Bentuk Standar dari Linear Programming pada umumnya adalah sebagai berikut: Sumber daya 1 2. n yang ada

Transkripsi

1 Permasalahan dalam linear programming pada umumnya adalah sebagai berikut: Terdapat dua atau lebih produk yang dibentuk dari campuran dua atau lebih bahan. Terdapat mesin atau fasilitas lain yang digunakan dalam manufaktur berbagai macam produk, dan kapasitasnya terbatas, atau bahan pembentuk produk terbatas. Untuk itu, kita harus memperhitungkan keuntungan yang kita dapatkan dalam memproduksi masing masing produk dan keuntungan total yang kita dapatkan. Bentuk Standar dari Linear Programming pada umumnya adalah sebagai berikut: Aktifitas Jumlah sumberdaya Sumber daya. n yang ada A aa aa aan b B ab ab Abn b m am am amn bm Unit aktifitas c c cn Level aktivitas x x xn Maksimalisasi: Z = cx + cx + + cnxn

2 Dengan kendala: aax + aax + + aanxn b abx + abx + + abnxn b amx + amx + + amnxn bm dan, x, x,, xn Contoh: (Maksimalisasi) PT. Mocin Bodong adalah produsen kendaraan bermotor berkualitas ecek ecek dengan banyak lini produk, termasuk becak motor, berbagai jenis skutik dan motor sport. Karena penurunan pendapatan, manajemen perusahaan memutuskan untuk merubah lini produknya. Beberapa produk yang tidak menguntungkan tidak diproduksi lagi, dan keputusan ini akan menyebabkan kapasitas produksi yang ada semuanya digunakan untuk memproduksi salah satu atau kedua produk potensial yang banyak diminta di pasar. Kedua produk tersebut adalah skubek dan skutrail. Dari hasil penelitian manajemen, perusahaan sangat pede untuk bisa menjual semua hasil produksinya yang dihasilkan dengan kapasitas produksinya. PT Mocin Bodong mempunyai 3 pabrik, Pabrik dan digunakan untuk pencetakan body dan spare parts, sedangkan pabrik 3 digunakan untuk perakitan. Profil linear programming nya menjadi sebagai berikut: PT. Mocin Bodong Produk Kapasitas Pabrik Skubek Skutrail Produksi Unit profit 3 5 Maksimalisasi: Z = 3A + 5B

3 Tetapi proses mendapatkan keuntungan sebesar besarnya tersebut mempunyai kendala yang berupa kapasitas produksi dari masing masing pabrik, dimana pabrik membutuhkan unit satuan bahan baku untuk suku cadang A dan kapasitas produksinya adalah 4. Pabrik membutuhkan unit satuan bahan baku untuk suku cadang B dan kapasitas produksinya adalah. Sedangkan pabrik 3 membutuhkan 3 satuan waktu untuk merakit A dan satuan waktu untuk merakit B dan kapasitas produksinya adalah 8. Dapat kita bentuk model sebagai berikut: A = 4 () B = () 3A + B = 8 (3) Persamaan linear sederhana dapat kita kerjakan sebagai berikut: Hitungan : Hitungan : (3) 3A + B = 8 x 3A + B = 8 (3) 3A + B = 8 () A = 4 x 3 3A = () B = B = 6 3A = 6 B = 3 A = 3A + (3) = 8 3 () + B = 8 3A = B = A = 4 B = 6 Z = 3 (4) + 5 (3) Z = 3 () + 5 (6) Z =.7 Z = 3.6 Dari kedua perhitungan tersebut kita mendapatkan hasil yang berbeda, dengan hambatan yang ada, ada kemungkinan produksi, yaitu:. Produksi A = 4 dan B = 3, dengan profit sebesar.7.. Produksi A = dan B = 6, dengan profit sebesar 3.6. Secara logis kita akan memilih alternatif kedua yang menghasilkan profit lebih tinggi, yaitu dengan memproduksi A sebanyak unit dan B sebanyak 6 unit, dengan total keuntungan sebesar 3.6.

