TINJAUAN PRIMAL-DUAL DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN

Transkripsi

1 TINJAUAN PRIALDUAL DALA PENGABILAN KEPUTUSAN Oleh : Lusi elian Staf Pengajar Program Studi Sistem Informasi Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Komputer Indonesia ABSTRAK Suatu program linear dengan bentuk asli disebut sebagai primal, sedangkan bentuk kedua yang berhubungan disebut dual yang merupakan sebuah bentuk alternatif suatu program linear yang berisi informasi mengenai nilainilai sumber yang biasanya merupakan pembatas dari suatu model. Dual merupakan bentuk alternatif model sebagai pengembangan bentuk primal. Bentuk dual dirumuskan dan diinterpretasikan untuk mendapatkan informasi tambahan setelah menentukan solusi optimal suatu masalah program linear. Tabel simpleks yang diperoleh dari pemecahan masalah program linear primal mengandung informasi ekonomi tambahan yang tidak kalah penting daripada solusi optimum masalah tersebut, sehingga suatu solusi terhadap primal juga memberikan solusi pada bentuk dualnya. Analisis pada bentuk primal akan menghasilkan solusisolusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh, sedangkan analisis pada bentuk dual akan memberikan informasi mengenai harga dari sumber daya yang menjadi kendala tercapainya laba tersebut.. I. HUBUNGAN PRIAL & DUAL a. asalah PrimalDual Simetrik Suatu program linear dikatakan berbentuk simetrik jika semua konstanta ruas kanan pembatas bernilai non negatif dan semua pembatas berupa pertidaksamaan, dimana pertidaksamaan dalam masalah maksimasi berbentuk, dan pertidaksamaan dalam minimasi berbentuk. Dalam notasi matriks masalah primaldual simetrik adalah: Primal : aksimasi Z = cx dengan pembatas AX b X Dual : inimasi W = Yb dengan pembatas YA c Y dimana c adalah vektor baris 1xn, X adalah vektor kolom nx1, A adalah suatu matriks mxn, b adalah vektor kolom mx1, dan Y adalah vektor baris 1xm. Atau lebih jelasnya: Primal : aksimasi Z = c 1X 1 + c 2X c nx n a 11X 1 + a 12X a 1nX n b 1 a 21X 1 + a 22X a 2nX n b 2..

2 a m1x 1 + a m2x a mnx n b n 1, X 2,, X n Dual : inimum W = b 1Y 1 + b 2Y b my m a 11Y 1 + a 21Y a m1y m c 1 a 12Y 1 + a 22Y a m2y m c 2.. a 1nY 1 + a 2nY a mny m c n Y 1,Y 2,, Y m Bila masalah primal dibandingkan dengan masalah dual, terlihat beberapa hubungan sebagai berikut: 1. Koefisien fungsi tujuan masalah primal (c) menjadi konstanta ruas kanan pembatas dual. Sebaliknya, konstanta ruas kanan pembatas dual menjadi koefisien fungsi tujuan dual. 2. Tanda pertidaksamaan pembatas dibalik (pada primal, pada dual ) 3. Tujuan berubah dari min (maks) pada primal menjadi maks (min) pada dual. 4. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (kendala) dalam dual. Sehingga banyaknya pembatas dual akan sama banyaknya dengan variabel keputusan primal. 5. Setiap baris (pembatas) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual. Sehingga setiap pembatas primal ada satu variabel keputusan dual. 6. Bentuk dual dari dual adalah primal. Contoh dari bentuk primaldual simetrik adalah sebagai berikut: Primal: aks Z = 4x 1+ 5x 2 + 4x 3 4x 1+ 4x 2 + 6x 3 6 8x 1+ 4x 2 + 6x 3 8 x 1, x 2,x 3 Dual: in W = 6y 1 + 8y 2 4y 1 + 8y 2 4 4y 1 + 4y 2 5 6y 1 + 6y 2 4 y 1, y 2 Apabila persoalan primal tersebut diselesaikan dengan metode simpleks maka diperoleh tabel simpleks optimum sebagai berikut: x1 x2 x3 S1 S2 5x /2 1/4 15 S ZjCj Z Berdasarkan tabel tersebut kita peroleh solusi optimum x 1=, x 2=15 dan x 3=. Adapun nilainilai variabel slack adalah S 1= dan S 2=2, sedangkan nilai Z optimal adalah 75. Adapun tabel simpleks optimum untuk persoalan dual adalah sebagai berikut: 6 8 y1 y2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 S3 3/ / S y1 1 1 ZjCj 2 Z 6 6 1/ / Berdasarkan tabel diatas kita peroleh solusi optimum y 1 = 125 dan y 2 = adapun nilainilai variabel slack adalah S 1 = 1, S 2 = dan 75

