METODE TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT DAN METODE MODIFIKASI TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMALISASI TANPA KENDALA RIZKI OKTAVIANI

Transkripsi

1 METODE TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT DAN METODE MODIFIKASI TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMALISASI TANPA KENDALA RIZKI OKTAVIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Two-Point Stepsize Gradient dan Metode Modifikasi Two-Point Stepsize Gradient untuk Menyelesaikan Optimalisasi Tanpa Kendala adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, November 2014 Rizki Oktaviani NIM G

4 ABSTRAK RIZKI OKTAVIANI. Metode Two-Point Stepsize Gradient dan Metode Modifikasi Two-Point Stepsize Gradient untuk Menyelesaikan Optimalisasi Tanpa Kendala. Dibimbing oleh BIB PARUHUM SILALAHI dan FARIDA HANUM. Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein dan metode modifikasinya. Kedua metode tersebut dibandingkan secara numerik dalam hal waktu komputasi, jumlah iterasi dan kekonvergenan menuju solusi optimal dengan bantuan software MATLAB R2008b. Metode two-point stepsize gradient merupakan salah satu metode optimalisasi matematika yang melakukan pencarian solusi secara iteratif yang dimulai dari satu titik solusi kemudian melakukan pencarian ke arah titik solusi lain dengan menggunakan ukuran langkah pencarian (stepsize) tertentu. Besarnya stepsize yang digunakan ditentukan berdasarkan hampiran matriks Hesse pada persamaan kuadratik deret Taylor. Pada metode modifikasi ditambahkan sebuah teknik untuk mencari stepsize yaitu teknik pencarian garis takmonoton. Hasil numerik menunjukkan bahwa untuk setiap jenis fungsi yang digunakan, secara umum metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein lebih unggul dalam hal waktu komputasi, sedangkan metode modifikasinya lebih unggul dalam mencari nilai optimal dan jumlah iterasi. Kata kunci: metode two-point stepsize gradient, optimalisasi tanpa kendala, pencarian garis takmonoton ABSTRACT RIZKI OKTAVIANI. Two-Point Stepsize Gradient Method and Modified Two- Point Stepsize Gradient Method for Unconstrained Optimization. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and FARIDA HANUM. This manuscript discusses Barzilai and Borwein two-point stepsize gradient method and its modification. Both of these methods will be compared numerically in terms of computation time, number of iterations and its convergence to the optimal solution by using software MATLAB R2008b. Two-point stepsize gradient method is one of the mathematical optimization methods which finds a solution iteratively that starts from a single point solution to another point solutions by using specific stepsize. The number of stepsize is determined by approximation of Hesse matrix using quadratic equations of Taylor series. In the modified method a technique is added to find the stepsize using nonmonotone line search technique. Numerical results show that for each type of functions exemined, in general, Barzilai and Borwein two-point stepsize gradient method is superior in terms of computation time, whereas its modification is superior in finding the optimal solution and the number of iterations. Keywords: nonmonotone line search, two-point stepsize gradient methods, unconstrained optimization

5 METODE TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT DAN METODE MODIFIKASI TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMALISASI TANPA KENDALA RIZKI OKTAVIANI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan Februari Judul karya ilmiah ini adalah Metode Two-Point Stepsize Gradient dan Metode Modifikasi Two- Point Stepsize Gradient untuk Menyelesaikan Optimalisasi Tanpa Kendala. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi MSc selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada kedua orang tua yakni Ayah Sargono dan Ibu Riyani, kakak dan adikku yakni Kak Resta, Kak Indra dan Henry serta seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika yakni Vivi, Anis, Shovi, Nurul, Marin, Murzani, Lola, Kak Rio dan lainnya, kakak dan adik kelas, sahabatku Deden, Anisyah, Indri, Tenti, Tiara dan Dani serta semua pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan untuk semua pihak yang telah memberi pengalaman dan motivasi selama masa perkuliahan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, November 2014 Rizki Oktaviani

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL x DAFTAR GAMBAR x DAFTAR LAMPIRAN x PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf 2 Vektor Gradien dan Matriks Hesse 2 Minor Utama 3 Kedefinitan Matriks 3 Kekonveksan Fungsi dan Matriks Hesse 4 Aturan Armijo: Pengurangan Stepsize Berturut-turut 4 DESKRIPSI MASALAH 7 METODE TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT 7 Formulasi Metode Two-Point Stepsize Gradient 7 Algoritme Metode Two-Point Stepsize Gradient 9 METODE MODIFIKASI TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT 10 Formulasi Stepsize Baru 10 Teknik Pencarian Garis Takmonoton 11 Algoritme Metode Modifikasi Two-Point Stepsize Gradient 11 HASIL DAN PEMBAHASAN 12 Hasil Numerik untuk Fungsi dengan Nilai Optimal Global di Satu Titik 13 Hasil Numerik untuk Fungsi dengan Nilai Optimal Global di Banyak Titik 16 Hasil Numerik untuk Fungsi Tanpa Minimum Global 17 SIMPULAN DAN SARAN 21 Simpulan 21 Saran 21 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 23 RIWAYAT HIDUP 39

