HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R [ S

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R [ S Budi Surodjo Jurusan Matematika FMIPA UGM surodjo_b@ugmacid Abstrak Modul terbangkit modul-r terkait erat dengan eksistensi submodul di dalam modul deret pangkat tergeneralisasinya (MDPT), sebagai prapeta homomorfisma dari kodomain atas R Fenomena pembangkit sebagai bagian MDPT atas R [ S, diselidiki lebih dalam untuk mengungkap hubungan struktural antara pembangkit atas R dengan pembangkit modul atas ring deret pangkat tergeneralisasi Kata-kata kunci: modul terbangkit, MDPT, ring deret pangkat tergeneralisasi PENDAHULUAN Modul N atas gelanggang R dikatakan dibangun oleh modul M jika dapat ditemukan K M [ x M [ N 0 dan epimorfisma φ : K N, dengan N 0 = { 0,1, } terhadap penjumlahan dan urutan bilangan Berdasarkan pengamatan pada ruang modul dan basis Schauder dalam ruang Banach (Neerven, 1992), dapat didefinisikan modul terbangkit modul Definisi terbangun modul diperumun dengan mengambil modul M atas gelanggang R yang komutatif dengan elemen identitas 1 dan ( S, ) monoid terurut tegas (Surodjo, 2008) Dengan menggunakan semua notasi yang dikemukakan Surodjo (2006;2007) dapat dibentuk modul deret pangkat tergeneralisasi M [ S atas gelanggang deret pangkat tergeneralisasi R [ S Gelanggang R (atau modul M) merupakan subgelanggang R [ S (atau submodul M [ S ), sehingga diperoleh definisi berikut ini Definisi 11 Diketahui S monoid terurut tegas ' '; sedangkan N dan M modul atas R Modul N dikatakan terbangkit M ( S, ) atas R, jika dapat ditemukan K, sehingga K M [ S atas R dan epimorfisma dengan kata lain K N 0 eksak φ : K N, Pada Definisi 11, jika pembicaraan hanya melibatkan satu monoid ( S, ), maka pernyataan N terbangkit M ( S, ) cukup ditulis N terbangkit M Sebaliknya, jika di dalam pembicaraan melibatkan monoid terurut tegas ( S, ) dan (, ), maka untuk menghindari kerancuan, pernyataan N terbangkit M atas S perlu ditulis N terbangkit M ( S, ) Berdasarkan Definisi 11 oleh Surodjo (2008) dapat diturunkan beberapa sifat elementer yang identik dengan beberapa sifat-sifat pada teori modul, yang menunjukkan relevansi konsep terbangkit modul dengan konsep terbangun modul Teorema 12 Diketahui L dan N modul atas R, dengan N terbangkit M Jika L M 0 eksak atau 0 M L eksak, maka N terbangkit L M-247

2 Budi Surodjo/Hubungan Modul Terbangkit Teorema 12 menunjukkan, bahwa jika L submodul M dan N terbangkit L, maka N terbangkit L Fakta ini merupakan sifat yang juga berlaku pada pengertian membangun biasa Berikut ini diberikan beberapa sifat elementer yang lainnya Teorema 13 Diketahui N modul atas R dan L N Jika N terbangkit M, maka L terbangkit M Jika L 1, L2,, L n N dan masing-masing terbangkit M, maka L1 Ln terbangkit M Hubungan antar urutan pada monoid S dan hubungan antara monoid tersebut dengan submonoidnya sangat berperan dalam pengertian terbangkit modul Akibatnya jika S1 submonoid terurut tegas S, maka M [ submodul M [ S atas R [ Berikut ini diberikan dampak adanya dua relasi urutan pada S pada konsep terbangkit modul Teorema 14 Diketahui S monoid terurut tegas atas ' ' dan N modul terbangkit M ( S, ) atas R 1 Jika ' ' finer dibanding ' ', maka N modul terbangkit M ( S, ) 2 Jika S submonoid, maka N modul terbangkit M ( ) Selanjutnya, dibentuk himpunan { } [ M, S = N N modul terbangkit M ( S, ) σ Dengan memperhatikan Teorema 14, diperoleh sifat jika ' ' finer dibanding ' ', maka σ [ M, S merupakan subhimpunan σ [ M, S Selain itu, jika S submonoid terurut tegas T atas urutan ' ', maka σ [ M, S merupakan subhimpunan σ [ M,T HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini diasumsikan M modul atas gelanggang komutatif R yang memiliki identitas dan S monoid komutatif yang terurut tegas Semigrup terurut tegas S atas ' ' dikatakan terurut subtotal jika untuk setiap r, s S terdapat bilangan asli k, sehingga kr ks atau kr ks Pada kasus S monoid dan S { 0}, dapat ditemukan s S yang memenuhi ks > 0 atau ks < 0 untuk suatu bilangan asli k Teorema 21 Diketahui S monoid terurut tegas Jika terdapat s S, yang memenuhi s > 0 atau s < 0, maka terdapat submonoid terurut tegas S, sehingga 1 ϕ N 0, ( k, l N 0 )( k l ϕ ( k) < ϕ ( s) ) atau 2 ϕ { 0,,, ( k, l N 0 )( k l ϕ ( k) < ϕ ( s) ) sebagai monoid terhadap penjumlahan dan urutan ' ' bilangan Kasus 1: Terdapat s S yang memenuhi s > 0 Dibentuk himpunan M-248 { ks } Z 1 = k N 0 Jelas ( Z 1,+ ) monoid bagian ( S,+), ( 1, ) k N Akibatnya ls < ks untuk setiap bilangan asli l k Diambil pemetaan ϕ : Z1 N 0, dengan ( ks ) = k merupakan homomorfisma monoid yang bijektif dan memenuhi, Z terurut tegas, dan ( k + 1 ) s > ks > 0 ϕ dan ( 0 ) = 0, untuk setiap ϕ Pemetaan ϕ