3 S 3= 35, sedangkan nilai Z optimal adalah 75. Apabila kita menelaah solusi optimum primal dan solusi optimum dual terdapat hasil yang menarik yaitu: Variabel Slack Primal S1 S2 Koef. Pers. ZjCj pada optimum primal 125 Variabel keputusan dual yang berhubungan y1 y2 Kemudian perhatikan : Variabel Slack Dual S1 S2 S3 Koef. Pers. ZjCj pada optimal dual (dikalikan 1) Variabel keputusan primal yang berhubungan 15 x1 x2 x3 Terlihat bahwa solusi optimum primal memberikan solusi terhadap permasalahan dual yang berhubungan, begitu juga sebaliknya solusi optimum dual akan memberikan solusi terhadap permasalahan optimalnya. Sehingga dengan memecahkan salah satu persoalan baik primal maupun dual, kita dapat menentukan solusi optimum dari permasalahan kawannya. Selain itu keterkaitan antara solusi optimum primal dan solusi optimum dual pun dapat ditunjukan oleh kedua tabel berikut: Variabel basis awal Primal S1 S2 Koef. Pers. ZjCj pada optimum primal Variabel keputusan dual yang berhubungan 125 y1 y2 Kemudian perhatikan: Variabel basis awal dual Koef. Pers. ZjCj pada optimal dual (dengan menghilangkan ) Variabel keputusan primal yang berhubungan R1 R2 R3 15 x1 x2 x3 Kedua tabel tersebut memberikan kesimpulan yang sama, yaitu bahwa solusi optimum primal memperlihatkan solusi optimum dual, begiru juga sebaliknya. Hal lain yang dapat kita lihat dari tabel solusi optimum primal dan dual adalah nilai optimum fungsi tujuannya yang bernilai sama yaitu Z = W = 75. Hal tersebut sesuai dengan ain Duality Theorem yang menyatakan bahwa Jika baik masalah primal maupun dual adalah layak, maka keduanya memiliki solusi demikian hingga nilai optimum fungsi tujuannya adalah sama. Selain itu solusi optimum primal dan dual dapat diperoleh melaui penerapan metode Revised simpleks : Z = W = CB.B 1.b Dimana: C B = matrik koefisien fungsi tujuan dari variabel basis () pada iterasi yang bersangkutan B 1 = matriks dibawah variabel basis awal pada iterasi yang bersangkutan C B.B 1 = optimum simpleks multiplier. b = vektor baris koefisien fungsi tujuan Penerapan rumus diatas pada masalah primaldual yang sedang dibahas adalah sebagai berikut ; pada tabel simpleks optimum primal diperoleh variabel basis optimum adalah x 2 dan S 2, sedangkan variabel basis awalnya adalah S 1 dan S 2

4 sehingga optimum simpleks multipliernya adalah: c B.B 1 = 5 x 2 S 2 S 1 S 2 y 2 y 1 = Terlihat bahwa y 1 = 125 dan y 2 = sesuai dengan solusi optimum dual dan nilai fungsi tujuan dual adalah W = 6(125) + 8() = 75. Sedangkan apabila ditinjau dari tabel optimum dual diperoleh variabel basis optimum adalah S 3, S 1, dan y 1, adapun variabel basis awalnya adalah R 1, R 2, dan R 3, sehingga optimum simpleks multipliernya: C B.B 1 = S 3 S 1 y 1 R 1 R 2 R = 15 x 1 x 2 x 3 3/ 2 1 1/ 4 1 Terlihat bahwa x 1 =, x 2 = 15, dan x 3 = memenuhi kendala primal dan nilai fungsi tujuan primal adalah Z = 4 () + 5 (15) + 4 () = 75. b. asalah primaldual asimetrik isalkan masalah primal yang tidak simetrik adalah sebagai berikut: aks Z = 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 6 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 12 x 1,x 2,x 3 Tabel di bawah ini menyajikan hubungan primaldual untuk semua masalah program linear. Sehingga bentuk dual dari primal tersebut adalah: in W = 6y y 2 y 1 + 3y 2 2 3y 1 + 5y 2 4 2y 1 + 3y 2 3 y 1 y 2 Apabila persoalan bentuk primal diselesaikan dengan metode simpleks maka selain variabel slack dibutuhkan juga artificial variabel R pada kendala kedua, variabel R merupakan variabel buatan dimana nilainya selalu nol, maka diperoleh tabel simpleks optimum primal sebagai berikut: x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 R 1 S x Z j C j 12 Z j Berdasarkan tabel optimum tersebut kita peroleh solusi optimum x 1 = 6, x 2 =, dan x 3 =, adapun nilainilai variabel slack S 1 dan S 2 berturutturut adalah dan 6 dengan nilai optimal 12. Untuk memperlihatkan keterkaitan antara solusi optimum primal dan solusi optimum dual pada hubungan primaldual asimetrik, sebelumnya masalah primal yang asimetrik perlu ditransformasikan kedalam bentuk simetrik, dalam hal ini karena bentuk primal adalah maksimasi maka semua pembatas harus bertanda, maka pembatas kedua 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 12 dikalikan dengan bilangan 1 agar pembatas bertanda.