10 DAFTAR TABEL 1 Hasil numerik untuk fungsi Wood 13 2 Hasil numerik untuk fungsi Beale 13 3 Hasil numerik untuk fungsi penalty I 14 4 Hasil numerik untuk fungsi trigonometrik 14 5 Hasil numerik untuk fungsi extended Powell singular 14 6 Hasil numerik untuk fungsi variably dimensioned 14 7 Hasil numerik untuk fungsi Brown badly scale 15 8 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik Hasil numerik untuk fungsi kuadratik Hasil numerik untuk fungsi Biggs EXP Hasil numerik untuk fungsi kuadratik Hasil numerik fungsi trigonometrik II Hasil numerik fungsi kubik Hasil numerik fungsi kuadratik konkaf dengan titik awal dan = 18 DAFTAR GAMBAR 1 Contoh kegagalan aturan Armijo dalam pengurangan stepsize secara berturut-turut untuk fungsi satu dimensi 5 2 Pencarian titik minimum dengan aturan Armijo 6 3 Grafik tiga dimensi fungsi trigonometrik II pada selang Grafik tiga dimensi fungsi kuadratik konkaf 17 5 Grafik tiga dimensi fungsi kubik 17 6 Rata-rata waktu iterasi pada fungsi MTSG dan 18 7 Jumlah iterasi untuk metode MTSG dan 18 8 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan untuk fungsi dengan nilai optimal global di satu titik 19 9 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan untuk fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan untuk fungsi tanpa minimum global 20 DAFTAR LAMPIRAN 1 Sintaks program MATLAB R2008b untuk metode dalam menyelesaikan 14 fungsi yang diujikan 23 2 Sintaks program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dalam menyelesaikan 14 fungsi yang diujikan 23 3 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi Brown badly scale 26 4 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi Beale 28 5 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi kuadratik 1 34

11 DAFTAR LAMPIRAN (lanjutan) 6 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi kuadratik Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi kuadratik Titik optimal dari 14 fungsi yang diujikan menggunakan metode MTSG dan 37

12

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Setiap manusia selalu merencanakan hal baik untuk kehidupan sehariharinya dengan harapan bahwa rencana yang baik akan menjadi kenyataan. Namun, setiap rencana yang telah disusun tidak selalu sesuai dengan harapan sehingga setiap manusia harus memilih dan memutuskan apa yang akan dilakukan. Secara tidak sadar setiap orang sudah melakukan pengoptimalan dalam menjalani kehidupannya dengan menggunakan penalarannya sendiri. Riset operasi merupakan salah satu cabang ilmu untuk memodelkan masalah ke dalam bentuk matematika dan menentukan cara yang paling baik untuk mencari solusi yang optimal. Sejak awal ditemukannya riset operasi, banyak ilmuwan yang mengembangkan metode pencarian solusi untuk berbagai macam masalah pengoptimalan. Namun, semua metode yang dikembangkan tidak semuanya konvergen menuju titik optimal dengan tepat dan cepat, sehingga dilakukanlah kajian ulang secara berturut-turut dimulai dari memperbaiki stepsize, penambahan syarat pengoptimalan seperti dalam Birgin et al. (1999) dan Leong et al. (2010). Dalam skripsi ini akan dibahas tentang masalah optimalisasi tanpa kendala banyak variabel dengan metode two-point stepsize gradient dan modifikasinya. Metode modifikasi two-point stepsize gradient ini merupakan perbaikan dari metode two-point stepsize gradient dengan mengubah stepsize menggunakan metode interpolasi dan penambahan teknik pencarian garis takmonoton. Kedua metode tersebut akan dibandingkan secara numerik untuk melihat metode mana yang lebih baik dengan bantuan software MATLAB R2008b. Metode two-point stepsize gradient ini didapat dari artikel berjudul Two-point stepsize gradient methods (Barzilai dan Borwein 1988), sedangkan metode modifikasi two-point stepsize gradient ini diperoleh dari artikel berjudul Modified two-point stepsize gradient methods for unconstrained optimization (Dai et al. 2002). Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini ialah: 1 mengonstruksi metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein () dan metode modifikasi two-point stepsize gradient (MTSG) dalam menyelesaikan masalah optimalisasi tanpa kendala, 2 membandingkan kedua algoritme tersebut secara numerik dalam hal waktu komputasi, jumlah iterasi dan kekonvergenan menuju solusi optimal menggunakan software MATLAB R2008b.

14 TINJAUAN PUSTAKA Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf Konsep fungsi konveks dan fungsi konkaf yang digunakan pada karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini. Misalkan, dengan himpunan konveks yang takkosong di. Fungsi dikatakan konveks di jika untuk setiap dan untuk setiap. Jika yang berlaku untuk dan maka dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly convex). Fungsi dikatakan konkaf di jika untuk setiap dan untuk setiap. Jika yang berlaku untuk dan maka dikatakan fungsi konkaf sempurna (strictly concave) (Peressini et al. 1988). Vektor Gradien dan Matriks Hesse Vektor gradien dan matriks Hesse untuk fungsi yang digunakan dalam karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini. Misalkan f adalah fungsi smooth, yaitu fungsi kontinu dan terdiferensialkan dua kali secara kontinu (berarti hingga fungsi turunan kedua adalah fungsi kontinu), dan dinyatakan dengan. Untuk didefinisikan vektor gradien dari fungsi f di titik x adalah Jika fungsi f terdiferensialkan secara kontinu dua kali maka di titik x terdapat matriks turunan parsial kedua yang disebut matriks Hesse (Hessian matrix) (Peressini et al. 1988).

15 3 Catatan: Untuk fungsi dua variabel x dan y 1 dapat dituliskan sebagai, dan dapat dituliskan sebagai. 2 Turunan campuran 3 Teorema Jika dan merupakan fungsi kontinu pada selang buka yang memuat, maka ). Teorema ini juga berlaku untuk fungsi dengan lebih dari dua variabel, sehingga matriks Hesse merupakan matriks simetrik (Smith dan Minton 2006). Minor Utama Berikut ini akan dibahas mengenai definisi minor utama yang akan digunakan pada bahasan kedefinitan matriks. Misalkan A matriks simetrik berukuran. Minor utama (principal minor) ke-k dari A, dilambangkan dengan, adalah determinan dari anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris terakhir dan kolom terakhir dari matriks A ( Peressini et al. 1988). Kedefinitan Matriks Berikut ini akan dibahas mengenai teorema kedefinitan suatu matriks. Misalkan A matriks simetrik berukuran dan misalkan adalah minor utama ke-k dari matriks A untuk maka 1 A definit positif jika dan hanya jika untuk 2 A definit negatif jika dan hanya jika untuk Selanjutnya 1 Jika maka A semidefinit positif. 2 Jika untuk dan maka A semidefinit negatif (Peressini et al. 1988).

