PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE STEEPEST DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK MATLAB KIKI SEPTIANI

Transkripsi

1 PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE STEEPEST DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK MATLAB KIKI SEPTIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Januari 2015 Kiki Septiani NIM G

4 ABSTRAK KIKI SEPTIANI. Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS. Pengoptimuman adalah ilmu yang berhubungan dengan mencari nilai maksimum dan minimum. Suatu masalah pengoptimuman terdiri dari masalah pengoptimuman tak berkendala dan pengoptimuman berkendala. Selama lebih dari empat puluh tahun telah banyak algoritme pencarian langsung untuk masalah pengoptimuman tanpa kendala yang dikembangkan, antara lain adalah metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Untuk beberapa kasus, kekonvergenan dari metode steepest descent ke solusi optimal membutuhkan waktu panjang. Hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal. Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin konvergensi yang lebih cepat. Penelitian ini mengonstruksi metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein kemudian melakukan perbandingan waktu eksekusi antara kedua metode tersebut dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB. Dalam penelitian ini diperoleh kesimpulan bahwa waktu eksekusi metode Barzilai-Borwein lebih cepat dibandingkan dengan metode steepest descent. Kata kunci: MATLAB, Metode Barzilai-Borwein, Metode Steepest Descent, Pengoptimuman ABSTRACT KIKI SEPTIANI. Execution Time Comparison between the Steepest Descent and Barzilai-Borwein Methods by Using MATLAB. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and MUHAMMAD ILYAS. Optimization is a knowledge associated with problems of the maximum and minimum determination. The optimization problems consist of the problems without constraint and with constraint. In the last forty years time, many direct search algorithms for optimization problems without constraint have been developed, including the steepest descent method and the Barzilai-Borwein method. In some cases, the convergence of the steepest descent method requires a longer time to reach the optimal solution. This is due to the zig-zag path undertaken. Barzilai and Borwein introduce two stepsize that guarantees to obtain a convergent solution. This research reconstructs the steepest descent and the Barzilai-Borwein methods and then the execution time required between the both methods were compared using MATLAB. Based on the experiments obtained, the Barzilai-Borwein method reached its convergence value faster than the steepest descent method. Keywords: Barzilai-Borwein Method, MATLAB, Optimization, Steepest Descent Method

5 PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI METODE STEEPEST DESCENT DAN METODE BARZILAI-BORWEIN MENGGUNAKAN PERANGKAT LUNAK MATLAB KIKI SEPTIANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala nikmat, rahmat, karunia dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perbandingan Waktu Eksekusi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Menggunakan Perangkat Lunak MATLAB. Terima kasih saya ucapkan kepada keluarga tercinta Ayahanda Rusdi, Ibunda Dini, dan ketiga adik saya Yonanda, Elsa, dan Didi atas segala doa dan dukungan selama menulis karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga saya sampaikan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberi saran, kesabaran dan ilmu, serta Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji. Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih untuk para sahabat Mira Aisyah Romliyah, Leny Yustie Widiasari, Aisatul Mustaqimah, Erjodi Cahyo, Fachriadi Fadhillah, Lola Oktasari, Novia Yuliani, Ervina Marviana, teman-teman seperjuangan Matematika 47, dan kakak- kakak Matematika 46 atas bantuan dan dukungannya serta teman-teman sekalian di luar Departemen Matematika IPB. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Januari 2015 Kiki Septiani

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Metode Steepest Descent 4 Metode Barzilai-Borwein 6 Ilustrasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein 8 Hasil Komputasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein 11 SIMPULAN DAN SARAN 15 Simpulan 15 Saran 15 DAFTAR PUSTAKA 16 LAMPIRAN 17 RIWAYAT HIDUP 32

