TEORI HEMIRING ABSTRAK

Transkripsi

1 TEORI HEMIRING Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang Indonesia tri_matematika@yahoocom ABSTRAK Diberikan Semring (A,+, ) Sebuah Semiring (A,+, ) disebut hemiring, jika operasi + A merupakan semigrup komutatif dan mempunyai elemen identitas penjumlahan Teorema utama homomorfisma Ring dapat digeneralisasikan pada hemiring Di dalam paper ini akan dijelaskan kelas N-homomorfisma dari hemiring, hemiring tipe (K), hemiring semisubtraktif, dan hemiring hereditarily semi subtraktif Kata Kunci : hemiring, homomorfisma hemiring, teorema homomorfisma, N- homomorfisma, hemiring tipe (K), hereditarily semi subtraktif PENDAHULUAN Pada teori Ring didefinisikan bahwa himpunan A disebut Ring, jika A grup komutatif, pergandaan asosiatif, dan distributif kanan kiri Karena sifat ini dipandang terlalu kuat, didefinisikan teori hemiring yaitu setiap semiring A yang memenuhi aksioma komutatif dan mempunyai identitas penjumlahan Seperti halnya teori Ring yang mempunyai hipunan bagian yang disebut ideal, dalam konsep hemiring juga mempunyai ideal yang memiliki sifat yang lebih spesifik disebut h-ideal N-HOMOMORFISMA Definisi 1 Homomorfisma hemiring dari S ke T disebut homomorfisma maksimal jika setiap t T terdapat Ct 1 ( t) sedemikian hingga untuk setiap x 1 ( t) terdapat x + ker C t + ker

2 Definisi 2 Homomorfisma hemiring dari S ke T disebut N-homomorfisma jika untuk setiap t T terdapat kumpulan { x + ker : x 1 ( t) } dimana memuat dua himpunan yang tidak saling asing Lemma 1 Homomorfisma : S T disebut N-homomorfisma jika dan hanya jika ( x, y S) ( x) = ( y) sedemikian hingga x + k1 = y + k2 ; k1, k2 ker Bukti N-homomorfisma Berdasarkan definisi N-homomorfisma untuk setiap t T terdapat himpunan x x t 1 + ker ; ( ) dan terdapat dua himpunan yang tidak saling asing x + k = y + k ; k, k ker ( x + k ) = ( y + k ) ( x) + ( k ) = ( y) + ( k ) ' ( x) ( y) ' + 0 = + 0 ( x) = ( y) ( x) = ( y) ( x) = ( y) ( x) ( y) = ( y) ( y) ( x + y) = ( y y) ( x y) = ( 0) ' ( x y) 0 =

3 x y ker x + ker = y + ker Lemma 2Homomorfisma : S T merupakan homomorfisma maksimal jika dan hanya jika himpunan prapeta dari setiap t T adalah koset ker : S T Homomorfisma maksimal Berdasarkan definisi homomorfisma maksimal,untuk setiap t T terdapat Ct 1 ( t) sedemikian hingga x 1 ( t) punya x + ker C t + ker Maka Untuk setiap ( ) dapat di tulis = + ker sedemikian hingga ( ) koset ker 1 1 x t x c t 1 ( t) koset ker Berdasarkan apa yang diketahui bahwa untuk setiap x 1 ( t) dapat di bentuk x = c + ker x = c + ker x x x 1 1 = c + ker 2 2 = c + ker 3 3 n = c + ker n Jadi untuk setiap x 1 ( t) punya x + ker C t + ker Teorema1 Jika : S T adalah homomorfisma maksimal maka adalah N-homomorfisma Misalkan ambil sembarang t T sedemikian hingga berdasarkan definisi homomorfisma maksimal bahwa

4 1 Ambil sembarang x, y ( t) x = c + k 1 y = c + k k, k ker 2 x + k = c + k + k 2 y + k = c + k + k 1 x + k = y + k ; k, k ker 2 1 x + ker y + ker Jadi N-homomorfisma Sejak setiap homomorfisma Ring adalah maksimal dan ada juga yang N- homomorfisma,hal ini akan membuktikan bahwa setiap homomorfisma natural hemiring S S / I adalah N-homomorfisma Contoh1 Misalkan diberikan hemiring S={0,1,2,3,4} yang operasi penjumlahannya didefinisikan seperti tabel di bawah ini Misalkan T subhemiring {0,1} dari S,jika di definisikan pemetaan : S T { } 1 adapun (1) 2,3,4 dan terdapat dua himpunan yang tidak saling asing 2 ker,3 ker,4 ker { } dengan :0,1 0 dan 2,3,4 1 maka homomorfisma dengan ker = 0,1 = Jadi N-homomorfisma,akan tetapi bukan homomorfisma maksimal karna (1) bukan koset ker TEOREMA UTAMA HOMOMORFISMA