16 4 Kekonveksan Fungsi dan Matriks Hesse Berikut akan dibahas teorema cara memeriksa kekonveksan fungsi dengan menggunakan matriks Hesse. Misalkan mempunyai turunan persial kedua yang kontinu pada suatu himpunan konveks buka C di. Jika 1 matriks Hesse dari adalah semidefinit positif pada C, maka adalah fungsi konveks pada C, 2 matriks Hesse dari adalah definit positif pada C, maka adalah fungsi strictly convex pada C (Peressini et al. 1988). Aturan Armijo: Pengurangan Stepsize Berturut-turut Aturan Armijo yang dibahas dalam karya ilmiah ini bersumber pada (Bertsekas 2003). Aturan Armijo merupakan acuan dasar yang digunakan pada teknik pencarian garis takmonoton. Misalkan adalah fungsi yang akan dicari nilai minimumnya. Misalkan pula dipilih sebuah ukuran langkah pencarian (stepsize) dengan inisial s dan yang merupakan titik solusi untuk suatu fungsi f pada iterasi ke-k. Titik solusi untuk iterasi ke-(k+1) dilambangkan dengan dengan dan adalah arah pencarian (search direction) untuk fungsi pada urutan iterasi ke-k. Kondisi yang diinginkan dalam aturan Armijo yaitu mencari stepsize yang sesuai sehingga nilai solusi pada iterasi ke-(k+1) lebih kecil atau sama dengan urutan iterasi ke-k, yaitu. Ketika kondisi tersebut tidak terpenuhi, stepsize akan berkurang. Pengurangan stepsize ini mungkin akan berulang berkali-kali sampai kondisi terpenuhi. Secara umum metode ini dapat diterapkan pada berbagai kasus pengoptimalan. Namun secara teori, metode ini memiliki kerugian yang sulit diprediksi (seperti kerugian waktu) dalam memperbaiki stepsize yang dihasilkan pada setiap iterasi untuk konvergen ke titik minimum. Hal ini diilustrasikan pada Gambar 1. Aturan Armijo hanya menguraikan pengurangan stepsize secara berturutturut. Misalkan dan adalah skalar dengan dan dan misalkan dengan adalah bilangan bulat taknegatif pertama m sehingga. (1) Ketika kondisi pada pertaksamaan (1) tidak terpenuhi maka akan dilakukan perubahan secara terus menerus hingga didapatkan kondisi yang memenuhi pertaksamaan (1). Dengan kata lain, stepsize, m=0,1,... adalah percobaan berturut-turut sampai pertaksamaan (1) dipenuhi oleh Gambar 2 mengilustrasikan aturan ini.

17 5 Ilustrasi kegagalan aturan Armijo secara teori Gambar 1 Contoh kegagalan aturan Armijo dalam pengurangan stepsize secara berturut-turut untuk fungsi satu dimensi Misalkan diberikan fungsi sebagai berikut: Gradien fungsi f diberikan oleh Fungsi f adalah fungsi konveks sempurna, kontinu, minimum pada =0 dan terturunkan di daerah asalnya. Lebih jauh lagi, untuk sembarang dua skalar, didapatkan pertaksamaan jika dan hanya jika. Jika dilihat dari titik, didapat Dari persamaan (2) dapat dibuktikan bahwa (3) sehingga dan. (4) Hal ini akan berlaku sama untuk fungsi f dengan daerah asal, sehingga didapatkan dan. (5) Sekarang diasumsikan bahwa iterasi steepest descent dengan stepsize s=1, dengan stepsize yang akan terus menerus berkurang. Misalkan titik awal memenuhi. Dari pertaksamaan (3), (4) dan (5), titik awal mengikuti persamaan dan stepsize s=1. Jadi, titik selanjutnya (2)

18 6 memenuhi Dengan mengulang argumen sebelumnya, dapat di lihat bahwa urutan himpunan memenuhi untuk setiap urutan iterasi ke-k, sehingga iterasi steepest descent tidak dapat membawa fungsi f konvergen ke titik stasioner = 0. Fakta ini dapat menunjukkan bahwa akan memiliki dua titik limit yaitu dan, untuk setiap titik awal dengan. Dengan kata lain, aturan Armijo gagal untuk membuat fungsi f menuju titik stasioner = 0 ketika digunakan titik awal dengan. Ilustrasi pemilihan stepsize dengan aturan Armijo Himpunan stepsize yang mungkin Percobaan stepsize yang tidak berhasil Gambar 2 Pencarian titik minimum dengan aturan Armijo Percobaan dimulai dengan memilih stepsize awal s, kemudian stepsize pada langkah kedua dan selanjutnya dilambangkan dengan,,... sampai pertama kali memenuhi pertaksamaan (6) menggantikan nilai stepsize. Stepsize s,,,... yang memenuhi pertaksamaan (6) dimasukkan ke dalam himpunan stepsize. Pada dasarnya himpunan stepsize tidak membutuhkan sebuah interval namun himpunan stepsize selalu memiliki interval dari [0, ] dengan. Secara umum aturan Armijo akan menemukan stepsize yang tepat setelah sejumlah percobaan evaluasi pada fungsi f di titik. Biasanya dipilih dekat ke nol, misalkan. Faktor pengurang biasanya dipilih dari sampai bergantung pada tingkat kepercayaan kualitas inisialisasi stepsize s. Pada umumnya nilai stepsize bisa dipakai dalam menentukan inisialisasi stepsize s, sedangkan untuk menentukan arah pencarian (search direction) menggunakan berbagai skala nilai. Jika sebuah nilai tidak diketahui, salah satu cara yang dapat digunakan untuk menemukan nilai adalah dengan melakukan interpolasi kuadratik pada fungsi

