MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics
|
|
- Sucianty Setiawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013
2 Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Fungsi Distribusi Unsur Peluang Ekspektasi Distribusi Bivariat Distribusi Bersyarat Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Sampel Pengantar Sampel Acak Likelihood Distribusi Sampel Statistik Terurut Statistic Cukup Teorema Limit Pusat Penaksiran Pengantar Penaksir Likelihood Maksimum Penaksir MM Sifat Penaksir dan Kesalahan Penaksiran Sifat penaksir Kesalahan Penaksiran Sifat Konsisten dan CRLB Sifat Konsisten CRLB Penaksiran Selang i
3 BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 1.1 Fungsi Distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah Misalkan X peubah acak dengan support S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x 1 X x 2 ) = λ (x 2 x 1 ), untuk a x 1 x 2 b. Untuk menentukan λ, misalkan x 1 = a dan x 2 = b. Maka, P (a X b) = 1 = λ (b a) λ = 1/(b a) Fungsi distribusinya adalah... Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X U(a, b). Sifat-sifat fungsi distribusi: F ( ) = 0 dan F ( ) = 1 1
4 F merupakan fungsi tidak turun; F (a) F (b) untuk a b F adalah fungsi kontinu kanan; lim ϵ 0 + F (x + ϵ) = F (x) Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). Jika b a, maka P (a < X b) = F (b) F (a) Untuk setiap x, P (X = x) = lim ϵ 0 + P (x ϵ < X ) = F (x) F (x ) (Perhatikan notasi F (x ) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Definisi: Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan g(x) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah... Misalkan g(x) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah... Misalkan X U(0, 1) dan Y = g(x) = hx + k, h < 0. Maka X = g 1 (Y ) = F X (x) = F Y (y) = Y Latihan: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi F X (x) yang naik murni. Misalkan Y = F X (X). Tentukan distribusi dari Y. 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan F X (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak F 1 X (U). 3. Misalkan U 1, U 2,..., U n sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampel acak dari F X (x) (ambil contoh misalnya untuk F X (x) = 1 e λ x, x > 0) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.
5 Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan Y = g(x) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, F Y (y) = P (Y y) = P (g(x) y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g 1 (y) digunakan untuk menentukan F Y (y) dengan menggunakan F X (g 1 (y)). Untuk X U( 1, 2) dan g(x) = Y = X 2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : F Y (y) = 1.2 Unsur Peluang Misalkan X peubah acak kontinu, x bilangan positif kecil. Definisikan h(a, b) = def P (a X a + b) = F X (a + b) F X (a) Untuk h(x, x) = P (x X x + x), maka deret Taylor-nya disekitar x = 0 adalah dimana h(x, x) = F (x + x) F (x) = h(x, 0) + d d x h(x, x) x=0 x + o( x) lim x 0 = = o( x) x = 0 Fungsi df (x) = [ ] d dx F (x) x disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, x)). Unsur peluang adalah fungsi linier dari d dx F (x). Contoh: Misalkan F (x) = 1 e 3x untuk x 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi? MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.
6 Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 X 2.01). Densitas rata-rata pada selang (x, x + x) didefinisikan: def P (x X x + x) Density rata-rata = x Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit densitas rata-rata saat x 0: f.p = f(x) = def = = lim x 0 = d dx F (x) P (x X x + x) x Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai df (x) = f(x) x. Sifat-sifat fungsi peluang: f(x) 0 untuk semua x f(x) = 1 Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi: f(x) = d dx F (x) F (x) = x f(u)du P (a < X < b) =... =... =... = F (b) F (a) = b a f(x)dx Latihan: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 e λx, maka f(x) = 2. Jika X U(a, b) maka F (x) = dan f(x) = 3. *Misalkan f(x) = c/(1 + x 2 ) untuk < x < dan c konstanta. Fungsi f(x) tak negatif dan (1 + x2 ) 1 dx = π. Berapa nilai c agar f(x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya. MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.
7 Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(x) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) untuk support Y = g(x). Komponen J(y) = d dy g 1 (y) adalah transformasi Jacobian. Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X U( 1, 2) dan Y = g(x) = X 2. Maka untuk y [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu, dan satu fungsi invers untuk y (1, 4] yaitu. Fungsi peluang dari Y adalah f(y) = 1.3 Ekspektasi Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). ekspektasi dari X, jika ada, adalah Nilai harapan atau E(X) = µ X = f(x)dx Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X p.a. dengan f.p. f(x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(x), jika ada, adalah. E[g(X)] = g(x)f(x)dx Operator integral bersifat linier. Jika g 1 (X) dan g 2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag 1 (X) + bg 2 (X) + c] = ae[g 1 (X)] + be[g 2 (X)] + c MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.
8 Contoh/Latihan: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada maka E(X) = c. 2. Misalkan X U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2. 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f(x) = 1 [ ], σπ 1 + (x µ)2 σ 2 dengan µ, σ konstanta yang memenuhi µ < dan σ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah Distribusi Bivariat Suatu fungsi f X,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika f X,Y (x, y) 0, untuk semua x, y f X,Y (x, y) dx dy = 1 Jika f X,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) = x y f X,Y (u, v) dvdu Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat: 1. F X,Y (x, ) = F X (x) 2. F X,Y (, y) = F Y (y) 3. F X,Y (, ) = 1 4. F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = F X,Y (, ) = 0 5. f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.