10 DAFTAR TABEL 1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi dua variabel dengan lima kali pengulangan 11 2 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi tiga variabel dengan tiga kali pengulangan 11 3 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi empat variabel dengan tiga kali pengulangan 12 4 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi lima variabel dengan tiga kali pengulangan 12 5 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi sepuluh variabel dengan lima kali pengulangan 12 6 Perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein 13 7 Perbedaan waktu eksekusi (dalam second) rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein 13 DAFTAR GAMBAR 1 Hasil metode steepest descent 9 2 Hasil metode steepset descent yang diperbesar 9 3 Hasil metode Barzilai-Borwein Hasil metode Barzilai-Borwein Iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein 14 6 Waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai- Borwein 14 DAFTAR LAMPIRAN 1 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel 17 2 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel 18 3 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel 19 4 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel 20 5 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel 21 6 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel 22

11 7 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel 23 8 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel 24 9 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel 31

12

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Pengoptimuman bertujuan mencari nilai minimum atau maksimum dari suatu fungsi bernilai real. Secara umum, ada dua jenis pengoptimuman yang sering dihadapi, yaitu pengoptimuman linear dan pengoptimuman taklinear. Masalah pengoptimuman terdiri dari fungsi tujuan dan kendala, jika kendalanya tidak ada maka masalah pengoptimuman tersebut dinamakan masalah pengoptimuman tak berkendala sebaliknya jika kendalanya ada maka masalah pengoptimuman tersebut dinamakan pengoptimuman berkendala. Masalah pengoptimuman tak berkendala satu variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan kalkulus. Selama lebih dari empat puluh tahun telah banyak algoritme pencarian langsung (direct search) untuk masalah pengoptimuman tak berkendala yang dikembangkan. Algoritme-algoritme ini memerlukan titik awal (dinyatakan dengan ) untuk memulai proses pencarian solusi optimal langsung dari titik menuju dan seterusnya. Proses akan berhenti jika tidak diperoleh titik yang lebih baik (lebih kecil nilai fungsinya, untuk masalah peminimuman) atau jika diperoleh titik sehingga, atau dengan kriteria pemberhentian lainnya. Beberapa metode pencarian langsung untuk meminimumkan fungsi banyak variabel, yaitu metode golden section, metode Newton, dan algoritme interpolasi kuadratik Powell. Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel. Untuk beberapa kasus kekonvergenan dari metode steepest descent menuju ke solusi optimal lambat, hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal (Sun dan Yuan 2006). Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin konvergensi yang lebih baik. Metode Barzilai-Borwein bertujuan mempercepat konvergensi metode steepest descent (Barzilai dan Borwein 1988). Dalam karya ilmiah ini dibahas perbandingan waktu eksekusi dan banyaknya iterasi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB. Tujuan Penelitian Karya ilmiah ini disusun dengan tujuan melakukan perbandingan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB.

14 2 TINJAUAN PUSTAKA Fungsi Kuadratik Suatu fungsi dinamakan fungsi kuadratik dalam variabel jika dapat dituliskan sebagai:, dengan, dan vektor real berukuran, dan matriks real berukuran (Luenberger dan Ye 2008). Matriks Simetrik atau Suatu matriks berorde disebut matriks simetrik jika,. Matriks diagonal merupakan matriks simetrik. Contoh: (Leon 2001). Definit Positif Misalkan matriks berukuran dan misalkan adalah bentuk kuadratik yang berpadanan dengan, maka dikatakan definit positif jika untuk setiap (Luenberger dan Ye 2008). Metode Interpolasi Kuadrat dengan Dua Titik Metode interpolasi kuadrat dengan dua titik adalah metode untuk menentukan hampiran titik minimum suatu fungsi kuadrat dengan menggunakan dua titik. Misalkan diberikan dua titik dan nilai fungsinya (atau ), dan dua nilai turunan dan. Polinomial yang digunakan untuk proses interpolasi adalah. Dengan memasukkan dua titik tersebut ke dalam fungsi diperoleh sistem persamaan linear: sehingga diperoleh: Oleh karena itu, didapatkan pola iterasi: =