4 3 Soal-soal:. Sebuah pabrik pembuat boneka akan memproduksi boneka Si Unyil dan Pak Ogah dengan menggunakan dua mesin. Waktu yang diperlukan untuk memproduksi kedua boneka ini dapat dilihat pada tabel berikut: Jenis Waktu yang dibutuhkan untuk membuat Sebuah Boneka (menit) Boneka Mesin I Mesin II Si Unyil Pak Ogah Mesin I dan mesin II masing masing beroperasi 8 jam per hari. Jika pabrik tersebut menjual boneka Si Unyil dan boneka Pak Ogah dengan keuntungan masing masing Rp. dan Rp 8.5 per buah, buatlah model matematika dari permasalahan ini agar pabrik tersebut dapat memperoleh keuntungan sebesar besarnya!. Dengan modal Rp 45., Pak Jupri membeli pepaya seharga Rp. dan jeruk seharga Rp 3.5 per kilogram. Buah buahan ini dijualnya kembali dengan menggunakan gerobak yang dapat memuat maksimum 3 kg. Jika keuntungan dari penjualan pepaya Rp 5 per kilogram dan dari penjualan jeruk Rp. per kilogram, tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh Pak Jupri!

5 Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memiliki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya digunakan Metode Simpleks. Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar (yang bukan secara grafik) untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimasi yang terkendala. Perhitungan dalam metode simpleks didasarkan pada aljabar matriks, terutama mencari invers matirks untuk penyelesaian persamaan linier simultan, oleh karena itu penyelesaian optimal dengan metode simpleks diawali pengubahan kendala pertidaksamaan menjadi persamaan. Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks dilakukan dengan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum Persyaratan Metode Simpleks Terdapat tiga persayaratan untuk memecahkan masalah linier programing, yaitu: a. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi persamaan. b. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh ada nilai negatif. c. Semua variabel dibatasi pada nilai non negatif.

6 5 Penulisan Standar dari Metode Simpleks Berdasarkan ketiga persyaratan di atas, maka kita dapat menulis bentuk standar dari metode simpleks sebagai berikut: Fungsi Tujuan Maksimisasi Sebagai contoh untuk dua variabel dan dua kendala: Maksimumkan: Z = C + C Dengan Kendala: a a a a K dan K Bentuk standar metode simpleks di atas dapat ditulis menjadi: a. Fungsi tujuan bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit. -Z + C + C = b. Kendala bentuk pertidaksamaan (tanda ) diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack pada ruas kiri, sehingga menjadi: a a a a dimana: S dan S adalah variabel slack (non negatif). c. Dalam notasi matriks, kita peroleh: S S K K C a a a a C K S K S

7 6 d. Tabel Simpleks Pertama Variabel Dasar Z S S Nilai kanan (konstanta) Z - +C +C S a a K S a a K Fungsi Tujuan Minimalisasi Minimumkan: C = c + c Dengan kendala: a a a a K dan K Bentuk standar metode simpleks dapat ditulis menjadi: a. Fungsi tujuan semula bentuk eksplisit diubah menjadi bentuk implisit: - C + c + c = b. Kendala pertidaksamaan (tanda ) Diubah menjadi persamaan dengan cara dikurangi variabel slack kemudian ditambah variabel buatan: a + a S + A = K a + a - S + A = K dimana: S dan S adalah variabel slack A dan A adalah variabel buatan c. Dalam notasi matriks, kita peroleh:

8 7 d. Tabel Simpleks Pertama Contoh-contoh:. Masalah Maksimalisasi Dengan Kendala Bentuk Baku (Semua Kendala Bertanda ): Maksimumkan Z = Dengan kendala: Variabel Dasar C S S A A Nilai kanan (konstanta) S S - +c +c a a - a a - K K a a a a c c K K A A S S C dan

9 8 Langkah Membentuk Tabel Simpleks I: a. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit: - Z = b. Karena masalah maksimalisasi, maka kendala ditambah variabel slack: 3 4 S S S c. Tabel Simpleks I (awal) Variabel Dasar Z S S S3 Nilai kanan (konstanta) Baris = Z Baris = S Baris 3 = S Baris 4 = S Kolom kunci adalah kolom dan Baris kunci adalah baris 3. Langkah Membentuk Tabel Simpleks II: a. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada angka positif terbesar dalam baris pertama, yaitu kolom. b. Baris kunci adalah: Baris = Nilai kanan ( NK ) Angka kolom kunci ( AKK ) 4 Baris 3 = Nilai kanan Angka kolom kunci 6 8 positif terkecil

