PENERAPAN METODE REGRESI KUANTIL PADA KASUS PELANGGARAN ASUMSI KENORMALAN SISAAN. Ferra Yanuar, Hazmira Yozza dan Izzati Rahmi

Transkripsi

1 PENERAPAN METODE REGRESI KUANTIL PADA KASUS PELANGGARAN ASUMSI KENORMALAN SISAAN Ferra Yauar, Hazmira Yozza da Izzati Rahmi Jurusa Matematika Uiversitas Adalas ABSTRACT Quatile regressio is a regressio method with the approach of separatig or dividig the data ito ay particular quatiles. The method is by miimizig the absolute weighted residual asymmetric ad estimate the quatile fuctios coditioal o distributio of data. Quatile regressio parameter estimatio does ot require parametric assumptios. This study aims to apply the quatile method for data that violates the assumptio of residual ormality. Small size of data were geerated from various distributio which residual desiged with chi squared distributio. This study resulted mayproposed models that divided over several quatiles selected. The values of regressio coefficiet estimatio were close to the iitial value. This study foud that the proposed model was good eough ad could be accepted. Keywords: Quatile Regressio, Residual Normality, Regressio Coefficiet PENDAHULUAN supaya didapatka peduga parameter yag Aalisis regresi adalah metode bersifat BLUE (Best Liier Ubiased statistika yag bertujua utuk memodel Estimator). Tetapi metode ii sesitif ka hubuga atara variabel tak bebas (Y terhadap peyimpaga asumsi tersebut, ) dega satu atau lebihvariabel bebas (X) misalya data tidak memeuhi asumsi dalam suatu sistem. Hubuga atara keormala, varias data tak homoge variabel-variabel tersebut biasaya di (heteroskedastisitas), terdapat masalah yataka dalam suatu model regresi yag multikoliearitas, autkorelasi da sebagai secara umum diyataka sebagai Y = f(x) + ya. Pada data yag memiliki masalah e, dega e meyataka kompoe sisaa tersebut tidak bisa diterapka metode MKT (error). Model tersebut meghubugka utuk meduga parameter modelya. variabel bebas da variabel tak bebas Metode regresi media kemudia melalui suatu parameter yag diamaka mucul utuk megatasi kelemaha MKT, sebagai parameter regresi diotasika metode ii meggati pedekata rataa dega β. pada MKT mejadi media. Hal ii Utuk meduga ilai parameter dilakuka dega mempertimbagka regresi ii biasaya diguaka metode apabila data berbetuk loceg atau tidak kuadrat terkecil (MKT), dimaa prisip simetris. Tetapi pada keyataaya, kerjaya adalah memiimumka jumlah pedekata regresi media juga diaggap kuadrat sisaa ilai observasi terhadap ratarataya. Metode MKT ii dapat diterapka kurag iformatif karea regresi ii haya melihat pada dua kelompok data. Padahal jika beberapa asumsi terpeuhi, seperti ada kemugkia data bisa terbagi mejadi asumsi keormala, o-multikolieritas, lebih dari dua kelompok, sehigga kehomogea ragam sisaa da o-auto berkembaglah metode regresi kuatil (Wu korelasi. Semua asumsi harus terpeuhi & Liu, 2009; Yauar, 203). EKSAKTA Vol. Tahu XVII Februari

2 Metode regresi kuatil ii merupa ka salah satu metode regresi dega pedekata memisahka atau membagi data mejadi kuatil-kuatil tertetu, dega memiimumka sisaa mutlak berbobot yag tidak simetris da meduga fugsi kuatil bersyarat pada suatu sebara data. Artikel ii bertujua meeragka tetag peerapa metode regresi kuatil dalam meduga parameter model utuk data yag tidak memeuhi asumsi keormala sisaa dega megguaka data simulasi yag berukura kecil. METODE PENELITIAN Data yag diguaka dalam kajia ii adalah data bagkita dega sisaaya tidak berdistribusi ormal, sesuai dega tujua utama dari kajia ii yaitu meerapka pegguaka regresi kuatil pada sekelompok data yag tidak memeuhi asumsi keormala sisaa. Data kajia ii terdiri dari tiga variabel idepede (X, X 2 da X 3 ) da satu variabel depede (Y), dimaa variabel idepede ( X, X 2 da X 3 ) bersifat stokastik (tidak determiistik). Variabel idepede, X da X 2 meyebar meurut sebara t dega derajat kebebasa, atau X da X 2 ~ t (). Variabel idepede, X 3 meyebar meurut sebara ormal baku atau X 3 ~N(0,), sedagka variabel depede (Y) ditetapka ilai Y = X + X 2 + e, dega e ~ 2 (). Selajutya sebayak 20 buah data dibagkitka utuk setiap variabel. Utuk membagkitka da aalisa data, kajia ii megguaka batua software R Adapu metode aalisis yag diguaka adalah regresi kuatil karea metode secara teoriya mampu megatasi pelaggara asumsi keormala (Davio et al., 204). Regresi kuatil merupaka tekik statistika yag diguaka utuk meduga hubuga atara peubah tak bebas dega peubah pejelas pada fugsi kuatil bersyarat tertetu. Seperti pada metode kuadrat terkecil, yag memiimum ka jumlah kuadrat galat da meduga model dega megguaka fugsi ratarata bersyarat, regresi kuatil memiimum ka galat mutlak berbobot yag tidak simetris da meduga fugsi kuatil ber syarat pada suatu sebara data. Suatu peubah acak Y dega fugsi sebara peluag F (Y) =P(Y y), di maa utuk setiap 0 < τ <, terdapat fugsi ivers, F = iv{y: F y (y X) τ} yag merupaka kuatil ke-τ dari Y. Jika ratarata cotoh merupaka solusi dari masalah: mi μ R (y i μ) 2 maka utuk μ(xi) = x i β yag merupaka rata-rata bersyarat dari y dega x diketahui, ilai β dapat diduga dega meyelesaika: mi β R (y i x i β) 2 Selajutya model berkembag mejadi media cotoh yag diyataka: mi β R y i x i β Berdasarka kosep media estimasi bagi β dari regresi kuatil ke-τ diperoleh dega memiimumka jumlah ilai mutlak dari galat dega pembobot τ utuk galat positif da pembobot ( -τ) utuk galat egatif yaitu (Yauar, 203; Betzie& Friederichs, 204) : mi β R τ y i x i β iεi y i x i β + mi β R ( iεi y i <x i β τ) y i x i β Atau dapat ditulis lagi mejadi : mi β R ρ τ (y i Q τ (Y X)) 34 Ferra Yauar