9 f X,Y (x, y) x y adalah unsur peluang bersama, P (x X x + x, y Y y + y) = f X,Y (x, y) x y + o( x y) Contoh/Latihan: 1. Jika (X, Y ) U(a, b, c, d) maka f X,Y (x, y) = 2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka P (2.5 X 3.5, 1 Y 4) = P (X 2 + Y 2 > 16) = 3. Jika f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) untuk x (0, 1) dan y (0, 1). Tentukan P (X + Y < 1). Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan peubah yang tidak diinginkan : f X (x) = f X,Y (x, y) dy f Y (y) = f X,Y (x, y) = f X,Y (x, y) dx f W,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz Pada fungsi peluang f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh f X (x) = f Y (y) = dan ekspektasi E(g(X, Y )) = E(X) = g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy = 1.5 Distribusi Bersyarat Misalkan f X,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y, diberikan X = x, adalah f Y X (y x) = def f X,Y (x, y), f X (x) MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.
10 asalkan f X (x) > 0. Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama maka f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, f X (x) = E(X r ) = f Y (y) = E(Y r ) = f X Y (x y) = f Y X (y x) = E(X r Y = y) = E(Y r X = x) = Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi. Prediktor dinotasikan sebagai ŷ(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagai fungsi Ŷ (X) yang meminimumkan ] 2 E [Y Ŷ (X) = Prediktor terbaik adalah ŷ(x) = E(Y X = x). Contoh/Latihan: (y ŷ(x)) 2 f X,Y (x, y) dydx 1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama maka f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, f Y X (y x) = ŷ(x) = 2. Misalkan (Y, X) berdistribusi normal bivariat dengan E(Y ) = µ Y, E(X) = µ X, V ar(y ) = σ 2 Y, V ar(x) = σ2 X, Cov(X, Y ) = ρ X,Y σ X σ Y. Distribusi MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.
11 bersyarat Y, diberikan X, adalah (Y X = x) 3. Tunjukkan bahwa ] E X [f Y X (y X) = f Y (y) 4. Buktikan E X {E [ ]} [ ] h(y ) X = E h(y ) 5. Buktikan ] V ar(y ) = E X [V ar(y X) [ ] + V ar E(Y X) 6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama Maka f X,Y (x, y) = 3y2 x 3, 0 < y < x < 1 f Y (y) = E(Y r ) =, E(Y ) =, V ar(y ) = f X (x) = f Y X (y x) = E(Y r X = x) =, E(Y X = x) =, V ar(y X = x) = V ar(e(y X)) = E(V ar(y X)) = 1.6 Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah M X (t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.
12 momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang M X (t) = G X (e t ) asalkan G X (t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka M X (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika f X (x) = λe λx I 0, (x), maka M X (t) = 2. Jika M X (t) ada maka M a+bx (t) = 3. Jika X i, i = 1,..., n saling bebas, M Xi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi, maka M S (t) = 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh. 5. Pandang turunan dari M X (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p. 7. Misalkan Y U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat (( E((Y µ Y ) 2 ) = E Y a + b ) r ) 2 MA3081 Stat.Mat. 10 K. Syuhada, PhD.
13 BAB 2 Distribusi Sampel 2.1 Pengantar Parameter adalah suatu karakteristik dari populasi Statistik adalah suatu karakteristik dari sampel Statistik adalah fungsi dari sampel; T = g(x 1, X 2,..., X n ). Fungsi T adalah peubah acak; contoh T = X atau T = S 2 X. Distribusi sampel adalah distribusi dari statistik; distribusi sampel dari X adalah distribusi dari X. 2.2 Sampel Acak Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n (random sample of size n). Fungsi peluang n-variat nya adalah f X1,X 2,,X n (x 1, x 2,..., x n ) = n f Xi (x i ) i=1 Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang n-variatnya adalah Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (a, b). Fungsi peluang n-variatnya adalah... 1
14 2.3 Likelihood Misalkan fungsi peluang n-variat bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai atau f X1,X 2,...,X n (x 1,..., x n θ 1,..., θ k ) f X (x θ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fungsi peluang n-variat yang bergantung pada parameternya ditulis sebagai... Definisi Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai θ, diberikan bahwa x telah terobservasi. Fungsi likelihood BUKAN suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran θ dan x dalam fungsi peluang n-variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ x) f X (x θ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi likelihoodnya adalah... function likefunction; % this function calculates the likelihood function of distribution % % created by K Syuhada, 25/2/2013 clear clc n = input( n = ); % size of random sample MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.