10 9 Baris 4 = Nilai kolom Angka kolom kunci 7 7 Baris kunci adalah baris 3. c. Baris kunci baru (baris 3 baru): Baris kunci lama: Z S S S3 NK 6 Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci ½ ½ 8 d. Baris lain yang baru Baris () Baru = Baris () lama (Baris kunci baru x 8) Baris () Baru = Baris () lama (Baris kunci baru x ) Baris (4) Baru = Baris (4) lama (Baris kunci baru x ) e. Tabel Simpleks II Variabel Dasar Z S S S3 Nilai Kanan Baris () = Z Baris () = S Baris (3) = Baris (4) = S ½ ½ 3,5 -½ Langkah Membentuk Tabel Simpleks III: a. Kolom kunci = Kolom b. Baris kunci =

11 NK 8 Baris = 4 positif AKK NK 8 Baris 3 = 6 AKK / NK 9 Baris 4 = 5, 43 AKK 3,5 terkecil Baris kunci adalah baris. c. Baris kunci baru (baris baru) = Z S S S3 NK ½ -½ 4 d. Baris lain yang baru = Baris () Baru = Baris () lama (Baris kunci baru x 3) Baris (3) Baru = Baris (3) lama (Baris kunci baru x ½) Baris (4) Baru = Baris 94) lama (Baris kunci baru x 3,5) e. Tabel Simpleks III Variabel Dasar Baris () = Z Baris () = Baris (3) = Baris (4) = S3 Z S S S ½ -½ -/4 ¾ -7/4 5/4 Nilai Kanan Karena pada baris () tidak ada lagi yang bernilai positif, penyelesaian optimal selesai. = 6 ; = 4 ; - Z = -76. Z = 76.

12 Soal-soal:. Fungsi tujuan, maksimumkan: Z = Kendala: a. <= 8 b. 3 <= 5 c <= 3. Maksimumkan: Z = Fungsi kendala: a <= b. 4 + <= 8 c. <= 5 d. <= 3. Masalah Minimalisasi Dengan Kendala Bentuk Baku (Semua Kendala Bertanda ): Minimumkan: C = Kendala: Dan, Penyelesaian: Langkah membentuk Tabel Simpleks I:. Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala: Minimisasi: C = MA+ MA Kendala : + S + A = S+ A = 4 Keterangan: S, S: Variabel Slack A,A: Variabel Buatan

13 . Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk pada Tabel Simpleks I, karena nilai M akan dianggap Nol. a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit -C M + M = b. Penyesuain Fungsi Tujuan: Fungsi Tujuan S S A A NK Cj-Zj 6 4 M M Kendala () x M M M -M M 3M Cj-Zj (6-M) (4-M) M M -3M Kendala () xm M 4M -M M 4M Cj-Zj (6-M) (4-6M) M M -7M (nilai M =) c. Tabel Simpleks I Variabel Dasar S S A A NK Cj-Zj (6-M) (4-6M) M M A - 3 A 4-4 Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:. Kolom Kunci: Kolom (Negatif terkecil). Baris Kunci: Baris 3: NK/AKK = 3/ =,5 Baris 3: NK/AKK = 4/4 =...Baris Kunci 3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK); 4. Baris lain (Baris dan Baris ) yang baru; 5. Tabel Simpleks II:

14 3 Variabel Dasar S S A A NK Cj-Zj (-/M) M (6-/M) (-6+3/M) (-4+6M) A ½ - ½ -/ A... ¼ -/4 /4 Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:. Kolom Kunci: Kolom (Negatif terkecil). Baris Kunci: Baris : NK/AKK = /(/)=..Baris Kunci Baris 3: NK/AKK = /(/4) = Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK); 4. Baris lain (Baris dan Baris 3) yang baru. 5. Tabel Simpleks III: Variabel Dasar S S A A NK Cj-Zj M 6 (-6+M) (-4+7M) A ½ -/ -/4 /4 / Titik Optimal: = ; = ½; -Zj = -4+7M... Zj=C= 4.