19 7 Dalam kasus ini, misalkan dipilih beberapa stepsize, yaitu, evaluasi nilai dan lakukan interpolasi kuadratik pada fungsi dengan memasukkan nilai dan = pada fungsi, sehingga, dan. Jika sebuah nilai meminimumkan interpolasi kuadratik, ganti dengan dan gunakan stepsize awal. DESKRIPSI MASALAH Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian masalah optimalisasi tanpa kendala dengan dua metode pendekatan yaitu metode two-point stepsize gradient dan modifikasi two-point stepsize gradient. Secara umum masalah optimalisasi yang akan diselesaikan dalam karya ilmiah ini memiliki asumsi sebagai berikut: 1 masalah optimalisasi merupakan masalah optimalisasi minimum tanpa kendala, 2 fungsi objektif pada masalah optimalisasi tanpa kendala merupakan fungsi yang kontinu dan terturunkan di daerah asalnya, sehingga bentuk formal fungsi objektif yang akan dibahas pada karya ilmiah ini dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: min, (7) dengan adalah fungsi kontinu dan terturunkan di. METODE TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT Metode two-point stepsize gradient merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimalisasi tanpa kendala. Metode ini diperkenalkan dalam (Barzilai dan Borwein 1988). Metode two-point stepsize gradient merupakan salah satu metode optimalisasi matematika yang melakukan pencarian solusi (lokal ataupun global) secara iteratif yang dimulai dari satu titik solusi kemudian melakukan pencarian ke arah titik solusi lain dengan menggunakan titik solusi sebelumnya. Pencarian solusi secara iteratif dapat dinyatakan dalam bentuk:, dengan dan berturut-turut adalah titik solusi pada iterasi ke-k dan ke- (k+1), kemudian adalah arah pencarian (search direction) dan adalah ukuran langkah pencarian (stepsize). Formulasi Metode Two-Point Stepsize Gradient Pada tahun 1988, Barzilai dan Borwein memperkenalkan suatu metode yang dapat digunakan untuk mencari nilai optimal dengan menggunakan strategi

20 8 hampiran deret Taylor di sekitar titik dan dalam menentukan stepsize. Berikut akan dijelaskan secara matematis cara mendapatkan stepsize yang akan digunakan pada metode tersebut. Formulasi metode ini dimulai dengan mendefinisikan persamaan kuadratik deret Taylor di sekitar titik, yang diberikan oleh:. (8) Persamaan (8) merupakan sebuah hampiran untuk fungsi di sekitar titik dengan dan merupakan fungsi objektif. Sebagai catatan matriks merupakan hampiran untuk matriks Hesse fungsi pada (Leong et al. 2010). Diasumsikan bahwa fungsi merupakan fungsi konveks sehingga berdasarkan teorema kekonveksan fungsi dan matriks Hesse, haruslah matriks definit positif dan didefinisikan matriks dengan. Agar diperoleh P yang dapat meminimumkan fungsi, diambil, sehingga, (9),,. (10) Ketika P dijadikan arah pencarian untuk setiap iterasi, maka di hampiri dengan membuat skema iteratif (Blomgren 2013). Menurut Blomgren (2013), stepsize pada metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein () didapat dengan membuat dua kondisi pada persamaan (8), kondisi pertama yaitu harus sama dengan gradien fungsi objektif pada dan kondisi kedua yaitu harus sama dengan gradien fungsi objektif pada. Agar kedua kondisi tersebut terpenuhi maka dipilihlah dan. Selanjutnya, pada saat diperoleh:. Kemudian saat diperoleh:, menurut skema iteratif berarti:. Dengan demikian nilai mengakibatkan sehingga. Dengan menggunakan persamaan (9) diperoleh:,,,,. (11) Misalkan dan maka persamaan (11) dapat ditulis sebagai Kemudian nilai stepsize pada metode diperoleh dengan cara meminimumkan dengan dan merupakan perkalian skalar dari vektor dan. Meminimumkan berarti menyelesaikan dengan merupakan perkalian skalar dari vektor a dan b. Kemudian dibuat turunan pertama

21 dari terhadap sama dengan nol untuk meminimumkan sehingga 9 Nilai diganti dengan sehingga Dengan. diperoleh Selanjutnya dengan menyatakan sebagai stepsize metode, yaitu, diperoleh: (12) Metode mengikuti suatu skema iteratif:, (13) dengan merupakan gradien fungsi pada urutan iterasi. Algoritme Metode Two-Point Stepsize Gradient Berikut adalah algoritme dengan stepsize pada persamaan (12). Algoritme 1 Langkah 0 : diberikan titik awal, batas toleransi dan k = 1. Langkah 1 : jika dengan maka proses berhenti. Langkah 2 : untuk i = 1, stepsize untuk hitung nilai stepsize menggunakan persamaan (12). Langkah 3 : tentukan. Langkah 4 : beri nilai k= k+1, dan lanjutkan ke langkah 1. Langkah 0 merupakan langkah inisialisasi penentuan titik awal iterasi dan batas toleransi yang akan digunakan. Titik awal iterasi yang digunakan sangat memengaruhi iterasi setelahnya sehingga dibutuhkan pemilihan titik awal iterasi yang tepat. Selain itu, pemilihan batas toleransi yang digunakan juga sangat memengaruhi ketepatan suatu titik solusi dalam mencapai nilai minimumnya, sehingga diperlukan pemilihan batas toleransi yang tidak terlalu besar ataupun terlalu kecil. Pemilihan titik awal dan batas toleransi ini nantinya akan lebih dijelaskan dalam Bab Hasil dan Pembahasan. Aturan penghentian algoritme pada langkah 1 menggunakan salah satu uji konvergensi yaitu. Diharapkan ketika nilai (batas toleransi), titik solusi x merupakan titik solusi yang membuat fungsi f(x) optimal.

