Manajemen Sains. Pemrograman Linier (Metode Simpleks) Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011
|
|
- Sudomo Sudjarwadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Manajemen Sains Pemrograman Linier (Metode Simpleks) Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011
2 Komponen dasar Variabel keputusan yang kita cari untuk ditentukan Objective (tujuan) yaitu ingin mengoptimalkan (memaksimalkan atau meminimalkan) Constraints yaitu solusi yang harus dicapai. 2
3 LP metode Simpleks Mengonversi constraint yang masih dalam bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan menggunakan bantuan variabel slack. Nilai di sisi kanan harus non negatif. Constraint yang menggunakan tanda merupakan representasi batas ketersediaan sumber daya, dimana sisi kiri adalah representasi penggunaan sumber daya oleh aktivitas (variabel) model. Perbedaan antara sisi kanan dan sisi kiri tanda merupakan sejumlah sumber daya yang belum digunakan atau slack. 3
4 Langkah-langkah awal sebelum menggunakan metode simpleks Mengonversi pertidaksamaan ( atau ) menjadi persamaan Menambahkan variabel slack ke fungsi tujuan dengan koefisien nol Memindahkan komponen sisi kanan fungsi tujuan ke sisi kanan 4
5 Mengonversi pertidaksamaan ( atau ) menjadi persamaan Mengonversi pertidaksamaan ( ) menjadi persamaan (=), sebuah variabel slack nonnegative ditambahkan pada sisi kiri constraint. Kasus Reddy Mikks, constraint yang menyatakan penggunakan bahan baku M1 diberikan oleh : 6x 1 + 4x 2 24 Definisikan s 1 sebagai variabel slack dari M1, maka constraint dapat dikonversi menjadi : 6x 1 + 4x 2 + s 1 = 24, s 1 0 Constraint dengan tanda, menyatakan batas terendah aktivitas model program linear, sehingga jumlah yang dinyatakan disisi kiri melewati batas minimal yang direpresentasikan sebagai surplus. Konversi dari ke = dicapai dengan mengurangi dengan variabel surplus non negatif dari sisi kiri pertidaksamaan. Misalnya, dalam kasus Ozark Farm, constraint yang menyatakan kebutuhan makanan : x 1 + x Definisikan r 1 sebagai variabel surplus, constraint dapat dikonversi menjadi persamaan berikut : x 1 + x 2 - r 1 = 800, r 1 0 5
6 Mengonversi pertidaksamaan ( atau ) menjadi persamaan (cont d) Untuk kasus dimana sisi kanan constraint bernilai negatif, maka harus dilakukan perkalian kedua sisi dengan -1 setelah langkah diatas dilakukan. Misalnya constraint : -x 1 + x 2-3 Maka bentuk persamaannya menjadi : -x 1 + x 2 + r 1 = -3, r 1 0 Selanjutnya kedua sisi dikalikan dengan -1, sehingga sisi kanan bernilai positif : x 1 - x 2 - r 1 = 3 6
7 Menambahkan variabel slack ke fungsi tujuan dengan koefisien nol Pada kasus model Reddy Mikks, fungsi tujuan : Z = 5x 1 + 4x 2 dengan 4 variabel slack menjadi : Z = 5x 1 + 4x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 7
8 Memindahkan komponen sisi kanan fungsi tujuan ke sisi kanan Pada kasus model Reddy Mikks, fungsi tujuan : Z = 5x 1 + 4x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 Berubah menjadi : Z - 5x 1-4x 2-0s 1-0s 2-0s 3-0s 4 = 0 8
9 Langkah-langkah metode Simpleks 1. Menentukan awal basis solusi layak 2. Memilih variabel masuk menggunakan syarat keoptimalan. Berhenti jika tidak ada lagi variabel masuk, solusi terakhir adalah solusi optimal. Jika tidak maka ke langkah Memilih variabel keluar menggunakan syarat kelayakan. 4. Menentukan solusi dasar yang baru menggunakan perhitungan Gauss-Jordan. Kembali ke langkah 2. 9
10 Langkah-langkah metode Simpleks (cont d) Syarat keoptimalan (optimality condition). Variabel masuk dalam kasus pemaksimalan (peminimalan) adalah variabel nonbasis yang mempunyai koefisien negatif terbesar (pemaksimalan) atau positif terbesar (peminimalan) dalam baris -z-row. Syarat optimal dicapai pada iterasi dimana semua koefisien z-row dari variabel nonbasis tidak negatif (pemaksimalan) atau tidak positif (peminimalan) Syarat kelayakan (feasibility condition). Untuk kedua masalah pemaksimalan dan peminimalan, variabel keluar adalah variabel basis yang dikaitkan dengan rasio non negatif terkecil. 10
11 Operasi baris Gauss-Jordan 1. Menentukan baris kunci : Gantilah variabel keluar dalam kolom basis dengan variabel masuk Baris kunci baru = Baris kunci elemen kunci 2. Mengganti nilai baris yang lain : Baris baru = Baris lama koefisien kolom kunci Baris kunci baru 11
12 Langkah-langkah metode Simpleks (cont d) Variabel basis adalah variabel yang berkontribusi (mempunyai nilai) memberikan solusi yang diminta. Variabel nonbasis adalah variabel yang tidak berkontribusi (bernilai 0) dalam pemberian solusi. Inisialisasi dalam metode simpleks : x 1, x 2, adalah variabel non basis 1 2 s 1, s 2, adalah variabel basis Dalam iterasi metode simpleks, satu persatu variabel slack akan berubah menjadi variabel non basis karena keluar dari solusi dasar (variabel keluar), dan variabel keputusan akan berubah menjadi variabel basis karena masuk ke basis solusi (variabel masuk). 12
13 Program Linier pada kasus memaksimalkan Perusahaan Reddy Mikks memproduksi cat interior dan exterior dari dua bahan baku, M1 dan M2. Tabel dibawah ini adalah informasi mengenai kebutuhan bahan baku, ketersediaan, dan keuntungannya. Survey pasar menunjukkan bahwa kebutuhan perhari untuk cat interior tidak boleh melebihi cat exterior lebih dari 1 ton, juga kebutuhan harian maksimal untuk cat interior adalah 2 ton. Reddy Mikks ingin menentukan jumlah optimal (terbaik) produk antara cat interior dan exterior dengan memaksimalkan total keuntungan harian. Produk Kebutuhan bahan Keuntungan baku (ton) (x1000) M1 M2 Cat Ext Cat Int Kapasitas 24 6 Z 13
14 Program Linier pada kasus Reddy Mikks(cont d) Konversi model Reddy Mikks menjadi : Kendala : 6x 1 + 4x 2 + s 1 = 24 (bahan baku M1) (1) x 1 + 2x 2 + s 2 = 6 (bahan baku M2) (2) -x 1 + x 2 + s 3 = 1 (batas pasar) (3) x 2 + s 4 = 2 (batas kebutuhan) (4) x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4 0 Maksimalkan Z = 5x 1 + 4x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 +0s 4 Variabel s 1, s 2, s 3, dan s 4 adalah variabel slack yang dikaitkan dengan constraint yang bersangkutan. Fungsi tujuan diubah menjadi : Z - 5x 1-4x 2-0s 1-0s 2-0s 3-0s 4 = 0 14
