BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL

Transkripsi

1 8.1 Pendahuluan BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah benda oleh sejumlah unsur yang lebih dari satu. Eksistensi elemen semesta pembicaraan yang menyatakan keadaan tersebut belum terwakili oleh keseluruhan himpunan semua bilangan bulat. Topik ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa untuk mengenal proses perluasan sebuah sistem bilangan (aljabar) ke dalam sistem bilangan lain yang mempertahan operasi beserta sifat-sifat yang berlaku pada sistem semula. Metode perluasan ini merupakan metode yang sering dijumpai dalam sistem aljabar, khususnya Teori Ring. Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuan minggu ke-13 dan 14 yang meliputi 1. Konstruksi sistem bilangan rasional 2. Sifat-sifat bilangan rasional ini secara tuntas diharapkan memiliki learning Outcomes berupa: 1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian sistem bilangan rasional 2. Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat bilangan rasional 3, Mahasiswa mampu menggunakan sifat-sifat bilangan rasional pada bidang matematika terkait 4. Mahasiswa mampu menjelaskan dasar pembentukan dalam lingkungan kelas secara terstruktur dan sistematis 97

2 8.2 Konstruksi Sistem Bilangan Rasional Dalam bab sebelumnya telah dibahas tentang sistem bilangan bulat. Sebagai perluasan dari sistem bilangan bulat, dalam bab ini akan dibahas tentang konstruksi himpunan (sistem) bilangan rasional beserta sifat-sifat yang muncul dari operasi-operasi yang berlaku pada himpunan bilangan rasional beserta relasi urutan yang terjadi. Definisi Diketahui Z sistem bilangan bulat beserta operasi biner + dan pada Z dan didefinisikan himpunan D = Z (Z {0}) = {(m, n) m, n Z, n 0}. Untuk sebarang (m, n), (k, l) D, dikatakan (m, n) = (k, l), jika m = k dan n = l. Dengan memanfaatkan operasi biner + dan beserta sifat-sifat yang dimilikinya didefinisikan relasi α pada D, yaitu untuk sebarang (m, n), (k, l) D, (m, n)α(k, l) m Z l = n Z k. (1) Pada definisi ini (m, n)α(k, l) dapat ditulis (m, n), (k, l) α(k, l). sistem bilangan bulat jelas berlaku n Z k = k Z n. Sebagai contoh Berdasarkan (( 4, 5), (24, 30)) α, (( 4, 5), (24, 30)) α Lemma 8.1 Relasi α pada D merupakan relasi ekuivalensi, sehingga D terpartisi oleh α menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling asing. Bukti: Diambil sebarang (m, n), (k, l), (p, q) D. Karena m Z n = n Z m berakibat (m, n)α(m, n). Akibatnya α refleksif. Untuk menyederhanakan, notasi m Z n ditulis mn. Selanjutnya, jika (m, n)α(k, l), maka ml = nk, sehingga kn = nk = ml = lm. Jadi (k, l)α(m, n), sehingga α simetris. Jika (m, n)α(k, l) dan (k, l)α(p, q), maka ml = nk, kq = lp sehingga (mq)l = m(ql) = m(lq) = (ml)q = (nk)q = n(kq) = n(lp) = n(pl) = (np)l 98

3 Karena l 0, maka mq = np. Akibatnya (m, n)α(p, q). Jadi α transitif. Berdasarkan bukti di atas dapat disimpulkan D akan terpartisi menjadi kelaskelas yang saling asing yang diberi simbol dengan Q = {(m, n) (m, n) D} dengan (m, n) = {(k, l) D ((m, n), (k, l) α}. Dalam hal ini untuk masingmasing (m, n), (k, l) D berlaku (m, n) = (k, l) atau (m, n) (k, l) =. Contoh Pada Q ( 3, 4) = (6, 8) = (120, 160) dan ( 3, 4), (6, 8), (120, 160) (3, 4). Pada himpunan Q dapat didefinisikan dua buah operasi biner + Q dan Q dari Q Q Q (m, n) + Q (k, l) = (m Z l + Z k Z n, n Z l) (m, n) Q (k, l) = (m Z k, n Z l) atau (m, n) + (k, l) = (ml + kn, nl) (m, n) (k, l) = (mk, nl) untuk setiap (m, n), (k, l) Q. Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk +. Jika (m, n) = (p, q) dan (k, l) = (u, v), maka mq = np dan kv = lu Karena sifat komutatif dan asosiatif operasi-operasi biner di Z, maka (qv)(nk) = (qn)(kv) = (qn)(lu) = (nl)(uq), (qv)(ml) = (vl)(mq) = (vl)(np) = (nl)(pv) sehingga nl(pv + uq) = qv(ml + nk). Jadi (p, q) + (u, v) = (m, n) + (k, l) Latihan 8.1 Buktikan operasi Q merupakan operasi biner! 99

