Sony Sunaryo IPTEK, The Journal for Technology and Science, Vol. 19, No. 3, August 2008

Transkripsi

1 74 IPEK, he Journal for echnolog and Science, Vol. 9, No. 3, August 8 Unified Discrete Wavelet ransform with idge egression and Principal Component egression to Predict Concentration of Compound in Ginger Crop Son Sunaro Astract ultivariate caliration model can e used as an alternative method to ict the concentration of a gingerol compound. he iction usuall are carried out chemicall through a long and expensive process using High Performance Liquid Chromatograph (HPLC) measurement method. Since the numer of samples (n) are less than of the numer of independent variales (p), and etween the independent variales are correlated, so the development of model using conventional regression is not valid. he comination of Discrete Wavelete ransform (DW) with idge egression and Principal Component egression have een adopted in this paper to ict concentration of gingerol, and it showed a promising result. Kewords Caliration model, Wavelet, Partial Least Square, gingerol C I. PENDAHULUAN hemometrics dapat dipandang seagai gaungan antara matematika dan statistika dengan kimia. Kalirasi peuah ganda merupakan agian dari Chemometrics ang ertujuan untuk menemukan huungan antara sekumpulan ukuran ang relatif mudah atau murah memperolehna, dengan sekelompok ukuran lain ang relatif sulit (laour intensive) atau mahal memperolehna. enurut referensi [] meneutkan ahwa tujuan kalirasi peuah ganda adalah menemukan model ang dapat digunakan untuk memiksi ukuran-ukuran ang mahal dengan tepat dan akurat dari ukuran-ukuran ang murah. Secara umum kalirasi peuah ganda menggunakan formula matematika untuk menduga informasi pada Y, aitu ukuran ang mahal, ang tidak diketahui erdasarkan informasi pada X, aitu ukuran ang murah, ang tersedia []. enurut referensi [] pemuatan model untuk memiksi Y dengan kalirasi peuah ganda, aitu dengan mempertimangkan eerapa atau semua pengamatan pada spektrum ang erupa pengamatan asoran, akan memerikan hasil leih aik dianding dengan pemodelan kalirasi peuah tunggal ang hana mempertimangkan satu puncak pada masing-masing spektrum. engkominasikan informasi dari eerapa atau ahkan semua peuah spektrum, permasalahan ang muncul Naskah diterima ei 7; selesai revisi pada 8 ei 8 Son S. Adalah dosen Jurusan Statistika, FIPA, Institut eknologi Sepuluh Nopemer, Suraaa, INDONESIA ( sonn_s@statistika.its.ac.id) pada pendugaan model kalirasi ganda adalah kasus multikolinearitas di antara peuah asoran (X) dan anakna sampel (n) ang leih kecil dari anakna peuah eas (p) [], [], sehingga metode aku seperti model regresi sering memerikan solusi ang tidak stail. Oleh karena itu diperlukan suatu metode ang dapat mengatasi masalah terseut, sehingga diperoleh solusi ang leih stail. Penentuan kadar senawa gingerol pada rimpang jahe secara kuantitatif dilakukan melalui proses ang panjang meliputi penghancuran ahan, pelarutan, dan pengukuran dengan HPLC (High Performance Liquid Chromatograph). Proses terseut memerlukan waktu dan iaa ang relatif mahal []. Pengukuran dengan FI (Fourier ransform Infra ed) relatif leih mudah dan murah untuk dilakukan daripada pengukuran dengan HPLC. Setiap entuk spektrum asoran dari FI akan mencerminkan gugus fungsi ang terdapat pada senawa gingerol dari suatu sampel rimpang jahe. Cara alternatif untuk memiksi kadar gingerol pada rimpang jahe adalah dengan mengemangkan model kalirasi peuah ganda ang menatakan huungan kadar senawa aktif hasil dari HPLC (seagai peuah tak eas Y) dengan data hasil pengukuran ilangan gelomang menggunakan FI dari seruk rimpang jahe ang erupa data spektra asoran (seagai peuah eas X). Dimensi peuah eas X sangat tinggi dan antar peuah saling erkorelasi, maka kasus jumlah pengamatan