15 Program Linier pada kasus Reddy Mikks(cont d) Basis Z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solusi Z z-row s s 1 -row s s 2 -row s s 3 -row s s 4 -row 15
16 Syarat Optimal dan Layak Solusi dari fungsi Z = 5x 1 + 4x 2 yang ditunjukkan oleh tabel dapat ditingkatkan dengan meningkatkan x 1 dan x 2. Untuk variabel yang akan masuk sebagai variabel basis dipilih nilai variabel nonbasis yang mempunyai nilai koefisien positif terbesar. Karena fungsi tujuan dalam tabel simpleks adalah Z 5x 1 4x 2 = 0, variabel masuk akan dikaitkan pada variabel dengan koefisien negatif terbesar dalam fungsi tujuan. Aturan ini disebut dengan syarat optimal. Mekanisme penentuan variabel keluar dari tabel simpleks dilakukan dengan menghitung rasio non negatif dari sisi kanan persamaan (kolom Solusi) pada koefisien constraint yang bersangkutan dengan variabel masuk seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut : 16
17 Syarat Optimal dan Layak Basis Masuk x 1 Solusi Rasio s x 1 = 24/6 = 4 minimal s x 1 = 6/1 = 6 s x 1 = 1/-1 = -1 (diabaikan) s x 1 = 2/0 = (diabaikan) Kesimpulan : x 1 masuk dan s 1 keluar Proses penukaran didasarkan pada operasi Gauss-Jordan. Operasi ini menjadikan kolom variabel masuk sebagai kolom kunci dan variabel keluar sebagai baris kunci. Elemen yang tepat menjadi anggota kolom kunci dan baris kunci disebut elemen kunci. Tabel akan diupdate berdasarkan baris dan kolom yang dihighlight. 17
18 Baris kunci dan kolom kunci Masuk Basis Z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solusi Z Keluar s Baris kunci s s s Kolom kunci 18
19 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 1) Baris kunci Ganti s 1 pada kolom Basis dengan x 1 Baris x 1 baru = Baris s 1 elemen kunci = [ ] / 6 = [0 1 2/3 1/ ] Baris yang lain Baris z baru = Baris z (-5) Baris x 1 baru = [ ] (-5) [0 1 2/3 1/ ] = [ ] [ /3-5/ ] = [1 0-2/3 5/ ] Baris s 2 baru = Baris s 2 (1) Baris x 1 baru = [ ] (1) [0 1 2/3 1/ ] = [ ] [0 1 2/3 1/ ] = [0 0 4/3-1/ ] 19
20 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (cont d) Baris s 3 baru = Baris s 3 (-1) Baris x 1 baru = [ ] (-1) [0 1 2/3 1/ ] = [ ] [0-1 -2/3-1/ ] = [0 0 5/3 1/ ] Baris s 4 baru = Baris s 4 (0) Baris x 1 baru = [ ] (0) [0 1 2/3 1/ ] = [ ] [ ] = [ ] 20
21 Tabel simpleks setelah iterasi 1 Basis Z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solusi Z 1 0-2/3 5/ x /3 1/ s /3-1/ s /3 1/ s Fungsi tujuan Z = 20. Dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien negatif terbesar, ditemukan x 2 dengan koefisien -2/3 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa x 2 adalah variabel masuk. 21
22 Syarat Optimal dan Layak Basis Masuk x 2 Solusi Rasio x 1 2/3 4 x 2 = 4/(2/3) = 6 s 2 4/3 2 x 2 = 2/(4/3) = 3/2 minimal s 3 5/3 5 x 2 = 5/(5/3) = 3 s x 2 = 2/1 = 2 Kesimpulan : x 2 masuk dan s 2 keluar 22
23 Baris kunci dan kolom kunci Masuk Basis Z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solusi Z 1 0-2/3 5/ x /3 1/ Keluar s /3-1/ Baris kunci s /3 1/ s Kolom kunci 23
24 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 2) Baris kunci Ganti s 2 pada kolom Basis dengan x 2 Baris x 2 baru = Baris s 2 elemen kunci = [0 0 4/3-1/ ] / (4/3) = [ /8 3/ /2] Baris yang lain Baris z baru = Baris z (-2/3) Baris x 2 baru = [1 0-2/3 5/ ] (-2/3) [ /8 3/ /2] = [1 0-2/3 5/ ] [0 0-2/3 1/12-1/ ] = [1 0 0 ¾ ½ ] Baris x 1 baru = Baris x 1 (2/3) Baris x 2 baru = [0 1 2/3 1/ ] (2/3) [ /8 3/ /2] = [0 1 2/3 1/ ] [0 0 2/3-1/12 1/ ] = [ /4-1/ ] 24
25 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 2) Baris s 3 baru = Baris s 3 (5/3) Baris x 1 baru = [0 0 5/3 1/ ] (5/3) [ /8 3/ /2] = [0 0 5/3 1/ ] [0 0 5/3-5/24 5/ /2] = [ /8-5/ /2] Baris s 4 baru = Baris s 4 (0) Baris x 1 baru = [ ] (1) [ /8 3/ /2] = [ ] [ /8 3/ /2] = [ /8-3/ /2] 25
26 Tabel simpleks setelah iterasi 2 Basis Z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 Solusi Z ¾ ½ x ¼ -1/ x /8 ¾ 0 0 3/2 s /8-5/ /2 s /8-3/ /2 Berdasarkan pada syarat optimal, tidak ada dalam koefisien z-row yang variabel nonbasis (s 1 dan s 2 ) nilainya negatif. Sehingga tabel diatas sudah mencapai optimal. 26
27 Hasil LP kasus Reddy Mikks Variabel keputusan Nilai Optimal x 1 3 x 2 3/2 Z 21 Rekomendasi Produksi 3 ton cat exterior perhari Produksi 1.5 ton cat interior perhari Keuntungan harian adalah 21(x1000) 27
28 Klasifikasi constraint Sumber daya Nilai slack Status Bahan baku M1 s 1 = 0 Scarce Bahan baku M2 s 2 = 0 Scarce Batas pasar s 3 = 5/2 Abundant Batas kebutuhan s 4 = 1/2 Abundant 28
29 Solusi Awal Buatan PL yang constraintnya menggunakan tanda dengan nilai non negatif disisi kanan menyebabkan semua variabel slack memulai solusi layak awal. Model yang menggunakan tanda = dan atau tidak seperti itu. Prosedur untuk awal pemrograman linear dengan tanda = dan pada constraint adalah menggunakan variabel buatan (artificial variables) yang memainkan peranan slack diawal iterasi dan kemudian mengatur keabsahannya diakhir iterasi. Dua metode terkait adalah : metode M dan metode dua fase 29
30 Metode M Metode M memulai LP dalam bentuk persamaan. Jika persamaan i tidak mempunyai slack, sebuah variabel buatan r i ditambahkan untuk membentuk solusi awal yang menyerupai semua basis solusi awal. Karena variabel buatan bukan bagian dari model asli LP, kehadirannya memberikan pelanggaran yang sangat berat dalam fungsi tujuan Maka pemaksaan variabel buatan agar bernilai nol harus dilakukan. Hal ini akan terjadi dalam kasus jika masalah mempunyai solusi yang layak. 30