15 % data x = exprnd(0.5,n,1); sumx = sum(x); % parameter of exponential distribution lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:length(lambda) L(i) = (lambda(i)^n)*exp(-lambda(i)*sumx); end plot(lambda,l) 2. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (π, b). Fungsi likelihoodnya adalah... Prinsip Likelihood Jika dua percobaan, yang melibatkan model dengan parameter θ, memberikan likelihood yang sama, maka inferensi terhadap θ haruslah sama. Ilustrasi Pandang percobaan 1 dimana sebuah koin dilantunkan sebanyak n kali secara bebas. Misalkan p adalah peluang muncul MUKA dan X peubah acak yang menyatakan banyaknya MUKA yang muncul. Fungsi peluang dari X adalah... Untuk n = 20, X = 6, fungsi likelihoodnya adalah... Pandang percobaan 2 dimana sebuah koin dilantunkan hingga diperoleh MUKA sebanyak 6 kali secara bebas. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan agar diperoleh enam MUKA. Fungsi peluang dari y adalah... Misalkan sukses ke-6 terjadi pada lantunan ke-20. Fungsi likelihoodnya adalah... Dari 2 percobaan diatas, misalkan kita ingin melakukan uji hipotesis: H 0 : p = 0.5 versus H 0 : p < 0.5 Nilai signfikansinya atau p-value adalah Distribusi Sampel Misalkan X 1, X 2 sampel acak berukuran 2 dari distribusi Bernoulli dengan parameter sukses p. Misalkan Y = X 1 + X 2. Kita akan menentukan distribusi MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.
16 peluang Y (gunakan konsep peluang total), P (Y = y) = P (X 1 + X 2 = y) y = P (X 1 + X 2 = y X 2 = y x 1 )P (X 2 = y x 1 ) = = = x 1 =0 y x 1 =0 y x 1 =0 y x 1 =0 P (X 1 = x 1 X 2 = y x 1 )P (X 2 = y x 1 ) P (X 1 = x 1 )P (X 2 = y x 1 ) p x 1 (1 p) 1 x 1 p y x 1 (1 p) 1 (y x 1), y = 0, 1, 2, dengan pangkat dari p dan/atau (1 p) bernilai positif. Perhatikan bahwa jika kita mempunyai peubah acak, sebut Y, berdistribusi Binomial dengan parameter (2, p) maka fungsi peluangnya adalah P (Y = y) = C 2 y p y (1 p) 2 y, y = 0, 1, 2 yang memberikan distribusi peluang sama dengan sebelumnya. Misalkan X 1 B(1, p). Fungsi pembangkit momen untuk X 1 adalah M X1 (t) = E(e tx 1 ) = pe t + (1 p). Misalkan X 2 berdistribusi identik dan saling bebas dengan X 1. Misalkan Y = X 1 + X 2, M Y (t) = M X1 +X 2 (t) = E(e tx 1 )E(e tx 2 ) ( ) 2 = pe t + (1 p) yang merupakan f.p.m untuk distribusi Binomial dengan parameter (2, p). Diskusi: Selidiki sifat distribusi jumlah n peubah acak saling bebas dan berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter λ. Peubah acak X i, i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.
17 identik dengan fungsi peluang n-variat: P (X = x) = n i=1 e λ λ x i x i! = e nλ λ y n i=1 x i!, dengan y = x i. Dapat ditunjukkan juga Y = X i cukup. Distribusi sampel dari Y adalah f Y (y θ) = e nλ (nλ) y. y! Diskusi: Bagaimana distribusi peluang untuk Y = X 1 + X 2 jika X i saling bebas dan berdistribusi (identik) kontinu? Misalkan X i, i = 1, 2 p.a kontinu yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi distribusi F. Misalkan Y = X 1 + X 2, F Y (y) = P (Y y) = P (X 1 + X 2 y) = P (X 1 y X 2 ) = = = y x2 y x2 f X1,X 2 (x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 f X1 (x 1 ) dx 1 f X2 (x 2 ) dx 2 F X1 (y x 2 ) f X2 (x 2 ) dx 2 Fungsi peluangnya adalah f Y (y) = f X1 +X 2 (y) = d F X1 (y x 2 ) f X2 (x 2 ) dx 2 dy d = dy F X 1 (y x 2 ) f X2 (x 2 ) dx 2 = f X1 (y x 2 ) f X2 (x 2 ) dx 2 Misalkan X i U(0, θ). Peubah acak-peubah acak X i tersebut saling bebas dan berdistribusi identik, dengan fungsi peluang: f X (x θ) = MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.
18 Statistik T = X (n) cukup dan memiliki fungsi distribusi: P (X (n) x) = dan fungsi peluang: f(x) = 2.5 Statistik Terurut Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu, dengan fungsi peluang f X dan fungsi distribusi F X. Pandang X (k), statistik terurut ke-k. Untuk menentukan f X(k) (x), pertama partisikan I 1 = (, x]; I 2 = (x, x + dx]; I 3 = (x + dx, ). Fungsi peluang f X(k) (x) adalah peluang mengamati sejumlah k 1 dari X di I 1, tepat sebuah X di I 2, dan sejumlah n k dari X di I 3 : ( ) n (FX f X(k) (x) (x) ) k 1 ( fx (x)dx ) 1 ( 1 FX (x) ) n k k 1, 1, n k yang dengan metode diferensial maka kita peroleh ( ) n (FX f X(k) (x) = (x) ) k 1 ( 1 FX (x) ) n k fx (x) k 1, 1, n k Contoh/Latihan: 1. Fungsi peluang dari statistik terurut terkecil/terbesar adalah Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fungsi peluang Statistic Cukup Diskusi: Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan Ruang sampel adalah himpunan semua nilai yang mungkin dari X MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.