sampel leih kecil dari jumlah peuah eas, dan kasus multikolinearitas sering muncul dalam kalirasi peuah ganda. Sehingga penanganan dengan metode regresi ganda aku secara langsung kurang valid. Data spektra asoran (X) akan erupa sederetan data vektor x = (x,x,...,x p ) ang erdimensi tinggi dan saling erkorelasi, sehingga pengemangan model kalirasi peuah ganda Y = f(x) dengan mengikutkan semua data X menjadi tidak efisien. elalui reduksi dimensi, diharapkan pengemangan model kalirasi peuah ganda menjadi leih efisien. eduksi dimensi ang digunakan dalam paper ini adalah metode transformasi wavelet diskret (WD), dengan alasan [3] metode ini setelah dikaji ternata leih aik dianding metode lain seperti transformasi Fourier maupun PCA (Principal Component Analsis). Fokus metode wavelet ang digunakan hana seagai reduksi dimensi, ukan untuk mengatasi kasus multikolinearitas, maka dimungkinkan untuk menggunakan hasil keluaran dari metode wavelet seagai masukan untuk

2 IPEK, he Journal for echnolog and Science, Vol. 9, No. 3, August 8 75 metode kalirasi peuah ganda ang lain, seperti regresi ertatar, regresi komponen utama (PC) dan PLS, sehingga akan diperoleh model ang leih aik. Pada paper ini akan diahas penerapan gaungan metode wavelet dengan idge egression dan regresi komponen utama untuk memiksi kadar senawa gingerol pada rimpang jahe. Paper ini merupakan pengemangan dari referensi [3], [4], [5]. Perhitungan matriks koefisien wavelet dengan menggunakan software wavetresh 3 seperti ang diterangkan referensi [6], [7]. dengan = [,..., ], [,,..., ], p β =, x x... x p x x... x p...., X = xn xn... xnp x x... x p e x x... x p e.....,. dan.. X = = e = xn xn... xnp n e n Dugaan kuadrat terkecil dari persamaan () adalah : ˆ β = ( X X ) X, Jika terjadi kasus multikolinearitas maka ( X X ) susah dihitung inverna secara akurat. Penamahan konstanta k ang cukup esar, ang erakiat ( X X ) + k I ) dapat dihitung inversna secara leih akurat. Hal inilah ang mendasari pendugaan koefisien regresi dalam metode idge egression erentuk : ˆ β = X X + k I X ( ) Yang perlu dicatat ahwa ˆβ merupakan penduga erias agi β tetapi βˆ memiliki varian ang leih kecil dari βˆ. Pemilihan k didasarkan pada kestailan nilai ˆβ ang diperoleh. Principal Component egression adalah meregresikan dengan komponen-komponen utama ang dientuk p dari kovarian matriks X. Komponen utama ang terentuk merupakan kominasi linear dari variael asli (X). Antar komponen utama secara matematis dapat ditunjukkan saling eas, sehingga kasus mulkolinearitas jelas teratasi. B. ransformasi Wavelet Diskret (WD) Di dalam statistika iasana ingin diperoleh dekomposisi wavelet dari suatu fungsi ang diamati pada sekumpulan data. isalkan x = x, x,..., x ) adalah ( vektor data erukuran, ilangan ulat positif. aka vektor data terseut dapat dihuungkan dengan potongan-potongan fungsi konstan pada interval [,] ang iasa diseut fungsi tangga, dengan persamaan : A. idge egression dan Principal Component egression f ( t ) = x k I idge egression dan Principal Component egression merupakan metode untuk mengatasi kasus multi- dimana fungsi indikator, = k < ( k + ) k t kolinearitas dalam analsis regresi. Bentuk umum regresi linear erganda adalah : k ( k + ), t < I = = + X + e () k t < ( k + ), t selainna atau isa ditulis : Fungsi tangga f(t) pada persamaan (3) termasuk dalam = X β + e, L ([,]), artina f(t) fungsi ang () terintegralkan kuad- dengan E ( ) = X β, E ( e) = dan Var ( e ) = Iσ, rat pada interval [,], sehingga dekomposisi wavelet dari f(t) adalah []: f ( t ) = c j, ( t ) + d j, k ψ j, k ( t ) j = k = φ. Persamaan (4) diseut transformasi wavelet diskret, karena nilai j hana diamil pada ilangan ulat positif saja. Bilangan j pada persamaan (4) diseut level resolusi, dan f(t) dapat diperoleh secara