31 Aturan pelanggaran pada variabel buatan Diberikan M, nilai positif yang cukup besar (secara matematis M ), koefisien tujuan variabel buatan merepresentasikan pelanggaran (penalty) yang tepat jika : Koefisien obyektif variabel buatan = - M, dalam masalah memaksimalkan M, dalam masalah meminimalkan 31
32 Contoh Kasus Minimalkan Z = 4x 1 + x 2 Constraint : 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 4 x 1, x
33 Penyelesaian Menggunakan r 1 sebagai variabel surplus dalam constraint kedua dan s 1 sebagai slack dalam constraint ketiga, bentuk persamaan masalah menjadi : Minimalkan Z = 4x 1 + x 2 Constraint : 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 r 1 = 6 x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 x 1, x 2, r 1, s 1 0 Persamaan ketiga mempunyai variabel slack yaitu s 1, tetapi persamaan pertama dan kedua tidak. Maka tambahkan variabel buatan R 1 dan R 2 dalam persamaan pertama dan kedua dan melanggar fungsi tujuan dengan MR 1 + MR 2 (karena meminimalkan). Hasil LP menjadi : Minimalkan Z = 4x 1 + x 2 + MR 1 + MR 2 Constraint : 3x 1 + x 2 + R 1 = 3 4x 1 + 3x 2 r 1 + R 2 = 6 x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 x 1, x 2, r 1, s 1, R 1, R 2 0 Solusi basis awal diberikan oleh (R 1, R 2, s 1 ) = (3,6,4). 33
34 Nilai M Nilai M sebaiknya cukup besar yang relative terhadap koefisien obyektif yang asli sehingga dapat bertindak sebagai pelanggaran yang memaksakan variabel buatan pada level nol dalam solusi optimal. Tetapi nilai M juga tidak boleh terlalu besar karena bisa membawa hasil tak terhingga. Dalam kasus contoh ini, nilai koefisien obyektif x 1 dan x 2 adalah 4 dan 1, maka cukup beralasan jika M =
35 Perubahan pada tabel simpleks Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Z R R s Dalam tabel, x 1 = x 2 = r 1 = 0, yang merupakan solusi basis awal R 1 = 3, R 2 = 6, dan s 1 = 4. Solusi ini berarti Z = 100 (3) (6) = 900 (seharusnya 0, seperti sisi kanan z-row yang tampak ditabel). Ketidakkonsistenan ini muncul dari fakta bahwa R 1 dan R 2 mempunyai koefisien nonzero (-100, -100) dalam z-row (bandingkan dengan semua solusi awal slack pada contoh sebelumnya) dimana koefisien z-row dari slack adalah nol. 35
36 Menghilangkan inkonsistensi Mensubstitusi R 1 dan R 2 dalam z-row menggunakan persamaan constraint yang tepat. Elemen bernilai 1 yang dihighlight dalam R 1 -row dan R 2 - row, perkalian setiap R 1 -row dan R 2 -row oleh 100 dan menambahkan jumlahnya ke z-row akan mensubstitusi R 1 dan R 2 dalam baris obyektif. Sehingga : Z-row baru = Z-row lama + (100 R 1 -row R 2 -row) Z-row baru = [ ] + (100 [ ] [ ]) Z-row baru = [ ] + ([ ] + [ ]) Z-row baru = [ ] + [ ] Z-row baru = [ ] 36
37 Perubahan pada tabel simpleks setelah substitusi Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Z R R s Dari tabel diatas, dapat dipastikan bahwa nilai Z=900, konsisten/tepat dengan nilai solusi layak awal : R 1 = 3, R 2 = 6, dan s 1 = 4. 37
38 Penentuan variabel masuk dan keluar Masuk Basis Solusi Rasio x 1 R x 1 = 3/3 = 1 minimal R x 1 = 6/4 = 3/2 s x 1 = 4/1 = 4 Kesimpulan : x 1 masuk dan R 1 keluar Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien positif terbesar menjadi kolom kunci. 38
39 Kolom dan baris kunci yang terpilih (iterasi 1) Masuk Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Z Keluar R Baris kunci R s Kolom kunci 39
40 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 1) Baris kunci Ganti R 1 pada kolom Basis dengan x 1 Baris x 1 baru = Baris R 1 elemen kunci = [ ] / 3 = [1 1/3 0 1/ ] Baris yang lain Baris z baru = Baris z (696) Baris x 1 baru = [ ] (696) [1 1/3 0 1/ ] = [ ] [ ] = [ ] Baris R 2 baru = Baris R 2 (4) Baris x 1 baru = [ ] (4) [1 1/3 0 1/ ] = [ ] [4 4/3 0 4/ ] = [0 5/3-1 -4/ ] 40
41 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 1) Baris s 1 baru = Baris s 1 (1) Baris x 1 baru = [ ] (1) [1 1/3 0 1/ ] = [ ] [1 1/3 0 1/ ] = [0 5/3 0-1/ ] Solusi baru adalah (x 1, R 2, s 1 ) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Z x 1 1 1/3 0 1/ R 2 0 5/3-1 -4/ s 1 0 5/3 0-1/ Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 204. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien positif terbesar, ditemukan x 2 dengan koefisien 167 sebagai variabel masuk. 41
42 Penentuan variabel masuk dan keluar Masuk Basis Solusi Rasio x 2 x 1 1/3 1 x 2 = 1/(1/3) = 3 R 2 5/3 2 x 2 = 2/(5/3) = 6/5 minimal s 1 5/3 3 x 2 = 3/(5/3) = 9/5 Kesimpulan : x 2 masuk dan R 2 keluar 42
43 Kolom dan baris kunci yang terpilih (iterasi 2) Masuk Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Z x 1 1 1/3 0 1/ Keluar R 2 0 5/3-1 -4/ Baris kunci s 1 0 5/3 0-1/ Kolom kunci 43
44 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 1) Baris kunci Ganti R 2 pada kolom Basis dengan x 2 Baris x 2 baru = Baris R 2 elemen kunci = [0 5/3-1 -4/ ] / (5/3) = [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] Baris yang lain Baris z baru = Baris z (167) Baris x 2 baru = [ ] (167) [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] = [ ] [ /5-668/5 501/ /5] = [0 0 1/5-492/5-501/5 0 18/5] Baris x 1 baru = Baris x 1 (1/3) Baris x 2 baru = [1 1/3 0 1/ ] (1/3) [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] = [1 1/3 0 1/ ] [0 1/3-1/5-4/15 3/15 0 6/15] = [1 0 1/5 3/5-3/15 0 3/5] 44
45 Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru (iterasi 1) Baris s 1 baru = Baris s 1 (1) Baris x 2 baru = [0 5/3 0-1/ ] (5/3) [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 0-1/ ] [0 5/3-1 -4/ ] = [ ] Solusi baru adalah (x 1, x 2, s 1 ) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Z 0 0 1/5-492/5-501/5 0 18/5 x /5 3/5-3/5 0 3/5 x /5-4/5 3/5 0 6/5 s
46 Penentuan variabel masuk dan keluar Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 18/5. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien positif terbesar, ditemukan r 1 dengan koefisien 1/5 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa r 1 adalah variabel masuk Basis Masuk r 1 Solusi Rasio x 1 1/5 3/5 r 1 = (3/5)/(1/5) = 3 minimal x 2-3/5 6/5 r 1 = (6/5)/(-3/5) = -2 (diabaikan) s r 1 = 5/1 = 5 Kesimpulan : tidak ada syarat kelayakan yang memenuhi Dari tabel diatas, terlihat bahwa rasio minimal terdapat pada variabel basis x 1 dan ini adalah variabel keputusan. Sehingga tidak ada lagi syarat kelayakan yang dapat dilakukan dan tabel simpleks diatas adalah yang paling optimal. 46