19 Sebuah statistik membagi atau membuat partisi untuk ruang sampel. Setiap partisi berkorespondensi dengan sebuah nilai yang berbeda dari statistik tersebut. Jika statistik CUKUP, maka karakteristik data yang kita perhatikan hanyalah partisi tempat sampel berada Definisi -1 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantung terhadap X hanya melalui T: L(θ) = h(t(x), θ) Definisi -2 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGAN- TUNG pada θ: f X T (x t, θ) = h(x) Definisi -3 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai: f X (x θ) = g(t(x) θ) h(x) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik Bernoulli(p). Tunjukkan bahwa Y = n i=1 X i adalah statistik cukup. 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa T = n i=1 X i adalah statistik cukup. 3. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik N(µ, 1). Tunjukkan bahwa Y = X adalah statistik cukup. 4. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Gamma dengan parameter (α, λ). Tunjukkan bahwa T = n i=1 ln(x i) adalah statistik cukup. 5. Pandang sampel acak berukuran n dari U(a, b), dengan a diketahui. Tunjukkan bahwa T = X (n) adalah statistik cukup. MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.
20 6. Pandang sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan µ, σ 2 tidak diketahui. Tunjukkan bahwa statistik T berikut adalah cukup: ( ) S 2 T = X X 2.7 Teorema Limit Pusat Teorema Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari populasi dengan mean µ X dan variansi σx 2. Distribusi dari Z n = X µ X σ X / n konvergen ke N(0, 1) untuk n. Catatan: Hal penting dari Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) adalah bahwa kekonvergenan dari Z n ke distribusi normal akan terjadi apapun bentuk distribusi dari X. Kita dapat memanipulasi sedemikian hingga X N(µ X, σ 2 X/n), asalkan n besar. Ekspresi lain dari TLP adalah ( ) n ( lim P X µx ) c = Φ(c) n σ X Pandang: X X n, ( n ) E X i = n µ X, i=1 ( n ) V ar X i = n σx, 2 lim P n i=1 ( n i=1 X i n µ X n σx ) c = Φ(c) MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.
21 Seberapa besar n harus kita pilih agar X berdistribusi normal? n = 1? Bergantung pada distribusi dari data (parent distribution)! Misalkan X Exp(θ). Distribusi ini memiliki kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis): κ 3 = E(X µ X) 3 σ 3 X = 2, dan κ 4 = E(X µ X) 4 σ 4 X 3 = 6, dengan µ X = 1/θ dan σ 2 X = 1/θ2. Mean sampel X berdistribusi Ga(n, nθ). Kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis) dari X adalah κ 3 = E( X µ X) 3 σ 3 X = 2 n, dan κ 4 = E( X µ X) 4 σ 4 X 3 = 6/n, Misalkan X B(n, p) (ingat bahwa distribusi X tersebut sama dengan distribudi dari sejumlah n peubah acak Bernoulli(p)). Untuk n besar, ( ) p(1 p) ˆp N p, n ( n(c ) p) P (ˆp c) Φ p(1 p) X N(np, np(1 p)) P (X = x) = P Φ ( x 1 2 X x ( ) ( ) x np x 0.5 np Φ, np(1 p) np(1 p) ), x = 0, 1,..., n dimana menambah dan mengurangi dengan 0.5 disebut continuity correction. Koreksi kekontinuan untuk pendekatan normal terhadap fungsi distribusi dari MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.
22 X dan ˆp adalah P (X c) = P Φ ( ) x np np(1 p) ( X x + 1 ), x = 0, 1,..., n 2 dan ( P (ˆp c) = P ˆp c + 1 ), c = 0/n, 1/n,..., n/n 2n ( n(c ) + 0.5/n p) Φ p(1 p) MA3081 Stat.Mat. 10 K. Syuhada, PhD.
23 BAB 3 Penaksiran 3.1 Pengantar Misalkan X 1, X 2 sampel acak berukuran 2 dari distribusi Bernoulli dengan parameter sukses p. Misalkan Y = X 1 + X 2. Kita akan menentukan distribusi peluang Y dan Y 2. Misalkan X 1 B(1, p). Fungsi pembangkit momen untuk X 1 adalah M X1 (t) = E(e tx 1 ) = pe t + (1 p). Misalkan X 2 berdistribusi identik dan saling bebas dengan X 1. Misalkan Y = X 1 + X 2, M Y (t) = M X1 +X 2 (t) = E(e tx 1 )E(e tx 2 ) ( ) 2 = pe t + (1 p) yang merupakan f.p.m untuk distribusi Binomial dengan parameter (2, p). Jadi, Y B(2, p). Bagaimana dengan distribusi Y? Misalkan Z = Y ; nilai yang mungkin untuk 2 2 Z adalah 0, 1, 1. Distribusi peluang untuk Z adalah 2 P (Z = 0) = P (Y = 0) = (1 p) 2 P (Z = 1 ) = P (Y = 1) = 2p(1 p) 2 P (Z = 1) = P (Y = 2) = p 2. Catatan: Z tidak berdistribusi binomial. 1
24 Perhatikan bahwa mean dan variansi dari Z adalah E(Z) = (0)(1 p) 2 + ( 1 2 )(2p(1 p)) + (1)(p2 ) = p Var(Z) = E(Z 2 ) (E(Z)) 2 = Bagaimana dengan distribusi X 1 + X X n n untuk n yang cukup besar? (lihat Teorema Limit Pusat) p(1 p) Penaksir Likelihood Maksimum Misalkan kita punyai sampel acak berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Bagaimana kita dapat menentukan nilai p? Misalkan L(θ) adalah fungsi likelihood (fungsi dari parameter θ). Kita dapat menentukan nilai θ yang memaksimumkan L(θ). Penaksir untuk θ, yaitu ˆθ disebut Penaksir Likelihood Maksimum (maximum likelihood estimator, MLE). Penaksir suatu parameter adalah fungsi dari peubah acak. Untuk sampel acak berdistribusi Bernoulli (p), fungsi likelihood-nya adalah: L(p) = p x i (1 p) n x i, 0 < p < 1. Untuk menentukan nilai p yang memaksimumkan L(p), transformasikan L(p) menjadi log L(p): l(p) = log L(p) = x i log(p) + ( n x i ) log(1 p), kemudian hitung turunan pertama l(p) terhadap p: dl(p) dp = xi p n x i 1 p. Normalisasi dari turunan pertama tersebut memberikan nilai p = xi n, MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.
