Bentuk standar PL secara umum adalah: Maksimumkan atau minimumkan z = Σcjxj Terhadap Σaijxj = bi

Transkripsi

1 Bentuk standar PL secara umum adalah: Maksimumkan atau minimumkan z = Σcjxj Σaijxj = bi xj 0 xj : variabel keputusan, slack, surplus dan artificial 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 1

2 Konversi dual dari primal dilakukan dengan memperhatikan hubungan seperti yang ditunjukkan tabel berikut: Variabel primal Nilai kanan pembatas dual Koefisien pembatas dual x 1 x 2 x j x n c 1 c 2 c j c n a 11 a 12 a 1j a 1m b 1 y 1 a 21 a 22 a 2j a 2m b 2 y 2 a m1 a m2 a mj a mn b m y m V a r d u al Koefisien pembatas dual ke-j Koefisien tujuan dual 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 2

3 Tabel di atas menunjukkan bahwa dual didapatkan secara simetris dari primal sesuai dengan aturan berikut: Untuk setiap pembatas primal ada variabel dual Untuk setiap variabel primal ada pembatas dual Koefisien pembatas variabel primal membentuk koefisien pembatas dual Koefisien fungsi tujuan variabel yang sama dari primal menjadi nilai kanan pembatas dual Elemen lain dari permasalahan dual ditentukan dengan cara seperti yang ditunjukkan tabel di bawah 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 3

4 Tujuan standar primal Maksimisasi Minimisasi Tujuan Minimisasi Maksimisasi Dual Pembata s Variabel Tdk terbatas Tdk terbatas Contoh: 1 Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai!! Minimumkan z = 2x x 2 Kendala: x 1 + x 2 = x x x x x x 2 45 x 1, x 2 0 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 4

5 Penyelesaian Minimumkan z = 2 x x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 erhadap: x 1 + x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 90 y x x 2 + x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 09 y 2 009x x 2 + 0x 3 x 4 + 0x 5 = 27 y 3 002x x 2 + 0x 3 + 0x 4 + x 5 = 45 y 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 5

6 Bentuk dualnya terdiri dari 4 variabel dan 2 pembatas, yaitu: Maksimumkan w = 90y1 + 09y2 + 27y3 + 45y4 y y y y4 2 y y2 + 06y y4 55 0y1 + y2 + 0y3 + 0y4 0 0y1 + 0 y2 - y3 + 0y4 0 0y1 + 0y2 + 0y3 + y4 0 y1, y2, y3, y4 tidak terbatas atau 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 6

7 Maksimumkan w = 90y y y y 4 y y y y 4 2 y y y y 4 55 y 2, -y 3, y 4 0 y 1 tidak terbatas 2 Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai!! Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 : 10x 1 + 5x x x x x x 1, x 2 0 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 7

8 Penyelesaian Bentuk baku/standar primal adalah: Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 : 10x1 + 5x2 + x3 = 600 6x1 + 20x2 + x4 = 600 8x1 + 15x2 + x5 = 600 x1, x2, x3, x4, x5 0 Bentuk dualnya adalah: Minimumkan w = 600y y y3 10y1 + 6y2 + 8y3 2 5y1 + 20y2 + 15y3 3 y1 0 y2 0 y3 0 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 8

9 3 Ubahlah bentuk dual di bawah ini ke dalam bentuk primalnya!!! Maksimumkan w = 100y y y y 4 2y 1 + 2y 2 + y 3 + y 4 5 y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 2y y 1 + 2y 2 + 4y 3 + y 4 10 y 1, y 3 0 y 2 0 y 4 tidak terbatas 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 9

10 Penyelesaian Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 2x1 + x2 + 2x3 + x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 100 2x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 - x5 + 0x6 = 200 x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 + x6 = 150 2x1 + x2 + x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 150 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0 atau dalam bentuk umum PL-nya: Minimumkan z = 5x1 + 10x2 + 10x3 2x1 + x2 + 2x x1 + 2x2 + 2x3 200 x1 + 3x2 + 4x x1 + x2 + x3 = 150 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 10

11 4 Diberikan bentuk dual di bawah ini, ubahlah ke dalam bentuk primalnya!!! Minimumkan w = 10y1 + 20y2 y1 + y2 2 y1 + 2y2 3 y1, -y2 0 Penyelesaian Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 +0x3 + 0x4 x1 + x2 + x3 + 0x4 = 10 x1 + 2x2 + 0x3 - x4 = 20 x1, x2, x3, x4 0 atau bentuk umum PL-nya adalah: Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 x1 + x2 10 x1 + 2x2 20 x1, x2 0 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 11