47 Metode dua fase Dalam metode M, penggunaan penalty M, dimana didefinisikan nilainya harus relative besar terhadap koefisien obyektif actual dari model, dapat menghasilkan kisaran error yang dapat melemahkan akurasi perhitungan simpleks. Metode dua fase mengurangi kelemahan ini dengan menghilangkan konstanta M. Metode ini menyelesaikan kasus LP dalam dua fase : Fase I berusaha untuk mencari solusi layak awal, dan jika ditemukan, maka Fase II dijalankan untuk menyelesaikan masalah aslinya. 47
48 Langkah-langkah metode dua fase Fase I Kondisikan masalah dalam bentuk persamaan, dan tambahkan variabel buatan yang diperlukan pada constraint (seperti metode M) untuk mengaman basis solusi awal. Cari solusi basis dari persamaan yang didapatkan itu, tanpa memandang LP adalah memaksimalkan atau meminimalkan, selalu meminimalkan jumlah dari variabel buatan. Jika nilai minimum penjumlahan adalah positif, masalah LP tidak mempunyai solusi layak, sehingga merupakan akhir proses. Jika tidak, lanjutkan ke fase II. Fase II Gunakan solusi layak dari fase I sebagai basis solusi awal layak pada masalah yang sesungguhnya. 48
49 Mengacu pada contoh di metode M Minimalkan Z = 4x 1 + x 2 Constraint : 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 4 x 1, x
50 Penyelesaian Menggunakan r 1 sebagai variabel surplus dalam constraint kedua dan s 1 sebagai slack dalam constraint ketiga, bentuk persamaan masalah menjadi : Minimalkan Z = 4x 1 + x 2 Constraint : 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 r 1 = 6 x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 x 1, x 2, r 1, s
51 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I Minimalkan R = R 1 + R 2 Kendala : 3x 1 + x 2 + R 1 = 3 4x 1 + 3x 2 r 1 + R 2 = 6 x 1 + 2x 2 + s 1 = 4 x 1, x 2, r 1, s 1, R 1, R 2 0 Tabel simpleksnya tampak sebagai berikut : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi R R R s
52 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) Dengan metode M, R1 dan R2 disubstitusikan dalam R- row dengan menggunakan perhitungan : R-row baru = R-row lama + (1 R 1 -row + 1 R 2 -row) R-row baru = [ ] + (1 [ ] + 1 [ ]) R-row baru = [ ] + ([ ] + [ ]) R-row baru = [ ] + [ ] R-row baru = [ ] Tabel simpleks berubah menjadi : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi R R R s
53 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) 53
54 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) x 1 terpilih sebagai kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solus Rasio i R R /3 = 1 minimal R /4 = 1.5 s /1 = 4 54
55 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) R 1 menjadi variabel keluar dan x 1 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss- Jordan untuk menghasilkan solusi baru Baris kunci Ganti R 1 pada kolom Basis dengan x 1 Baris x 1 baru = Baris R 1 elemen kunci = [ ] / 3 = [1 1/3 0 1/ ] Baris yang lain Baris R baru = Baris R (7) Baris x 1 baru = [ ] (7) [1 1/3 0 1/ ] = [ ] [7 7/3 0 7/ ] = [0 5/3-1 -7/ ] 55
56 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) Baris R 2 baru = Baris R 2 (4) Baris x 1 baru = [ ] (4) [1 1/3 0 1/ ] = [ ] [4 4/3 0 4/ ] = [0 5/3-1 -4/ ] Baris s 1 baru = Baris s 1 (1) Baris x 1 baru = [ ] (1) [1 1/3 0 1/ ] = [ ] [1 1/3 0 1/ ] = [0 5/3 0-1/ ] Perubahan tabel simpleks menjadi : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi R 0 5/3-1 -7/ x 1 1 1/3 0 1/ R 2 0 5/3-1 -4/ s 1 0 5/3 0-1/
57 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) x 2 terpilih sebagai kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi Rasio R 0 5/3-1 -7/ x 1 1 1/3 0 1/ /(1/3) = 3 R 2 0 5/3-1 -4/ /(5/3) = 1.2 minimal s 1 0 5/3 0-1/ /(5/6) = 3.6 Dari tabel tersebut, R 2 menjadi variabel keluar dan x 2 menjadi variabel masuk. 57
58 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru Baris kunci Ganti R 2 pada kolom Basis dengan x 2 Baris x 2 baru = Baris R 2 elemen kunci 2 2 = [0 5/3-1 -4/ ] / (5/3) = [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] Baris yang lain Baris R baru = Baris R (5/3) Baris x 2 baru = [0 5/3-1 -7/ ] (5/3) [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3-1 -7/ ] [0 5/3-1 -4/ ] = [ ] 58
59 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) Baris x 1 baru = Baris x 1 (1/3) Baris x 2 baru = [1 1/3 0 1/ ] (1/3) [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] = [1 1/3 0 1/ ] [0 1/3-1/5-4/15 1/5 0 2/5] = [1 0 1/5 3/5-1/5 0 3/5] Baris s 1 baru = Baris s 1 (5/3) Baris x 2 baru = [0 5/3 0-1/ ] (5/3) [0 1-3/5-4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 0-1/ ] [0 5/3-1 -4/ ] = [ ] Perubahan tabel simpleks menjadi : 59
60 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I (cont d) Basis x 1 x 2 r 1 R 1 R 3 s 1 Solusi R x /5 3/5-1/5 0 3/5 x /5-4/5 3/5 0 6/5 s Tidak ada syarat optimal yang ditemui pada tabel (tidak ada koefisien positif terbesar di z-row). Sehingga untuk fase I selesai dan mencapai optimal. Karena minimal R = 0. Fase I menghasilkan basis solusi optimal x 1 = 3/5 dan x 2 = 6/5 dan s 1 = 1. Pada titik ini, variabel buatan telah mecapai tujuan, dan kita dapat menghilangkan kolom tersebut dari tabel dan dilanjutkan ke fase II. 60
61 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II Setelah penghapusan kolom variabel buatan, masalah asli menjadi : Minimalkan Z = 4x 1 + x 2 Constraint : x 1 + 1/5 r 1 = 3/5 x 2 3/5 r 1 = 6/5 r 1 + s 1 = 1 x 1, x 2, r 1, s