25 yang mana sebagai penaksir ditulis sebagai berikut: ˆp = Xi n = X. (PR: Tunjukkan bahwa p ini memaksimumkan L(p) dengan menghitung turunan kedua). Contoh/Latihan: Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi U(0, θ). Tentukan θ yang memaksimumkan L(θ). Dengan kata lain, tentukan penaksir ˆθ untuk θ. 3.3 Penaksir MM Adakah cara lain untuk menaksir parameter distribusi? Perhatikan kembali sampel acak berdistribusi Bernoulli dengan parameter p. Kita tahu bahwa E(X) = p dan momen sampel pertamanya m 1 = X 1 + X X n. n Dengan demikian, penaksir untuk p adalah ˆp = X 1 + X X n n = X. Misalkan sampel acak berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β). Momen pertama dan kedua dari X (momen populasi) adalah, berturut-turut, dan E(X) = αβ E(X 2 ) = α(α + 1)β 2. Sementara itu, momen sampel pertama dan kedua adalah m 1 = X 1 + X X n. n MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.
26 dan m 2 = X2 1 + X Xn 2. n Dengan menyamakan momen populasi dan momen sampel, kita peroleh penaksir ˆα = m 2 1 m 2 m 2 1 dan ˆβ = m 2 m 2 1 m Sifat Penaksir dan Kesalahan Penaksiran Sifat penaksir Setelah kita mendapatkan penaksir ˆθ, kita dapat menentukan sifat baik penaksir. Salah satunya adalah sifat TAK BIAS. Penaksir ˆθ dikatakan tak bias apabila E(ˆθ) = θ. Untuk contoh sampel acak Bernoulli, ( ) X1 + + X n E(ˆp) = E n = 1 n E(X X n ) = 1 ( ) E(X 1 ) + + E(X n ) n = 1 (p + + p) n = p Jadi, penaksir ˆp = X adalah penaksir tak bias untuk p. Catatan: Jika suatu penaksir ˆθ bersifat bias maka selisih nilai ekspektasi dan nilai θ tidak nol, atau E(ˆθ θ) 0. MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.
27 3.4.2 Kesalahan Penaksiran Pada penaksiran parameter θ, misalnya, penaksir ˆθ adalah fungsi peubah acak. Nilai taksirannya TIDAK akan pernah sama dengan nilai parameternya. Misalkan T = T (X) adalah penaksir untuk θ. Didefinisikan: dan b T = E(T θ) = E(T ) θ, V ar(t ) = σ 2 T = E(T µ T ) 2 = E(T ) θ; µ T = E(T ), adalah bias dan variansi dari penaksir T. Selain itu, didefinisikan pula, MSE atau Mean Square Error, MSE T (θ) = E(T θ) 2 = V ar(t ) + b 2 T, Misalkan X 1,..., X n sampel acak dari N(µ, σ 2 ). Penaksir untuk σ 2 adalah S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2, i=1 dan/atau V = 1 n n (X i X) 2, i=1 Bias and MSE dari kedua penaksir adalah b S 2 =, b V = dan MSE S 2 =, MSE V = Perhatikan bahwa MSE S 2 > MSE V meskipun S 2 tak bias. Catatan: Penaksir dari deviasi standar dari suatu penaksir disebut standard error atau SE. (Latihan: hitung SE dari penaksir ˆp pada sampel acak Bernoulli) MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.
28 3.5 Sifat Konsisten dan CRLB Sifat Konsisten Salah satu sifat dari penaksir yang baik adalah sifat tak bias. Kita akan mempelajari sifat baik yang lain yaitu konsisten. Namun sebelumnya, perhatikan Ketaksamaan Chebyshev berikut: Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f X (x). Misalkan h(x) fungsi non-negatif dari X dan ekpektasinya ada; k adalah konstanta positif. Maka P (h(x) k) E(h(X)). k Bukti: Misalkan R = {x; x S X ; h(x) k}. Maka E(h(X)) = h(x) f X (x) dx S X h(x) f X (x) dx R k f X (x) dx Jadi, R = k P (h(x) k). E(h(X)) k P (h(x) k). Aplikasi 1 Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan E(X) = µ X dan V ar(x) = <. Maka σ 2 X [ X µx 2 P σ 2 X k 2 ] 1 k 2. Bukti: Pilih h(x) = (X µ X) 2. σx 2 MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.
