Modul Mata Kuliah. Pemrograman Linear MAT Disusun Oleh: Rully Charitas Indra Prahmana

Transkripsi

1 Modul Mata Kuliah Pemrograman Linear MAT 3224 Disusun Oleh: Rully Charitas Indra Prahmana Program Studi Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Surya Tangerang 2013

2 Kata Pengantar Puji syukur, saya haturkan kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-nya, Modul Pemrograman Linier ini, dapat selesai tepat pada waktunya, walaupun dengan banyak kekurangan disana sini, karena saya hanyalah manusia biasa yang tidak pernah luput dari kesalahan. Tak lupa Shalawat beriring salam, kita panjatkan kehadirat Nabi Besar Muhammad SAW, yang telah membawa syiar Islam, agama yang paling sempurna di muka bumi ini, dengan seluruh jiwa raga-nya. Modul ini, saya bagi menjadi 8 bagian, mulai dari defenisi Program Linear sampai beberapa metode yang digunakan dalam penyelesaian masalah, yang berhubungan dengan Program Linier. Harapannya, target pembelajaran mata kuliah Pemrograman Linier dapat tercapai. Amin... Dalam menyelesaikan modul ini, penyusun sadar bahwa semuanya tidak terlepas dari berbagai pihak yang selama ini selalu mendukung, baik secara material maupun non material, semangat, dan segalanya. Untuk itu, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian modul ini. Akhir kata, disadari bahwa modul ini, masih memiliki banyak kekurangan. Untuk itu, penyusun berbesar hati menerima segala kritik dan saran, yang dapat dialamatkan ke rully.charitas@stkipsurya.ac.id. Semoga modul ini, dapat memberikan banyak manfaat bagi kita semua, terutama bagi kemajuan pendidikan matematika ke depannya. Amin... Tangerang, Agustus 2013 Penyusun ii

3 Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi Silabus Perkuliahan ii iii iv Bagian Pertama Program Linier 1 Bagian Kedua Pemodelan Matematika 3 Bagian Ketiga Contoh dan Latihan Kasus Pemodelan Matematika 9 Bagian Keempat Metode Grafik 16 Bagian Kelima Metode Simpleks 25 Bagian Keenam Alur Penyelesaian Metode Simpleks 30 Bagian Ketujuh Contoh Kasus Metode Simpleks 32 Bagian Kedelapan Variasi Kasus 38 Daftar Pustaka 48 iii

4 KURIKULUM PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP SURYA Kode: SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) Program Studi : Pendidikan Matematika Nama Mata Kuliah : Pemrograman Linear Kode Mata Kuliah : MAT 3224 Jumlah SKS : 3 Tahun Akademik : 2013/2014 Semester : 5 Mata KuliahPra Syarat : Kalkulus 1, Aljabar Linear, dan Komputer 2 Hari/Waktu : Ruangan : Dosen Pengampu : Rully Charitas Indra Prahmana, M.Pd rully.charitas@stkipsurya.ac.id KOMPETENSI DASAR 1. Mahasiswa mampu menjelaskan berbagai hal tentang pengantar Program Linear. 2. Mahasiswa mampu menjelaskan dan memodelkan suatu permasalahan dalam bentuk Program Linear (PL). 3. Mahasiswa mampu menjelaskan persoalan Optimasi dalam PL dan menyelesaikan PL dengan Metode Grafik dan Metode Simpleks. 4. Mahasiswa mampu menjelaskan dan menyelesaikan berbagai permasalahan Dualitas dan Analisis Sensitivitas. 5. Mahasiswa mampu menerapkan konsep PL untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari hari. DESKRIPSI MATA KULIAH Program linier (PL) adalah salah satu bagian dari penerapan ilmu matematika yang dapat digunakan untuk membantu memecahkan persoalan persoalan dalam bidang ekonomi, industri, managemen dan pertanian. Materi dalam perkuliahan ini, lebih menekankan pada aplikasi program linier dan interpretasinya. Adapun isi pokok materi dalam perkuliahan ini meliputi sejarah PL, pembuatan model permasalahan PL, berbagai metoda penyelesaian PL (Tabel, Simpleks, dan Dualitas), serta analisis sensitivitas. Revisi-1 Pemrograman Linear iv