15 Pendahuluan Persoalan transportasi merupakan bentuk khusus pemrograman linier yang membahas masalah pendistribusian atau pengalokasian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination, demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi. Beberapa jenis persoalan pemrograman linier dipecahkan dengan menggunakan prosedur perhitungan yang lebih efisien bila dibandingkan metode simpleks, salah satu diantaranya adalah metode transportasi. Persoalan transportasi pada umumnya terpusat pada pemilihan rute dalam jaringan distribusi produk antara pusat industri (pabrik) dan distribusi gudang atau antara distribusi gudang regional dan distribusi lokal (pasar). Selain itu juga dapat berupa penggabungan dari kedua jaringan distribusi tersebut, yaitu pendistribusian dari pusat ke gudang diteruskan distribusi ke distribusi pengeluaran lokal (pasar). Selain masalah-masalah pendistribusian, model transportasi dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah penjadualan produksi dan juga masalah inventory. Dalam menggunakan metode transportasi ini pihak manajemen/perusahaan mencari rute pendistribusian barang/produk yang nantinya akan dapat mengoptimalkan suatu tujuan tertentu dari perusahaan yang bersangkutan. Misalnya tujuan untuk meminimumkan total biaya transportasi, meminimumkan waktu yang digunakan dalam pendistribusian, atau tujuan memaksimumkan laba. Persoalan transportasi mempunyai ciri-ciri khusus sebagai berikut:. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan tertentu. Kuantitas komoditas atau barang yang distribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

16 5 3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber. 4. Ongkos pengakutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu. Model Transportasi Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut: Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan. Gambar.. Model Transportasi - Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai, i =,, 3,...,m - Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj j =,, 3,.,n. - Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah sebanyak xij. - Ongkos pengiriman per unit dari sumber I ke tujuan j adalah cij

17 6 Dengan demikian, maka formulasi pemrograman liniernya adalah sebagai berikut: m n Minimumkan: z = c x ij i j ij Berdasarkan pembatas: n x j ij a i, i,,..., m m x a i ij x ij, j i,,...,n untuk seluruh i dan j Sebagai ilustrasi, jika ada buah sumber dan 3 tujuan (m =, n = 3) Formulasi: Gambar.. Ilustrasi Model Transportasi Minimumkan: z = c.x + c.x + c3. x3 + c.x + c.x + c3.x3 Berdasarkan pembatas: x + x + x3 = a Pembatas sumber x + x + x3 = a x + x = b x + x = b Pembatas tujuan x3 + x3 = b3

18 7 Sedangkan tabel pemrograman liniernya adalah: z x x x3 x x x3 Solusi Persamaan tujuan -c -c -c3 -c -c -c3 Pembatas a Sumber a Pembatas b Sumber b b3 Tabel.. Tabel pemrograman linier model Transportasi Semua koefisien teknologis akan berharga nol atau satu (lihat tabel di atas), dan n i merupakan karakter/sifat model transportasi. Dari tabel di atas kita juga tidak dapat melihat solusi awal secara jelas, karena itu pada persoalan transportasi tidak lagi digunakan tabel seperti itu, tetapi diganti dengan tabel sebagai berikut: Tujuan (j) 3 c c c3 Sumber (i) x x x3 c c c3 x x x3 Demand b b b3 Supply Tabel.. Tabel matriks persoalan transportasi Dengan demikian, walaupun persoalan transportasi ini dapat diselesaikan dengan metode simpleks, tetapi karena sifat-sifatnya yang khusus itu, maka dapat disusun suatu prosedur yang jauh lebih sederhana, yang secara sepintas lalu seakan-akan tidak ada hubungannya dengan metode simpleks. Keseimbangan Dalam Model Transportasi Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply (sumber) sama dengan total demand (tujuan). Dengan kata lain: m n ai bj i j a a

