A. 8) u 0,, u 0, ( b ) u a 40, 0 0,8 y hu 0,9 0, 45 Y hu 0, 4 ( e ) 4 0( e ) Jawaban yang benar C.
47 SATS4/MODUL.47 Daftar Pustaka Hogg, R. V., and Craig. A.T., 978. Introduction to Mathematical Statistics. 4 th Ed. Macmillan Kennedy, W. J., and Gentle, J. E., 979. Statistical Computing. Marcel Dekker. Yang, M. C. K., and Robinson, D. H., 986, Understanding and Learning Statistics by Computer, World Scientific.
PEMBANGKIT RANDOM VARIATE
PEMBANGKIT RANDOM VARIATE Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Pendahuluan (1) Sifat probalitistik pada sistem nyata mempunyai pola distribusi probabilistik
Lebih terperinciMata Kuliah Pemodelan & Simulasi
Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Pendahuluan (1) Sifat probabilitistik pada sistem nyata mempunyai pola distribusi probabilistik
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN VI
STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciDasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016
Lebih terperinciDISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS UNIFORM (SERAGAM) BERNOULLI BINOMIAL POISSON MULTINOMIAL HIPERGEOMETRIK GEOMETRIK BINOMIAL NEGATIF MA3181 Teori Peluang 27 Oktober 2014 Utriweni Mukhaiyar DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi
MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciBI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciTeori Peluang Diskrit
Teori Peluang Diskrit Peluang Diskrit Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama? Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran s S, di mana
Lebih terperinciMODUL II DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU A. TUJUAN PRAKTIKUM Melalui praktikum Modul II ini diharapkan praktikan dapat: 1. Mengenal jenis dan karakteristik dari beberapa distribusi peluang. 2. Menguji dan
Lebih terperinciPENS. Probability and Random Process. Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak. Prima Kristalina April 2015
Program Pasca Sarjana Terapan Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Probability and Random Process Topik 5. Beberapa jenis Distribusi Variabel Acak Prima Kristalina April 215 1 Outline 1. Beberapa macam
Lebih terperinciKumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X
Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X) Diskrit Seragam Binomial Hipergeometrik
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciPr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.
6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor
Lebih terperinciStatistika Farmasi
Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciTinjauan Mata Kuliah
i M Tinjauan Mata Kuliah ata kuliah Kalkulus 1 diperuntukkan bagi mahasiswa yang mempelajari matematika baik untuk mengajar bidang matematika di tingkat Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP), Sekolah
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183
Lebih terperinciDistribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting. Oleh Azimmatul Ihwah
Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting Oleh Azimmatul Ihwah Distribusi Diskrit Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciDistribusi Weibull Power Series
Distribusi Weibull Power Series Maulida Yanti 1, Sarini S.Si.,M.Stats 2 1 Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 2 Staff Pengajar Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1 \ BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut dengan
Lebih terperinciHANDOUT PERKULIAHAN. Pertemuan Ke : 3 : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak
HANDOUT PERKULIAHAN Pertemuan Ke : 3 Pokok Bahasan : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Peubah Acak Definisi 1 : Peubah Acak Misalkan E adalah suatu
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. (b) Variabel independen yang biasanya dinyatakan dengan simbol
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Regresi Regresi adalah suatu studi statistik untuk menjelaskan hubungan dua variabel atau lebih yang dinyatakan dalam bentuk persamaan. Salah satu variabel merupakan variabel
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciStatistika & Probabilitas
Statistika & Probabilitas Peubah Acak Peubah = variabel Dalam suatu eksperimen, seringkali kita lebih tertarik bukan pada titik sampelnya, tetapi gambaran numerik dari hasil. Misalkan pada pelemparan sebuah
Lebih terperinciSATUAN ACUAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : STATISTIK & PROBABILITAS KODE : TIK1010 / SKS : 3 SKS
SATUAN ACUAN PERKULIAHAN MATA KULIAH : KODE : TIK1010 / SKS : 3 SKS SEMESTER : III / GANJIL WAKTU : 150 Menit JUMLAH PERTEMUAN : 16 x pertemuan (14 x materi kuliah, 2 x Ujian (UTS dan UAS)) 1 ANALISIS
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH SIMULASI (KB) KODE / SKS : KK / 3 SKS
KODE / SKS : KK-01333 / 3 SKS 1 Pengertian dan tujuan 1. Klasifikasi Model 1 Simulasi. Perbedaan penyelesaian problem Dapat menjelaskan klasifikasi model dari matematis secara analitis dan numeris suatu
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciSATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
1 SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Statistika dan Probabilitas : TSP-203 : 2 (Dua) : 100 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa
Lebih terperinciDistribusi Peluang. Pendahuluan MODUL
MODUL 1 3 4 5 6 Pendahuluan Distribusi Peluang Pokok bahasan yang akan Anda pelajari dalam modul ini adalah distribusi peluang dan sifat-sifatnya. Pokok bahasan ini terdiri dari tiga subpokok bahasan,
Lebih terperinciSTATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI
STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1 Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran
Lebih terperinciRENCANA MUTU PEMBELAJARAN. I. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah probabilitas baik secara teoritik maupun aplikasinya dalam kehidupan.
RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 306203 Nama Mata Kuliah : Probabilitas Jumlah sks : 3 sks Semester : III Alokasi Waktu
Lebih terperinci28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. ilmiah. Pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Peluang Pada dasarnya statistika berkaitan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang berkemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam
Lebih terperinciDISTRIBUSI SAMPLING. Berdistribusi normal dengan rataan. Dan variasi
DISTRIBUSI SAMPLING Definisi : distribusi sampling adalah distribusi peluang untuk nilai statistik yang diperoleh dari sampel acak untuk menggambarkan populasi. 1. Distribusi rata rata Misal sampel acak
Lebih terperinciBagian 2. Probabilitas. Struktur Probabilitas. Probabilitas Subyektif. Metode Frekuensi Relatif Kejadian untuk Menentukan Probabilitas
Probabilitas Bagian Probabilitas A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < A) < 1 A) = 0 artinya A pasti terjadi A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi Penentuan nilai probabilitas: Metode
Lebih terperinciDISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS U N I F O R M ( S E R A G A M ) B E R N O U L L I B I N O M I A L P O I S S O N MA 4085 Pengantar Statistika 26 Februari 2013 Utriweni Mukhaiyar M U L T I N O M I A L H I P E
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. mengestimasi parameter regresi. Distribusi generalized. digunakan dalam bidang ekonomi dan keuangan.
II. TINJAUAN PUSTAKA Distribusi generalized,,, adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald dan Newey 988 untuk mengestimasi parameter regresi.
Lebih terperinciDISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA. Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS
DISTRIBUSI ERLANG DAN PENERAPANNYA Rini Kurniasih 1, Getut Pramesti 2 Mahasiswi Pendidikan Matematika FKIP UNS, Dosen Pendidikan Matematika FKIP UNS nia.rini.purita2316@gmail.com, getut.uns@gmail.com ABSTRAK
Lebih terperinciMata Kuliah Pemodelan & Simulasi. Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia Pokok Bahasan Variabel Acak Pola Distribusi Masukan Pendugaan Pola Distribusi Uji Distribusi
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 21 Beberapa Pengertian Definisi 1 [Ruang Contoh] Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan (Grimmet dan Stirzaker,1992)
Lebih terperinciDISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK
0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak
Lebih terperinciStatistika (MMS-1403)
Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM MMS-1403 p.1/93 Distribusi Sampling Statistik Populasi: himpunan keseluruhan obyek yang
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari
Lebih terperinciDistribusi Probabilitas Diskrit: Binomial, Multinomial, & Binomial Negatif
Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial, Multinomial, & Binomial Negatif 6 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Distribusi Variabel Acak Diskrit Distribusi
Lebih terperinciNo Kompetensi Khusus Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media / Alat Mahasiswa mampu menjelaskan konsep Apa itu statistik?
Mata Kuliah Kode/Bobot Deskripsi Singkat : GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) : Statistika dan Probabilitas : TSP-203/ 2 SKS Mata kuliah ini membahas tentang konsep dasar statistika dan probabilitas.
Lebih terperinciBAB III PROSES POISSON MAJEMUK
BAB III PROSES POISSON MAJEMUK Pada bab ini membahas tentang proses stokastik, proses Poisson dan proses Poisson majemuk yang akan diaplikasikan pada bab selanjutnya. 3.1 Proses Stokastik Koleksi atau
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN TEORI
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. karakteristik dari generalized Weibull distribution dibutuhkan beberapa fungsi
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian penulis. Dalam menyelesaikan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari generalized Weibull
Lebih terperinciSTK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak
STK 511 Analisis statistika Materi 3 Sebaran Peubah Acak 1 Konsep Peluang 2 Peluang Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman
Lebih terperinciSTATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling
STATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling Rengganis Banitya Rachmat rengganis.rachmat@gmail.com 4. Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Logistik Distribusi logistik merupakan distribusi yang memiliki fungsi kepekatan peluang kontinu. Bentuk kurva distribusi logistik adalah simetris dan uni modal. Bentuk
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Penaksiran Parameter Jika adalah nilai parameter populasi yang belum diketahui harganya, maka dapat ditaksir oleh nilai statistik, dan disebut sebagai penaksir atau fungsi keputusan.