15 3 (Sun dan Yuan 2006). Metode Newton Metode Newton adalah salah satu prosedur iteratif untuk menyelesaikan masalah taklinear. Misalkan persamaan adalah persamaan taklinear dengan merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut. Fungsi adalah fungsi yang kontinu dan terturunkan. Pada solusi eksak, nilai fungsi dapat dinyatakan sebagai dan nilai dari fungsi turunan pertama adalah. Nilai adalah solusi yang diperoleh pada iterasi ke-. Misalkan, dapat diartikan sebagai laju perubahan terhadap. Andaikan berubah dari ke maka perubahan pada adalah. Perubahan ini diperlukan untuk mengubah nilai fungsi menuju nol. Selanjutnya, metode Newton dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor orde pertama dari di sekitar, sebagai berikut:. Tetapkan pendekatan sehingga didapat: Barisan Newton yang diperoleh adalah: dengan menyatakan nilai yang diperoleh pada iterasi ke-. Jika titik awal cukup dekat dengan maka nilai dari akan mendekati dengan (Jensen & Bard 2003). Metode Least Square (LS) Misalkan memiliki solusi dan dari data pengamatan diperoleh suatu model dengan untuk maka dapat diduga dengan cara berikut: (Draper dan Smith 1992).

16 4 Hasil Kali Skalar di dalam Vektor-vektor di dalam dapat digambarkan dengan segmen-segmen garis berarah. Jika diberikan sebuah vektor di, maka panjang Euclidenya dapat didefinisikan dalam bentuk hasil kali skalar: jika (Leon 2001). HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Steepest Descent Metode line search descent yang menggunakan vektor gradien (turunan parsial orde pertama dari fungsi ) untuk menentukan arah pencarian di setiap iterasi, dinamakan metode line search descent orde pertama. Metode terkenal yang banyak digunakan adalah metode steepest descent yang pertama kali diperkenalkan oleh Cauchy pada tahun Metode steepest descent adalah salah satu metode yang tertua dan paling banyak dikenal untuk meminimalkan fungsi dari beberapa variabel. Metode steepest descent sangat penting karena metode ini merupakan salah satu dari yang paling sederhana dan metode peminimuman yang paling mendasar untuk pengoptimuman tanpa kendala (sering disebut sebagai metode gradien). Metode steepest descent merupakan metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan dari masalah awal. Algoritme yang lebih maju sering termotivasi oleh upaya untuk memodifikasi teknik dasar steepest descent sehingga algoritme baru akan memiliki sifat konvergensi yang unggul. Teknik ini tidak hanya paling sering digunakan dalam penyelesaian masalah baru, tetapi juga standar acuan terhadap teknik lain yang diukur. Metode steepest descent selalu konvergen. Artinya, secara teori metode ini tidak akan berhenti atau akan terus melakukan iterasi sampai kriteria penghentian terpenuhi (Luenberger dan Ye 2008). Pencarian arah adalah hal yang penting dalam metode steepest descent, dan pencarian ini yang membedakan antara algoritme yang satu dengan yang lainnya. Begitu pencarian arah telah ditentukan maka tahap selanjutnya adalah pencarian stepsize (line search, step search). Masalah model kuadrat dinyatakan sebagai berikut: dengan adalah symmetric positive definite (SPD) dan. Masalah ini setara dengan memecahkan sistem linear: (1).

17 Karena diandaikan adalah definit positif, masalah (1) memiliki solusi yang unik yang diberikan oleh. Metode steepest descent yang dikenal juga dengan metode gradien adalah metode yang mencari penurunan tercepat dari:, yang terjadi pada: dan 5 Berikut bentuk iterasi gradien: (2) Untuk beberapa kasus, kekonvergenan dari metode steepest descent ke solusi optimal lambat, hal ini karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal. Secara intuitif arah adalah arah dengan penurunan tercepat, tetapi secara global tidak berarti menuju titik minimum lokal yang tercepat. Untuk mencari minimum dari, diperoleh:. Ini berarti gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya saling tegak lurus (ortogonal) pada metode steepest descent. Dari persamaan (2) didapat pilihan stepsize optimal sebagai berikut: dengan