tepat, jika diamil semua level resolusi untuk dekomposisi, aitu level resolusi sampai dengan (-). Koefisien c, diseut koefisien pemulusan atau agian pendekatan dari suatu fungsi, sedang d j,k diseut koefisien wavelet atau juga diseut agian detail suatu fungsi. Fungsi ψ ( ) dan φ (t) masing-masing diseut j, k t j, k t fungsi mother wavelet dan father wavelet. Penentuan nilai ψ ( ) dan φ (t) untuk eragai t, erakiat persamaan (4) dapat dituliskan dengan notasi matriks, x = W d dimana W adalah matriks ang elemen-elemen kolomna adalah nilai dari φ (t) dan ψ ( ) untuk eragai t [, ] j, k t ang saling ortonormal (ukti di referensi [3]). atriks W ang ortonormal meneakan (5) dapat ditulis d = W x dimana d = ) ( c,, d,, d,, d,,..., d n, dan Sifat-sifat menarik dari matriks W, selain ortonormal, adalah kolom pertama ernilai sama, jumlah unsur tiap kolom ang lain sama dengan nol. Contoh entuk matriks W dari Haar wavelet untuk = 8 adalah :

3 76 IPEK, he Journal for echnolog and Science, Vol. 9, No. 3, August 8 Jika ukuran vektor data x sangat esar, maka perhitungan dengan cara matriks akan memerlukan komputasi ang tinggi, sehingga menjadi kurang praktis. allat (989) menemukan algoritma cepat untuk menghitung koefisien wavelet dan koefisien pemulusan pada persamaan (4), aitu melalui analisis multiresolusi. Algoritmana diseut algoritma piramida. II. EODE PENELIIAN Dari sampel masing-masing untuk seruk rimpang jahe dan 4 sampel seruk rimpang temulawak dengan FI dihasilkan data spektra asoran ang diamati 866 titik, pada ilangan gelomang 4 4 cm - ang mencerminkan kadar gingerol. Karena jumlah sampel dipandang mencukupi maka sampel-sampel diagi menjadi kelompok. Untuk rimpang jahe 5 sampel untuk kalirasi dan 5 sampel untuk validasi, sedangkan untuk temulawak 3 sampel untuk kalirasi dan sampel sisana untuk validasi. Pemilihan pada masingmasing kelompok dilakukan secara acak. Karena metode wavelet mensaratkan jumlah titik harus, untuk ilangan ulat positif, maka dari 866 titik diamil 4 titik dengan memperhatikan daerah identifikasi spektra infra merah gingerol ang memerikan informasi. Dari 4 titik ang terpilih dilakukan transformasi wavelet diskret (WD), dengan melihat eragai kemungkinan resolusi ang menghasilkan koefisien-koefisien wavelet ang jumlahna leih kecil dari jumlah sampel untuk kelompok data kalirasi, serta eragai fungsi mother wavelet keluarga Dauechies. Alasan pemilihan mother wavelet keluarga Dauechies karena sering dipakai dalam aplikasi dan memerikan hasil pemodelan ang aik [8], [9], []. Koefisien-koefisien wavelet ang dihasilkan digunakan untuk pengemangan model kalirasi peuah ganda. Perhitungan matriks wavelet pada penelitian ini menggunakan software wavetresh 3 seperti ang diterangkan pada referensi [6], [7]. Karena lama penimpanan erpengaruh terhadap kadar gingerol ang dihasilkan, maka dalam pencarian model iksi ang leih aik diikutkan peuah dumm ang mencerminkan kelompok lama penimpanan (untuk data pada penelitian ini 3 ulan dikode dan ulan dikode ). Secara matematis WD tidak menjamin ahwa antara koefisien-koefisien wavelet ang dihasilkan tidak saling erkorelasi, sehingga metode selanjutna dalam penelitian ini digunakan idge egression dan egresi Komponen Utama untuk menghilangkan kasus multikolinearitas ang selanjutna diseut WD-idge dan WD-PC. Langkah-langkah analisis dengan metode WD-idge dan WD-PC dapat dijelaskan seagai erikut : Dari data spektrum asoran dapat dituliskan matriks X (nxp), dimana n adalah anakna sampel dan p adalah anakna titik asoran ang diteliti pada masingmasing ilangan gelomang. Konsentarsi senawa aktif dituliskan dalam (nx). isalkan matriks X erukuran (nxp) dan X ang terkoreksi terhadap nilai rata-ratana adalah seperti dinatakan dalam persamaan (8). x. x. X = X x =.. (8).. x n. Dengan