29 Dapat kita tunjukkan bahwa E(h(X)) = 1. Juga, ( ) X µx P k σ X = P ( X µ X k σ X ) ( ) X µx 2 = P k 2 1 k, 2 σ 2 X dengan Ketaksamaan Chebyshev. Jadi, P ( X µ X < k σ X ) 1 1 k. 2 Aplikasi 2 Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan T peubah acak (penaksir dari parameter θ) dengan E(T ) = µ T dan V ar(t ) = σt 2 <. Maka Bukti: Pilih P [ X θ < ϵ] 1 MSE X(θ) ϵ 2. h(x) = (X θ) 2. Maka E(h(T )) = MSE T (θ), dan Jadi, P ( T θ ε) = P ( T θ 2 ε 2 ) MSE T (θ), dengan Ketaksamaan Chebyshev = σ2 T ε 2 + (E(T ) θ)2 ε 2 P ( T θ < ε) 1 MSE T (θ) ε 2. Konsisten Barisan dari penaksir-penaksir, {T n }, disebut KONSISTEN untuk θ jika lim P ( T n θ < ϵ) = 1, n untuk setiap ϵ > 0. MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.
30 Konvergen dalam Peluang Definisi: Barisan dari penaksir-penaksir, {T n }, KONVERGEN dalam PELU- ANG untuk θ jika barisan tersebut konsisten untuk θ. Notasi: T n prob θ. Contoh/Latihan: (Hukum Bilangan Besar) Jika X adalah mean sampel dari suatu s.a berukuran n dengan mean µ X, maka X prob µ X. Bukti: Mean sampel dari s.a berukuran n dari populasi dengan mean dan variansi hingga memiliki mean µ X dan variansi σx 2 /n. Akibatnya, dan MSE X(µ X ) = σ 2 X + b 2 X = σ 2 X/n + 0, lim MSE X(µ X ) = 0, n yang menunjukkan bahwa X adalah MSC. Jadi, X prob µ X. Konsisten MS Sebuah penaksir untuk θ dikatakan Mean Square Consistent jika lim MSE T n (θ) = 0. n Buktikan bahwa jika sebuah penaksir memiliki sifat MSC maka penaksir tersebut konsisten. Bukti: Misalkan T n penaksir untuk θ. Asumsikan bahwa T n memiliki mean dan variansi hingga. Menurut Ketaksamaan Chebyshev, P ( T n θ < ε) 1 MSE T n (θ) ε 2, dimana ε adalah sebarang konstanta positif. Diketahui T n adalah MSC, yaitu lim n MSE Tn (θ) ε 2 = 0, MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.
31 Jadi, lim P ( T n θ < ε) 1. n CRLB Ketaksamaan Cramer-Rao Misalkan peluang bersama X 1,..., X n adalah f X (x θ), dimana θ bersifat skalar dan support dari X tidak bergantung pada θ. Misalkan statistik T (X) adalah penaksir tak bias untuk fungsi (yang terdiferensial) dari θ; E(T ) = g(θ). Maka, dengan V ar(t ) ( g(θ)/ θ)2 I θ, ( ) 2 ln fx (X θ) I θ = E. θ Kuantitas I θ disebut informasi Fisher dan merupakan indeks yang menyatakan banyaknya informasi yang dimiliki oleh X tentang θ. Suku ( g(θ)/ θ) 2 I θ disebut Batas Bawah Cramer-Rao atau Cramer-Rao Lower Bound. Contoh/Latihan: Misalkan sampel acak berukuran n dari P oi(λ). Apakah penaksir MLE untuk λ memuat/memenuhi/mencapai CRLB? Solusi: Fungsi informasi Fisher adalah I θ = n/λ. Penaksir MLE dari λ adalah X dan penaksir ini tak bias. Peubah acak Poisson dengan parameter λ memiliki variansi λ. Jadi, V ar X = λ/n. Dengan demikian, CRLB untuk penaksiran λ adalah CRLB = ( λ λ)2 n/λ = λ/n. Jadi, penaksir MLE untuk λ memuat CRLB. Contoh/Latihan: 1. Pandang sampel acak eksponensial dengan mean 1/θ. Apakah penaksirnya mencapai CRLB? MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.
32 2. Misalkan sampel acak berukuran n dari Geo(θ). Apakah penaksir MLE untuk θ memuat/memenuhi/mencapai CRLB? Efisiensi Efisiensi dari penaksir tak bias dari g(θ) adalah rasio dari CRLB terhadap variansi dari penaksir. Misalkan T penaksir tak bias untuk g(θ), maka efisiensi dari T adalah Efisiensi = CRLB V ar(t ), Jika rasio sama dengan satu, maka penaksir dikatakan efisien. Contoh/Latihan: Misalkan sampel acak berukuran n dari Geo(p). Tentukan efisiensi dari penaksir untuk p. 3.6 Penaksiran Selang Sejauh ini, penaksiran beserta sifat baiknya yang kita bahas adalah penaksiran titik. Apakah yang anda ketahui tentang penaksiran selang? MA3081 Stat.Mat. 10 K. Syuhada, PhD.