5 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 12 (1) 3x 1 5x 2 3x 3 12 Sehingga bentuk primal persoalan tersebut menjadi: aks Z = 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 6 3x 1 5x 2 3x 3 12 x 1,x 2,x 3 Tabel Hubungan PrimalDual Primal Dual A elemen matriks kendala Transpose elemen matriks b vektor sisi kanan Koefisien fungsi tujuan c koefisien fungsi tujuan Vektor sisi kanan Kendala kei berupa persamaan Variabel dual Y i tak terbatas X j tak terbatas Kendala ke j berupa persamaan I. aksimasi inimasi Kendala kei jenis Variabel dual Yi Kendala kei jenis Variabel dual Yi X j Kendala kej jenis X j Kendala kej jenis II. inimasi aksimasi Kendala kei jenis Variabel dual Yi Kendala kei jenis Variabel dual Yi X j Kendala kej jenis X j Kendala kej jenis Sumber : ulyono, Sri, Operations Research, Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta, 1999 Bentuk primal yang baru ini tampaknya tidak sesuai dengan persyaratan simpleks karena terdapat nilai konstanta ruas kanan pembatas bernilai negative, padahal dalam suatu program linear simetrik semua konstanta ruas kanan pembatas bernilai non negative. Akan tetapi, nilai konstanta ruas kanan pembatas negative tersebut tidak perlu dipermasalahkan karena perubahan bentuk tersebut bukan untuk maksud diselesaikan melainkan untuk maksud perubahan kedalam bentuk dual. Nilai konstanta ruas kanan pembatas primal membentuk koefisienkoefisien fungsi tujuan dual yang nilainya boleh negative. aka bentuk dual dari model ini diformulasikan sebagai : in W = 6y 1 12y 2 y 1 3y2 2 3y 1 5y 2 4 2y 1 3y 2 3 y 1, y 2 aka tabel simpleks optimum dari dual tersebut adalah: 6 12 y 1 y 2 S 1 S 2 S 3 R 1 R 2 R 3 S y 1 S W Dari tabel tersebut solusi optimal dual y 1 = 2, y 2 =, nilai variabel slack S 1=, S 2 = 2, dan S 3= 1 dan nilai W optimal 12. Dengan cara yang sama seperti telah ditunjukan pada contoh hubungan primaldual simetrik, hasilnya adalah: 12

6 Variabel basis awal primal S1 R1 Koef. Pers. ZjCj pada optimum primal 2 Var. kep dual yang bersangkutan y1 y2 Jika diabaikan, koefisien persamaan ZjCj adalah 2 dan yang menunjukan solusi optimum pada masalah dual, yaitu nilai y 1 =2 dan y 2 =. Pengamatan yang sama terhadap solusi optimum dual memberikan informasi sebagai berikut: Variabel basis awal dual R1 R2 R3 Koef. Pers. ZjCj optimal dual (dengan 6 mengabaikan ) Var. keputusan primal yang berhubungan x1 x2 x3 Hasil dari koefisien persamaan Z jc j memberikan solusi optimum primal x 1 = 6, x 2 = dan x 3 =. elalui penerapan revised simpleks method pada contoh ini dengan cara mencari optimum simpleks multiplier seperti telah dicontohkan sebelumnya, akan memberikan kesimpulan yang sama bahwa suatu solusi optimum primal (dual) juga merupakan solusi optimum masalah dual (primal). Contoh berikut merupakan contoh lain masalah primaldual asimetrik, dimana pada contoh berikut akan diperlihatkan suatu bentuk primal dengan pembatas bertanda =. aks Z = 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 3 x 1 5x 2 6x 3 4 x 1, x 2, x 3 Apabila bentuk primal ini dianalogikan dengan persoalan sebelumnya, maka apabila bentuk primal ini akan diubah kedalam bentuk dual untuk kemudian diselesaikan dengan metode simpleks, maka langkah pertama yang perlu dilakukan adalah mengubah bentuk primal asimetrik menjadi bentuk primal simetrik. Pembatas kedua dalam contoh tersebut merupakan suatu persamaan x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 3 dan harus diubah kedalam bentuk. Persamaan ini ekuivalen dengan dua pembatas berikut ini: x 1 + 5x 2 + 2x 3 3 x 1 + 5x 2 + 2x 3 3 Artinya jika nilai pembatas lebih besar atau sama dengan 3 dan kurang dari atau sama dengan 3, maka kuantitas yang memenuhi kedua pembatas tersebut adalah 3. Tetapi pada pembatas tersebut tanda masih tetap ada, dan pembatas ini dapat diubah dengan cara mengalikannya dengan (1). x 1 + 5x 2 + 2x 3 3 x(1) x 1 5x 2 2x 3 3 Sehingga model primal dalam bentuk normal adalah: aks Z = 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 1 + 5x 2 + 2x 3 3 x 1 5x 2 2x 3 3 x 1 5x 2 6x 3 4 x 1,x 2,x 3 Bentuk dual dari model ini diformulasikan sebagai: in W = 3y 1 3 y 2 + 4y 3 y 1 y 2 + y 3 5 5y 1 5y 2 5y 3 2 2y 1 2y 2 6y 3 3 y 1, y 2, y 3 Tetapi bentuk dual ini pun tidak sesuai dengan ketentuan hubungan primaldual yang telah dikemukakan pada awal bagian ini. Ketidaksesuaian tersebut terletak pada jumlah pembatas primal asimetrik yang tidak sesuai dengan jumlah koefisien fungsi tujuan dual, padahal pada hubungan primaldual setiap