62 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II (cont d) Basis x 1 x 2 r 1 s 1 Solusi Z x /5 0 3/5 x /5 0 6/5 s Karena variabel basis x 1 dan x 2 mempunyai koefisien nonzero dalam z- row, keduanya harus disubstitusikan menggunakan perhitungan berikut : Z-row baru = Z-row lama + (4 x 1 -row + 1 x 2 -row) Z-row baru = [ ] + (4 [1 0 1/5 0 12/5] + 1 [0 1-3/5 0 6/5]) Z-row baru = [ ] + ([4 0 4/5 0 12/5] + [0 1-3/5 0 6/5]) Z-row baru = [ ] + [4 1 1/5 0 18/5] Z-row baru = [0 0 1/5 0 18/5] Inisial tabel simpleks di fase II menjadi : 62
63 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II (cont d) Basis x 1 x 2 r 1 s 1 Solusi Z 0 0 1/5 0 18/5 x /5 0 3/5 x /5 0 6/5 s Kasusnya adalah meminimalkan, sehingga dicari koefisien variabel dalam z-row yang mempunyai nilai positif terbesar. Didapatkan r 1 bernilai positif terbesar, sehingga menjadi kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar) 63
64 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II (cont d) Basis x 1 x 2 r 1 s 1 Solusi Rasio Z 0 0 1/5 0 18/5 x /5 0 3/5 (3/5)/(1/5) = 3 x /5 0 6/5 (6/5)/(-3/5) = -2 (diabaikan) s /1 = 1 minimal s 1 menjadi variabel keluar dan r 1 menjadi variabel masuk 64
65 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II (cont d) Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru Baris kunci Ganti s 1 pada kolom Basis dengan r 1 Baris r 1 baru = Baris s 1 elemen kunci 1 1 = [ ] / 1 = [ ] Baris yang lain Baris Z baru = Baris Z (1/5) Baris r 1 baru = [0 0 1/5 0 18/5] (1/5) [ ] = [0 0 1/5 0 18/5] [0 0 1/5 1/5 1/5] = [ /5 17/5] 65
66 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II (cont d) Baris x 1 baru = Baris x 1 (1/5) Baris r 1 baru = [1 0 1/5 0 3/5] (1/5) [ ] = [1 0 1/5 0 3/5] [0 0 1/5 1/5 1/5] = [ /5 2/5] Baris x 2 baru = Baris x 2 (-3/5) Baris r 1 baru = [0 1-3/5 0 6/5] (-3/5) [ ] = [0 1-3/5 0 6/5] [0 0-3/5-3/5-3/5] = [ /5 9/5] Perubahan tabel simpleks menjadi : 66
67 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase II (cont d) Basis x 1 x 2 r 1 s 1 Solusi Z /5 17/5 x /5 2/5 x /5 9/5 r Solusi baru adalah (x 1, x 2, r 1 ) dan tabel simpleks dan memberikan nlai x1 dan x2 yang optimal yaitu masing-masing 2/5 dan 9/5 67
68 Hal-hal yang perlu diperhatikan Penghilangan variabel buatan dan kolomnya diakhir fase I hanya bisa dilakukan ketika semua variabel buatan tersebut sudah menjadi variabel nonbasis. Jika satu atau lebih variabel buatan adalah basis (pada level nol) di akhir fase I, maka langkah tambahan berikut ini harus dilakukan untuk menghilangkannya sebelum masuk ke fase II Langkah 1 Pilih variabel buatan nol untuk meninggalkan basis solusi dan rangcanglah baris sebagai baris kunci. Variabel masuk bisa sembarang variabel nonbasis (non buatan) dengan koefisien nonzero (positif atau negatif) dalam baris kunci. Lakukan iterasi simpleks. Langkah 2 Hilangkan kolom variabel buatan (yang baru saja keluar) dari tabel. Jika semua variabel buatan nol telah dikeluarkan, lanjutkan ke fase II. Jika tidak, kembali ke langkah 1. 68
69 Tugas Baca Modul 4 Analisis Sensitivitas Kerjakan soal Modul 3 : Kelompok 1 : 3.2 dan 3.6(a) Kelompok 2 : 3.3 dan 3.6(b) Kelompok 3 : 3.4 dan 3.6(c) Kelompok 4 : 3.7 dan 3.6(d) Kelompok 5 : 3.8 dan 3.1(a) Kelompok 6 : 3.5(a) dan 3.1(b) Kelompok 7 : 3.5(c) dan 3.1(c) Kelompok 8 : 3.5(d) dan 3.1(d) Kelompok 9 : 3.5(b) dan 3.5(e) Pengerjaan : Satu kelompok berisi maksimal 5 orang Ditulis tangan pada kertas folio bergaris oleh masing-masing anggota Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya 69
Manajemen Sains. Eko Prasetyo. Teknik Informatika UMG Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS
Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS Dalam menggunakan metode simpleks, hal yang perlu diperhatikan adalah mengonversi constraint yang masih dalam bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan menggunakan
Lebih terperinciManajemen Sains. Pemrograman Linier (Metode Grafik) Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011
Manajemen Sains Pemrograman Linier (Metode Grafik) Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011 Komponen dasar Variabel keputusan yang kita cari untuk ditentukan Objective (tujuan) yaitu
Lebih terperinciMetode Simpleks M U H L I S T A H I R
Metode Simpleks M U H L I S T A H I R PENDAHULUAN Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan
Lebih terperincikita menggunakan variabel semu untuk memulai pemecahan, dan meninggalkannya setelah misi terpenuhi
Lecture 4: (B) Supaya terdapat penyelesaian basis awal yang fisibel, pada kendala berbentuk = dan perlu ditambahkan variabel semu (artificial variable) pada ruas kiri bentuk standarnya, untuk siap ke tabel
Lebih terperinciManajemen Sains. Analisis Sensitivitas. Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011
Manajemen Sains Analisis Sensitivitas Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011 Pengertian Dalam pemrograman linier, parameter (data masukan) dari model dapat berubah dalam batas tertentu
Lebih terperinciBAB II METODE SIMPLEKS
BAB II METODE SIMPLEKS 2.1 Pengantar Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan
Lebih terperinciBAB IV. METODE SIMPLEKS
BAB IV. METODE SIMPLEKS Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi
Lebih terperinciFungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tetapi juga oleh pertidaksamaan dan/atau persamaan =. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan
Fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tetapi juga oleh pertidaksamaan dan/atau persamaan =. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai variabel surplus, tidak ada variabel slack.
Lebih terperinciBAB III. METODE SIMPLEKS
BAB III. METODE SIMPLEKS 3.1. PENGANTAR Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya
Lebih terperinciPemrograman Linier (3)
Pemrograman Linier () Metode Big-M Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia Pada model PL di mana semua kendala memiliki relasi, variabel basis pada solusi awal (tabel simpleks awal) adalah Z dan semua
Lebih terperincimempunyai tak berhingga banyak solusi.