22 METODE MODIFIKASI TWO-POINT STEPSIZE GRADIENT Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa salah satu metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah pada persamaan (7) adalah metode modifikasi two-point stepsize gradient. Sesuai dengan namanya, metode ini merupakan metode modifikasi dari metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein. Modifikasi ini dilakukan oleh Dai et al. (2002). Modifikasi yang mereka lakukan meliputi dua hal yaitu: 1 perubahan stepsize, 2 penambahan teknik pencarian garis takmonoton. Formulasi Stepsize Baru Pada subbab sebelumnya telah dinotasikan =, yang berarti. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa nilai merupakan hampiran untuk dengan menganggap matriks sehingga nantinya nilai ini akan dimasukkan ke dalam persamaan kuadratik deret Taylor untuk menggantikan nilai. Model kuadratik dari deret Taylor untuk hampiran fungsi di sekitar titik diberikan sebagai berikut: (14) dengan dan. Fungsi disebut sebagai fungsi objektif. Menurut Dai et al. (2002), untuk mendapatkan stepsize baru dibuatlah dua buah kondisi pada model kuadratik. Kondisi pertama yaitu harus sesuai dengan gradien fungsi objektif pada dan kondisi kedua yaitu harus sesuai dengan gradien fungsi objektif pada. Agar kedua kondisi tersebut terpenuhi maka dipilihlah = 0 dan =. Kondisi pertama, yaitu = 0, yang berarti sehingga, dan,,. Kondisi kedua, yaitu =, yang berarti sehingga,,,, (15) dan gradien untuk adalah,,,

23 ,,. (16) Berdasarkan persamaan (15) dan (16), maka persamaan (14) dapat diubah menjadi,,,, Jadi, didapatkan stepsize baru. 11. (17) Persamaan (17) inilah yang akan menjadi stepsize bagi metode modifikasi twopoint stepsize gradient (MTSG). Selanjutnya dengan menyatakan pada persamaan (17) sebagai stepsize metode MTSG, yaitu, diperoleh:. (18) Teknik Pencarian Garis Takmonoton Teknik ini merupakan salah satu aturan tambahan untuk memilih stepsize. Ide dari teknik ini diambil dari aturan Armijo yaitu menentukan nilai stepsize dalam setiap iterasi sehingga membuat nilai solusi pada iterasi ke-(k+1) lebih kecil dari nilai solusi pada iterasi ke-k; untuk masalah minimum dengan nilai M merupakan batas untuk mencari nilai yang paling maksimum dari nilai fungsi f pada iterasi ke-k dengan nilai fungsi f pada iterasi ke-. Ketika nilai maka batas maksimum fungsi tersebut mencari nilai yang paling maksimum dari nilai fungsi f pada iterasi ke-k dengan nilai fungsi f pada iterasi ke-. Pertidaksamaa ini menjelaskan bahwa pada iterasi ke-(k+1) teknik ini menjamin nilai fungsi f(x) akan lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi f(x) pada iterasi ke-k sampai iterasi ke-( - dengan cara mengubah-ubah stepsize. Jadi, dengan adanya teknik ini membuat MTSG diarahkan menuju titik optimalnya. Algoritme Metode Modifikasi Two-Point Stepsize Gradient Pada algoritme MTSG terdapat variabel yang berperan dalam pemilihan stepsize ketika Variabel menunjukkan secara kuantitas seberapa dekat fungsi ke bentuk kuadratik pada selang garis antara dan. Menurut Dai et al. (2002), untuk menentukan seberapa dekat fungsi ke bentuk kuadratik, diasumsikan tiga buah konstanta positif yaitu dengan ketiga konstanta tersebut memenuhi kondisi. Jika, atau max atau max, maka secara kuantitas fungsi sangat dekat ke bentuk kuadratik pada selang garis antara dan.

24 12 Jadi, dalam Algoritme 2, pada langkah 2 dapat dilihat bahwa ketika atau max atau max selainnya. Pada saat maka stepsize yang dipilih adalah max sedangkan ketika stepsize yang dipilih adalah, artinya ketika fungsi sangat dekat ke bentuk kuadratik maka stepsize yang dipilih adalah sedangkan untuk fungsi yang sulit diketahui bentuk fungsinya dalam selang garis antara dan maka stepsize yang diambil adalah max atau. Algoritme 2 Langkah 0: misalkan diberikan Langkah 1: jika berhenti. Langkah 2:(a) Jika, lanjut ke langkah 3. Jika maka =, =1, lanjut ke langkah 3, (b) Hitung dan dengan persamaan (12) dan (18) secara berurutan;, (c) ; jika atau atau maka, (d) Jika maka ; selainnya = max. Langkah 3: (pencarian garis takmonoton) jika. maka, lanjut ke langkah 1. Langkah 4: pilih, buat, lanjut ke langkah 3. Langkah 0 merupakan inisialisasi penentuan titik awal iterasi, stepsize awal, batas toleransi dan variabel-variabel lain yang akan digunakan pada Algoritme 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Metode modifikasi two-point stepsize gradient (Algoritme 2) dengan metode two-point stepsize gradient Barzilai dan Borwein (Algoritme 1) untuk masalah optimal minimum dikodekan menggunakan software MATLAB R2008b. Kriteria penghentian algoritme dan MTSG meliputi tiga hal yaitu: 1 untuk metode MTSG dan, dengan merupakan batas toleransi yang digunakan, 2 titik solusi pada iterasi ke-n sama dengan titik solusi pada iterasi ke-(n+1), (n+2),... sehingga pada kasus ini banyaknya iterasi ditulis n dan diasumsikan banyaknya solusi adalah n, 3 MATLAB melakukan penghentian algoritme karena angka yang dihitung terlalu besar. Fungsi yang akan diujikan untuk kedua algoritme ini didapat dari More et al. (1981) dan beberapa sumber lainnya. Titik awal dalam kasus ini ibarat sebuah