7 pembatas pada primal berhubungan dengan satu kolom dalam dual, sehingga setiap pembatas primal terdapat satu variabel keputusan dual. Sedangkan dalam contoh ini pada bentuk primal asimetrik terdapat 2 pembatas tetapi setelah bentuk primal asimetrik ini ditransformasikan menjadi primal normal lalu kemudian dibuat bentuk dualnya, ternyata pada bentuk dual tersebut terdapat 3 variabel keputusan. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, maka bentuk dual dapat dibentuk dari primal asimetrik tanpa harus mentrasnsformasikannya terlebih dahulu menjadi primal normal. aka dengan mengikuti aturan tabel hubungan primal dual bentuk dual dari primal asimetrik itu adalah: in W = 3y y 2 y 1 + y 2 5 5y 1 5y 2 2 2y 1 6y 2 3 y 1 tidak terbatas tanda y 2 Karena y 1 tidak terbatas tanda, maka y 1 digantikan dengan y 1 y 1 (y 1 = y 1 y 1 ) dimana y 1 dan y 1, sehingga bentuk dualnya menjadi: in W = 3(y 1 y 1 ) 4 y 2 (y 1 y 1 ) + y 2 5 5(y 1 y 1 ) 5y 2 2 2(y 1 y 1 ) 6y 2 3 (y 1 y 1 ) = y 1 y 2 atau in W = 3y 1 3y 1 4 y 2 y 1 y 1 + y 2 5 5y 1 5y 1 5y 2 2 2y 1 2y 1 6y 2 3 y 1 y 1 y 2 Apabila diamati bentuk dual dari primal simetrik dengan bentuk dual dari primal asimetrik memiliki bentuk yang hampir sama. Tabel solusi primal asimetrik adalah: x 1 x 2 x 3 S 1 R 1 5 x S Z j C j Sedangkan tabel solusi optimum dualnya adalah: Table y1 y1 y2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 S y S Wj Cj Dari tabel solusi optimum dual tersebut didapat y 1 = 5, y 1 = ( y 1 = y 1 y 1 = 5 = 5) dan y 2 = dengan nilainilai variabel slack berturutturut S 1=, S 2 = 23, S 3 = 7 dan nilai W = Z = 15. Hasilhasil yang menarik terungkap dengan mengamati tabel optimum pimal dan dual. Sekarang perhatikan koefisien persamaan Z jc j pada tabel optimum primal, hasilnya adalah: Variabel basis awal primal R 1 S 1 Koef. Pers. Z jc j pada optimum primal (abaikan ) 5 Var. keputusan dual yang berhubungan y 1 y 2 Lalu perhatikan koefisien W jc j pada tabel optimum dual: Variabel basis awal dual R 1 R 2 R 3 Koef. pers.w jc j pada optimum dual (abaikan 3 ) Var. keputusan primal yang berhubungan x 1 x 2 x 3

8 Contohcontoh tersebut telah menunjukan bahwa setiap masalah program linear dapat diselesaikan dengan merumuskan baik bentuk primal maupun dual. Sehingga tidak perlu menyelesaikan kedua bentuk, cukup salah satunya saja karena solusi primal dapat menunjukan solusi dual begitu juga sebaliknya. Pada umumnya suatu program linear dengan jumlah pembatas yang lebih sedikit daripada jumlah variabel keputusan lebih mudah diselesaikan dibandingkan masalah dengan jumlah pembatas yang lebih banyak daripada variabel keputusan. Untuk itu jika akan menyelesaikan salah satu dari masalah primal atau dual, lebih mudah jika memilih dari kedua bentuk tersebut yang jumlah pembatasnya lebih sedikit dari variabel keputusan. II. SIFATSIFAT PRIALDUAL Untuk lebih memahami sifatsifat primaldual, pehatikanlah contoh primaldual berikut ini: Primal : aks Z = 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 6 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 12 x 1, x 2, x 3 Bentuk standar persoalan tersebut adalah : aks Z = 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + S 1 S 2 R 1 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + S 1 = 6 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 S 2 + R 1 = 12 x 1, x 2, x 3 Cat : V mb = Variabel masuk basis V kb = Variabel keluar basis Iterasi x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 R 1 S R Z jc j Z V mb Iterasi x1 x2 x3 S1 S2 R1 12 V kb 4x2 1/3 1 2/3 1/3 2 R1 4/3 1/3 5/ ZjCj 4/32/3 1/31/3 5/3+4/3 Z 4/3+4/3 V mb Iterasi 2 4 1/3+8/3 5/3+4/3 V kb x 1 x 2 x 3 S 1 S 2 R x 2 1 3/4 3/4 1/4 1/4 15 2x 1 1 1/4 5/4 3/4 3/4 15 Z jc j 1/2 1/2 1/2 ½+ Z 2 4 5/2 1/2 1/2 1/2 V kb V mb Iterasi 3 (solusi optimal primal) x1 x2 x3 S1 S2 R1 S x ZjCj Z Solusi optimal persoalan primal adalah x 1 = 6 x 2 = x 3 = S 1 = S 2 = 6 Z =