menggunakan transformasi wavelet diskret x j. = d j. W dan W ditentukan oleh mother wavelet tertentu, maka diperoleh matriks koefisien wavelet D = X W. Kemudian dengan memilih ( nxp) ( nxp) ( pxp) level-level resolusi tertentu ang jumlah koefisien wavelet ang dihasilkan leih kecil dari n-, maka akan diperoleh D ( nxm) = X, ang mereduksi pengamatan dari p titik tiap-tiap sampel menjadi m titik koe- W ( nxp) ( pxm) fisien wavelet ang terpilih. Persamaan regresi antara terhadap D (nx) (nxm) dapat ditulis seperti dalam persamaan (9) erikut. = q + D q + e. (9) Jika m < n maka dugaan kuadrat terkecil dari persamaan (9) adalah : qˆ = ( D D ) D. Persamaan regresi iksi linear ang erentuk seperti persamaan (): ˆ, = + x p x p = + x dapat dihitung dengan menggunakan = x = W qˆ dan. Jika multikolinearitas masih terjadi antar koefisien wavelet, ang terdeteksi dengan statistik Variance Inflation Factors (VIF) leih esar, maka langkah ang isa diamil adalah menghitung skor komponen utama dari D. Kemudian meregresikan ulang antara (nx) dengan skor-skor komponen utama. Pemilihan model teraik dapat dilakukan dengan memperhatikan eerapa ukuran keaikan model iksi seperti dan S. Hasil persamaan ŷ dalam persamaan () akan digunakan untuk memiksi kadar senawa aktif kelompok sampel data validasi. SEP (oot ean Square Error of iction) merupakan salah satu ukuran ang dapat digunakan seagai ukuran keaikan hasil iksi [9], [], [] seperti dinatakan dalam persamaan (). SEP N ( ˆ i i ) i= = () N N adalah anakna sampel untuk validasi. Semakin kecil SEP, semakin aik iksi model ang dihasilkan.

4 IPEK, he Journal for echnolog and Science, Vol. 9, No. 3, August 8 77 III. ANALISIS DAN PEBAHASAN Gamar spektra asoran seruk jahe pada 866 titik dan 4 titik terpilih, untuk sampel seruk rimpang jahe isa dilihat pada Gamar dan Gamar. Dengan mengamil koefisien wavelet (untuk mother wavelet Dauechies - ) pada resolusi, dan 3 serta koefisien untuk fungsi skala hasil transformasi wavelet diskret dilakukan pencarian model teraik untuk iksi kadar gingerol. Alasan diamil mother wavelet Dauechies dan level resolusi, dan 3, karena perilakuna ang relatif leih aik dianding ang lain, dalam arti dapat menangkap ukuran-ukuran keaikan model seperti dan S ang relatif leih aik. % ANSIAN SPEKU GINGEOL PADA 4 IIK EPILIH 3 BILANGAN GELOBANG (cm-) 4.9 SPEKU GINGEOL PADA 866 IIK Gamar Spektra asoran 4 titik, untuk sampel seruk rimpang jahe % ANSIAN BILANGAN GELOBANG (cm-) 4 Gamar. Spektra asoran 866 titik, untuk sampel seruk rimpang jahe Permasalahan ang timul ternata korelasi antar koefisien wavelet masih anak ang tinggi. Sehingga pemodelan dengan regresi ganda iasa dengan peuah respon kadar gingerol dan peuah eas koefisien wavelet menjadi kurang valid, karena masih terjadi kasus multikolinearitas. Hal ini terlihat dari analisis regresi antara kadar gingerol dengan koefisien wavelet dan peuah dumm waktu penimpanan diperoleh ang tinggi (99,9%) sedang semua peuah eas tidak signifikan, selain itu nilai VIF (Variance Inflantion Factor) masing-masing peuah erkisar antara 43,4-68,. etode ang digunakan untuk mengatasi kasus multikolinear antar koefisien wavelet dalam penelitian ini adalah idge egression dan egresi Komponen Utama.Hasil ukuranukuran keaikan model teraik untuk WD-idge da WD-PC dapat dilihat pada ael. Dari ael ternata dengan PC 7 komponen pertama dari komponen serta satu peuah dumm menghasilkan model ang relatif leih aik diandingkan idge egression. Hasil dari WD-idge dan WD-PC digunakan untuk menduga 5 sampel kelompok data validasi. ingkasan iksi untuk kelompok sampel data kalirasi dan kelompok sampel data validasi model WD-PC dapat dilihat pada ael sedangkan untuk WD-idge disajikan pada ael 3. Plot Y dengan Yˆ untuk kelompok kalirasi (5 sampel) dapat dilihat pada