4 Dengan memperhatikan Teori Ring di bidang aljabar, dapat ditunjukkan, bahwa Q memiliki struktur ring. Untuk selanjutnya Q disebut sistem bilangan rasional. Kondisi tersebut dinyatakan dalam teorema berikut ini. Teorema 8.2 Pada himpunan Q berlaku sifat: 1. Terhadap operasi + : 1.1 ( x, y, z Q)(x + y) + z = x + (y + z) 1.2 ( 0 Q)( y Q) 0 + y = y = y = (0, m) untuk sebarang m Z {0} 1.3 ( x Q)( y Q)(x + y = 0 = y + x) Jika x = (p, q), maka y = ( p, q) = (p, q) 1.4 ( x, y Q)(x + y = y + x) 2. Terhadap operasi : 2.1 ( x, y, z Q)(xy)z = x(yz) 2.2 ( 1 Q)( y Q) 1y = y = y 1 1 = (m, m) untuk sebarang m Z {0} 2.3 ( x Q { 0})( y Q)(xy = 1 = yx) Jika x = (p, q), berarti p 0, sehingga y = (q, p). 2.4 ( x, y Q)(xy = yx) 3. Operasi + dan bersifat distributif: 3.1 ( x, y, z Q)(x + y)z = xz + yz 3.2 ( x, y, z Q)x(y + z) = xy + xz Bukti: Untuk latihan. Sifat berikut menunjukkan, bahwa Q merupakan perluasan dari Z, dengan operasi + Z merupakan pembatasan dari + Q di Z; sedangkan Z merupakan pembatasan Q di Z Teorema 8.3 Terdapat Z Q Q yang memenuhi 100

5 1. ( α)α : Z Q Z pemetaan bijektif 2. Terhadap operasi + Q dan Q memenuhi Teorema 8.2 kecuali ( x, y Z Q )(α(x + Q y) = α(x) + Z α(y) α(x Q y) = α(x) Z α(y)) Bukti: Diambil Z Q = {(m, 1) m Z}. Perlu dicatat, bahwa untuk sebarang m 0 berlaku (m 2, m) = (m, 1). 1. Diambil pengaitan α : Z Q Z, dengan α((m, 1)) = m. Untuk sebarang (m, 1) = (n, 1) berakibat m = m 1 = 1 n = n. Akibatnya α((m, 1)) = α((n, 1)). Jadi α pemetaan. Jelas, bahwa jika m Z, maka (m, 1) Q, dan α((m, 1)) = m. Jadi α surjektif. Selain itu untuk sebarang α((m, 1)) = m = n = α((n, 1)) berakibat (m, 1) = (n, 1); sehingga α injektif. 2. Untuk latihan 3. Diambil sebarang (m, 1), (n, 1) Z Q ) α((m, 1) + Q (n, 1)) = α((m + n, 1) = m + Z n = α((m, 1)) + α((n, 1)). α((m, 1) Q (n, 1)) = α((m n, 1) = m Z n = α((m, 1)) α((n, 1)). Berdasarkan hubungan antara Z dan Z Q di atas, dan eksisitensi elemen positif pada Z, maka dapat dihimpun elemen-elemen positif bilangan rasional Q, yaitu Q + = {(m, n) m, n Z + m, n Z } dan elemen-elemen negatif bilangan rasional Q, yaitu Q = {(m, n) (m, n) Z + Z (m, n) Z Z + } Teorema 8.4 Pada himpunan Q berlaku: 1. ( (m, n), (k, l) Q + )((m, n) + (k, l), (m, n) (k, l) Q + ) 2. ( (m, n), (k, l) Q )((m, n) + (k, l) Q, (m, n) (k, l) Q + ) 3. ( (m, n) Q)( (k, l) Q + )((m, n) (k, l) Q + {0}) 101