9 Setelah bentuk primal ditransformasikan ke dalam bentuk normalnya, maka dual dari persoalan diatas adalah: Dual : in W = 6y 1 12 y 2 y 1 3y 2 2 3y 1 5y 2 4 2y 1 3y 2 3 y 1, y 2 Bentuk standar persoalan dual tersebut adalah : in W = 6y 1 12 y 2 S 1 S 2 S 3 + R 1 + R 2 + R 3 y 1 3y 2 S 1 + R 1 = 2 3y 1 5y 2 S 2 + R 2 = 4 2y 1 3y 2 S 3 + R 3 = 3 Iterasi y 1, y y1 y2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 R R R WjCj W 6 11 V mb Iterasi 1 V kb 6 12 y1 Y2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 R1 4/3 1 1/3 1 1/3 2/3 6Y1 1 5/3 1/3 1/3 4/3 R3 1/3 2/3 1 2/3 1 1/3 WjCj W 6 +2 V mb V kb 9 +8 Iterasi y1 y2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 R1 3/2 1 1/2 1 1/2 ½ 6Y1 1 3/2 1/2 1/2 3/2 S2 1/2 1 3/2 1 3/2 1/2 Cj W 6 3+1/2 3+1/2 V mb V kb Iterasi 3 (solusi optimal dual) Wj 3 3/2 9 3/2 3 3/2 3 1/ y1 Y2 S1 S2 S3 R1 R2 R3 9+1/2 S Y S Wj Cj W Solusi optimal persoalan dual tersebut adalah : y 1 = 2 y 2 = S 1 = S 2 = 2 S 3 = 1 W = 12 Contoh primaldual diatas selanjutnya akan digunakan sebagai contoh penerapan sifatsifat primaldual yang akan dibahas pada bagian selanjutnya Sifat 1: enentukan koefisien persamaan Z jc j pada variabelvariabel basis awal pada suatu iterasi. Pada setiap iterasi baik primal maupun dual, koefisien persamaan Z j C j variabelvariabel basis awal dapat dicari dengan cara: W B = C B.B 1 C W 12 dimana: W B = matriks koefisien persamaan Z jc j dibawah variabel

10 variabel basis awal pada iterasi yang bersangkutan. C B = matriks koefisien fungsi tujuan dari variabelvariabel basis pada iterasi yang bersangkutan B 1 = matriks dibawah variabelvariabel basis awal pada iterasi yang bersangkutan. C B.B 1 = simpleks multiplier C W = matriks koefisien fungsi tujuan variabelvariabel basis awal Sebagai contoh lihat tabel primal. Dalam persoalan tersebut variabel basis awalnya adalah S 1 dan R 1 dengan koefisien fungsi tujuan variabel basis awal dan atau C W = [ ] Untuk iterasi : Variabel basis pada iterasi nol atau awal adalah S 1 dan R 1 W B = C B.B 1 C W 1 1 = S 1 R 1 S 1 R 1 = = S 1 R 1 Sekarang lihat tabel optimum dual, misalnya untuk iterasi 3, variabel basis awal bentuk dual adalah R 1, R 2, dan R 3 dengan koefisien fungsi tujuanvariabel basis awal masingmasing adalah atau C w = [ ] sedangkan variabel basis pada iterasi 3 adalah S 3, y 1 dan S 2 dengan koefisien fungsi tujuan variabel basis iterasi 3 masingmasing, 6, dan atau C B= [ 6 ] sehingga koefisien persamaan W j C j pada variabel basis awal iterasi 3 adalah: W B = C B.B 1 C W = S 3 y 1 S 2 R 1 R 2 R 3 = 6 = 6 R 1 R 2 R 3 Sifat 2: enentukan koefisien persamaan Z jc j pada variabelvariabel non basis awal suatu iterasi. Pada setiap iterasi baik primal maupun dual, koefisien Z jc j pada variabelvariabel non basis awal dapat dicari dengan cara: dimana: W B = S = W B = S. a n C n matriks koefisien persamaan Z jc jj dibawah variabelvariabel non basis awal pada iterasi yang bersangkutan. C B.B 1 = simpleks multiplier pada itersi yang bersangkutan. a n = matriks dibawah variabelvariabel non basis pada iterasi awal C n = matriks koefisien fungsi tujuan variabelvariabel non basis awal. Sebagai contoh, lihat optimum primal. Dalam persoalan tersebut variabel non basis awalnya adalah x 1, x 2, x 3 dan S 2 dengan koefisien fungsi tujuan masingmasing 2, 4, 3 dan atau C n = [ ] Untuk iterasi : S pada iterasi adalah [ ] W B = S. a C n n