5 TABEL Pertemuan Kompetensi (Sesi) Dasar Indikator 1 1 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyebutkan: 1. Defenisi Program Linear (PL) 2. Karakteristik PL 3. Berbagai istilah yang digunakan dalam PL 2 2 dan 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Memformulasikan dan memodelkan permasalahan progam linear 2. Menyelesaikan PL dengan metode grafik 3 2 dan 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Memodelkan suatu permasalahan dalam bentuk PL 2. Menyelesaikan PL dengan metode grafik 3. Menginterpretasikan solusi PL 4 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Memformulasikan & menyajikan masalah PL dalam matrik 2. Membedakan kegunaan slack dan artificial variable 3. Mengetahui syarat perubahan variabel 5 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Membuat tabel simpleks awal 2. Menjelaskan istilah dan syarat dalam metode simpleks Metode Perkuliahan Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Studi kasus Tanya jawab Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Materi Perkuliahan 1. Rencana dan kontrak perkuliahan 2. Pengantar Program Linear 1. Formulasi program linear 2. Metode Grafik Studi kasus permasalahan pemodelan matematika 1. Formulasi bentuk matriks 2. Slack dan artificial variabel Pengantar Metode Simpleks Penilaian Tugas Portofolio, tes essay Tugas Portofolio, tes essay Tes essay Tugas Portofolio, tes essay Tugas Portofolio, tes essay 6 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: Diskusi Studi kasus Metode Simpleks lanjut Tugas Portofolio, tes essay 1. Membuat metode simpleks yang direvisi Tanya jawab 2. Membuat prosedur komputasi metode simpleks yang direvisi Revisi-1 Pemrograman Linear v

6 7 3 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Memodelkan suatu permasalahan dalam bentuk PL 2. Menyelesaikan PL dengan metode simpleks 3. Menginterpretasikan solusi PL Studi kasus Tanya jawab Studi kasus menyelesaikan permasalahan PL menggunakan Metode Simpleks 8 1, 2, dan 3 Review Materi pertemuan 1-7 Studi kasus 1. Metode grafik 2. Metode simpleks 9 Ujian Tengah Semester (UTS) 10 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu melakukan analisis sensitivitas menggunakan metode grafik Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Analisis sensitivitas metode grafik Tes essay Tes essay Tugas Portofolio, tes essay 11 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu melakukan analisis sensitivitas menggunakan metode simpleks Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Analisis sensitivitas metode simpleks Tugas Portofolio, tes essay 12 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu mengubah dan menyelesaikan masalah PL Primal menjadi PL Dual Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Dualitas Tugas Portofolio, tes essay 13 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menjelaskan pengertian model transportasi, berikut aplikasi yang ada didalamnya (penerapannya) Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Model transportasi Tugas Portofolio, tes essay 14 4 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan solusi layak optimal berdasarkan solusi layak awal Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Solusi layak optimal Tugas Portofolio, tes essay Revisi-1 Pemrograman Linear vi

7 15 5 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan permasalahan aplikasi PL dalam kehidupan sehari-hari Ceramah Diskusi Studi kasus Tanya jawab Aplikasi PL dalam kehidupan sehari-hari Tugas Portofolio, tes essay 16 5 Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan permasalahan tingkat lanjut dari penerapan PL dalam kehidupan sehari-hari Ceramah Diskusi Studi kasus Aplikasi PL dalam kehidupan sehari-hari lanjut Tugas Portofolio, tes essay Tanya jawab 17 4 dan 5 Review materi pertemuan Studi kasus tes essay 18 Ujian Akhir Semester (UAS) REFERENSI R1 = Taha, Hamdy A. (1997). Operations Research, an Introduction, sixth edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc R2 = Siringoringo, Hotniar. (2005). Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu R3 = Steven J. Miller. (2007). An Introduction to Linear Programming. Mathematics Department: Brown University PEDOMAN PENILAIAN Penilaian meliputi: 1. Nilai Tugas (Quiz dan Kehadiran) = 30% 2. Nilai Ujian Tengah Semester (UTS) = 30% 3. Nilai Ujian Akhir Semester (UAS) = 40% Nilai akhir dihitung dengan menggunakan rumus: Nilai Akhir = (0,3 x Tugas) + (0,3 x UTS) + (0, 4 x UAS) Revisi-1 Pemrograman Linear vii