6 4. Untuk sebarang (m, n) Q berlaku tepat satu (m, n) Q (m, n) = 0 (m, n) Q Bukti: Hanya akan dibuktikan sebagian. Yang tidak ada buktinya dijadikan latihan. 1. Diambil sebarang (m, n), (k, l) Q +. Tanpa mengurangi keumuman, jika m, n, k, l Z +, maka ml, nk, kl Z +. Jadi ml + nk, kl Z +, sehingga (m, n) + (k, l) Q +. Jika m, n Z + dan k, l Z, maka ml, nk, kl Z. Jadi ml nk, kl Z +, sehingga (m, n) + (k, l) Q +. Demikian juga jika m, n, k, l Z, maka ml, nk, kl Z +. Jadi (m, n) + (k, l) Q Diambil sebarang (m, n), (k, l) Q. Tanpa mengurangi keumuman dimisalkan m, k Z + dan n, l Z. Akibatnya mk Z + dan nl Z +. Jadi (m, n) (k, l) Q +. Selain itu, ml + nk Z dan nl Z +. Akibatnya (m, n) + (k, l) Q. 4 Diambil sebarang (m, n) Q, dengan (m, n) 0. Akibatnya m 0. Kondisi ini berakibat berlaku tepat satu m Z + atau m Z. Demikian juga dengan n, sehingga (m, n) Q + atau (m, n) Q ; dan hanya berlaku salah satu. Untuk mempermudah, sebagaimana yang dikenal luas oleh pengguna teori bilangan, elemen (m, n) Q biasa ditulis dengan (m, n) = m n. Sebagai contoh dengan mudah diketahui bahwa sebagai invers dari (m, n) terhadap penjumlahan, (m, n) = ( m, n) = m = m. Jadi n n Q = { m m, n Z, n 0}. n Dalam bentuknya yang paling sederhana untuk setiap x mathbbq {0} dapat ditemukan m, n Z yang memenuhi F P Bm, n = 1 dan x = m. n Latihan 8.2 Dengan mengeksplorasi sifat-sifat Z selesaikanlah beberapa pertanyaan berikut ini. 102

7 1. Buktikan bahwa Q = Q {0} Q +, dan Q Q + =. 2. Buktikan sifat-sifat dalam Teorema Buktikan bahwa untuk setiap (m, n), (k, l) Q, persamaan (m, n) (x, y) = (k, l) selalu memiliki solusi di Q. 4. Buktikan bahwa untuk setiap (m, n), (k, l), (x, y) Q berlaku (m, n)(x, y) = (k, l)(x, y) dan (x, y) 0 (m, n) = (k, l) 8.3 Relasi Urutan Pada himpunan Q didefinisikan relasi : u, v Q u v ( ϵ Q + {0})u + ϵ = v. (2) Relasi ini merupakan relasi urutan parsial, karena: 1. Refleksif: Untuk sebarang x Q terdapat 0 sehingga x + 0 = x. Jadi x x. 2. Anti simetris: Untuk sebarang x, y Q, jika x y dan y x, maka dapat ditemukan u, v Q + {0} yang memenuhi x + u = y, y + v = x Akibatnya x + (u + v) = (x + u) + v = x, sehingga u + v = 0. Jika u, v Q +, maka u + v Q +. terjadi kontradiksi, sehingga u = v = 0. Jadi x = y. 3. Transitif Untuk sebarang x, y, z Q, jika x y dan y z, maka dapat ditemukan u, v Q + {0} yang memenuhi x + u = y, y + v = z Akibatnya z = (x + u) + v = x + (u + v). Jika u = v = 0, maka u + v = 0. Jika u Q + dan v = 0, maka u + v Q +. Demikian juga jika u, v Q +. Hal ini berakibat x z. 103