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG2D3 PROBABILITAS DAN STATISTIKA Disusun oleh: INDWIARTI FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY 1 LEMBAR PENGESAHAN Rencana Pembelajaran Semester (RPS) ini telah disahkan
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan persamaan yang nantinya akan diperoleh dalam
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian ini, antara lain : 2.1 Fungsi Gamma Fungsi gamma merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN
digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari buku referensi karya ilmiah. Karya ilmiah yang digunakan adalah hasil penelitian serta
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. penerbangan, kedokteran, teknik mesin, software komputer, bahkan militer
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Statistika merupakan salah satu ilmu matematika yang terus berkembang dari waktu ke waktu. Di dalamnya mencakup berbagai sub pokok-sub pokok materi yang sangat bermanfaat
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. penelitian mengenai pendekatan distribusi GE ke distribusi GLL(,,
4 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi yang berhubungan dengan penelitian mengenai pendekatan distribusi GE ke distribusi GLL melalui distribusi eksponensial dengan menyamakan
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciPENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG. Agustinus Simanjuntak ABSTRACT
PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG Agustinus Simanjuntak Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Asuransi Kelompok Penyakit Lanjut Usia (Lansia) di Indonesia
3 TINJAUAN PUSTAKA Asuransi Asuransi berasal dari kata assurance atau insurance, yang berarti jaminan atau pertanggungan. Asuransi dalam Undang-Undang No.2 Th 1992 tentang usaha perasuransian adalah perjanjian
Lebih terperinciHendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
4 BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada sub bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teori yang mendukung rancangan Sequential Probability Ratio Test (SPRT) yaitu percobaan dan ruang sampel, peubah acak dan fungsi
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi Kontinu
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian. Dalam menyelesaikan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized lambda
Lebih terperinciDISTRIBUSI VARIABEL RANDOM
DISTRIBUSI VARIABEL RANDM Distribusi Variabel Diskrit Distribusi variabel diskrit adalah salah satu variabel acak yang diasumsikan memiliki bilangan terbatas dari nilai-nilai yang berbeda. Contoh : Waktu
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperinciPenggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial
Jurnal Penelitian Sains Volume 3 Nomer A) 3 Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Herlina Hanum Yuli Andriani dan Retno Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dapat dianggap mendekati normal dengan mean μ = μ dan variansi
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang melambangkan kemajuan zaman. Oleh karena itu matematika banyak digunakan oleh cabang ilmu lain
Lebih terperinciPeubah Acak. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Peubah Acak Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Definisi Peubah Acak Peubah = variabel Dalam suatu eksperimen, seringkali kita
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS (PELUANG)
DISTRIBUSI PROBABILITAS (PELUANG) Distribusi Probabilitas (Peluang) Distribusi? Probabilitas? Distribusi Probabilitas? JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Distribusi = sebaran,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBeberapa Distribusi Peluang Diskrit
Beberapa Distribusi Peluang Diskrit Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Page 1 Isi : Distribusi Seragam Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Page 2 Distribusi
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Peluang Ruang sampel S adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan. Kejadian E adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian P(E) adalah
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) KKKF33112 PROBABILITAS DAN STATISTIKA
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) KKKF33112 PROBABILITAS DAN STATISTIKA PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER (FILKOM) UNIVERSITAS PUTRA INDONESIA YPTK PADANG LEMBAR PENGESAHAN Rencana
Lebih terperinciBILANGAN ACAK. Metode untuk mendapatkan bilangan acak : 1. Metode Kongruen Campuran Rumus :
BILANGAN ACAK Bilangan acak adalah bilangan sembarang tetapi tidak sembarangan. Kriteria yang harus dipenuhi, yaitu : Bilangan acak harus mempunyai distribusi serba sama (uniform) Beberapa bilangan acak
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciKONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES
KONSEP DASAR TERKAIT METODE BAYES 2.3. Peubah Acak dan Distribusi Peluang Pada statistika kita melakukan percobaan dimana percobaan tersebut akan menghasilkan suatu peluang. Ruang sampel pada percobaan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Peluang Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak.
Lebih terperinciCNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya
CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan
Lebih terperinciSILABUS. Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan dan sifat sifat peluang dalam pemecahan masalah. dengan tentang data
SILABUS Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Semester : SMA Don Bosco Pag : Matematika : XI IPA / I Standar Kompetensi : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan sifat sifat peluang dalam pemecahan
Lebih terperinciBEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS DKINTINU DIKENAL
BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS DKINTINU DIKENAL Dalam hal ini akan dibahas beberapa distribusi yang mempunyai bentuk fungsi densitas dan nama tertentu dari peubah acak kontinu, yaitu: distribusi seragam, distribusi
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciBAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI
BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI 3.1 Pendahuluan Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai pertidaksamaan Chernoff dengan terlebih dahulu diberi pemaparan mengenai dua pertidaksamaan
Lebih terperinciDISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS
DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS Uniform U (seragam) MultinomialM l i i l Bernoulli Hipergeometrik Binomial Geometrik Poisson Binomial Negatif MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 27 September 2012 2 Distribusi
Lebih terperinciSILABUS. tentu. Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral. Menyelesaikan masalah
SILABUS Nama Sekolah : SMA PGRI 1 AMLAPURA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : XII / IPA Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR
Lebih terperinci