19 8 Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi; atau dengan kata lain, jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model persoalannya disebut sebagai model yang tidak seimbang (unbalanced). Batasan di atas dikemukakan hanya karena ia menjadi dasar dalam pengembangan teknik transportasi. Namun, setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang dengan cara memasukan artificial variable (semu). Dimana jika jumlah demand melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply kurangan tersebut, yaitu sebanyak: jb j i a i Sebaliknya, jika jumlah supply melebihi jumlah demand, maka dibuat suatu tujuan dummy untuk menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak: i b i j a j Ongkos transportasi per unit (cij) dari sumber dummy keseluruh tujuan adalah nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi pengiriman. Begitu pula dengan ongkos transportasi per unit (cij) dari semua sumber ke tujuan dummy adalah nol. Jika pada persoalan transportasi dinyatakan bahwa dari sumber ke k tidak dilakukan atau tidak boleh terjadi pengiriman ke tujuan ke, maka nyatakanlah ck dengan suatu harga M yang besarnya tidak terhingga (ingat teknik M pada metode simpleks). Hal ini dilakukan agar dari k ke itu benar-benar tidak terjadi pendistribusian komoditas. Metode Pemecahan Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan langkahlangkah sebagai berikut:. Tentukan solusi fisibel basis awal,. Tentukan entering variable dari variable-variabel nonbasis, bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimum, STOP, bila belum, lanjutkan ke langkah Tentukan leaving variable diantara variabel-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang baru. Kembali ke langkah.

20 9 Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal Terdapat tiga metode yang biasa digunakan untuk menentukan solusi fisibel basis awal: a. Metode pojok kiri atas-pojok kanan bawah (North West Corner) Caranya adalah sebagai berikut: Mulai dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar x = min (a,b). Artinya: jika b < a maka x = b ; jika b > a, maka x = a. Kalau x = b, maka selanjutnya yang menjadi yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x sebesar min(a b,b); kalau x = a (atau b > a), maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x sebesar min(b-a, a), demikian seterusnya. b. Metode ongkos terkecil (Least Cost) Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengalokasian pada tempat yang mempunyai satuan ongkos terkecil. Dengan mengambil ongkos terkecil. c. Metode pendekatan Vogel (Vogel s approximation method, VAM) Cara ini merupakan cara yang terbaik di bandingkan dengan kedua cara diatas. Langkah-langkah pengerjaannya adalah:. Hitung Penalty untuk tiap kolom dan baris dengan jalan mengurangkan elemen ongkos terkecil dari yang kedua terkecil.. Selidiki kolom atau baris dengan Penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuiakan supply dengan demand, kemudian tandai kolom atau baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada buah kolom atau baris yang terpenuhi secara simultan, pilih salah satu untuk di tandai, sehingga supply atau demand pada baris atau kolom yang tidak terpilih adalah. Setiap baris atau kolom denagan supply atau dimana =, tidak akan terbawa lagi dalam perhitungan Penalty berikutnya. 3. Selanjutnya: a) Tinggal satu kolom atau baris yang belum di tandai, STOP. b) Bila tinggal satu kolom atau baris dengan supply atau demand positif yang belum di tandai, tentukan variabel basis pada kolom atau baris dengan cara ongkos terkecil. c) Bila semua baris dan kolom yang belum di tandai mempunyai supply dan diman =, tentukan varibel-varibel basis yang berharga dengan cara ongkos terkecil kemudian STOP.

21 d) Jika 3a, b, dan c tidak terjadi hitung kembali Penalty untuk baris dan kolom yang belum di tandai kembali ke no.. Menentukan Entering Variabel dan Leaving Variabel Menentukan Entering dan Leaving Variable adalah tahap berikutnya dari teknik pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi visible basis awal diperoleh. Ada cara yang bisa dipergunakan dalam menetukan Entering dan Leaving Variable yaitu dengan menggunakan metode Stepping Stone atau metode Multipliers. a. Metode Stepping Stone Untuk menentukan entering dan leaving variabel ini, terlebih dahulu harus di buat suatu loop tertutup bagi setiap variabel non basis loop tersebut berawal dan berakhir pada variable nonbasis tadi, dimana tipa sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabelvariabel basis dalam tabel transportasi. b. Metode multiplier Cara ini iterasinya sama seperti Stepping Stone. Perbedaan utama terjadi pada cara pengevaluasian variabel non basis, atau penentuan penurunan ongkos transport per unit untuk tiap variabel. Cara ini dikembangkan berdasarkan teori dualitas. Untuk tiap basis I dari tabel transformasi di kenal sutu Multiplier u, dan untuk kolom j disebut mulitiplier v sehingga untuk tiap variabel basis j i ij didapat persamaan: uj + vj + cij Dari persamaan di atas kita dapat menghitug beberapa penurunan ongkos transportasi perunit untuk tiap variabel nonbasis xij sebagai berikut: cij = xij ui - vj Langkah selanjutnya adalah seperti iterasi yang dilakukan oleh metode stepping stone.