8 Sifat sederhana urutan yang dapat diturunkan dari definisi dinyatakan sebagai berikut. Sifat ini sekaligus menyatakan, bahwa urutan merupakan urutan total. Teorema 8.5 Relasi pada 2 merupakan urutan total dan untuk setiap x, y Q berlaku tepat satu x = y x < y y < x. Bukti: Untuk sebarang x, y Q, berlaku tepat satu x y = 0 x y Q + x y Q dan x = y + (x y) dan y = x + (y x). Akibatnya jika x y = 0 atau x y Q +, maka x = y atau y < x. Jika x y Q, maka y x Q +, sehingga x < y. arti Pemetaan α pada Teorema 8.3 compatible dua sisi terhadap urutan dalam (m, 1) Q (n, 1) m Z n. Sebagai bukti, (m, 1) Q (n, 1), jika dan hanya jika dapat ditemukan (k, l) Q + {0}, sehingga m+k 1 = (m, 1) + (k, l) = (n, 1). Kondisi ini ekuivalen dengan m + k = n; dan k Z + {0} jika dan hanya jika (k, 1) Q + {0}. Lemma 8.6 Untuk setiap x, y, z, u Q berlaku sifat 1. x y jika dan hanya jika x + z y + z, z + x z + y 2. x < y jika dan hanya x + z < y + z, z + x < z + y 3. x y dan z Q + {0}, maka xz yz, zx zy 4. x < y dan z Q +, maka xz < yz, zx < zy 5. Jika xz yz dan z Q +, maka x y 6. Jika xz < yz dan z Q +, maka x < y 7. Jika x y dan z u, maka x + z y + u 8. Jika x y dan z < u, maka x + z < y + u Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk 2, 4, dan

9 2. Karena x < y, maka terdapat u Q + sehingga x + u = y. Akibatnya (x + z) + u = (x + u) + z = y + z, sehingga x + z < y + z. Bukti analog untuk z + x < z + y. 4. Karena x < y, maka dapat ditemukan y x = u + yang memenuhi x + (y x) = y. Akibatnya zy = z(x + (y x)) = zx + z(y x). Di sisi lain z, y x Q +, sehingga z(y x) Q +. Dengan kata lain zx < zy. 6. Karena xz < yz dan z Q +, maka terdapat 1 z Q + sehingga 1 z = 1. Akibatnya, sesuai 4 x = x(z 1 z ) = (xz)1 z < (yz)1 z = y Akibatnya x < z. Teorema 8.7 (Teorema nilai tengah) Untuk setiap x, y Q, jika x < y, maka terdapat z Q sehingga x < y < z. Bukti: Karena x < y, maka terdapat y x Q + sehingga x+(y x) = y. Karena 1 2 Q+, akibatnya 1(y x) 2 Q+ dan (x (y x)) + 1 (y x) = x + (y x) = y 2 sehingga jelas x < x + 1 (y x) < y. 2 Akibat dari Teorema 8.7 diperoleh sifat berikut ini. Teorema 8.8 Untuk sebarang 0 < x Q terdapat N Z + yang memenuhi 1 < x. N Bukti: Karena 0 < x Q, maka x = m, dengan n 1. Akibatnya 1 = n. Dapat n x m diambil N = n, akan berakibat 0 < 1 x < n m nm m = N sehingga 0 < 1 < x. N Salah satu sifat lain yang dikenal baik dalam kalkulus atau analisis berhubungan erat dengan konsep limit (konvergensi). Teorema berikut merupakan salah satu di antaranya. 105