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA We love Statistics disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Daftar Isi 1 Peubah Acak
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika
Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Daftar Isi
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi Kontinu
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi
Lebih terperinciMA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp
MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics Pengantar Parameter adalah... ...suatu karakteristik dari populasi. Statistik adalah... ...suatu karakteristik dari sampel. Statistik adalah fungsi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematik(a)
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Lebih terperinciDistribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir
BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar Statistika Matematika II Distribusi Sampling Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com Bila sampling berasal dari populasi yang
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 3: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui fungsi peluang f X (x θ), pengetahuan tentang θ menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciMA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad
Catatan Kuliah MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika ANALISIS DATA DENGAN COPULA Dependency is not necessarily bad disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut
Lebih terperinciUji Hipotesis dan Aturan Keputusan
Uji Hipotesis dan Aturan Keputusan oleh: Khreshna Syuhada, PhD. 1. Pendahuluan Pada perkuliahan tingkat 2, telah dikenalkan masalah uji hipotesis sebagai berikut: Seorang peneliti memberikan klaim bahwa
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciDefinisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah
BAB 1 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1.1 EKSPEKTASI Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X)
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia March 20, 2017 atinaahdika.com t F Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik A. Jadwal kuliah:
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi
MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciDengan demikian, untuk sembarang B = [a, b], maka persamaan (5.1) menjadi
Bab 5 Peubah Acak Kontinu 5.1 Pendahuluan Definisi 5.1. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke R (himpunan bilangan nyata) Peubah acak X bersifat diskret jika F (x) adalah fungsi tangga.
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 1: a FMIPA Universitas Islam Indonesia Parameter adalah karakteristik dari populasi (misal θ) adalah karakteristik dari sampel Akan dibahas konsep statistik dan distribusi sampling Parameter Misalkan
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA. Insure and Invest! Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang AK5161 MatKeu
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 2: Sifat-Sifat Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Statistik Cukup Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi data yang akan kita teliti Informasi dalam sampel
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciSetiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi
ESTIMASI TITIK Setiap karakteristik dari distribusi populasi disebut dengan parameter. Statistik adalah variabel random yang hanya tergantung pada harga observasi sampel. Statistik merupakan bentuk dari
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciBab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat
MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 9 Bab 9 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat: Harapan Tanpa Syarat Ilustrasi 9. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat.
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Pengantar a Matematika II - Estimator Atina Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi a FMIPA Universitas Islam Indonesia April 17, 2017 atinaahdika.com Dalam kondisi real, kita tidak mengetahui parameter dari populasi
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 4: Metode Evaluasi Estimator Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Penggunaan metode estimasi yang berbeda dapat menghasilkan estimator yang sama maupun berbeda Dari hasil estimator yang berbeda,
Lebih terperinciMA5181 PROSES STOKASTIK
Catatan Kuliah MA5181 PROSES STOKASTIK We do love uncertainty disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciPengantar Statistika Matematika II
Bab 6: Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Inferensi Statistik Pendahuluan Inferensi Statistik Inferensi statistik adalah metode untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi. Inferensi statistik
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciEstimasi Titik. (Point Estimation) Minggu ke 1-3. Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada
Estimasi Titik (Point Estimation) Minggu ke 1-3 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. Universitas Gadjah Mada 2014 Prof. Dr. Sri Haryatmi, M. Sc. (UGM) Daftar Isi 2014 1 / 33 DAFTAR ISI 1 Minggu 1 Pertemuan 1
Lebih terperinciBab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean
MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean Ilustrasi 7. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-, P-2), yang harus dijawab dengan
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Precise and Stochastic Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic. disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Smart and Stochastic disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4181 (Pengantar)
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciBI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Dist
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciPeubah Acak dan Distribusi
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Risk: Quantify and Control Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik Stochastics: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA4183 Model Risiko
Lebih terperinciSTATISTIKA UNIPA SURABAYA
MATEMATIKA STATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) GANGGA ANURAGA Materi : Distribusi variabel random Teori Himpunan Fungsi Himpunan Fungsi Himpunan Peluang Variabel Random Fungsi Kepadatan Peluang Fungsi
Lebih terperinciIKG4A2 Kapita Selekta Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si Data Deret Waktu dan i.i.d
IKG4A2 Kapita Selekta Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si Data Deret Waktu dan i.i.d Data merupakan kumpulan informasi yang diharapkan dapat dinterpretasikan dengan baik dan akurat. Terdapat beberapa jenis
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Risk is managed, not avoided disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013 Tentang MA4181 Model Risiko
