BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Teori Himpunan Fuzzy Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam himpunan A, yang sering ditulis dengan memiliki dua kemungkinan, yaitu: 1 Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan 2 Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan Sri Kusumadewi (2002) dalam bukunya yang berjudul Analisis Desain Fuzzy Menggunakan Tool Box Matlab menyatakan bahwa himpunan Fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0, 1] Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang berada diantaranya Misalkan diketahui klasifikasi sebagai berikut: MUDA umur < 35 tahun SETENGAH BAYA 35 umur 55 tahun TUA umur > 55 tahun Dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai SETENGAH BAYA Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu Misalkan umur klasifikasi 55 tahun dan 56 tahun sangat jauh berbeda, umur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, sedangkan umur 56 tahun sudah termasuk TUA Demikian pula untuk kategori TUA dan MUDA Dengan demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok untuk diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, seperti umur Selain itu, untuk menunjukkan suatu unsur pasti termasuk SETENGAH BAYA atau tidak, dan menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 atau 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan menunjuk 1 atau nilai yang dekat dengan 1 untuk

2 umur 45 tahun, kemudian perlahan menurun menuju ke 0 untuk umur dibawah 35 tahun dan diatas 55 tahun 22 Fungsi Keanggotaan Fuzzy Sebuah himpunan fuzzy A dari bilangan riil keanggotaannya (dinotasikan oleh A) didefenisikan oleh fungsi : Jika maka dikatakan sebagai derajat keanggotaan x dalam A Himpunan fuzzy dalam disebut normal jika terdapat sehingga Himpunan fuzzy A adalah himpunan fuzzy dari bilangan riil dengan normal, (fuzzy) convex dan fungsi keanggotaan yang kontinu dari penyokong yang tebatas 221 Bilangan Fuzzy Triangular Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga (triangular) jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu a, b, c dengan Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut: (21)

3 1 b c Gambar 21 Fungsi Keanggotaa segitiga 222 Bilangan Fuzzy trapezoidal Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium (trapezoidal) jika mempunyai empat parameter yaitu a, b, c, d dengan Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut: (22) a b c d Gambar 22 Fungsi Keanggotaa trapesium

4 23 Himpunan Penyokong ( Support Set) Terkadang bagian tidak nol dari suatu himpunan fuzzy tidak ditampilkan dalam domain Sebagai contoh, domain untuk BERAT adalah 40 kg hingga 60 kg, namun kurva yang ada dimulai dari 42 kg hingga 52 kg (gambar 23) BERAT berat badan (kg) Support set Gambar 23 Himpunan penyokong untuk himpunan fuzzy BERAT 24 Nilai Alfa-Cut Salah satu teknik yang erat hubungannya dengan himpunan penyokong adalah himpunan level-alfa( Level-alfa ini merupakan nilai ambang batas domain yang didasarkan pada nilai keanggotaan untuk tiap- tiap domain Himpunan ini berisi semua nilai domain yang merupakan bagian dari himpunan fuzzy dengan nilai keanggotaan lebih besar atau sama dengan

5 BERAT berat badan (kg) Ganbar 24 Nilai ambang -cut untuk himpunan fuzzy berat Ada dua alasan -cut begitu berguna, yaitu: 1 -cut di nol (0) merupakan himpunan penyokong bagi suatu himpunan fuzzy 2 -cut di nol (0) menunjukkan tenaga atau fungsi kekuatan yang digunakan oleh suatu model fuzzy untuk memutuskan ada tidaknya suatu nilai kebenaran yang harus dipertimbangkan 25 Program Linier Program linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisisanalisisnya memakai model matematika dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang terbaik diantaranya untuk menyusun strategi dan langkah- langkah kebijakan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan yang diinginkan secara optimal Program linier sering digunakan dalam menyelesaikan problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang manufakturing, pemasaran, keuangan, administrasi dan lain sebagainya Secara sederhana dapat diambil contoh pada bagian produksi suatu perusahaan, yang dihadapkan pada masalah penentuan masing-masing jenis produksi dengan memperhatikan batasan faktor produksi yaitu: mesin, bahan baku, tenaga kerja dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan yang maksimal atau biaya produksi yang minimal

6 Program linier memakai suatu model matematis dalam untuk menggambarkan masalah yang dihadapi Kata linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini harus menggunakan fungsi- fungsi linier Dalam program linier dikenal dua jenis fungsi, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi- fungsi batasan (kendala) Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan / sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal atau biaya minimal Pada umumnya nilai optimal dinyatakan dengan Z Fungsi batasan (kendala) merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan- batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan Menurut Parlin Sitorus (1997, 2), syarat- syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema ke dalam model matematik persamaan linier sebagai berikut: 1 Memiliki kriteria tujuan 2 Sumber daya yang tersedia bersifat terbatas 3 Semua variabel dalam model memilki hubungan matematis bersifat linier 4 Koefisien model diketahui dengan pasti 5 Bilangan yang digunakan dapat bernilai bulat atau pecahan 6 Semua variabel keputusan harus bernilai nonnegatif