22 Contoh: Sebuah perusahaan mempunyai tiga buah tempat perakitan mobil di A, B, dan C. Perusahaan tersebut mempunyai buah pusat distribusi di D dan E. Kapasitas produksi A, B, dan C untuk periode yang akan datang adalah, 5, dan unit, sedangkan permintaan pusat distribusi D dan E untuk periode yang akan datang adalah 3 dan 4 unit. Biaya pengangkutan per unit dari A, B, dan C ke D dan E adalah seperti pada tabel. D E A 8 5 B 8 C 68 Total Suplai = = 37 Total permintaan = = 37 model dalam keadaan seimbang Model Pemrograman Linier dari persoalan tersebut: Fungsi tujuan: min. Z = 8x+5x+x+8x+x3+ 68x3 Kendala Sumber: x + x = x + x = 5 x3 + x3 = Kendala Tujuan: x + x + x3 = 3 x + x + x3 = 4 xij i =,,3 j =, Jika kita selesaikan dengan metode simpleks maka kita membuat tabel simpleks yang jumlah kolomnya adalah sebanyak i x j (jumlah variabel keputusan) + i + j (jumlah variabel buatan), sedangkan jumlah baris kendala dan baris tujuan dan i + j baris kendala

23 V.D. x x x x x 3 x 3 R R R 3 R 4 R 5 R.K. Z M M M M M M 74M R R 5 R 3 R 4 3 R 5 4 Persoalan seperti ini lebih efektif diselesaikan dengan teknik transportasi. Sekarang kita tulis persoalan tersebut dengan tabel transportasi. Kita jadikan kotak yang besar tempat variabel xij dan kotak yang kecil tempat biaya transportasi Cij. Jumlah permintaan 8 5 x x 8 x x 5 68 x3 x3 3 4 Jumlah suplai: Kita tidak selalu mempunyai jumlah sumber yang sama dengan jumlah tujuan. Agar kita dapat menyelesaikan dengan teknik transportasi maka model dibuat seimbang. - Jika kelebihan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menampung kelebihan suplai yang permintaannya = a i b j - Jika kekurangan suplai maka tambahan tujuan semu yang akan menyuplai kekurangan tersebut yang kapasitasnya = b j ai

24 3 Contoh.a: Seperti halnya contoh akan tetapi sumber jumlah suplainya 3 dan bukan x x 8 3 x x 68 x 3 x 3 x Contoh.b: Seperti halnya contoh akan tetapi tujuan jumlah permintaannya 9 dan bukan x x x 3 8 x x x 3 68 x 3 x 3 x Sebenarnya tidak ada barang yang dikerjakan dari Sumber Semu ke semua Tujuan atau dari semua Sumber ke Tujuan Semu. Dengan demikian biaya transportasi dari Sumber Semu atau ke Tujuan Semu adalah nol, kecuali: - Jika ada penalti atas pengiriman dari sumber semu atau pengiriman ke tujuan semu. - Biaya tersebut dapat berupa biaya persediaan pada sumber yang mengirim ke tujuan semu atau biaya penalti atas kekurangan suplai. Contoh: Dari persoalan pada contoh b di atas, sumber dan 3 memberikan biaya persediaan atas kelebihan barang sebesar $ 5 per unit, sedangkan sumber

25 4 tidak tidak mau kelebihan suplai (terdapat sisa) maka kita beri biaya yang besar sekali (dalam persoalan ini kita beri biaya sebesar M (bilangan yang besar sekali), maka tabelnya menjadi: x x x 3 8 M x x x x 3 x 3 x Model Produksi Persediaan Model transportasi dapat digunakan untuk memecahkan persoalan produksi-persediaan. Contoh: PT. Alfa untuk 4 bulan yang akan datang memperoleh permintaan sebanyak, 4, 3, 5. Oleh karena peralatan produksinya juga dipakai untuk memproduksi barang lain, maka jumlah produksi untuk 4 bulan yang akan datang adalah, 35, 4,. Permintaan pada suatu bulan dapat dipenuhi oleh: Produksi pada bulan tersebut Kelebihan produksi dari bulan sebelumnya yang disimpan sebagai persediaan. Produksi dari bulan berikutnya. Di sini merupakan suplai yang terlambat. Pada persoalan ini: Biaya produksi adalah $4/unit Biaya persediaan adalah $.5/unit/bulan Biaya penalti adalah $/unit/bulan Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan model transportasi.