Gamar 3. Sedangkan plot antara Y dengan Yˆ untuk kelompok sampel data validasi dapat dilihat pada Gamar 4. ABEL NILAI KEBAIKAN ODEL GINGEOL DENGAN WD-IDGE DAN WD- PC etode SEP WD-idge (k=,) 94,5%,4 WD-PC (PC-PC7) 96,7%,7 Dari ael, ael, ael 3, Gamar 3 dan Gamar 4 menunjukkan ahwa model teraik untuk iksi gingerol diperoleh dari WD-PC dengan mother wavelet Dauechies dan level resolusi, dan 3. Ukuran keaikan model ang diperoleh adalah = 96,7% dan SEP =,7. Hasil analisis dengan W-PC menunjukkan hasil ang leih memuasakan dianding WD-idge. ABEL NILAI Y DAN Yˆ KADA GINGEOL DENGAN WD-PC Kelompok Data Kalirasi Kelompok Data Validasi dari HPLC Dugaan dari HPLC Dugaan

5 78 IPEK, he Journal for echnolog and Science, Vol. 9, No. 3, August 8 ABEL 3 NILAI Y DAN Yˆ KADA GINGEOL DENGAN WD-IDGE (K=,) Kelompok Data Kalirasi dari HPLC Dugaan Kelompok Data Validasi dari HPLC Dugaan HPLC HPLC HPLCdugaWD-PC (a). dugahplc WD-idge () Gamar 3. Plot Y dengan Yˆ kelompok data kalirasi gingerol dengan WD-PC (a) WD-idge () HPLCval.9.8 HPLCval dugahplcval WD-PC dugahplcval WD-idge..3.4 (a) () Gamar 4. Plot Y dengan Yˆ kelompok data validasi gingerol dengan WD-PC (a) WD-idge () IV. KESIPULAN etode ransformasi Wavelet Diskret (WD) mampu melakukan reduksi dimensi dengan aik, tetapi tidak ada jaminan, ahwa kasus multikolinearitas teratasi. Sehingga WD seaikna digaung dengan metode lain ang mampu mengatasi multikolinearitas dalam pemuatan model kalirasi peuah ganda. Gaungan ransformasi wavelet Diskrit (WD) dengan Principal Component egression, untuk menduga model iksi kadar senawa gingerol pada rimpang jahe, ternata menghasilkan model ang cukup memuaskan. Hasil analisis dengan W-PC ini leih memuasakan dianding gaungan ransformasi wavelet Diskrit (WD) dengan idge egression (WD- idge). V. DAFA PUSAKA [] Naes,., Isaksoon,., Fearn,., Davies, A User Friendl Guide to ultivariate Caliration and Classification, NI pulications, UK.. [] artens, H., Naes,., ultivariate Caliration. John Wille & Sons. Chichester, England [3] Sunaro, S., Notodiputro, K.A., Penerapan etode ransformasi Wavelet Diskret untuk enentukan Senawa Kurkuminoid pada impang emulawak, Prosiding Seminar Nasional atematika 5, halaman -7, Jurusan atematika UNS, Surakarta, 7 ei 5.

6 IPEK, he Journal for echnolog and Science, Vol. 9, No. 3, August 8 79 [4] Sunaro, S., odel Kalirasi dengan ransformasi Wavelet seagai etode Pra-Pemrosesan, Disertasi Program Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. 6. [5] Sunaro, S., Notodiputro, K.A., Penerapan etode ransformasi Wavelet Diskret untuk enentukan Senawa pada impang Jahe. Statistika - Forum eori dan Aplikasi Statistika 4: 8-85, Jurusan Statistika FIPA UNISBA. 4. [6] Nason, G.P., Silverman, B.W., he discrete wavelet transform in S. J.comp graph. Stat. 3: [7] Nason, G.P. (998), Wavethresh 3 software. Department of athematics, Universit of Bristol, UK. Availale: [ (tanggal akses : April 7). [8] Brown, P.J., Fearn,., Vanucci,., Baesian Wavelet egression on Curves with Application to a Spectroscopic Caliration Prolem. J Amer Statist Assoc 96: [9] cnult, S.C., Ganapati,., Application of Wavelet Analsis Determining Glucose Concentration of Aqueous Solution Using NI Spectroscop. Hewlett-Packard comp [] Yi-u, C., Chen.J., A New Computing ultivariate Spectral Analsis ethod Based on Wavelet ransform. Journal of Zhejiang Universit Science : [] Shao, X., Yadong, Z., Determining of Chlorogenic Acid in Plant Samples Using Near-Infrared Spectrum with Wavelet ransform Preprocessing. Analtical Sciences. 4. [] Vidacovic, B., euller, P., Wavelets for Kids. A utorial Introduction, AS Suject Classification, Duke Universit 99. [3] Percival, D.B. (5), Wavelets : Data Analsis, Algorithms and heor. Universit Washington. Availale: [ (tanggal akses : 8 april 5).