Lecture 4: A. Introduction Jika suatu masalah LP hanya melibatkan 2 kegiatan (variabel keputu-san) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi, jika melibatkan lebih dari 2 kegiatan, maka
Lebih terperinciTeknik Riset Operasi. Oleh : A. AfrinaRamadhani H. Teknik Riset Operasi
Oleh : A. AfrinaRamadhani H. 1 PERTEMUAN 7 2 METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tapi juga oleh pertidakasamaan dan/atau persamaan (=). Fungsi
Lebih terperinciMETODE dan TABEL SIMPLEX
METODE dan TABEL SIMPLEX Mengubah bentuk baku model LP ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simplex adalah :. Berdasarkan bentuk
Lebih terperinciManajemen Sains. Eko Prasetyo. Modul 4 ANALISIS SENSITIVITAS. 4.1 Analisis Sensitivitas Metode Grafik
Modul 4 ANALISIS SENSITIVITAS 4.1 Analisis Sensitivitas Metode Grafik Dalam pemrograman linier, parameter (data masukan) dari model dapat berubah dalam batas tertentu yang menyebabkan solusi optimal berubah
Lebih terperinciPemrograman Linier (2)
Solusi model PL dengan metode simpleks Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia 2 Bentuk umum model PL Ingat kembali bentuk umum model PL maksimum Maks Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n Dengan kendala:
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS. Obyektif 1. Memahami cara menyelesaikan permasalahan menggunakan solusi grafik 2. Mengetahui fungsi kendala dan fungsi tujuan
METODE SIMPLEKS 2 Obyektif 1. Memahami cara menyelesaikan permasalahan menggunakan solusi grafik 2. Mengetahui fungsi kendala dan fungsi tujuan Untuk menggunakan Metode Simpleks dalam masalah Program Linier
Lebih terperinciPRAKTIKUM II PEMROGRAMAN LINIER (METODE SIMPLEKS)
PRAKTIKUM II PEMROGRAMAN LINIER (METODE SIMPLEKS) A. Tujuan Praktikum 1. Memahami bagaimana merumuskan/ memformulasikan permasalahan yang terdapat dalam dunia nyata. 2. Memahami dan dapat memformulasikan
Lebih terperinciMetode Simpleks dengan Big M dan 2 Phase
Metode Simpleks dengan Big M dan 2 Phase Metode Simpleks Vs. Simpleks Big-M Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode
Lebih terperinciMETODE BIG M. Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
METODE BIG M Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tapi juga oleh pertidakasamaan dan/atau persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai surplus
Lebih terperinciBAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS
BAB III SOLUSI GRAFIK DAN METODE PRIMAL SIMPLEKS A. Metode Simpleks Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam
Lebih terperinciMetode Simpleks Dengan Tabel. Tabel simpleks bentuk umum
Metode Simpleks Dengan Tabel Tabel simpleks bentuk umum Pendahuluan Bentuk program linier yang ada bukan hanya bentuk standar. Bentuk program linier yang mungkin dapat berupa: Fungsi tujuan diminimalkan
Lebih terperinciDanang Triagus Setiyawan ST.,MT
Danang Triagus Setiyawan ST.,MT Metode ini didasari atas gagasan pergerakan dari satu titik ekstrim ke titik ekstrim yang lain pada satu susunan konvek yang dibentuk oleh set fungsi kendala dan kondisi
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX
PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX Latar Belakang Sulitnya menggambarkan grafik berdimensi banyak atau kombinasi lebih dari dua variabel. Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-3. Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
METODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-3 Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Pendahuluan (1) Metode simpleks merupakan sebuah prosedur matematis
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER
Staf Gunadarma Gunadarma University METODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER Metode Simpleks merupakan salah satu teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berkaitan dengan pengalokasian sumber
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER
METODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER Metode Simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahn yang berhubungan
Lebih terperinciTeam Dosen Riset Operasional Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
Team Dosen Riset Operasional Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Metode simpleks merupakan sebuah prosedur matematis berulang untuk menemukan penyelesaian optimal soal programa
Lebih terperinciPemrograman Linier (2)
Solusi model PL dengan metode simpleks Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia 2 Bentuk umum model PL Ingat kembali bentuk umum model PL maksimum Maks Z = c x + c 2 x 2 +... + c n x n Dengan kendala:
Lebih terperinciManajemen Sains. Model Penugasan (Assignment Modelling) Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011
Manajemen Sains Model Penugasan (Assignment Modelling) Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011 Model Penugasan Biasanya diterapkan pada suatu jaringan guna mendapatkan nilai optimal
Lebih terperinciAda beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadangkala kita akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat
Muhlis Tahir Ada beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadangkala kita akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas atau syarat kelayakan tidak pernah dapat terpenuhi. Adakalanya
Lebih terperinciBAB V PROGRAMA LINIER : METODE SIMPLEKS
BAB V PROGRAMA LINIER : METODE SIMPLEKS 5.1 Metode Simpleks Metode simpleks ialah suatu cara penyelesaian masalah programa linier yang diperkenalkan pertama kali oleh Dantzig pada tahun 1947, yakni suatu
Lebih terperinciBahanKuliahKe-3 Penelitian Operasional VARIABEL ARTIFISIAL. (Metode Penalty & Teknik Dua Fase) Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT.
BahanKuliahKe-3 Penelitian Operasional VARIABEL ARTIFISIAL (Metode Penalty & Teknik Dua Fase) Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT. PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL UNLAM 2006 1 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Dalam
Lebih terperinciPEMROGRAMAN LINIER. Metode Simpleks
PEMROGRAMAN LINIER Metode Simpleks Metode Simpleks Metode simpleks digunakan untuk memecahkan permasalahan PL dengan dua atau lebih variabel keputusan. Prosedur Metode Simpleks: Kasus Maksimisasi a. Formulasi
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER
METODE SIMPLEKS DALAM PROGRAM LINIER Metode Simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dalam program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahn yang berhubungan
Lebih terperinciTaufiqurrahman 1
PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX Latar Belakang Sulitnya menggambarkan grafik berdimensi banyak atau kombinasi lebih dari dua variabel. Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah
Lebih terperinciRISET OPERASIONAL MINGGU KE-2. Disusun oleh: Nur Azifah., SE., M.Si. Linier Programming: Formulasi Masalah dan Model
RISET OPERASIONAL MINGGU KE- Linier Programming: Formulasi Masalah dan Model Disusun oleh: Nur Azifah., SE., M.Si Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah salah satu teknik riset operasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukkan
Lebih terperinciPengubahan Model Ketidaksamaan Persamaan
METODA SIMPLEKS Metoda Simpleks Suatu metoda yang menggunakan prosedur aljabar untuk menyelesaikan programa linier. Proses penyelesaiannya dengan melakukan iterasi dari fungsi pembatasnya untuk mencapai
Lebih terperinciModul 2 PEMROGRAMAN LINIER METODE GRAFIK. Model pemrograman linear, mempunyai tiga komponen dasar :
Modul 2 PEMROGRAMAN LINIER METODE GRAFIK 2.1 Model Pemrograman Linear 2 Variabel Pada bagian ini, tujuan yang ingin dicapai adalah mendapatkan solusi grafis dari pemrograman linear dua variabel. Metode
Lebih terperinciMATA KULIAH RISET OPERASIONAL
MATA KULIAH RISET OPERASIONAL [KODE/SKS : KK023311/ 2 SKS] METODE SIMPLEKS Pengubahan ke dalam bentuk baku Untuk menyempurnakan metode grafik. Diperkenalkan oleh : George B Dantzig Ciri ciri : 1. Semua
Lebih terperinciDual Pada Masalah Maksimum Baku
Dual Pada Masalah Maksimum aku Setiap masalah program linear terkait dengan masalah dualnya. Kita mulai dengan motivasi masalah ekonomi terhadap dual masalah maksimum baku. Sebuah industri rumah tangga
Lebih terperinciTEORI DUALITAS. Pertemuan Ke-9. Riani Lubis JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
TEORI DUALITAS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-9 Riani Lubis JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 PENGANTAR Diperlukan sebagai dasar interpretasi ekonomis suatu persoalan
Lebih terperinciOPTIMALISASI KEUNTUNGAN PADA PERUSAHAAN KERIPIK BALADO MAHKOTA DENGAN METODE SIMPLEKS
OPTIMALISASI KEUNTUNGAN PADA PERUSAHAAN KERIPIK BALADO MAHKOTA DENGAN METODE SIMPLEKS Muhammad Muzakki Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang,
Lebih terperinciPENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING SECARA MATEMATIK (METODE SIMPLEKS)
Maximize or Minimize Subject to: Z = f (x,y) g (x,y) = c S1 60 4 2 1 0 S2 48 2 4 0 1 Zj 0-8 -6 0 0 PENYELESAIAN MODEL LINEAR PROGRAMMING SECARA MATEMATIK (METODE SIMPLEKS) Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara
Lebih terperinciBAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS
BAB VI PROGRAMA LINIER : DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS 6.1 Teori Dualitas Teori dualitas merupakan salah satu konsep programa linier yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya.