18 6 Berikut ini diberikan algoritme metode steepest descent: Langkah 1 Batas toleransi. Diberikan titik awal dengan. Langkah 2 Arah pencarian. Langkah 3 Tentukan stepsize yang meminimumkan sehingga Langkah 4 Tentukan. Langkah 5 Jika stop. Langkah 6 Selanjutnya kembali ke langkah 2. (Sun dan Yuan 2006). Metode Barzilai-Borwein Barzilai dan Borwein memperkenalkan metode gradien two-point stepsize yang biasanya disebut metode gradien Barzilai-Borwein (atau BB) untuk memecahkan masalah peminimuman fungsi tak berkendala (Barzilai dan Borwein 1988). Berikut bentuk iterasi gradien: Pada awalnya digunakan metode Newton untuk memecahkan suatu persamaan nonlinear, dengan pendekatan yang berasal dari (juga dikenal sebagai metode sekan) dengan iterasi sebagai berikut: (3) (4) dengan dan misalkan: (5) Dapat dilihat hubungan antara persamaan (3) dan persamaan (4) untuk menyelesaikan persamaan,. Dalam kasus dimensi lebih tinggi, yaitu koefisien akan dievaluasi menggunakan persamaan (5). Untuk menentukan stepsize metode Barzilai-Borwein 1, perhatikan persamaan berikut:. (6)

19 Selanjutnya persamaan (6) diselesaikan dengan metode least-square, dengan, sehingga diperoleh: 7. Dengan menggunakan syarat perlu minimum bahwa turunan pertama sama dengan nol, sehingga diperoleh: Untuk menentukan stepsize metode Barzilai-Borwein 2, perhatikan persamaan berikut: Selanjutnya persamaan (7) diselesaikan dengan metode least-square, dengan, sehingga diperoleh: (7)

20 8. Dengan menggunakan syarat perlu minimum bahwa turunan pertama sama dengan nol, sehingga diperoleh: Berikut ini diberikan algoritme metode gradien Barzilai-Borwein: Langkah 1 Diberikan titik awal, batas toleransi, dengan. Langkah 2 Arah pencarian. Langkah 3 Jika, tentukan dengan pencarian garis untuk, hitung dengan (untuk metode Barzilai-Borwein 1) atau (untuk metode Barzilai-Borwein 2). Langkah 4 Tentukan. Langkah 5 Jika, stop. Langkah 6 Selanjutnya, kembali ke langkah 2. (Sun dan Yuan 2006). Ilustrasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Ilustrasi 1 Dengan menggunakan metode steepest descent, min dengan titik awal. Berikut adalah solusi dari metode steepest descent untuk ilustrasi 1:

21 9 Gambar 1 Hasil metode steepest descent Gambar 2 Hasil metode steepest descent yang diperbesar Gambar 1 dan Gambar 2 menunjukkan bahwa dalam menuju solusi optimal, metode steepest descent mengambil arah zig-zag dan tegak lurus (ortogonal) seperti yang telah dijelaskan pada subbab metode steepest descent. Ilustrasi 2 Dengan menggunakan metode Barzilai-Borwein 1, dengan titik awal dan arah:

22 10 Berikut adalah solusi dari metode Barzilai-Borwein 1 untuk ilustrasi 2: Gambar 3 Hasil metode Barzilai-Borwein 1 Ilustrasi 3 Dengan menggunakan metode Barzilai-Borwein 2, min dengan titik awal dan arah: Berikut adalah solusi dari metode Barzilai-Borwein 2 untuk ilustrasi 3: Gambar 4 Hasil metode Barzilai-Borwein 2 Metode Barzilai-Borwein sebenarnya mirip dengan metode gradien, lebih cepat konvergen sehingga membutuhkan sedikit pekerjaan komputasi. Berbeda dengan metode steepest descent, metode Barzilai-Borwein dalam menuju solusi optimal gradien dari titik awal menuju titik selanjutnya tidak saling tegak lurus (ortogonal).