8 Konversi Nilai Nilai Akhir (x) Nilai Keterangan Angka Huruf 90 x 100 4,00 A Lulus 85 x < 90 3,67 A- Lulus 80 x < 85 3,33 B+ Lulus 75 x < 80 3,00 B Lulus 70 x < 75 2,67 B- Lulus 65 x < 70 2,33 C+ Lulus 60 x < 65 2,00 C Lulus 55 x < 60 1,67 C- Lulus Bersyarat 50 x < 55 1,00 D Tidak Lulus 0 x < 50 0,00 E Tidak Lulus Mengetahui Ketua Prodi Pendidikan Matematika Penanggung Jawab Mata Kuliah Menyetujui Mahasiswa (Johannes H. Siregar, Ph.D.) (Rully Charitas Indra Prahmana, M.Pd) (...) Revisi-1 Pemrograman Linear viii

9 Bagian Pertama Program Linear Program linier merupakan suatu metode matematika dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas, untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. Pemrograman linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain-lain. Program linier juga berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. Program linier memiliki empat ciri khusus yang melekat pada dirinya, yaitu : 1. Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimalisasi atau minimalisasi. 2. Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan. 3. Ada beberapa alternatif penyelesaian. 4. Hubungan matematis bersifat linear. Karakteristik Pemrograman Linier Secara teknis, program linier memiliki beberapa sifat atau karakteristik dari permasalahan program linier yang harus diperhatikan, yang merupakan asumsi dasar, yaitu sifat linearitas, proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, kepastian, dan non negative variable. Untuk lebih jelasnya, berikut kita jelaskan dengan lebih terperinci. Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas. Sifat proporsionalitas dipenuhi, jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang 1

10 dibeli, maka sifat proporsionalitas dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi. Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. Sifat certainty (kepastian) menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. Sifat non-negative variable (variabel tidak negatif), artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif. Keenam asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keenam asumsi ini, dalam pemrograman linier, diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh. 2

11 Bagian Kedua Pemodelan Matematika Formulasi Permasalahan Urutan pertama dalam penyelesaian pemograman linier adalah mempelajari sistem yang relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangkan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain. Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi permasalahan. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai. Pembentukan Model Matematika Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematika yang menggambarkan inti permasalahan. Studi kasus yang berbentuk cerita, akan diterjemahkan ke dalam model matematika. Model matematika merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama, memodelkan tujuan optimasi. Model matematika yang merupakan tujuan optimasi, selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan, karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan. 3

12 Bagian kedua merupakan model matematika yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan ( atau ). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adanya model matematika menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan sangat penting membantu mengungkapkan relasi sebab akibat. Model matematika juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Disamping itu, model matematika juga membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematika dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahannya. Di sisi lain, model matematika juga memiliki kelemahan, diantaranya tidak semua karakteristik sistem, dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematika. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematika, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan. Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimumkan atau minimumkan, z = c1x1 + c2x cnxn Sumber daya yang membatasi (fungsi kendala): a11x1 + a12x a1nxn = atau atau b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = atau atau b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = atau atau bm x1, x2,, xn 0 4

13 Simbol x1, x2,..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Banyak variabel keputusan (xi), dipengaruhi dari banyak kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematikanya. Simbol a11,...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematikanya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir (x1, x2,, xn 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematika dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematika tapi juga menuntut seni pemodelan. Menggunakan seni akan membuat pemodelan lebih mudah dan menarik. Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep pemodelannya. Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimalisasi atau minimalisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan, dan koefisien pada fungsi pembatas. Contoh kasus Pada sub bagian ini, terdapat sebuah kasus dengan karakteristik tertentu dan sudah diselesaikan sampai tahapan pemodelan matematika-nya. Selanjutnya, akan diberikan contoh kasus-kasus dengan karakteristik yang berbeda-beda, sehingga dapat memperkaya pembaca dalam ilmu dan seni pemodelan matematika. Pahami dan perhatikan teknik pemodelannya dengan hati-hati. 5

14 Soal Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan adalah merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu. Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematikanya! Solusi: Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan, dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang membatasi adalah waktu kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang harus diproduksi (pangsa pasar). Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional terhadap jumlah produk yang terjual. Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini waktu kerja karyawan dan pangsa pasar juga proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang diproduksi. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual. Penggunaan sumber daya (waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat dinyatakan juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi. Ada dua variabel keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimalisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan relasi, karena 6