11 = x 1 x 2 x 3 S x 1 x 2 x 3 S = Sekarang lihat tabel optimum dual, misalkan untuk iterasi 3, variabel non basis awal bentuk dual adalah y 1, y 2, S 1, S 2, dan S 3 dengan koefisien fungsi tujuan variabel non basis awal masingmasing adalah 6, 12,,, atau C n = [ 6 12 ] sedangkan S pada iterasi 3 adalah [ 6 ] sehingga koefisien persamaan W jc j pada variabel non basis awal iterasi 3 adalah : W B = S. a n C n = y 1 y 2 S 1 S 2 S = 6 6 y 1 y 2 S 1 S 2 S 3 Sifat 3: enentukan ruas kanan () dari variabelvariabel basis suatu iterasi Pada setiap iterasi baik primal maupun dual, nilai ruas kanan dari variabelvariabel basis suatu iterasi dapat diperoleh dengan rumus : = B 1.b Dimana: = matriks ruas kanan dari variabelvariabel basis suatu iterasi. b = matriks ruas kanan pada iterasi awal. Sebagai contoh, lihat iterasi ke3 solusi primal. Diketahui sebelumnya bahwa matriks ruas kanan pada iterasi awal primal adalah 6 maka ruas kanan pada iterasi 12 ke3 : = B 1.b = Untuk contoh pada dual, pandang iterasi ke1 tabel solusi dual, diketahui bahwa matriks ruas kanan 2 pada iterasi awal dual adalah 4 3 maka ruas kanan pada iterasi ke1 adalah : = B = = Sifat 4: enentukan koefisien pembatas variabel non basis suatu iterasi Pada setiap iterasi baik primal maupun dual, koefisien pembatas variabel non basis suatu iterasi ditentukan menggunakan rumus: Dimana: Y i = Y i = B 1.a i matriks koefisien pembatas variabel non basis awal pada iterasi yang bersangkutan. a i = matriks koefisien pembatas variabel non basis awal pada iterasi awal. Sebagai contoh, lihat iterasi ke 3 persoalan primal

12 Untuk x 1 Y 1 = B 1.a = 1 3 = 1 x 2 Y 2 = B 1.a = = 3 hal yang sama dapat dilakukan pada variabelvariabel non basis awal yang lain baik pada iterasi ke3 maupun iterasi sebelumnya. Untuk contoh dual, perhatikan iterasi ke2 solusi persoalan dual Untuk y 1 Y 1 = B 1.a 1 1 = 1/ 2 1 1/ 2 3 = 1 3/ 2 2 y 2 Y 2 = B 1.a / = 1/ / Dengan mempelajari keempat sifat ini kita dapat menentukan nilai variabelvariabel tertentu dengan cara yang lebih mudah. III. CONTOH KASUS Untuk menjelaskan konsep dualitas, cara yang paling mudah adalah dengan memberikan contoh setelah teoriteori diberikan. Berikut ini merupakan contoh yang memperlihatkan bagaimana bentuk dual dari bentuk suatu model primal dikembangkan. Sebuah garment PT. Bintang memproduksi dua jenis pakaian yaitu pakaian wanita dan pakaian pria. Tiap produksi 1 unit pakaian wanita memberikan keuntungan sebesar Rp 1., dan tiap produksi 1 unit pakian pria memberikan keuntungan sebesar Rp. 8.,. Produksi pakaian pria dan wanita dihitung atas dasar harian. Tabel berikut memperlihatkan sumbersumber daya yang terbatas beserta kebutuhan sumbersumber berupa jumlah bahan kain, jumlah tenaga kerja dan luas gudang penyimpanan untuk memproduksi setiap unit pakaian wanita dan pria: Table 2 Sumber Kebutuhan sumber daya Daya Kain Tenaga Kerja Gudang Penyimpa nan Keuntung an Wanita 3m 4orang 12m 2 Rp 1., Pria 3m 2orang 18m 2 Rp 8., Jumlah yang tersedia/hari 72m 4 orang 24m 2 Untuk mengetahui berapa banyak pakaian wanita dan pria yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan, maka diformulasikan suatu model matematika sebagai berikut : aks Z = 1.x x 2 3x 1 + 3x 2 72m 4x 1 + 2x 2 4orang 12x 1 +18x 2 24m 2 keuntungan bahan kain tenaga kerja gudang penyimpanan Diketahui x 1 = Jumlah pakaian wanita yang diproduksi x 2 = Jumlah pakaian pria yang diproduksi odel matematika tersebut merupakan model primal. Adapun model dual dari primal ini adalah:

13 in W =72y 1 + 4y y 3 3y 1 + 4y y y 1 + 2y y 3 8. y 1, y 2, y 3 Setelah model dual dikembangkan dari model primal, langkah selanjutnya adalah menentukan arti dual model tersebut. Arti model dual dapat diinterpretasikan dengan cara mengamati solusi optimal dari bentuk primal model yang bersangkutan. odel primal diatas apabila dipecahkan dengan metode simpleks, maka solusi optimal ditunjukkan pada tabel berikut ini : x1 x2 S1 S2 S3 S1 1 3/8 1/ x1 1 3/8 1/ x2 1 1/4 1/12 1 ZjCj Z Berdasarkan solusi optimal simpleks untuk model primal kita mendapatkan: x 1 = 5 pakaian wanita S 2 = keuntungan x 2 = 1 pakaian pria S 3 = gudang S 1 = 27m kain Z = Rp 1.3., keuntungan Keuntungan setiap satu buah pakaian wanita adalah Rp 1.,, karena diproduksi sebanyak 5 buah pakaian wanita (x 1=5) maka keuntungan total dari produksi pakaian wanita adalah 5 x Rp 1., = Rp 5.,, sedangan keuntungan setiap satu buah pakaian pria adalah Rp 8.,, karena diproduksi sebanyak 1 pakaian pria (x 2=1) maka keuntungan total dari produksi pakaian pria adalah 1 x Rp 8., 1.3. = Rp 8., sehingga keuntungan total yang diperoleh PT. Bintang sebesar Rp 5., + Rp 8., = Rp 1.3., Tabel optimal ini memuat informasi mengenai primal, sedangkan S 1=27 m kain merupakan jumlah kain yang tersisa dalam memproduksi pakaianpakaian tersebut, adapun S 2= mencerminkan tenaga kerja yang tidak terpakai dan S 3= mencerminkan gudang penyimpanan yang dimiliki PT.Bintang telah habis digunakan dalam produksi pakaian wanita dan pria sehingga tidak ada kelebihan (slack) tenaga kerja maupun gudang penyimpanan yang tersisa. Analisis lebih lanjut pada tabel optimal ini pun memuat informasi mengenai dual, nilai baris ZjCj sebesar 17.5 dan 25 dibawah kolom S 2 dan S 3 secara berurutan merupakan nilai marginal (marginal value) dari tenaga kerja (S 2) dan gudang penyimpanan (S 3). Dalam solusi tersebut S 2 dan S 3 bukan merupakan variabel basis sehingga keduanya sama dengan nol. Jika kita memasukkan S 2 atau S 3 ke dalam variabel basis maka S 2 atau S 3 tidak akan bernilai nol lagi. Sebagai contoh, jika satu orang tenaga kerja dimasukkan kedalam solusi (S 2=1) maka satu orang tenaga kerja yang sebelumnya digunakan menjadi tidak digunakan atau tidak bekerja (menganggur). Hal ini akan menyebabkan penurunan keuntungan sebesar Rp 17.5, tetapi jika tenaga kerja ini bekerja kembali (S 2=) yang berarti mengeluarkan lagi S 2 dari variabel basis maka keuntungan PT.Bintang akan naik sebesar Rp 17.5, Dengan demikian, jika kita dapat membayar 1 orang tenaga kerja, kita hanya bersedia membayar sampai setinggi Rp 17.5, per orang karena

14 sebesar itulah jumlah yang dapat meningkatkan keuntungan. Selain itu, pada tabel solusi optimal primal memperlihatkan bahwa nilai ZjCj pada kolom S 1 adalah nol. Hal tersebut berarti bahwa bahan baku kain memiliki nilai marginal nol yaitu kita tidak akan bersedia membayar apapun untuk setiap unit kelebihan bahan baku kain. Pada tabel yang sama memperlihatkan solusi bahwa S 1=27m yang berarti masih tersisa kain sebanyak 27 m setelah memproduksi 5 pakaian wanita dan 1 pakaian pria. Hal tersebut menunjukkan bahwa perusahaan tidak dapat menggunakan seluruh kain yang saat ini tersedia, alasan mengapa penambahan kain tidak memiliki nilai marginal karena kain bukan merupakan kendala dalam memproduksi pakaian wanita dan pria. Nilainilai marginal sering dianggap sebagai shadow prices (harga bayangan) karena mencerminkan ongkos maksimum yang bersedia dibayar oleh perusahaan untuk menambah satu unit sumbersumber daya. Pada tabel ini pun memperlihatkan bahwa keuntungan yang diperoleh perusahaan adalah sebesar Rp 1.3.,. Hal ini dapat dihubungkan dengan kontribusi sumbersumber daya terhadap keuntungan sebesar Rp 1.3.,. Biaya yang dikeluarkan perusahaan tidak dapat melebihi keuntungan yang dihasilkan oleh sumbersumber daya tersebut. Apabila ongkos yang dikeluarkan perusahaan untuk mendapatkan sumbersumber daya melebihi Rp 1.3., maka perusahaan akan mengalami kerugian. Nilai dari sumbersumber daya sama dengan laba optimal. Analisis lebih lanjut dapat dilihat sebagai berikut pandanglah pembatas tenaga kerja 4x 1 + 2x 2 4 orang, dari tabel primal didapat solusi optimal x 1=5 pakaian wanita, x 2=1 pakaian pria dan nilai satu orang tenaga kerja adalah Rp 17.5, Karena satu pakaian wanita memerlukan 4 tenaga kerja dan setiap tenaga kerja bernilai Rp 17.5, maka jika memproduksi 5 pakaian wanita, biaya yang akan dikeluarkan adalah Rp 17.5, x 5 x 4 orang = Rp 35., sedangkan satu pakaian pria memerlukan 2 orang tenaga kerja dan setiap tenaga kerja bernilai Rp 17.5, maka jika memproduksi 1 pakaian pria, biaya yang akan dikeluarkan adalah Rp 17.5, x 1 x 2 = Rp 35., Dengan menjumlahkan biaya tenaga kerja yang digunakan untuk memproduksi pakaian wanita dan pria akan menghasilkan biaya total tenaga kerja Rp 35., + Rp 35., = Rp 7., Analisis yang sama dapat digunakan untuk menentukan biaya total gudang penyimpanan dalam memproduksi pakaian wanita dan pria. Pandanglah pembatas gudang penyimpanan 12x x 2 24m 2 dan biaya setiap m 2 gudang penyimpanan adalah Rp 25, aka biaya gudang penyimpanan untuk pakaian wanita adalah : Rp 25, x 5 x 12 = Rp 15., dan biaya gudang penyimpanan untuk pakaian pria adalah : Rp 25, x 1 x 18 = Rp 45., Dengan menjumlahkan biaya gudang penyimpanan untuk pakaian wanita dan pria menghasilkan biaya total gudang penyimpanan: Rp 15., + Rp 45., = Rp 6., aka dengan menjumlahkan biaya total tenaga kerja dan gudang