25 bumerang. Ketika titik awalnya terlalu jauh dari titik optimalnya maka iterasi akan berlangsung lama untuk menuju titik optimal yang sesungguhnya. Namun, ketika titik awalnya terlampau dekat atau tepat di titik optimalnya maka sulit untuk menarik kesimpulan tentang metode mana yang lebih efisien digunakan dalam mencari solusi yang diharapkan. Dalam karya ilmiah ini pemilihan titik awal didapat dari artikel yang ditulis oleh More et al. (1981) yang telah banyak dirujuk oleh berbagai artikel sebagai acuan dasar dalam menentukan titik awal. Namun, fungsi yang dipakai pada karya ilmiah ini tidak semuanya diambil dari artikel yang ditulis oleh More et al. (1981) sehingga untuk kasus fungsi yang tidak dimuat oleh More et al. (1981), penulis menentukan sendiri titik awal iterasinya. Dalam karya ilmiah ini, digunakan sebagai notasi untuk nilai optimal yang diperoleh dari setiap algoritme, sedangkan merupakan nilai optimal yang sudah diketahui dari sumber yang dirujuk. Beberapa kriteria yang akan dibandingkan dalam karya ilmiah ini meliputi jumlah iterasi, nilai optimal dan waktu iterasi. Waktu iterasi yang ada pada tabel merupakan rata-rata waktu iterasi dengan lima kali pengulangan. Fungsi yang akan diujikan dikelompokkan berdasarkan nilai solusi optimalnya sehingga fungsi ini dibedakan menjadi tiga yaitu: 1 fungsi dengan nilai optimal global di satu titik, 2 fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik, dan 3 fungsi tanpa minimum global. 13 Hasil Numerik untuk Fungsi dengan Nilai Optimal Global di Satu Titik Fungsi yang dimaksud dalam kelompok ini adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai solusi minimum global dan satu titik solusi minimum global. 1. Fungsi Wood dan Tabel 1 Hasil numerik untuk fungsi Wood Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi Beale dan Tabel 2 Hasil numerik untuk fungsi Beale Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG

26 14 3. Fungsi penalty I. Tabel 3 Hasil numerik untuk fungsi penalty I Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi trigonometrik dan, dan Tabel 4 Hasil numerik untuk fungsi trigonometrik Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi extended Powell singular dan Tabel 5 Hasil numerik untuk fungsi extended Powell singular Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi variably dimensioned dan Tabel 6 Hasil numerik untuk fungsi variably dimensioned Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG

27 15 7. Fungsi Brown badly scale dan Tabel 7 Hasil numerik untuk fungsi Brown badly scale Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi kuadratik 1 dan Tabel 8 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik 1 Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi kuadratik 2 dan Tabel 9 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik 2 Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG Fungsi Biggs EXP6 dan. Tabel 10 Hasil numerik untuk fungsi Biggs EXP6 Metode Jumlah iterasi Waktu iterasi (detik) MTSG

28 16 Hasil Numerik untuk Fungsi dengan Nilai Optimal Global di Banyak Titik Fungsi yang dimaksud dalam kelompok ini adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai solusi minimum global, namun memiliki banyak titik solusi minimum global. 11. Fungsi kuadratik 3 dan. Tabel 11 Hasil numerik untuk fungsi kuadratik jenis 3 Metode Jumlah iterasi Waktu iterasi (detik) MTSG Fungsi trigonometrik II Bentuk fungsi trigonometrik yang dimaksud adalah, titik awal yang digunakan pada kasus ini adalah x=, x=, x=, x=, x=, x =. Gambar 3 Grafik tiga dimensi fungsi trigonometrik II pada selang 0-20 Titik awal x= x= x= x= x= x = Tabel 12 Hasil numerik fungsi trigonometrik II Metode MTSG MTSG MTSG MTSG MTSG MTSG Jumlah iterasi Waktu iterasi (detik)

29 17 Hasil Numerik untuk Fungsi Tanpa Minimum Global Fungsi yang dimaksud dalam kelompok ini adalah fungsi yang hanya memiliki nilai solusi minimum lokal atau tidak memiliki nilai solusi minimum lokal maupun global. 13. Fungsi kubik Bentuk kubik yang dimaksud adalah fungsi, titik awal yang digunakan adalah x=, x=, x= dan x=. Titik awal x= x= x= x = Gambar 4 Grafik tiga dimensi fungsi kubik Tabel 13 Hasil numerik fungsi kubik Metode Jumlah Waktu iterasi iterasi (detik) MTSG MTSG MTSG MTSG Fungsi kuadratik konkaf Bentuk fungsi kuadratik konkaf yang dipakai adalah sebagai berikut, titik awal yang digunakan adalah - dan, - Gambar 4 Grafik tiga dimensi fungsi kuadratik konkaf

30 18 Tabel 14 Hasil numerik fungsi kuadratik konkaf dengan titik awal dan = Titik awal Metode MTSG MTSG Jumlah iterasi Waktu iterasi (detik) Perbandingan antara metode MTSG dan yang ditampilkan pada data tabel di atas akan ditampilkan menggunakan grafik sebagai berikut: Wood Baele Penalty 1 Trigonometrik Extended Powell Variably Brown badly scale Kuadratik 1 Kuadratik 2 Biggs EXP6 Kuadratik q b kuadratik Trigonometrik Kubik konkaf MTSG Gambar 5 Rata-rata waktu iterasi pada fungsi MTSG dan Pada Gambar 6 terlihat bahwa rata-rata waktu iterasi yang dibutuhkan untuk metode lebih cepat dari metode MTSG Wood Baele Penalty 1 Trigonometrik Extended powell Variably Brown badly scale Kuadratik 1 Kuadratik 2 Biggs EXP6 Kuadratik Gambar 6 Jumlah iterasi untuk metode MTSG dan 1.1 q b kuadratik MTSG trigonometrik kubik konkaf