15 waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan relasi atau tergantung dari pendefinisian variabelnya. Kita definisikan: x1 = banyak meja yang akan diproduksi x2 = banyak kursi yang akan diproduksi Model umum Pemrograman Linier, untuk kasus di atas, adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimumkan Kendala: 2x x2 32 z = x x2 ¼ atau 4x1 x2 atau 4x1 x2 0 x1, x2 0 Interpretasi: z = x x2 Persamaan ini memiliki arti, berapa banyak kursi dan meja yang harus di buat untuk memaksimalkan keuntungan (z), dimana harga satu unit meja adalah Rp. 1,2 jt dan kursi Rp x x2 32 Persamaan ini menjelaskan bahwa untuk merakit satu unit meja, dibutuhkan waktu 2 jam dan untuk merakit satu unit kursi, dibutuhkan waktu 30 menit (0.5 7

16 jam), dimana dalam sehari, mereka memiliki waktu maksimal pengerjaan adalah 32 jam (8 jam x 4 karyawan). 4x1 x2 0 Persamaan ini diperoleh dari asumsi bahwa pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Dengan kata lain, perbandingan pembuatan meja dan kursi adalah 1:4. x1, x2 0 Ini merupakan syarat wajib, yang artinya banyak kursi dan meja yang dihasilkan perusahaan, minimal 0 unit (tidak memproduksi sama sekali). Sehingga, nilai x1 dan x2 tidak boleh sama dengan nol. 8

17 Bagian Ketiga Contoh dan Latihan Kasus Pemodelan Matematika 1. Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut: Bahan Tiap kg bahan memiliki komposisi berikut (dalam Kalsium Protein Serat Biaya (Rp/kg) Jagung Bungkil kedelai Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein, dan paling banyak 5% serat. Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematikanya! Solusi: Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan biaya pembelian bahan pakan. Alternatif keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta kebutuhan jumlah pakan per hari. Langkah berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa total biaya yang harus dikeluarkan peternak proporsional terhadap banyak jagung dan bungkil 9

18 kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi, dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan kalsium proporsional terhadap banyak jagung dan bungkil. Dengan demikian, dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pengeluaran pembelian bahan pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai. Banyak-nya masing-masing serat, protein, dan kalsium yang ada di pakan khusus merupakan penjumlah serat, protein, dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan bungkil kedelai yang digunakan. Dengan demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga dipenuhi. Ada dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan minimalisasi, karena semakin kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala pertama (batasan banyak pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan (=), fungsi kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan serat) menggunakan relasi, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan protein) menggunakan relasi. Kita definisikan: x1 = banyak jagung yang akan digunakan x2 = banyak bungkil kedelai yang akan digunakan Model umum Pemrograman linier kasus di atas adalah: Fungsi tujuan: Minimumkan, z = 2000 x x2 Kendala: x1 + x2 = x x x x

19 0.02 x x2 4.5 x1, x2 0 Latihan Interpretasikan pemodelan matematika di atas!!! 2. Suatu bank kecil mengalokasikan dana maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku bunga per tahun 14% untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi merupakan kredit macet. Formulasikan masalah di atas kedalam bentuk model matematikanya! Solusi: Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan pengembalian pinjaman. Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi pinjaman pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil. Sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas, dan kepastian dipenuhi. Ada dua variabel keputusan yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan pinjaman pembelian mobil, dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimalisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh manajemen bank. 11

20 Kita definisikan: x1 = banyak anggaran untuk pinjaman pribadi x2 = banyak anggaran untuk pinjaman pembelian mobil. Model umum Pemrograman Linier kasus diatas adalah: Fungsi tujuan: Maksimumkan, z = ( ) x x2 Kendala: x1 + x2 180 x2 2x1 atau -2x1 + x2 0 x1, x2 0 Latihan Interpretasikan pemodelan matematika di atas!!! 3. Suatu pabrik perakitan radio menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2 pada fasilitas perakitan yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut: Stasiun kerja Waktu perakitan per unit (menit) HiFi-1 HiFi