12 Bentuk matriks primal adalah: Maksimumkan/minimumkan z = CIXI + CIIXII AXI + IXII = b XI, XII 0 Bentuk matriks dualnya adalah: Minimumkan/maksimumkan w = Yb YA / CI Y / CII Y adalah vektor tidak terbatas 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 12

13 Solusi optimal fungsi tujuan dual adalah w = Yb = C B B -1 b Solusi optimal fungsi tujuan primal adalah z = C B X B = C B B-1b Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 : 10x1 + 5x x1 + 20x x1 + 15x2 600 x1, x2 0 Bentuk baku/standar: Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 10x1 + 5x2 + s1 = 600 6x1 + 20x2 + s2 = 600 8x1 + 15x2 + s3 = 600 x1, x2, s1, s2, s3 0 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 13

14 VB X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solusi z /70 1/ S /7-17/ X /70-3/ X /14 2/ Bentuk dual dari primal di atas adalah: Minimumkan w = 600y y y3 10y1 + 6y2 + 8y3 2 5y1 + 20y2 + 15y3 3 y1 0 y2 0 y3 0 Solusi dual adalah w = Yb, dimana Y = CBB-1 y1 = 0; y2 = 9/70 dan y3 = 1/35 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 14

15 INTERPRETASI EKONOMIS PERMASALAHAN DUAL Harga dual menunjukkan kegunaan per unit sumber daya produksi Biaya terkurangi menunjukkan peningkatan pengembalian marjinal atau pengurangan biaya per unit sumber daya yang dibutuhkan untuk membuat satu aktifitas PL lebih menguntungkan Primal Maksimumkan z = Σ cjxj Σ aijxj = bi, i = 1, 2,, m xj 0, j = 1, 2,, n 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 15

16 Dual Minimumkan w = Σ biyi Σ aijyi cj, j = 1, 2,, n yi tidak terbatas, i = 1, 2,, m cj : keuntungan marjinal aktivitas j dengan level sama dengan xj unit Fungsi objektif : keuntungan total yang dapat diperoleh dari semua aktivitas Model tersebut mempunyai sejumlah m sumber daya, dimana sumber daya ke-i mempunya level bi yang dialokasikan pada laju aij per unit untuk aktivitas j Σ aijxj menunjukkan penggunaan sumber daya kei oleh semua aktivitas Variabel dual dari persamaan di atas adalah yi 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 16

17 z = w atau Σ cjxj= Σ biyi Sisi kiri persamaan : uang (pengembalian) bi : unit (jumlah) sumber daya ke-i, yi : jumlah uang per unit sumber daya ke-i Variabel dual yi : kegunaan per unit sumber daya ke-i Biaya Terkurangi Jumlah uang per unit keuntungan/kerugian = jumlah uang per unit biaya jumlah uang per unit pengembalian 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 17

18 Kondisi optimal maksimisasi metode simpleks (simpleks yang direvisi) menunjukkan bahwa level aktivitas j saat ini yang tidak digunakan akan dinaikkan di atas level 0 hanya jika koefisien tujuannya zj cj bernilai negatif Kondisi ini dipenuhi secara ekonomis dengan cara berikut: dari interpretasi zj cj, kondisi optimal memaksa bahwa (biaya yang dikenakan untuk penggunaan sumber daya per unit j pengembalian per unit j) < 0 Ketika aktivitas masuk j ke variabel basis, kita meningkatkan levelnya ke titik dimana zj cj nya berkurang menuju 0 mengekploitasi aktivitas ke pemberdayaan paling penuh, karena peningkatan selanjutnya akan menghasilkan peningkatan biaya yang dikenakan di luar pengembalian potensial 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 18 aktivitas

19 Aktivitas yang mempunyai level 0 pada solusi optimal (variabel non basis), kuantitas zj cj menunjukkan biaya terkurangi per unit aktivitas j Kuantitas ini menunjukkan jumlah dimana secara ekonomis aktivitas harus diperbaiki untuk membuat aktivitas lebih atraktif secara ekonomis yang dapat terjadi dalam dua cara, yaitu: 1Meningkatkan pengembalian marjinal aktivitas, cj 2Menurunkan konsumsi aktivitas akan sumber daya terbatas, Σ aijyi 8/1/2005 created by Hotniar Siringoringo 19