3 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 ls < ks l k ( ls) ϕ( ks) ϕ < Akibatnya ( +, ) (, +, ) n submonoid terurut tegas 0, Z1 Kasus 2: Terdapat s S yang memenuhi s < 0 Seperti kasus 1, dibentuk himpunan Z 1 Himpunan ( Z 1,+ ) submonoid ( S,+) dan terurut tegas atas ' ' Untuk setiap k N, k + 1 s < ks <, sehingga ls < ks untuk setiap bilangan asli l dan k, dengan l k ( ) Diambil pemetaan ϕ : Z N, dengan ( ks) = k merupakan homomorfisma monoid yang bijektif dan memenuhi, ( ls) ϕ( ks) ls < ks l k ϕ Akibatnya ( +, ) (, +, ) N 0, Z1 ϕ dan ϕ ( 0 ) = 0 Pemetaan ϕ Selanjutnya jika diketahui f pemetaan dari S ke M, maka S dapat dipartisi menjadi kelaskelas yang saling asing berdasarkan peta dari masing-masing elemen terhadap f Lemma 22 Diketahui f pemetaan dari monoid S ke dalam modul M Relasi dengan definisi untuk setiap a, b S a f b f a = ( ) f ( b) ' f ' pada S merupakan relasi ekuivalensi, sehingga S terpartisi menjadi kelas-kelas yang saling asing s dengan s S Lemma 22 menjadi salah satu dasar pembuktian eksistensi epimorfisma pada [ S R [ S berhubungan erat dengan konsep terbangkit M [ S atas R [ S N atas, jika N terbangkit M Salah satu sifat yang muncul pada modul terbangkit M atas R Teorema 23 Diketahui N modul atas R dan S1 submonoid terurut tegas S Jika N terbangkit M atas R, maka N [ terbangkit M [ S atas R [ Modul N terbangkit M atas R, berarti dapat ditemukan K M [ S atas R dan epimorfisma-r, φ : K N Selain itu submonoid S, berakibat R [ subring R [ S, sehingga M [ S modul atas R [ Lebih lanjut dapat dibentuk modul deret pangkat S R tergeneralisasi K[ ( M [ )[ dan N [ atas [ Didefinisikan pengaitan : K[ S N[ S 1 φ dengan 1 ( f K[ S ) φ ( f ) = φ f komposisi fungsi Untuk sebarang x supp( φ f ), 0 φ( f ( x) ), sehingga ( x) 0 kata lain x supp( f ), jadi supp( φ f ) supp( f ) Karena ( f ) supp ( φ f ) Artin dan narrow Untuk masing-masing f K[, nilai ( f ) 1 f Dengan supp Artin dan narrow, maka φ tunggal, M-249

4 Budi Surodjo/Hubungan Modul Terbangkit akibatnya ditunjukkan φ pemetaan Selain itu dengan menggunakan sifat homomorfisma φ, dapat φ homomorfisma Selanjutnya, diambil sebarang f N[ Untuk setiap, s) k s K sehingga φ ( k s ) = f ( s) f : S, dengan definisi f ( ) = 0 Karena φ pemetaan pada, maka terdapat, 22 dan Axioms of choice, didefinisikan pengaitan K 1 s 0 ; dan f ( a) = ks = f( b), jika a, b s dan s 0 Pemetaan f memenuhi ( φ f )( s) φ( f ( s) ) = φ( ks ) = f ( s) = s berlaku f ( N Berdasarkan Lemma s, jika untuk setiap s S, sehingga φ f = f Selain itu untuk sebarang s supp( f ), berlaku f ( s) 0, dengan kata lain s 0 Jadi f ( s) 0, sehingga s supp( f ) Akibatnya supp f supp f f K ( ) ( ), dan terbukti [ Akibat 24 Diketahui N modul atas R dan S monoid terurut tegas subtotal tidak nol Jika N terbangkit M atas R terhadap S, maka 1 N [ x terbangkit M [ S atas [ x 2 N [ x terbangkit M [ S atas R [ x R atau Karena S monoid terurut subtotal, maka terdapat s S dan k N sehingga ks > 0 atau ks < 0 Berdasarkan Teorema 21 terdapat submonoid terurut tegas S yang memenuhi N 0 atau { 0,, Jika N 0, maka N[ S1 N[ N 0 N[ x dan R[ S1 R[ N 0 R[ x subring R [ S Sedangkan N terbangkit M atas R terhadap S, sehingga sesuai Teorema 23 dapat disimpulkan N [ terbangkit M [ S atas R [ Jadi N [ x terbangkit M [ S atas R [ x Jika { 0,, dengan kondisi urutan Teorema 212, maka N[ S1 N[ N 0 N[ x dan R[ S1 R[ N 0 R[ x subring R [ S Sedangkan N terbangkit M atas R terhadap S, sehingga sesuai Teorema 23 dapat disimpulkan N [ terbangkit M [ S x S R x atas R [ Jadi N [ terbangkit M [ atas [ Selanjutnya dari bukti pada Akibat 24, jika bagian 2 yang terjadi, maka terdapat { 0,,, sehingga K[ S1 K[ x ( M [ S )[ x ( M [ S )[ sehingga K [ x N[ x 0 eksak atas atas R[ x R[ Jika bagian 1 yang terjadi, maka dapat ditemukan N 0, sehingga K K[ x K [ x K[ dan gelanggang R R[ x R[ Kondisi ini menunjukkan hubungan antara konsep terbangkit M atas R dengan eksistensi modul K R x sebagai pembangun N atas gelanggang polinomial [ Teorema 25 Diketahui S monoid terurut tegas subtotal tidal nol Jika N modul terbangun M atas R, maka N terbangkit M S atas R Karena N terbangun M atas R, berarti M [ N 0 M [ x N 0 eksak Karena S monoid terurut tegas subtotal, maka terdapat submonoid terurut tegas S yang memenuhi N 0 S 0,, 2, atau { } 1 M-250