21 Waktu kerja masing-masing stasiun kerja adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun kerja membutuhkan perawatan harian selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut untuk stasiun kerja 1,2 dan 3. Formulasikan permasalahan ini kedalam model matematikanya! Solusi: Alternatif keputusan adalah: radio tipe HiFi-1 (x1) dan radio tipe HiFi-2 (x2). Tujuannya adalah memaksimumkan jumlah radio HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi. Sumber daya pembatas adalah: jam kerja masing-masing stasiun kerja dikurangi dengan waktu yang dibutuhkan untuk perawatan. Waktu produktif masing-masing stasiun kerja adalah: Stasiun 1: 480 menit 48 menit = 432 menit Stasiun 2 : 480 menit 67.2 menit = menit Stasiun 3 : 480 menit 57.6 menit = menit. Model umum pemrograman linier kasus di atas adalah: Fungsi tujuan: Maksimumkan, z = x1 + x2 Kendala: 6x1 + 4x x1 + 5x x1 + 6x x1, x2 0 Interpretasikan pemodelan matematika di atas!!! 13 Latihan

22 Latihan Kasus 1. Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Produk 1 dijual dengan harga Rp dan produk 2, Rp Waktu produksi masing-masing produk ditunjukkan pada tabel di bawah ini: Produk Waktu produksi (menit) Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematikanya dan interpretasikan hasilnya! 2. Empat produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu produksi per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan tabel di bawah ini: Mesin Waktu per unit (jam) Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara langsung pada jam mesin. Asumsikan biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara berturut-turut adalah Rp. 10 dan Rp. 5. Waktu yang disediakan untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah 380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah Rp. 65, Rp. 70, Rp. 55, dan Rp

23 Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematikanya dan interpretasikan hasilnya! 3. Suatu perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk yang dihasilkan (produk 1, 2, dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan membatasi output diringkaskan pada tabel berikut: Tipe mesin Waktu yang dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam) Produk 1 Produk 2 Produk 3 Waktu yang tersedia (jam per minggu) Mesin milling Lathe Grinder Bagian penjualan mengindikasikan bahwa penjualan potensial untuk produk 1 dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan potensial untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk secara berturut-turut adalah Rp. 50, Rp. 20, dan Rp. 25. Formulasikan permasalahan diatas kedalam model matematika dan interpretasikan hasilnya! 15

24 Bagian Keempat Metode Grafik Dalam menyelesaikan permasalahan program linier, ada dua pendekatan yang dapat kita gunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua. Sedangkan metode simpleks bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan dua atau lebih. Pada bagian ini, akan dibahas pendekatan penyelesaian permasalahan program linier dengan menggunakan metode grafik untuk fungsi tujuan baik maksimum maupun minimum. Untuk metode simpleks, akan dibahas pada bagian berikutnya. Target yang ingin di capai pada bagian ini, adalah kita dapat menyelesaikan permasalahan program linier dengan menggunakan metode grafik dan memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy. Sebelum masuk ke formulasi permasalahan, ada baiknya kita membahas sedikit mengenai permasalahan-permasalahan khusus pada pemograman linier, diantaranya masalah Infeasibility, yaitu suatu kondisi dimana tidak ada area layak (daerah hasil) yang memenuhi semua kendala, Redundancy, yaitu menargetkan sesuatu diluar batas kemampuan produksi, Unboundedness, yaitu suatu kondisi dimana area layak tidak terbatas, dan Alternatif Optima, yaitu situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi optimal. Untuk lebih detailnya, akan kita bahas pada bagian terakhir buku ini, berikut contoh kasusnya. Formulasi Permasalahan Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Berikut ini, langkah-langkah yang harus kita lakukan dalam memformulasikan permasalahan tersebut: 16

25 1. Pahamilah secara menyeluruh permasalahan manajerial yang dihadapi 2. Identifikasikan tujuan dan kendalanya 3. Definisikan variabel keputusannya 4. Gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis. Sebagai contoh dalam memformulasikan permasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah Rp. 7,- sedangkan keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah Rp. 5,-. Namun, untuk meraih keuntungan tersebut, Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedangkan jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum? Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut: Jam kerja untuk membuat 1 unit produk Total waktu yang tersedia per minggu Meja Kursi Pembuatan Pengecatan Profit per unit