23 Hasil Komputasi Metode Steepest Descent dan Metode Barzilai-Borwein Fungsi yang digunakan dibangkitkan secara acak dengan ketentuan sebagai berikut: dengan matriks simetrik berukuran. Banyak variabel yang digunakan yaitu. Setiap komponen vektor ( ) dipilih secara acak dengan. Untuk semua kasus diberikan titik awal adalah vektor nol dan kriteria penghentian adalah. Perbedaan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dapat dilihat pada Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel, Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel, Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel, Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel, dan Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel. Tabel 1 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi dua variabel dengan lima kali pengulangan Percobaan Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein 2 Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) I II III IV V Rata-rata Tabel 2 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi tiga variabel dengan lima kali pengulangan Percobaan Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein 2 Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) I II III IV V Rata-rata

24 12 Tabel 3 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi empat variabel dengan lima kali pengulangan Percobaan Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein 2 Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) I II III IV V Rata-rata Tabel 4 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi lima variabel dengan lima kali pengulangan Percobaan Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein 2 Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) I II III IV V Rata-rata Tabel 5 Analisis perbedaan banyak iterasi dan waktu eksekusi (dalam second) metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein untuk fungsi sepuluh variabel dengan lima kali pengulangan Percobaan Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein 2 Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) Iterasi Waktu (s) I > 7000 > II > 5000 > III IV > 5000 > V > 5000 > Rata-rata > 5000 > Pada Tabel 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat dilihat bahwa waktu eksekusi yang diperoleh untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel dilakukan dengan pengulangan eksekusi. Untuk semua fungsi dilakukan lima kali pengulangan eksekusi dengan fungsi yang sama, sehingga mendapatkan hasil waktu eksekusi yang berbeda-beda. Hal tersebut dipengaruhi oleh keadaan kinerja komputer pada saat melakukan komputasi. Adanya

25 perbedaan hasil eksekusi tersebut, selanjutnya dilakukan penghitungan nilai ratarata waktu eksekusi untuk mempermudah menganalisis perbedaan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Perbedaan rata-rata banyak iterasi dan waktu eksekusi antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, dapat dilihat pada Tabel 6 dan Tabel 7. Tabel 6 Perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai- Borwein Banyak Iterasi Studi Ukuran Kasus Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein > Tabel 7 Perbedaan waktu eksekusi (dalam second) rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein Waktu Eksekusi (s) Studi Ukuran Kasus Metode Steepest Descent Metode Barzilai- Borwein 1 Metode Barzilai- Borwein > Perbedaan iterasi dan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein disajikan juga dalam bentuk grafik sebagai berikut: 13

26 Waktu Eksekusi (s) Banyak Iterasi SD BB 1 BB Gambar 5 Iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai- Borwein SD BB 1 BB Gambar 6 Waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein Pada Gambar 5 menunjukkan perbedaan iterasi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Iterasi metode steepest descent lebih besar