7 MODEL UMUM MATEMATIK Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik sebagai berikut: Fungsi tujuan : Maksimalkan atau Minimalkan: Z = (27) Kendala : (28) + + untuk j = 1, 2,, n (29) (syarat non-negatif) Bentuk di atas dapat juga ditulis sebagai berikut : Fungsi tujuan : Memaksimalkan atau Meminimalkan:, untuk j= 1, 2,, n (210) Kendala : (211) untuk i= 1, 2,,m dan 0 (212)

8 Untuk : = Parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilankeputusan dalam fungsi tujuan = Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari yang tidak diketahui) Koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan (kegiatan yang bersangkutan) dalam kendala ke- i = Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang bersangkutan disebut pula konstanta atau nilai sebelah kanan dari kendala kei Z = Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan suatu fungsi tujuan 251 Metode Simpleks Tabel 21 Bentuk Tabel Simpleks Variabel basis Harga basis Jawab basis

9 Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks pertama kali menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematik persamaan linier, yaitu sebagai berikut: 1 Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan pada daerah kelayakan (feasible) maka untuk model program linier diubah menjadi model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus, variabel buatan (artificial variable) pada tiap batasan serta memberi harga nol kepada tiap koefisien c- nya Batasan dapat dimodifikasi dengan cara berikut: 1 Untuk batasan bernotasi ( ) dapat dimodifikasi ke dalam bentuk persamaan dengan mengurangkan variabel surplus dan kemudian menambahkan variabel buatan ke dalamnya 2 Untuk batasan ( ) dapat dimodifikasi ke dalam bentuk persamaan dengan menambahlan variabel slack ke dalamnya 3 Untuk batasan (=) dapat diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan ke dalamnya Dengan menambahkan variabel buatan akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan Jika persoalan maksimasi maka dibuat M sebagai harga variabel buatan, apabila persoalan minimasi maka dibuat +M sebagai harga variabel buatan Metode ini dikenal dengan metode M besar (Big M Method) Penambahan variabel buatan dan variabel slack pada tiap batasan pada persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan : Z = (213) Dengan batasan: i = 1, 2,, untuk batasan bernotasi ( ) (214) i = untuk batasan bernotasi (=) (215) i = untuk batasan bernotasi ( )(216)

10 ; ; 0 untuk semua harga i dan j (217) ; j = 1, 2,, n ; i = 1, 2,, ; i =,, m 2 Menyusun persamaan- persamaan ke dalam tabel awal simpleks Tabel 22 Bentuk Tabel Awal simpleks Variab Harga el basis basis Jawab basis Langkah- langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut: Langkah 1: Mengecek nilai optimal imbalan a Untuk persoalan maksimal: = minimal { - } Jika 0 maka selesai Artinya solusi sudah optimal b Untuk persoalan minimal : = maksimal { - } Jika 0 maka selesai Artinya solusi sudah optimal

11 Harga imbalan ) dapat diperoleh dengan rumus: = (218) Untuk : = harga semua variabel dalam z = koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan = Harga dari variabel basis Langkah 2: Menentukan variabel yang masuk dalam basis Untuk persoalan maksimal jika terdapat beberapa 0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa 0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis Jika pada baris terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai negatif yang angkanya terbesar dan sama pada persoalan maksimal atau terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai positif terbesar dan sama pada persoalan minimal maka terdapat dua kolom yang bisa terpilih menjadi kolom pivot Hal ini dapat diatasi dengan memilih salah satu dari secara sembarang Langkah 3: Menentukan variabel yang akan keluar dari basis Menetapkan variabel yang akan keluar dari basis yaitu: = minimum { : > o } (219) Variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis Jika terdapat dua baris atau lebih nilai maka ada beberapa baris yang dapat terpilih sebagai baris pivot Dapat dipilih dengan bebas diantara keduanya dan hasilnya akan sama

12 Langkah 4: Menyusun tabel simpleks yang baru Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus dicari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya Koefisien elemen pivot dapat dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot Koefisien baris pivot yang baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut: (220) Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dapat dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : (221) Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru Jika nilai imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, dan apabila belum optimal maka kembali ke langkah 2

13 Tabel 23 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting Jawab basis Variabe l basis Harga basis ( 0 - ( Contoh 21: Maksimumkan: Z = Kendala : ,, 0