26 Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (x1) dan kursi (x2). Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala. 1. Fungsi Tujuan Tujuan perusahaan adalah maksimalisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut: Maksimalkan, z = 7x1 + 5x2 2. Fungsi kendala Berkaitan dengan sumber daya yang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan. Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan x1 (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan x2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi: 4x1 + 3x2 240 Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan x1 (meja) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan x2 (kursi) 18

27 dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi: 2x1 + x2 100 Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai x1 dan x2 tidak negatif, yang artinya bahwa: x1 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) x2 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol) Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimalkan, z = 7x1 + 5x2 Fungsi kendala: 4x1 + 3x2 240 (kendala departemen pembuatan) 2x1 + x2 100 (kendala departemen pengecatan) x1, x2 0 (kendala non negatif pertama dan kedua) Penyelesaian Program Linier Menggunakan Metode Grafik Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan. Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara 19

28 grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut: 4x1 + 3x2 = 240 Kendala ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu. Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk menggambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong x1, pada saat x2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong x2, pada saat x1 = 0. Kendala I: 4x1 + 3x2 = 240 Memotong sumbu x1 pada saat x2 = 0 4x1 + 0 = 240 x1 = 240/4 x1 = 60. Memotong sumbu x2 pada saat x1 = x2 = 240 x2 = 240/3 x2 = 80 titik (0, 80). Kendala I memotong sumbu x1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu x2 pada Kendala II: 2x1 + x2 = 100 Memotong sumbu x1 pada saat x2 = 0 20

29 2x1 + 0 = 100 x1 = 100/2 x1 = 50 Memotong sumbu x2 pada saat x1 =0 0 + x2 = 100 x2 = 100 titik (0, 100). Kendala II memotong sumbu x1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu x2 pada Berikut gambar grafik, yang kita rangkum dari kendala I dan II diatas: Gambar 4. 1 Titik potong kedua kendala, bisa dicari dengan cara metode substitusi atau eliminasi, yaitu: 2x1 + x2 =

30 x2 = 100 2x1 4x1 + 3 x2 = 240 4x1 + 3 (100 2x1) = 240 4x x1 = 240-2x1 = x1 = - 60 x1 = -60/-2 = 30. x2 = 100 2x1 x2 = * 30 x2 = x2 = 40 Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40). Tanda pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Sebagaimana nampak pada gambar diatas, feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0, 80), B (30, 40), dan C (60, 0). yaitu: Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa kita gunakan, 1. Dengan menggunakan garis profit (iso profit line) 2. Dengan titik sudut (corner point) Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). 22

31 Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien x1) dan 5 (koefisien x2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7x1 + 5x2. Garis ini akan memotong sumbu x1 pada titik (5, 0) dan memotong sumbu x2 pada titik (0, 7). Gambar 4. 2 Dari gambar 4. 2, dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai x1 dan x2, serta nilai z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai x1 = 30, x2 = 40. dan z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi x1 sebanyak 30 unit, x2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410. Sekarang, kita akan menyelesaikan permasalahan diatas dengan menggunakan metode yang berbeda, yaitu menggunakan titik sudut (corner point), artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari 23

32 gambar yang pertama diatas, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik O (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0). Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 * 0) + (5 * 0) = 0. Keuntungan pada titik A (0, 80) adalah (7 * 0) + (5 * 80) = 400. Keuntungan pada titik B (30, 40) adalah (7 * 30) + (5 * 40) = 410. Keuntungan pada titik C (50, 0) adalah (7 * 50) + (5 * 0) = 350. Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410. Latihan PT Padat Karya memproduksi dua macam batako: batako semen dan batako kapur. Biaya pembuatan batako semen diperkirakan Rp. 150,- sedang biaya pembuatan batako kapur diperkirakan Rp. 100,-. Batako semen dijual seharga Rp. 400,- dan batako kapur dijual seharga Rp. 250,-. Untuk pembuatan kedua macam batako tersebut dipergunakan 2 macam mesin, yaitu mesin pencampur (A) dan mesin pencetak (B). Untuk mencampur batako semen diperlukan waktu 1 jam, dan untuk mencetak batako semen diperlukan waktu 2 jam. Batako kapur dicampur selama 1.5 jam dan dicetak selama 1 jam. Selama satu bulan kapasitas mesin A adalah 320 jam kerja. Sedang kapasitas mesin B adalah 480 jam kerja. Tentukan keuntungan maksimum perusahaan dan apa yang harus dilakukan perusahaan, untuk mencapainya dengan menggunakan metode grafik. Latihan tambahan Selesaikan semua permasalahan optimalisasi (maksimum maupun minimum), baik berupa contoh kasus maupun latihan kasus, yang terdapat pada bagian kedua dan ketiga, dengan menggunakan metode grafik (menggunakan garis profit dan titik sudut). 24