27 dibandingkan dengan metode Barzilai-Borwein. Untuk data berukuran, metode steepest descent tidak diplot pada grafik. Hal ini disebabkan iterasi yang masih berlanjut selama lebih dari 24 jam. Pada Gambar 6 jelas terlihat perbedaan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Pada data berukuran perbedaan waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent dan metode Barzilai- Borwein tidak terlihat menonjol. Pada data berukuran dan data berukuran sudah mulai terlihat waktu eksekusi metode steepest descent semakin naik. Sebaliknya, metode Barzilai-Borwein juga sudah mengalami kenaikan akan tetapi sangat kecil. Pada data berukuran terlihat sangat menonjol perbedaan waktu eksekusi rata-rata antara metode steepest descent dan metode Barzilai-Borwein. Untuk metode Barzilai-Borwein dengan kasus stepsize yang berbeda, perbedaan waktu eksekusi rata-rata sangat kecil. Pada data berukuran, data berukuran, dan data berukuran metode Barzilai-Borwein 1 waktu eksekusi rata-rata lebih besar dibandingkan dengan waktu eksekusi rata-rata metode Barzilai-Borwein 2. Sebaliknya, pada data berukuran dan data berukuran waktu eksekusi rata-rata metode Barzilai-Borwein 1 lebih kecil dibandingkan dengan metode Barzilai-Borwein 2. Untuk data berukuran, waktu eksekusi rata-rata metode steepest descent tidak diplot pada grafik sedangkan metode Barzilai-Borwein 1 dan metode Barzilai-Borwein 2 sebesar second dan second. Hal ini disebabkan waktu eksekusi yang sangat lama yaitu lebih dari 24 jam dan prosesnya masih berlanjut. 15 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Metode steepest descent merupakan salah satu metode klasik untuk menyelesaikan pengoptimuman tak berkendala fungsi banyak variabel dan paling sering digunakan. Metode steepest descent sangat lambat ke solusi optimal, hal ini terjadi karena jalur zig-zag dalam menuju solusi optimal. Metode steepest descent berkinerja buruk dan iterasi yang dihasilkan lebih banyak untuk dimensi yang lebih tinggi. Barzilai dan Borwein memperkenalkan dua stepsize yang menjamin konvergensi yang lebih baik. Metode Barzilai-Borwein bertujuan mempercepat konvergensi metode steepest descent. Berdasarkan analisis pada studi kasus yang dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak MATLAB, hasil perbandingan waktu eksekusi metode Barzilai-Borwein lebih cepat dibandingkan dengan metode steepest descent baik untuk dimensi rendah maupun untuk dimensi tinggi. Saran Karya Ilmiah ini dapat dilanjutkan dengan metode yang berbeda atau dengan menggunakan perangkat lunak yang berbeda.

28 16 DAFTAR PUSTAKA Barzilai J, Borwein JM Two-point stepsize gradient methods. IMA Journal of Numerical Analysis. 8(1): doi: /imanum/ Draper N, Smith H Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Sumantri B, penerjemah. Jakarta (ID): Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis. Jensen PA, Bard JF Operations Research Models and Methods. New York (US): John Wiley and Sons. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Luenberger DG, Ye Y Linear and Nonlinear Programming. Ed ke-3. New York (US): Springer. Sun W, Yuan YX Optimization Theory and Methods. New York (US): Springer.

29 Lampiran 1 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel 17

30 18 Lampiran 2 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel

31 Lampiran 3 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 1 untuk fungsi dengan dua variabel 19

32 20 Lampiran 4 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel

33 Lampiran 5 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi dengan tiga variabel 21

34 22 Lampiran 6 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 2 untuk fungsi tiga variabel

35 Lampiran 7 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel 23

36 24 Lampiran 8 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel

37 Lampiran 9 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 3 untuk fungsi dengan empat variabel 25

38 26 Lampiran 10 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel

39 Lampiran 11 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel 27

40 28 Lampiran 12 Sintaks metode Barzilai-Borwein 2 percobaan ke-1 Tabel 4 untuk fungsi dengan lima variabel

41 Lampiran 13 Sintaks metode steepest descent percobaan ke-1 Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel 29

42 30 Lampiran 14 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel

43 Lampiran 15 Sintaks metode Barzilai-Borwein 1 percobaan ke-1 Tabel 5 untuk fungsi dengan sepuluh variabel 31

44 32 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 14 September 1992 sebagai anak pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Rusdi dan Dini. Pada tahun 1998, penulis lulus dari TK Islam Raudatul Amanah Bekasi. Pada tahun 2001, penulis lulus dari SD Negeri Kaliabang Tengah V Bekasi. Pada tahun 2007, penulis lulus dari SMP Negeri 234 Jakarta. Pada tahun 2010, penulis lulus dari SMA Negeri 89 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama masa perkuliahan penulis aktif pada lembaga kemahasiswaan IPB, di antaranya Staf Biro Keuangan Gumatika IPB tahun kepengurusan 2012/2013 dan menjadi Staf Divisi Kewirausahaan Gumatika IPB tahun kepengurusan 2011/2012. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan di antaranya Olimpiade Mahasiswa IPB (OMI), Matematika Ria, Math Ice, IPB Mathematics Challenge, Math Camp, dan SPIRIT FMIPA IPB. Selain itu, penulis juga aktif di UKM Futsal Putri IPB.