14 Agar persamaan di atas memenuhi persamaan penyelesaian dalam daerah kelayakan (feasible), maka pada sisi persamaan batasan ditambahkan variabel slack sehingga bentuk bakunya sebagai berikut: Maksimumkan: Z = Kendala: = = = 30,,, 0 Model di atas dapat dibuat dalam tabel simpleks sebagai berikut: Tabel 24 Tabel Simpleks untuk solusi awal Variabel Basis Harga Harga Jawab Basis Dari tabel 24, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai dimana harga terkecil dari tabel di atas adalah -5, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah Kolom variabel menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I adalah: = { ; ; } Diperoleh = 8,6,maka variabel keluar dari basis kemudian digantikan variabel Elemen pivot yang diperoleh adalah 3, maka dapat dibentuk tabel simpleks yang baru sebagai berikut:

15 Tabel 25 Tabel simpleks untuk solusi yang baru Variabel Basis Harga Harga Jawab Basis Dari tabel 25 tampak bahwa penyelesaian belum optimal yaitu harga terkecil dari tabel di atas adalah, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah Kolom variabel menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I adalah: = Diperoleh = 2, maka variabel meninggalkan basis dan digantikan, maka dapat tabel simpleks yang baru sebagai berikut:

16 Tabel 26 Tabel simpleks untuk solusi yang baru Variabel Basis Harga Harga Jawab Basis Dari tabel 26 tampak bahwa penyelesaian belum optimal yaitu harga terkecil dari tabel di atas adalah, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah Kolom variabel menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I adalah: = Diperoleh = 4,3 maka variabel yang meninggalkan basis adalah kemudian digantikan oleh variabel, maka didapat tabel simpleks yang baru sebagai berikut:

17 Tabel 27 Tabel simpleks untuk solusi akhir Variabel Basis Harga Harga Jawab Basis Dari tabel 27 tampak bahwa penyelesaian sudah optimal karena syarat sudah dipenuhi Penyelesaian optimalnya adalah: = = 4,76 = = 4,3 = Z = 5(4,76) + 3 (4,3) + 4 (3,07) = 23,8 + 12,9 + 12,28 = 48,98 Contoh 22 : Maksimumkan : Z = Kendala : ,, 0

18 Agar persamaan di atas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan (feasible), maka pada sisi kiri persamaan batasan ditambahkan variabel slack sedangkan untuk sebelah kiri persamaan batasan dikurangkan dengan variabel surplus dan ditambahkan dengan variabel buatan Persamaan di atas diselesaikan dengan tehnik M Sehingga bentuk bakunya sebagai berikut : Maksimumkan : Z = M Kendala : = = = Dari model di atas dapat dibentuk tabel simpleks berikut : Tabel 28 Tabel simpleks untuk solusi awal Variabel Basis M Harga Harga Jawab Basis M M-15 -M-12-2M-8 M M Cara perhitungan tabel simpleks ini sama dengan cara perhitungan tabel simpleks pada contoh 21, sehingga didapat tabel simpleks untuk solusi akhir sebagai berikut :

19 Tabel 29 Tabel simpleks untuk solusi akhir Variabel Basis M Harga Harga Jawab Basis M 126 Dari tabel 29 tampak bahwa solusi sudah optimal karena syarat terpenuhi Penyelesaian optimalnya sebagai berikut: sudah = 2 = 12 = 16 = 2 = = = = 0 Z = 15 (2) + 12(0) +8 (12) = Masalah Keputusan Pada umumnya suatu keputusan dibuat untuk memecahkan permasalahan suatu persoalan Inti dari pengambilan keputusan terletak dalam perumusan berbagai alternatif tindakan sesuai dengan apa yang menjadi pusat perhatian Salah satu komponen terpenting dari proses pembuatan keputusan adalah kegiatan pengumpulan informasi mengenai sesuatu yang dapat dijadikan dasar untuk pembuatan keputusan

20 Pada dasarnya asa empat kategori keputusan yaitu: 1 Keputusan dalam keadaan ada kepastian (certainty) 2 Keputusan dalam keadaan risiko (risk) 3 Keputusan dalam keadaan ketidakpastian (uncertainty) 4 Keputusan dalam keadaan ada konflik (conflict) Banyak masalah keputusan dapat disajikan dalam bentuk tabel keputusan seperti di bawah ini: Tabel 210 Bentuk umum tabel keputusan Akibat Kondisi Masa Depan Tindakan Ide yang mendasari hal ini adalah akibat dari sebarang tindakan ditentukan tidak hanya oleh tindakan itu sendiri tetapi juga oleh faktor- faktor luar Faktor-faktor luar ini adalah diluar kendali dari pembuat keputusan dan tidak diketahui oleh mereka pada waktu membuat keputusan Dengan kondisi masa depan, maka akan diperoleh gambaran yang lengkap dari faktor- faktor luar ini Sehingga jika si pembuat keputusan mengetahui kondisi masa depan yang harus dipegang, maka orang tersebut harus dapat memprediksi konsekuensi dari sebarang tindakan dengan penuh kepastian Namun bagaimana halnya apabila pembuat keputusan tidak dapat berkata apapun tentang kondisi masa depan yang sebenarmya karena informasi yang diperoleh tidak mencukupi untuk membuat keputusan yang optimal Ini artinya pembuat keputusan dihadapkan pada suatu pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian

21 Ada lima kriteria yang dipergunakan dalam pengambilan keputusan dibawah ketidakpastian (uncertainty), yaitu: 1 Kriteria Laplace 2 Kriteria Hurwicz 3 Kriteria Maximin dari Wald 4 Kriteria Minimax 5 Kriteria Maximax 261 Kriteria Laplace Laplace (1825) menyarankan bahwa dengan tidak mengetahui apa- apa tentang kondisi masa depan yang sebenarnya adalah ekivalen dengan setiap state memiliki peluang yang sama untuk terjadi Jika tindakan dipilih dan jika semua state memiliki peluang yang sama, maka pengambil keputusan memperoleh nilai rata- rata dari akibat yang tidak pasti sehingga dia seharusnya memaksimasi nilai rata- rata dari pilihannya Aturan keputusan Laplace: 1 Menetapkan ; untuk j = 1, 2, 3,, n 2 Untuk setiap matriks baris pay off), hitung nilai rata-ratanya: 3 Pilih tindakan dari yang memberikan nilai terbaik sebagai keputusan yang optimal sehingga :

22 262 Kriteria Hurwicz Kriteria Hurwicz diusulkan oleh Leonid Hurwicz, merupakan hasil kompromi antara kriteria maximin dan maximax Di dalam prakteknya jarang seorang pengambil keputusan sangat pesimis atau optimis Didefenisikan tingkat optimis dari menjadi: Sehingga merupakan nilai dari konsekuensi terbaik yang diperoleh jika diambil Kriteria pengambilan maximax adalah memilih sedemikian hingga Hurwicz (1951) menganjurkan bahwa pembuat keputusan seharusnya memberi rank pada tindakan menurut rata-rata pembobotan pada level keamanan dan level optimis :, dimana, adalah indeks optimis-pesimis dari pembuat keputusan Hurwicz merekomendasikan aturan dalam keputusan memilih sedemikian hingga 263 Kriteria Maximin Kriteria maximin didasarkan pada pandangan yang sangat pesimis (berperilaku penghindar resiko) Dengan demikian kita harus mengharapkan hasil terjelek bagi setiap alternatif tindakan yang dipilih Dibawah tindakan akibat buruk yang mungkin terjadi memiliki nilai kepada pembuat keputusan dari:

23 dapat disebut sebagai level keamanan dari, contohnya menjamin pembuat keputusan dalam pengembalian paling sedikit Wald (1950) menyarankan bahwa pembuat keputusan seharusnya memilih sehingga mempunyai level keamanan sebesar mungkin Sehingga kriteria maximin wald adalah: Pilih sehingga = 264 Kriteria Minimax Kriteria minimax sering disebut regret criterian didasarkan atas konsep kehilangan kesempatan (opportunity loss) Ide dasar dari kriteria ini diusulkan oleh LJSavage Menurut Savage pengambil keputusan akan mengalami kehilangan kesempatan (penyesalan) apabila menghadapi kejadian tak pasti yang terjadi dan alternatif yang terpilih menghasilkan pay off yang lebih kecil dari pay off maksimum yang mungkin bisa dicapai untuk kejadian tak pasti tersebut Savage mendefenisikan penyesalan dari sebuah akibat yaitu: Bahwa perbedaan diantara nilai berdasarkan dari tindakan terbaik yang diberikan dimana adalah kondisi masa depan yang sebenarnya dan memperoleh nilai dari dibawah Savage menyarankan bahwa seharusnya memindahkan dalam tabel keputusan dan pada tabel regret yang baru, pembuat keputusan seharusnya memilih dengan mengikuti pendekatan pesimis Wald, tetapi dengan mengingat bahwa penyesalan adalah kehilangan bukan perolehan Setiap tindakan diberikan indeks: Bahwa penyesalan terburuk dapat terjadi dari tindakan dan sebuah tindakan seharusnya dipilih untuk meminimasi, misalnya memilih sedemikian hingga:

24 265 Kriteria maximax Kriteria maximax didasarkan pada pandangan yang sangat optimis, sikap yang agresif, optimis mengenai hasil yang akan dicapai diwaktu terbesar (maximum) diantara yang terbesar Dibawah tindakan hasil terbaik yang mungkin terjadi memiliki nilai kepada pembuat keputusan dari: dapat disebut sebagai hasil terbaik dari, artinya menjamin pembuat keputusan dalam perolehan hasil terbaik Kriteria maximax menyarankan bahwa pembuat keputusan seharusnya memilih sehingga mempunyai hasil yang paling tinggi Sehingga kriteria maximax adalah: Pilih sehingga