33 Bagian Kelima Metode Simpleks Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1). Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya: 1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya. 2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan. 3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala menggunakan relasi ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan relasi atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif). 4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. 5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala untuk mengkonversikan relasi menjadi relasi =. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis. 6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala untuk mengkonversikan relasi menjadi relasi =. Penambahan ini terjadi pada tahap 25

34 inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis. 7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala dengan bentuk atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas. 8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja). 9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar. 10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya. 11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif. 12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol. Bentuk Baku Sebelum melakukan perhitungan iteratif (perhitungan yang berdasarkan pada iterasi-iterasi) untuk menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada 26

35 aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu: 1. Fungsi kendala dengan relasi dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack. 2. Fungsi kendala dengan relasi dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus. 3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum, ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan). Perhatikan kasus A berikut: Fungsi tujuan: Minimumkan, z = 2x x2 Kendala: x1 + x2 = x x x x x x2 4.5 x1, x2 0 Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Jika bentuk diatas, kita ubah kedalam bentuk baku, model matematika-nya, akan berubah menjadi: 27

36 Fungsi tujuan: Minimumkan, z = 2x x2 Kendala: x1 + x2 + s1 = x x2 + s2 = x x2 s3 + s4 = x x2 + s5 = 4.5 x1, x2, s1, s2, s3, s4, s5 0 Fungsi kendala pertama mendapatkan variabel buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat mendapatkan variabel slack (s2 dan s5) karena bentuk umumnya menggunakan relasi, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel buatan (s4) karena bentuk umumnya menggunakan relasi. Perhatikan pula kasus B berikut ini: Maksimumkan, z = 2x1 + 3x2 Kendala: 10 x1 + 5 x x x x x2 600 x1, x2 0 28

37 Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk relasi dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut: Maksimumkan, z = 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 Kendala: 10 x1 + 5 x2 + s1 = x x2 + s2 = x x2 + s3 = 600 x1, x2, s1, s2, s3 0 s1, s2, s3 merupakan variabel slack. 29

38 Bagian Keenam Alur Penyelesaian Metode Simpleks Pada bagian ini, kita akan membahas alur penyelesaian permasalahan program linier dengan menggunakan metode simpleks, dimulai dengan pembentukan tabel simpleks, sampai penentuan nilai maksimum ataupun minimum-nya, sesuai permintaan perusahaan. Pembentukan Tabel Simpleks Dalam perhitungan iteratif, kita akan bekerja menggunakan tabel dan bentuk baku yang sudah diperoleh, juga harus dibuat ke dalam bentuk tabel. Semua variabel, yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variabel basis awal. Dalam sub bab ini kita hanya akan memperhatikan fungsi kendala yang menggunakan variabel slack dalam bentuk bakunya, sedangkan yang menggunakan variabel buatan akan dibahas pada sub bab lainnya. Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah: VB x1 x2 s1 s2 s3 solusi z s s s Langkah-Langkah Penyelesaian Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut: 30

39 1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan. 2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimalisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimalisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimalisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimalisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang. 3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang. 4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. 5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut. 6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimalisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimalisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no. 2, jika sudah optimal baca solusi optimalnya. 31

40 Bagian Ketujuh Contoh Kasus Metode Simpleks Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks: Maksimumkan, z = 8x1 + 9x2 + 4x3 Kendala: x1 + x2 + 2x3 2 2x1 + 3x2 + 4x3 3 7x1 + 6x2 + 2x3 8 x1,x2,x3 0 Solusi: Bentuk bakunya adalah: Maksimumkan, z = 8 x1 + 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 atau z - 8 x1-9 x2-4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 = 0 Kendala: x1 + x2 + 2x3 + s1 = 2 2x1 + 3x2 + 4x3 + s2 = 3 7x1 + 6x2 + 2x3 + s3 = 8 x1,x2,x3,s1, s2, s3 0 32