5 Untuk kelas N-homomorfisma kita akan mengalami hal yang sama seperti yang di akibatkan dalam teori Ring Lemma 3 Jika adalah N-homomorfisma dari S ke T dengan ker ={0},maka adalah N-homomorfisma Andaikan ( x) = ( y) x + k = y + k sedemikian hingga x + 0 = y + 0 x = y Jadi adalah isomorfisma Teorema2 Jika adalah N-homomorfisma dari S ke T maka S / ker T Akan di tunjukan bahwa: a ω Well defined b ω homomorfisma c ω injektif d ω surjektif Akan di buktikan a) [ ] [ ] ω well defined [ s ] [ s ] S [ s ] = [ s ] Ambil sembarang, / ker dengan ([ ]) ([ ]) akan di tunjukan ω s = ω s = ( s ) = ( s ) artinya s = s s + ker = s + ker ( s ) = ( s ) dfns b) ω homomorfisma Akan di buktikan bahwa untuk setiap t T terdapat himpunan 1 ker ; ( ) s + s t [ ] ( t T) ( s s / ker )

6 Ambil sembarang t T,( s S) ( s) = t ( ) ω ([ ]) [ ] untuk s S di atas dapat di bentuk s S / ker t = s = s jadi bila di ambil sembarang t T maka terdapat s S / ker = s + ker c) ω injektif ( [ s1 ],[ s2 ] S / ker ) dengan ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ]) akan di buktikan [ s1 ] = [ s2 ] ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ]) ( s ) = ( s ) s + ker = s + ker [ s ] = [ s ] [ ] d) ω Surjektif akan di buktikan bahwa ( ) ( [ ] / ker ) ω ([ ]) ambil sembarang,( ) ( ) t T s S s = t t T x S x = t untuk x S di atas dapat di bentuk [ s] S / ker jadi bila di ambil sembarang t T maka terdapat [ s] S / ker akan di tunjukkan [ s ] tunggal andaikan terdapat [ s1 ],[ s2] S / ker sedemikian hingga ω ([ 1] ) ω ([ 2 ]) ω ([ s1 ]) = ω ([ s2 ]) ( s ) = ( s ) s = s = t Berdasarkan definisi N-homomorfisma bahwa untuk ssetiap t T terdapat himpunan s s t 1 + ker ; ( ) maka dari yang di dapat di atas dapat kita tuliskan

7 s + ker = s + ker { } karna injektif maka ker = 0 s + 0 = s + 0 s = s HEMIRING TIPE(K) Definisi 1 sebuah hemiring S disebut tipe(k) jika terdapat I sebagai K-ideal dari S sedemikian hingga terjadi homomorfisma natural η : S S / I maka η mengawetkan K-ideal Definisi 2 hemiring S disebut semisubtraktif,jika untuk sepasang a,b elemen di S dapat di pecahkan a+x=b atau b+x=a Definisi 3 hemiing S disebut hereditarily semisubrakif jika untuk setiap ideal di S semisubtraktif Lemma 4 jika S hemiring semisubtraktif dan K adalah K-ideal dari S maka k semisubtraktif Misalkan a, b k maka a, b S,akan tetap ada s S yang mana salah satu dari dua argumen ini di penuhi a + s = b atau b+s=a,misalkan yang terpenui a + s = b karna a k dan k adalah k ideal sedemikian hingga a + s k maka b k, jadi k semisubtraktif karna terdapat elemen dari k yang dapat dipecahkan TEOREMA 3 Jika S adalah hereditarily semisubtraktif dan adalah N- homomorfisma dari S T maka mengawetkan k ideal Misalkan K adalah k ideal dari S dan K = ( k) Akan ditunjukan bahwa * K K dan K adalah k ideal

8 Misalkan x K * x + k1 = k 2 k1 k 2 K ( x + k ) = ( k ) ;, x + k + z = k + z x + k + z + t = k + z + t t k + ker sedemikian hingga salah satu ini di penuhi x + z + z = k + z + t 2 2 ( ) ( ) x + z + z = k + z + t ( k) = k 2 2 Jika yang satu yang dipenuhi k = z + t x + k + z + t = k + z + t 1 2 ( ) ( ) k + t = z atau k = z + t x + k + z + t = k + k = ; t K + ker t = k + z x + k + z + k + z = k + k maka x + z + z ( k) = k * 1 3 Jadi k k dan jadi k = k adalah k ideal dari T Proposisi 1 Jika S adalah hemiring hereditarily semisubtraktif maka S adalah hemiring dari tipe(k) Jika I adalah k ideal dari hemiring S dan terjadi homomorfisma natural η : S S / I adalah N-hommorfisma Karna berdasarkan Teorema diatas bahwa η mengawetkan k ideal yang mana S hemiring