Lebih terperinciMINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT
MINGGU KE-11 HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT HUKUM BILANGAN BESAR LEMAH DAN KUAT Misalkan X 1, X 2, X 3... barisan variabel random. Kita tulis S n = n X i. Dalam subbab ini kita akan menjawab pertanyaan
Lebih terperinciMA2081 Statistika Dasar
Catatan Kuliah MA2081 Statistika Dasar Orang Cerdas Belajar Statistika Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang MA2081 Statistika
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks
Catatan Kuliah MA48 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2 Tentang MA48 Model Risiko A. Jadwal kuliah:
Lebih terperinciTeorema Newman Pearson
pengujian terbaik Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika October 6, 2014 Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk mean 3 Teorema Neyman-Pearson Back Outline 1 Review 2 Uji dua sisi untuk
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I V. SEBARAN FUNGSI PEUBAH ACAK V. Sebaran Fungsi Peubah Acak 1 Sebaran Fungsi Peubah Acak Dalam banyak kasus untuk melakukan inferensi terhadap suatu parameter kita lebih banyak
Lebih terperinciMA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean
MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk
Lebih terperinciMA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks
Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 8-14) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 8:MOMEN VARIABEL RANDOM Mean dan Variansi Fungsi Pembangkit Momen (MGF) 2 Minggu
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciKONSISTENSI ESTIMATOR
KONSISTENSI ESTIMATOR TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F. (121810101050) 3. Rere Figurani A. (121810101052) 4. Dwindah Setiari W. (121810101054)
Lebih terperinciMA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik
Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Cerdas dan Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA4081 (Pengantar)
Lebih terperinciDEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA
digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciMINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI
MINGGU KE-9 MACAM-MACAM KONVERGENSI Kita telah mengetahui bahwa untuk n besar dan θ kecil sedemikian hingga nθ = λ, distribusi binomial bisa dihampiri oleh distribusi Poisson. Mencari hampiran distribusi
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA5181 Proses Stokastik
Catatan Kuliah MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA5181 Proses Stokastik
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS Peluang terjadinya nilai variabel random X yang meliputi semua nilai ditentukan melalui distribusi peluang. Distribusi peluang suatu variabel random X adalah
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita
Lebih terperinciDISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM
1.11 Chebyshev s Inequality DISTRIBUTIONS OF RANDOM VARIABLE (Ketaksamaan Chebyshev) A. Pendahuluan DISTRIBUSI VARIABEL RANDOM Konsep atau rumus yang berhubungan dengan Ketaksamaan Chebyshev Ekspektasi
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN VI
STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel
5 II. LANDASAN TEORI 2.1 Model Regresi Poisson Analisis regresi merupakan metode statistika yang populer digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel respon Y dengan variabel-variabel prediktor
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di
5 BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas pengertian-pengertian dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pengertian-pengertian dasar yang di bahas adalah sebagai berikut: A.
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI PELUANG
DASAR-DASAR TEORI PELUANG Herry P. Suryawan 1 Ruang Peluang Definisi 1.1 Diberikan himpunan tak kosong Ω. Aljabar-σ (σ-algebra pada Ω adalah koleksi subhimpunan A dari Ω dengan sifat (i, Ω A (ii jika A
Lebih terperinciMA5283 STATISTIKA Bab 7 Analisis Regresi
MA5283 STATISTIKA Bab 7 Analisis Regresi Orang Cerdas Belajar Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Perkuliahan Silabus Tujuan Peubah bebas dan terikat, konsep relation, model regresi linier, penaksir
Lebih terperinciAK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciModel Poisson. Inferensi likelihood. Andi Kresna Jaya November 19, Jurusan Matematika
Review Poisson dengan overdispersi Inferensi likelihood Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika November 19, 2014 Review Poisson dengan overdispersi Outline 1 Review 2 3 Poisson dengan
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I III. PEUBAH ACAK KONTINU III. Peubah Acak Kontinu 1 PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak! Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2018
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Jika kita mempunyai data yang terdiri dari dua atau lebih variabel maka sewajarnya untuk mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu dapat berhubungan, hubungan
Lebih terperinciCatatan Kuliah. AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2018
Lebih terperinciBab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah
MA3181 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 8 1 Bab 8 Fungsi Peluang Bersama: Bersama Kita Berpisah Ilustrasi 8.1 Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika
Catatan Kuliah MA2082 BIOSTATISTIKA Orang Biologi Tidak Anti Statistika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011 Tentang MA2082
Lebih terperinciCatatan Kuliah. MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk. Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko Forecast, assess, and control your risk Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016 1 Tentang MA4183
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciMA4183 MODEL RISIKO Control your Risk!
Catatan Kuliah MA4183 MODEL RISIKO Control your Risk! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang mendukung dalam
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang mendukung dalam menentukan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik dari distribusi log-logistik (α,β). 2.1 Distribusi Log-Logistik
Lebih terperinciPENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG. Agustinus Simanjuntak ABSTRACT
PENAKSIR RATA-RATA DISTRIBUSI EKSPONENSIAL TERPOTONG Agustinus Simanjuntak Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru
Lebih terperinciMINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALA
MINGGU KE-8 HARGA HARAPAN DAN BEBERAPA KETAKSAMAAN DALAM STATISTIKA HARGA HARAPAN Definisi Misalkan X variabel random. Bila X variabel random kontinu dengan f.k.p. f (x) dan maka harga harapan X adalah
Lebih terperinciPr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.
6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin
Lebih terperinciCNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya
CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan
Lebih terperinci