31 Gambar 7 memberikan informasi bahwa pada kelompok fungsi dengan nilai optimal global di satu titik, jumlah iterasi metode MTSG secara umum lebih kecil dari jumlah iterasi metode. Namun pada kelompok fungsi dengan nilai optimal di banyak titik dan fungsi tanpa minimum global jumlah iterasi metode MTSG secara umum lebih besar dibandingkan metode. Adanya penambahan teknik pencarian garis takmonoton membuat metode MTSG memiliki jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode karena teknik ini akan terus mencari nilai yang membuat. Hal ini memungkinkan adanya perubahan terus menerus terhadap stepsize pada Algoritme 2 di langkah 3 hingga mendapatkan kondisi, akan tetapi perubahan stepsize pada langkah 3 ini tidak termasuk dalam hitungan jumlah iterasi E E E-29 MTSG Gambar 7 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan untuk fungsi dengan nilai optimal global di satu titik 5.000E E E+00 Kuadra trigonometrik MTSG Gambar 8 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan untuk fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik

32 q b kubik kuadratik konkaf MTSG Gambar 9 Nilai minimum yang dihitung menggunakan metode MTSG dan untuk fungsi tanpa minimum global Gambar 8, 9 dan 10 menunjukkan bahwa untuk semua kelompok fungsi kecuali fungsi kuadratik 1 dan 2, metode MTSG memiliki nilai minimum yang sama atau lebih kecil dibandingkan dengan metode. Selain itu, terlihat pada Gambar 8 bahwa untuk fungsi Brown badly scale (7) metode tidak bisa menemukan nilai optimalnya. Metode pada fungsi Brown badly scale (7) memiliki jumlah iterasi 51 padahal pada iterasi ke 51 metode belum mencapai nilai optimal global maupun lokal karena pada iterasi ke-52, sehingga dan MATLAB tidak bisa melanjutkan iterasinya lagi sehingga iterasi berhenti pada iterasi ke 51. Pada fungsi Beale (2) terlihat bahwa metode menemukan titik solusi yang berbeda dengan titik optimal yang ada pada artikel More el al. (1998). Hal ini terjadi karena pada iterasi ke-149, sehingga iterasi terhenti pada saat iterasi ke-149, hasil algoritme secara lengkap dapat dilihat di Lampiran 4. Fungsi kuadratik 1, 2 dan 3 menunjukkan bahwa metode sama baiknya dengan metode MTSG dalam hal jumlah iterasi, waktu iterasi dan nilai optimal. Hal ini terjadi karena stepsize yang digunakan pada metode maupun MTSG hampir sama (lihat Lampiran 5, 6 dan 7). Pada fungsi kuadratik konkaf, metode MTSG selalu mengarahkan titik optimalnya ke titik atau untuk yang membuat. Sementara pada fungsi kubik ketika titik awalnya dimulai dari optimal lokal yaitu pada saat dan pencarian solusinya selalu mengarah ke optimal lokal yaitu x * = sedangkan untuk titik awal yang dimulai dari dan solusi titik optimalnya selalu menuju. Hal ini dikarenakan pada saat titik awalnya teknik pencarian garis takmonoton mengarahkan solusi ke nilai optimal yang lebih kecil dibandingkan dengan titik awalnya. Sementara itu, di titik merupakan titik optimal lokal fungsi kubik yang membuat sehingga iterasi terhenti pada titik tersebut. Metode untuk fungsi dengan nilai optimal global di banyak titik dan fungsi tanpa minimum global menunjukkan bahwa untuk sembarang titik awal di daerah asal fungsi selalu mengarah ke titik solusi terdekat dengan sedangkan metode MTSG untuk fungsi trigonometrik II ketika titik awalnya berada di salah satu titik maksimum lokal maupun global memberikan nilai stepsize yang cukup besar sehingga membuat titik solusi yang ditemukan

33 cukup jauh dari titik awal iterasi, sedangkan untuk titik awal yang cukup jauh dari titik maksimumnya memberikan stepsize yang kecil sehingga titik solusinya tidak jauh dari titik awalnya. 21 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Metode dan MTSG menggunakan arah pencarian (search direction) gradien untuk menentukan solusi optimalnya, namun berbeda dalam ukuran langkah pencarian (stepsize). Dalam hal waktu iterasi metode lebih unggul dari metode MTSG, namun dalam hal kekonvergenan menuju titik optimal metode MTSG lebih unggul dibandingkan dengan metode. Hal ini dikarenakan metode MTSG menggunakan teknik pencarian garis takmonoton untuk menuju titik optimalnya. Penambahan teknik pencarian garis takmonoton ini membuat algoritme MTSG lebih lama dari algoritme. Jadi, secara umum metode MTSG lebih baik dibandingkan metode dalam menemukan nilai solusi optimalnya dengan adanya penambahan pencarian garis takmonoton. Saran Metode two-point stepsize gradient untuk optimalisasi tanpa kendala ini dapat dikembangkan lagi dari sisi perbaikan stepsize atau dengan penambahan teknik pemilihan stepsize yang lainnya selain teknik pencarian garis takmonoton. Selain itu, algoritme yang dipakai dalam skripsi ini juga bisa dikodekan dengan bahasa software pemrograman lainnya yang mungkin akan lebih efektif dan lebih efisien dalam waktu iterasinya. DAFTAR PUSTAKA Barzilai J, Borwein JM Two-point stepsize gradient methods. IMA Journal of Numerical Analysis. 8: doi: /imanum/ Bertsekas DP Nonlinear Programming. Ed ke-9. Massachusetts (US) : Athena scientific. Birgin EG, Martinez JM, Raydan M Nonmonotone spectral projected gradient methods on convex sets. SIAM Journal on Optimization. 10(4): doi: /S Blomgren P Numerical optimization: quasi-newton methods-the BFGS method. Dynamical Systems Group Computational Sciences Research Center [internet]. [diunduh 2014 April 9]. Tersedia pada: Dai Y, Yuan J, Yuan Y Modified Two-point stepsize gradient methods for unconstrained optimization. Computational Optimization and Application. 22: doi: /A:

34 22 Leong WJ, Hassan MA, Farid M A monotone gradient method via weak secant equation for unconstrained optimization. Taiwanese Journal of Mathematics [internet]. [diunduh 2014 April 5]; 14(2): Tersedia pada: No18.pdf. More JJ, Garbow BS, Hillstrom KE Testing unconstrained optimization software. ACM Transaction on Mathematical Software. 7:17-41.doi: / Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ The Mathematics of Nonlinear Programming. New York (US): Springer-Verlag. Smith RT, Minton RB Calculus. New York (US): McGraw-Hill.