10 Teorema 8.9 Diketahui x Q dan 0 x. Jika untuk setiap ϵ > 0 di Q (ekuivalen dengan ϵ Q + ) berlaku ϵ > x, maka x = 0. Bukti: Andaikan x 0, berarti 0 < x. Menurut Teorema 8.8 dapat ditemukan δ Q + sehingga 0 < δ < x. kontradiksi dengan asumsi, bahwa ϵ > 0 di Q berlaku ϵ > x Dari uraian tentang konstruksi himpunan bilangan rasional di atas terlihat jelas, bahwa beberapa persoalan yang tidak bisa terjawab dalam sistem bilangan bulat, khususnya eksistensi solusi persamaan ax = b telah dapat diselesaikan. Namun begitu masih ditemukan beberapa masalah yang berada di luar sistem bilangan rasional. Masalah-masalah tersebut di antaranya: 1. Pada segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegak 1 Q dan panjang sisi miring x, diperoleh x 2 = 1 2 = 1 2 = 2. Solusi dari persamaan tersebut, yaitu x bukan bilangan rasional. 2. Dalam konsep konvergensi atau limit, barisan {a i } i 1 dengan suku ke-i, a i = (1 + 1 i )i merupakan barisan bilangan rasional. Meskipun a n konvergen ke a, namun dalam kenyataannya a Q. 3. Luas lingkaran dengan jari-jari r didekati dengan segi-n beraturan. Jika L n adalah luas masing-masing segi-n yang digunakan untuk pendekatan, maka L n = s n r 2 dengan s n bilangan rasional. Luas lingkaran tertentu sebesar πr 2, yang berarti s n konvergen ke π. Dalam prakteknya tidak jarang π dianggap sama dengan 22. Namun sesungguhnya π bukanlah bilangan rasional. 7 Kenyataan tersebut membutuhkan sistem perluasan dari himpunan bilangan rasional yang dapat menjawab persoalan-pesoalan di atas. Untuk itu perkembangan selanjutnya dari sistem bilangan rasional berupa sistem (himpunan0 bilangan real. Beberapa syarat yang menjadi acuangan perluasan adalah: 1. Himpunan bilangan rasional harus menjadi subhimpunannya 2. Semua operasi yang berlaku di Q harus merupakan pembatasan dari operasi himpunan perluasan Q 3. Relasi urutan di Q harus merupakan pembatasan dari relasi urutan himpunan perluasan Q 106

11 4. Sifat-sifat yang melekat pada operasi dan relasi pada Q harus tetap bertahan pada himpunan perluasan Q Latihan Buktikan sifat Lemma 8.6 yang belum dibuktikan. 2. Apakah benar, jika x y dan z u, maka xz yu? Jelaskan jawaban anda! Jika tidak, berikan syarat cukup sifat tersebut dipenuhi! 3. Apakah benar, jika x y dan z < u, maka xz < yu? Jelaskan jawaban anda! Jika tidak benar, berikan syarat cukup agar sifat tersebut dipenuhi! 4. Apakah benar untuk setiap x Q {0} dapat ditemukan bilangan bulat z yang memenuhi 0 < 1 < x atau x < 1 < 0? Jelaskan jawaban anda! z z 5. Buktikan bahwa jika x y dan untuk setiap ϵ > 0 di Q berlaku x + ϵ > y, maka x = y! Materi Pengayaan 1. Dapat di lihat pada website: 2. Untuk diskusi dengan anak-anak berbakat di bidang matematika silahkan akses 107

12 MASALAH DAN SOAL 1. Diketahui semigrup S memuat subgrup. Pada semigrup S didefinisikan relasi R, L, D, dan H. Jika a S, didefinisikan klas yang memuat a relatif terhadap relasi tersebut berturut-turut adalah R a, L a, H a, dan D a. Didefinisikan G(S) adalah grup terluas yang termuat di S dan V (a) = {b S a = aba, b = bab}. 1.1 Benarkah G(S) merupakan gabungan semua subgrup S. Jelaskan. 1.2 Jika G adalah gabungan semua subgrup S benarkah G = H e. e E(S) 1.3 Untuk sebarang a, b S, ab R a L b jika dan hanya jika L a R b grup. Benarkah? Beri penjelasan. 1.4 Jika a, b S, apakah terdapat c S sehingga V (a) V (b) = V (c), jelaskan! 2. Let S be a set with a binary operation on S such that the following statements are satisfied: i. e S ii. ( s S)s e e iii. ( s, t S)(s e = t e s = t) iv. ( s, t S)(s t) e = s (t e) v. If e T S such that ( t S)(t T t e T ), then T = S. 2.1 Is S a commutative semigroup!? Prove it! 2.2 Construct a group G such that S is a subsemigroup of G. 3. Buktikan Soal no 9, hal 121 Buku Number Systems of Analysis karangan Webber, G.C. 108