26 5 Model Transportasi Model Produksi Persediaan i : sumber tujuan bulan produksi i j : tujuan j bulan permintaan j c ij : biaya transportasi biaya produksi + penalti + persediaan / unit a I : jumlah suplai jumlah produksi bulan produksi i b j : jumlah permintaan jumlah permintaan bulan persediaan j Bulan produksi Bulan permintaan x :c 35 x :c 4 x 3 :c x 4 :x dengan : xij = jumlah jumlah suplai bulan produksi i untuk memenuhi permintaan bulan permintaan j cij = biaya produksi + persediaan + penalti Jika i = j i > j i < j cij = biaya produksi cij = biaya produksi + biaya penalti cij = biaya produksi + biaya persediaan

27 x x x3 x x x x3 x x3 x3 x33 x x4 x4 x Contoh: Sebuah perusahaan mengoperasikan sebuah pengergajian. Kebutuhan mata gergaji yang tajam bervariasi setiap harinya tergantung jenis kayu yang dipotong seperti pada tabel berikut: Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jum at Sabtu Minggu Kebutuhan gergaji (unit) Perusahaan tersebut dapat memenuhi kebutuhan gergaji yang tajam dengan cara berikut:. Membeli gergaji baru dengan harga Rp.. per unit.. Mengasah gergaji yang telah dipakai yang selesai dalam waktu semalam dengan biaya sebesar Rp. 6. per unit. 3. Mengasah gergaji yang telah dipakai yang selesai dalam waktu dua hari dengan biaya sebesar Rp. 3. per unit. Buatlah model transportasi untuk menentukan berapa banyak gergaji yang harus dibeli, yang diasah selesai dalam waktu semalam dan yang selesai dalam waktu dua hari. Penyelesaian: Persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan model transportasi dengan 8 sumber dan 7 tujuan. Sumber dari persoalan ini adalah sumber pertama yaitu gergaji yang dibeli. Pada kondisi ekstrim jumlah yang dibeli adalah keseluruhan gergaji yang dibutuhkan yaitu total sebanyak 4 unit,

28 7 sedangkan sumber ke sampai sumber ke 8 sebanyak hari produksi (7 hari) di mana besarnya adalah sebanyak mata gergaji yang telah dipakai pada hari-hari tersebut. Sedangkan tujuannya adalah permintaan/kebutuhan pada hari pertama sampai dengan hari ke tujuh. Oleh karena model tidak dalam keadaan seimbang, di mana terdapat kelebihan suplai maka ditambahkan tujuan semu yang akan menampung kelebihan supai tersebut, sehingga sekarang jumlah tujuan menjadi 8. Biaya transportasi dari persoalan ini adalah Rp.., Rp. 6. dan Rp. 3., yaitu biaya pembelian mata gergaji yang baru, mata gergaji yang diasah dan selesai dalam malam dan mata gergaji yang selesai diasah dalam waktu dua hari. Biaya transportasi pada baris adalah Rp.. yaitu biaya pembelian gergaji baru, sedangkan biaya sebesar Rp. 6. adalah biaya dari mata gergaji yang dipakai pada hari ke i yang diasah dalam waktu semalam yang dapat dipakai kembali pada hari ke i + dan hari ke i +, Biaya sebesar Rp. 3. adalah biaya dari mata gergaji yang dipakai pada hari ke i yang selesai diasah setelah hari yang dapat dipakai pada hari ke i + 3 dan hari berikutnya. Dengan demikian model transportasi dari persoalan ini adalah: Senin Selasa Rabu Kamis Jum at Sabtu Minggu Semu 4 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M 6 4 M M M M M M M