Lebih terperinciAnalisis Sensitivitas (2)
(2) Metode Kuantitatif Untuk Bisnis Materi Keempat 1 Perubahan Pada Resources atau Right Hand Side (RHS) Range perubahan RHS ditentukan dengan menghitung rasio antara RHS dan kolom initial basic variable
Lebih terperinciPemodelan dalam RO. Sesi XIV PEMODELAN. (Modeling)
Mata Kuliah :: Riset Operasi Kode MK : TKS 4019 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XIV PEMODELAN (Modeling) e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 Pemodelan dalam RO Outline:
Lebih terperinciOperations Management
6s-1 LP Metode Simpleks Operations Management MANAJEMEN SAINS William J. Stevenson 8 th edition 6s-2 LP Metode Simpleks Bentuk Matematis Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X 2 Batasan (constrain) (1) 2X 1 8 (2) 3X
Lebih terperinciMetode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan
Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks
Lebih terperinciOPTIMALISASI PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL LINEAR PROGRAMMING (Studi Kasus : Usaha Kecil Menengah Kue Semprong)
OPTIMALISASI PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL LINEAR PROGRAMMING (Studi Kasus : Usaha Kecil Menengah Kue Semprong) Ai Nurhayati 1, Sri Setyaningsih 2,dan Embay Rohaeti 2. Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX
PROGRAM LINEAR DENGAN METODE SIMPLEX PENDAHULUAN Metode simpleks ini adalah suatu prosedur aljabar yang bukan secara grafik untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah-masalah optimisasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Program linier (Linier Programming) Pemrograman linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
Lebih terperinciRiset Operasional LINEAR PROGRAMMING
Bahan Kuliah Riset Operasional LINEAR PROGRAMMING Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT. PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL UNLAM 25 1 ANALISA SISTEM Agar lebih mendekati langkah-langkah operasional, Hall & Dracup
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Menurut Sitorus, Parlin (1997), Program Linier merupakan suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu suatu
Lebih terperinciALGORITMA METODE SIMPLEKS (PRIMAL)
ALGORITMA METODE SIMPLEKS (PRIMAL) Artificial Variable Algoritma Simpleks Metode M (Method of penalty) Metode dua fase Tabel Simpleks dalam bentuk matriks Artificial Variable (AV) Apabila terdapat satu
Lebih terperinciPerhatikan model matematika berikut ini. dapat dibuat tabel
4. Metode Simpleks Maks/min : h.m Perhatikan model matematika berikut ini. simpleksnya yaitu. dapat dibuat tabel Cb VDB Q M M Penilai an Z Keterangan: = variabel ke-j (termasuk variabel slack dan surplus)..
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN
TUGAS KELOMPOK RISET OPERASI METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN KELOMPOK RINI ANGGRAINI S (H ) NURUL MUTHIAH (H 5) RAINA DIAH GRAHANI (H 68) FATIMAH ASHARA (H 78) PRODI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciMETODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-5
METODE SIMPLEKS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-5 Riani Lubis JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 Pendahuluan (1) Metode simpleks merupakan sebuah prosedur matematis berulang
Lebih terperinciPROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS
PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS Merupakan metode yang biasanya digunakan untuk memecahkan setiap permasalahan pada pemrogramman linear yang kombinasi variabelnya terdiri dari tiga variabel atau lebih. Metode
Lebih terperinciModel umum metode simpleks
Model umum metode simpleks Fungsi Tujuan: Z C X C 2 X 2 C n X n S S 2 S n = NK FungsiPembatas: a X + a 2 X 2 + + a n X n + S + S 2 + + S n = b a 2 X + a 22 X 2 + + a 2n X n + S + S 2 + + S n = b 2 a m
Lebih terperinciPemrograman Linier (1)
Bentuk umum dan solusi dengan metode grafis Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia 2 Komponen pada Pemrograman Linier (PL) Model PL memiliki tiga komponen dasar: Variabel keputusan yang akan dicari
Lebih terperinciMATEMATIKA SISTEM INFORMASI 2 [KODE/SKS : IT / 2 SKS]
MATA KULIAH MATEMATIKA SISTEM INFORMASI 2 [KODE/SKS : IT011215 / 2 SKS] LINIER PROGRAMMING Formulasi Masalah dan Pemodelan Pengertian Linear Programming Linear Programming (LP) adalah salah satu teknik
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program
BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program linear, metode simpleks, dan program linear fuzzy untuk membahas penyelesaian masalah menggunakan metode fuzzy
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Semua perusahaan menjalankan bisnisnya dengan memproduksi suatu barang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Produksi Semua perusahaan menjalankan bisnisnya dengan memproduksi suatu barang atau menyediakan jasa. Khusus bagi perusahaan yang bergerak di sektor industri dan berbentuk pabrik,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Program Linear Program Linear adalah suatu cara yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi suatu model linear dengan berbagai kendala yang dihadapinya. Masalah program
Lebih terperinciMetode Simplex. Toha Ardi Nugraha
Metode Simplex Toha Ardi Nugraha Pendahuluan Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian dengan program linier yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan
Lebih terperinciA. Analisis Sensitivitas 1. Berapa besar perubahan koefisien fungsi objektif diperbolehkan supaya titik optimal dipertahankan?