13 4. Diketahui IR himpunan semua bilangan real seperti yang anda kenal semasa SMA. Didefinisikan pengaitan : IR IR IR yang memenuhi 4.1 ( x, y IR )(!a IR )x a = y Untuk selanjutnya dinyatakan a = [y, x] 4.2 ( x, y, z IR )(x y) z = xz + yz Selidiki sifat di IR (Apakah operasi biner, assosiatif, komutatif, distributif, dan hubungannya dengan bentuk [x, y]. Beri penjelasan) 5. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x 2 1 dan p 2 = 2y 2 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi! 6. Bilangan bulat n dikatakan berbentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat k sedemikian hingga n = k 2. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan asli. Buktikan xy + 1, xz + 1, dan yz + 1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika berbentuk kuadrat. (xy + 1)(xz + 1)(yz + 1) 7. Jelaskan konstruksi sistem himpunan bilangan rasional dari sistem himpunan bilangan bulat! 8. Didefinisikan himpunan H sebagai subhimpunan semua bilangan real dengan: H 8.2 x H ( 1 x+1 H x x+1 H) Apakah benar untuk setiap G berlaku jika H G, maka (0, 1) G (Catatan: (0, 1) = {x x real 0 < x < 1}) 9. Buktikan, bahwa bukan bilangan rasional 10. Diketahui H = {n+m 2 m, n bilangan bulat}. Apa yang anda ketahui tentang sistem H terhadap operasi bilangan penjumlahan dan perkalian bilangan, jika dibandingkan dengan sistem bilangan rasional dan bulat? Jelaskan jawaban anda 109

14 12. Diketahui p i adalah bilangan prima ke-i pada himpunan semua bilangan asli. Untuk setiap n IN terdapat..., α 2 (n), α 1 (n) IN {0}, n = p α 1(n) 1 p α 2(n) 2. Didefinisikan relasi R pada himpunan semua bilangan asli IN, dengan definisi nrm ( i)α(n) i α(m) i. Selidiki semua jenis relasi yang dipenuhi oleh R. 13. Jelaskan sistem bilangan kompleks sebagai perluasan bilangan real. 14. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x 2 1 dan p 2 = 2y 2 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi! 15. Jelaskan latar belakang dan konstruksi bilangan real yang bukan bilangan rasional. (Tiga jenis berbeda) 16. Apakah terdapat fungsi f : IN IN yang memenuhi f(f(n)) = f(n + 1) f(n) untuk setiap n IN? Jelaskan! 17. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x 2 1 dan p 2 = 2y 2 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat. Tentukan nilai p yang memenuhi! 18. Bilangan bulat n dikatakan berbentuk kuadrat jika terdapat bilangan bulat k sedemikian hingga n = k 2. Diketahui x, y, dan z adalah bilangan asli. Buktikan xy + 1, xz + 1, dan yz + 1 berbentuk kuadrat jika dan hanya jika berbentuk kuadrat. (xy + 1)(xz + 1)(yz + 1) 19. Diketahui p i adalah bilangan prima ke-i pada himpunan semua bilangan asli. Untuk setiap n IN terdapat..., α 2 (n), α 1 (n) IN {0}, n = p α 1(n) 1 p α 2(n)

15 Didefinisikan relasi R pada himpunan semua bilangan asli IN, dengan definisi nrm ( i)α(m) i α(n) i 2IN 0. Selidiki semua jenis relasi yang dipenuhi oleh R. 111

16 DAFTAR PUSTAKA Webber, GC., 1966, Number System of Analysis, Addison-Wesley Pub. Company, Massachusetts Soehakso, RMJT, 1990, Pengantar Matematika Modern FMIPA UGM Titu, A., Dorin A., and Zuming F, 2007, 104 Number Theory Problems: From the Training of the USA IMO Team, Birkhauser 112