15 penyimpanan menghasilkan Rp 7., (tenaga kerja) + Rp 6., (gudang penyimpanan) = Rp 1.3., yang sama dengan keuntungan total yang diperoleh PT. Bintang. Adapun disini tidak diperhitungkan mengenai biaya bahan kain karena telah dibahas sebelumnya bahwa masih tersisa bahan kain sebanyak 27 m, maka bahan kain memiliki nilai marginal nol; yaitu PT. Bintang tidak akan bersedia membayar apapun untuk satu meter ekstra dari bahan kain. Karena perusahaan masih mempunyai 27 m bahan kain yang tersisa, dalam hal ini satu meter ekstra bahan kain tidak mempunyai nilai tambahan; perusahaan bahkan tidak dapat menggunakan seluruh bahan kain yang saat ini tersedia. Bentuk dual dari model ini adalah : in W = 72y 1 + 4y y 3 3y 1 + 4y y y 1 + 2y y 3 8. y 1, y 2, y 3 Variabelvariabel keputusan dual mewakili nilai marginal sumbersumber daya: y 1 = nilai marginal 1 m kain = y 2 = nilai marginal 1 orang tenaga kerja = Rp 17.5, y 3 = nilai marginal 1 m 2 gudang = Rp 2.5, odel dual tersebut apabila dipecahkan dengan metode simpleks, maka solusi optimal dual ditunjukkan oleh tabel berikut : Table y1 y2 y3 S1 S2 4y2 3/8 1 3/8 1/ y3 1/8 1 1/24 1/ WjCj W Pembahasan mengenai batasanbatasan dual adalah sebagai berikut; pandanglah batasan dual yang pertama 3y 1 + 4y y 3 1. Dengan mensubstitusikan nilainilai variabel kedalam pembatas diatas akan menghasilkan 3()+4(17.5)+ 12(2.5) Pembatas ini menunjukkan bahwa nilai dari ketiga sumber daya yang digunakan dalam memproduksi pakaian wanita paling sedikit harus sebesar atau sama dengan laba yang diperoleh pakaian wanita. Dengan cara yang sama, apabila dibahas mengenai pembatas kedua: 3y 1 + 2y y () + 2(17.5) +18(2.5) Dengan kata lain, Rp 8., yaitu nilai sumbersumber yang digunakan untuk memproduksi sebuah pakaian pria, sedikitnya adalah sebesar atau sama dengan Rp 8., yaitu laba dari pakaian pria. Adapun penjelasan untuk fungsi tujuan dual adalah sebagai berikut: in W =72y 1 + 4y y 3 dimana koefisienkoefisien fungsi tujuan dual mencerminkan total kuantitas sumber yang tersedia. jadi jika nilainilai marginal dari satu unit sumber daya dikalikan dengan masing koefisienkoefisien tersebut, kita akan mendapatkan nilai total sumber: W=72()+4(Rp17.5)+24(Rp 2.5) = Rp 1.3.,

16 Jika kita lihat ternyata nilai total sumber ini sama dengan keuntungan yang didapat dari nilai optimal Z dalam primal. Z= Rp 1.3., = W Untuk itu nilai dari sumbersumber tidak dapat melebihi keuntungan yang diperoleh dari penggunaan sumbersumber tersebut. Tarliah, Tjutju. (23). Operations Research. Bandung : Sinar Baru Algensindo Taylor, Bernard. W. (21). Sains anajemen. Jakarta : Salemba Empat IV. KESIPULAN Setelah model dual didefinisikan secara lengkap, dapat dikatakan bahwa model dual dikembangkan dari model primal sepenuhnya. Hal tersebut dapat berarti bahwa operasi simpleks tidak perlu dilakukan untuk mengetahui informasi tentang dual karena solusi dual dapat ditentukan dari solusi primal. Solusi optimum primal memberikan informasi mengenai banyaknya jumlah laba yang diperoleh, sedangakan solusi optimum dual yang juga didapat dari solusi terhadap suatu masalah primal memberikan informasi yang tidak kalah penting dalam pengambilan keputusan. Bentuk dual akan memberikan informasi mengenai nilainilai sumber yang biasanya merupakan pembatas dari suatu model sehingga dapat membantu pengambilan keputusan dalam menentukan harga dari sumber daya yang menjadi pembatas bagi tercapainya laba tersebut. DAFTAR PUSTAKA Hiliier, & Lieberman,. (199). Pengantar Riset Operasi. Jakarta : Erlangga ulyono, Sri. (1999). Operations Research. Jakarta : Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia Siagian, P. (1987). Penelitian Operasional. Jakarta : UIPress