5 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 Jika N 0, maka M [ S1 M [ x N 0 eksak dan [ S1 M [ M [ S atas R Jadi N terbangkit M atas R dan S Lebih lanjut, jika 1 { 0,, kondisi urutan Teorema 212, maka M [ S1 M [ x N 0 eksak dan [ M [ S atas R M submodul S dengan M submodul Berikut ini diberikan beberapa sifat yang merupakan akibat dari Teorema 12, 13, 21, dan Akibat 24 Akibat 26 Diketahui L dan N modul atas R, dengan N terbangkit M atas monoid terurut tegas S dan terdapat s S, yang memenuhi s > 0 atau s < 0 Jika L M 0 eksak atau 0 M L eksak, 1 N [ x terbangkit L [ S atas [ x 2 N [ x terbangkit L [ S atas R [ x R atau Berdasarkan Teorema 12, dapat disimpulkan N terbangkit L atas R Di sisi lain karena terdapat s S, yang memenuhi s > 0 atau s < 0, maka sesuai Teorema 21 dan bukti pada Akibat x S x x S R x 24 berlaku N [ terbangkit L [ atas R [ atau N [ terbangkit L [ atas [ Akibat 27 Diketahui N modul terbangkit M atas R dan S, dengan S monoid terurut yang memenuhi s > 0 atau s < 0, untuk suatu s S Jika L 1, L2,, L n N dan masing-masing L i terbangun M atas R, maka L1 Ln terbangkit M S atas R Berdasarkan bukti pada Teorema 25, untuk masing-masing i = 1,, n, M [ N 0 M [ x Li 0 eksak Karena S monoid terurut tegas yang memenuhi s > 0 atau s < 0, untuk suatu s S, maka terdapat submonoid terurut tegas S yang memenuhi N 0 atau { 0,, Akibatnya L i terbangkit M S atas R, untuk setiap i = 1,, n Sesuai Teorema 13, L1 Ln terbangkit M S atas R Akibat 26 dan 27 akan tetap berlaku jika monoid terurut tegas S yang memenuhi terdapat s S, dengan s > 0 atau s < 0 diganti monoid terurut tegas subtotal atau terurut total Hasil-hasil yang telah disajikan baru mengungkapkan hubungan parsial antara modul terbangkit M atas R dan modul terbangkit M [ S atas R [ x untuk kasus S monoid terurut tegas subtotal Masalah terbuka yang perlu diselidiki adalah syarat cukup agar modul yang terbangkit M ( S, ) atas R pasti terbangun oleh suatu K submodul M atas R [ dengan (, ) submonoid terurut tegas ( S, ) Pengkajian yang lebih mendalam masih terbuka lebar dengan memfokuskan pada jenis-jenis lain monoid S, modul khusus M, atau ring khusus R, seperti daerah integral, daerah Euclid, mapun lapangan M-251

6 Budi Surodjo/Hubungan Modul Terbangkit DAFTAR PUSTAKA Neerven, J, 1992, The Adjoint of a Semigroup of Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin Heilderberg Surodjo, B, 2006, Struktur Koaljabar Gelanggang Deret Pangkat Teritlak, Disertasi S3, Pascasarjana Universitas Gadjah Mada Surodjo, B, 2007, Modules with Sigma Operations, Diseminarkan pada Second Joint Conference Indonesia Malaysia, ITS Surabaya, January 11-12, 2007 Surodjo, B, 2008, Modul Terbangkit Modul, Diseminarkan pada Konperensi Nasional Matematika Tahun 2008, Unsri Palembang, Juli 2008 M-252