35 LAMPIRAN Lampiran 1 Sintaks program MATLAB R2008b untuk metode dalam menyelesaikan 14 fungsi yang diujikan function [x,xi,ai,gi,fopt,gopt,kiterasi]=(varargin) tic x=[ ];%titik awal yang digunakan; f1 (x1+1)*(x1-4)*(x1-12)+(x2+1)*(x2-4)*(x2-12);%bentuk fungsi yang digunakan; f2 f1(x(1),x(2)); %gradient fungsi; (x(2)-4)*(x(2)-12)+(x(2)+1)*(x(2)-12)+(x(2)+1)*(x(2)-4)]; e= ; k=0; xi=x; ai=1; gi=g(x)'; while norm(g(x))>e, if k==0 a=1; b=x; x=x-a*g(b)'; else a=((x-b)*(x'-b'))/((x-b)*(g(x)-g(b))); b=x; x=x-a*g(x)'; end k=k+1; xi=[xi;x]; gi=[gi;g(x)']; ai=[ai;a]; end kiterasi=k; Fopt=f2(x); gopt=norm(g(x)); toc Lampiran 2 Sintaks program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dalam menyelesaikan 14 fungsi yang diujikan function [xoptimal,uk,foptimal,goptimal,kiter]=kiki(varargin) tic x=[ ]; %titik awal yang digunakan; f1 100*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2+90*(x4-x3^2)^2+(1- x3)^2+10*(x2+x4-2)^2+(x2-x4)^2/100;%bentuk fungsi yang digunakan; f2 f1(x(1),x(2),x(3),x(4)); %gradient fungsi; 100*(x(2)-x(1)^2)*2+20*(x(2)+x(4)-2)+(x(2)-x(4))*2/ *x(3)*(x(4)-x(3)^2)-2*(1-x(3)) 180*(x(4)-x(3)^2)+20*(x(2)+x(4)-2)-(x(2)-x(4))*2/100]; e= ;

36 24 hasil=[]; uk=[]; m=10; y=0.0001; a=1/max(abs(g1(x))); a2=0.2; s1=10^30; c1=0.01;c2=0.2;c3=0.3;has=x; uko=[]; k=0; agi=a; ggi=g1(x)'; while max(abs(g1(x)))>e, if k==0, % langkah 3; if f2(x'-a.*g1(x))<= f2(x)-y*a*(norm(g1(x))^2), b=x;x=x-a.*g1(x)'; %langkah 4; else while f2(x'-a.*g1(x))> f2(x)-y*a*(norm(g1(x))^2), a=a2*a; end, b=x; x=x-a.*g1(x)'; end, %lngkah 2a untuk k!=1... k!=0; else if (x-b)*(g1(x)-g1(b))<=0, a=s1; u=1; uk=[uk;u]; %langkah 3; for i=0: min(k,m), hasil=[hasil;f2(has(k-i+1,:))]; end if f2(x'-a.*g1(x))<= max(hasil)-y*a*(norm(g1(x))^2), b=x; x=x-a.*g1(x)'; else while f2(x'-a.*g1(x))> max(hasil)- y*a*(norm(g1(x))^2), a=a2*a; end, b=x; x=x-a.*g1(x)'; end, %langkah 2b; else ak=((x-b)*(x'-b'))/((x-b)*(g1(x)-g1(b))); ab=(x-b)*(x'-b')/(2*(f2(b)-f2(x)+g1(x)'*(x'-b'))); u=abs(ak/ab-1); uk=[uk;u]; %langkah 2c; if k==1, if u<=c1, a=ab; %langkah 2d; else a=max(1/s1,min(ak,s1)); end else if k==2, for l=0:1, uko=[uko;uk(k-l,:)]; end

37 if u<=c1 max(uko)<=c2 a=ab; %langkah 2d; else a=max(1/s1,min(ak,s1)); end else if k>=3, clear('ukp','uko') ukp=[];uko=[]; for l=0:2, ukp=[ukp;uk(k-l,:)]; end for l=0:1, uko=[uko;uk(k-l,:)]; end if u<=c1 max(uko)<=c2 max(ukp)<=c3, a=ab; %langkah 2d; else a=max(1/s1,min(ak,s1)); end end end end %langkah 3; for i=0: min(k,m), hasil=[hasil;f2(has(k-i+1,:))]; end if f2(x'-a.*g1(x))<= max(hasil)-y*a*(norm(g1(x))^2), b=x; x=x-a.*g1(x)'; else while f2(x'-a.*g1(x))> max(hasil)-y*a*(norm(g1(x))^2), a=a2*a; end, b=x; x=x-a.*g1(x)'; end, end end has=[has;x]; k=k+1; agi=[agi;a]; ggi=[ggi;g1(x)']; end kiter=k; xoptimal=x; foptimal=f2(xoptimal); goptimal=max(abs(g1(x))); toc 25

38 26 Lampiran 3 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi Brown badly scale Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG Iterasi Stepsize ke , Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode Iterasi ke- (1.00E+78) Stepsize (1.00E+233) , ,

39 27 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode (lanjutan) Iterasi ke- (1.00E+78) Stepsize (1.00E+233)

40 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode (lanjutan) Iterasi ke- (1.00E+78) Stepsize (1.00E+233) NaN NaN NaN NaN NaN Lampiran 4 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG dan dalam menyelesaikan fungsi Beale Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG Iterasi ke- Stepsize

41 29 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode MTSG (lanjutan) Iterasi ke- Stepsize

42 30 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode Iterasi ke- (1.00E+04) Stepsize (1.00E+05) (1.00E+25)

43 31 Hasil komputasi program MATLAB R2008b untuk metode (lanjutan) Iterasi ke- (1.00E+04) Stepsize (1.00E+05) (1.00E+25)