Lecture 3: (B) Tujuan analisis sensitivitas adalah mempelajari pengaruh perubahan model terhadap penyelesaian optimumnya. Perubahan tersebut meliputi: (1) Perubahan pada koefisien fungsi objektif z (koefisien
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti pengertian persediaan, metode program linier. 2.1. Persediaan 2.1.1. Pengertian
Lebih terperinciBEBERAPA FORMULA PENTING DALAM solusi PROGRAM LINEAR FITRIANI AGUSTINA, MATH, UPI
BEBERAPA FORMULA PENTING DALAM solusi PROGRAM LINEAR Bentuk Standar Masalah PL Maksimasi : dengan pembatas linear () dan pembatas tanda c n n c c z m n mn m m n n n n b a a a b a a a b a a a n j j,,,,
Lebih terperinciMetode Simpleks dalam Bentuk Tabel (Simplex Method in Tabular Form) Materi Bahasan
Metode Simpleks dalam Bentuk Tabel (Simplex Method in Tabular Form) Kuliah 04 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Metode simpleks dalam bentuk tabel 2 Pemecahan untuk masalah minimisasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Teori Himpunan Fuzzy Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam himpunan A, yang sering ditulis dengan memiliki dua kemungkinan, yaitu: 1 Nol (0), yang berarti
Lebih terperinciPemrograman Linier (6)
Pemrograman Linier (6) Analisa Sensitivitas Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia Analisa sensitivitas: pengertian Dalam PL, parameter (data input) dari model dapat diubah dalam batasan tertentu,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciModel Matematis (Program Linear)
Model Matematis (Program Linear) Pertemuan I Ayundyah Kesumawati, M.Si PROGRAM STUDI STATISTIKA UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 2015 Pengembangan Model Matematis Menurut Taha (2002), pengembangan model matematis
Lebih terperinciZ = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2. Persoalan Primal (asli) Persoalan Dual (kebalikan dari primal)
Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode atau langkah-langkahnya sama. Saat membuat bentuk standar : Jika kendala
Lebih terperinciMaximize or Minimize Z = f (x,y) Subject to: g (x,y) = c
Maximize or Minimize Z = f (x,y) Subject to: g (x,y) = c PROGRAM MAGISTER AGRIBISNIS UNIVERSITAS JAMBI Prof. Dr. Ir. ZULKIFLI ALAMSYAH, M.Sc. Metode Simpleks adlh suatu metode yg secara matematis dimulai
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
51 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Perencanaan Produksi 2.1.1 Arti dan Pentingnya Perencanaan Produksi Perencanaan produksi merupakan penentuan arah awal dari tindakan yang harus dilakukan di masa yang akan datang,
Lebih terperinciPenyelesaian Program Linier Menggunakan Algoritma Interior Point dan Metode Simpleks
Penyelesaian Program Linier Menggunakan Algoritma Interior Point dan Metode Simpleks Sri Basriati, Elfira Safitri 2,2) Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau ) sribasriati@hotmail.com
Lebih terperinciManajemen Sains. Model Transportasi. Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011
Manajemen Sains Model Transportasi Eko Prasetyo Teknik Informatika Univ. Muhammadiyah Gresik 2011 Pengertian Model transportasi adalah kelompok khusus program linear yang menyelesaikan masalah pengiriman
Lebih terperinciMinimumkan: Z = 4X 1 + X 2 Batasan: 3X 1 + X 2 = 3 4X 1 + 3X 2 6 X 1 + 2X 2 4
TEKNIK DUA TAHAP Tahap I. Tambahkan variable buatan sebagaimana diperlukan untuk memperoleh pemecahan awal. Bentuklah fungsi tujuan baru yang mengusahakan minimalisasi jumlah variable buatan dengan batasan
Lebih terperinciPemrograman Linier (4)
Pemrograman Linier (4) Metode dua fase Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia Sesuai dengan namanya, metode dua fase menyelesaikan problem PL dalam dua tahap (fase): 1 Ubah model PL ke dalam bentuk
Lebih terperinciPemrograman Linier (Linear Programming) Materi Bahasan
Pemrograman Linier (Linear Programming) Kuliah 02 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Pengantar pemrograman linier 2 Pemecahan pemrograman linier dengan metode grafis 3 Analisis sensitivitas
Lebih terperinciAlgoritma Simplex. Algoritma Simplex adalah algoritma yang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi objektif dan memperhatikan semua persamaan
Algoritma Simplex Algoritma Simplex adalah algoritma yang digunakan untuk mengoptimalkan fungsi objektif dan memperhatikan semua persamaan kendala. (George Dantizg, USA, 1950) Contoh Kasus Suatu perusahaan
Lebih terperinciTeori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application)
Teori Dualitas dan Penerapannya (Duality Theory and Its Application) Kuliah 6 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Teori dualitas 2 Metode simpleks dual TI2231 Penelitian Operasional I 2
Lebih terperincicontoh soal metode simplex dengan minimum
contoh soal metode simplex dengan minimum Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000. uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap
Lebih terperinciBAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL
BAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL HUBUNGAN PRIMAL-DUAL Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik dari primal PL tertentu. Setiap permasalahan primal selalu mempunyai pasangan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier dalam produksi.. 2.1 Teori
Lebih terperinciModul Mata Kuliah. Pemrograman Linear MAT Disusun Oleh: Rully Charitas Indra Prahmana
Modul Mata Kuliah Pemrograman Linear MAT 3224 Disusun Oleh: Rully Charitas Indra Prahmana Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Surya Tangerang 2013 Kata Pengantar
Lebih terperinciPengantar Teknik Industri TIN 4103
Pengantar Teknik Industri TIN 4103 Lecture 10 Outline: Penelitian Operasional References: Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 7th ed. The McGraw-Hill Companies,
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
BAB 3 METODE PENELITIAN Pada bab ini, akan dijelaskan metode-metode yang penulis gunakan dalam penelitian ini. Adapun metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah Metode Simpleks dan Metode Branch
Lebih terperinciBahan A: 6x + 4x 24. Bahan B Harga jual ($1000) 5 4. Identifikasi fungsi tujuan Pendapatan total yang harus dimaksimumkan adalah
Lecture 2: Graphical Method Khusus untuk masalah Program Linear dengan 2 peubah dapat diselesaikan melalui grafik, meskipun dalam praktek masalah Program Linear jarang sekali yang hanya memuat 2 peubah.
Lebih terperinciPENERAPAN LOGIKA FUZZY PADA PROGRAM LINEAR
PENERAPAN LOGIKA FUZZY PADA PROGRAM LINEAR T-11 RIVELSON PURBA 1 1 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUSAMUS MERAUKE etong_extreme@yahoo.com ABSTRAK Purba, Rivelson. 01. Penerapan Logika
Lebih terperinciBAB LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK PENDAHULUAN PENDAHULUAN
PENDAHULUAN BAB 1 LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK PENDAHULUAN inear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan
Lebih terperinciOPTIMALISALI KASUS PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN METODE GRAFIK DAN SIMPLEKS
OPTIMALISALI KASUS PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN METODE GRAFIK DAN SIMPLEKS RISNAWATI IBNAS Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM risnawati988@gmail.com Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi:
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Dasar Teori 2.1.1 Produksi Produksi secara umum adalah semua kegiatan yang bertujuan untuk menciptakan atau menambah nilai guna suatu barang untuk memenuhi kebutuhan kepuasan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. besar dan mampu membantu pemerintah dalam mengurangi tingkat pengangguran.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam menghadapi globalisasi dunia saat ini mendorong persaingan diantara para pelaku bisnis yang semakin ketat. Di Indonesia sebagai negara berkembang, pembangunan
Lebih terperinciMODEL TRANSPORTASI - I MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-7. Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
MODEL TRANSPORTASI - I MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-7 Riani Lubis Program Studi Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1 2 PENGANTAR Terdapat bermacam-macam network model. Network
Lebih terperinci