3 Dega : meyataka ideks kuatil (0, ) ρ τ merupaka loss fuctio yag asimetrik Q τ (Y X) = x i β, yaitu fugsi kuatil ke- dari Y dega syarat X Adapu idikator kebaika model dilihat dari ilai R 2 (koefisie determiasi) yag dihasilka utuk setiap kuatil (Furo, 204). HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Peelitia Pada bagia ii aka diuraika hasil aalisis data dega megguaka metode kuatil sebagaimaa yag diuraika pada bagia Data da Metode di atas. Tabel di bawah ii meampilka hasil pedugaa parameter model, yaitu β 0, β, β 2 da β 3 dega megguaka data hasil bagkita utuk kuatil ke- = 0,05, 0,25, 0,50, 0,75 da 0,95. Tabel. Nilai Parameter Dugaa dega Regresi Kuatil Kuatil ke- Parameter Nilai Dugaa Nilai p R β 0 0,0069 0,542 0,9439 β 0,9957 0,000 β 2 0,9957 0,000 β 3 0,9639 0, β 0 0,0465 0,305 0,923 β,0097 0,000 β 2 0,9503 0,000 β 3 0,974 0, β 0 0,304 0,07 0,8966 β,0029 0,000 β 2 0,962 0,000 β 3,0227 0, β 0 0,520 0,039 0,8639 β 0,995 0,000 β 2 0,8859 0,000 β 3,0045 0, β 0 0,6079 0,000 0,82 β,0042 0,000 β 2 0,803 0,000 β 3 0,8940 0,05 Berdasarka tabel diketahui bahwa semua ilai koefisie regresi utuk semua kuatil terpilih adalah sigifika pada taraf keyakia 95% (karea ilai p kurag dari 0,05), ilai β 0 tidak diperhitug ka. Hal ii berarti bahwa pada model dugaa yag diperoleh, ketiga variabel idepede ( X, X 2 da X 3 )sigifika mempegaruhi variabel depede (Y), pada semua ilai kuatil terpilih. Tabel juga megiformasi ka adalah bahwa ilai koefisie model (β,β 2 EKSAKTA Vol. Tahu XVII Februari

4 Dugaa parameter Dugaa parameter Dugaa parameter da β 3 ) pada kuatil ke 0,05 masigmasig adalah 0,9957, 0,9957 da 0,9639. Ketiga ilai tersebut telah cukup dekat dega ilai awal yag ditetapka yaitu utuk ketiga ilai parameter. Hasil yag sama juga diperoleh pada kuatil ke 0,25; 0,50; 0,75 da 0,95. Tre perubaha ilai koefisie regresi ( β, β 2 da β 3 ) utuk semua kuatil terpilih diilustrasika pada Gambar Gambar a. Koefisie β Gambar b. Koefisie β Gambar c. Koefisie β 3 Gambar. Nilai Dugaa Koefisie Regresi utuk Setiap Kuatil: Tabel juga megiformasika ilai R 2 utuk setiap model dugaa pada semua ilai kuatil terpilih, yaitu terdapat pada kolom palig kaa. Aalisis ii meg hasilka ilai R 2 cukup besar yaitu di atas 80%, dega ilai R 2 terbesar adalah pada model dugaa pada kuatil ke-0,05. Sebagaimaa diketahui bahwa ilai R 2 ii juga meyataka besarya kebaika suatu model dugaa. Dega cara ii semua model dugaa yag dihasilka dari metode kuatil ii sudah memeuhi kriteria kebaika model. Gambar 2 meg ilustrasika perubaha ilai R 2 utuk setiap ilai kuatil yag diamati. Dapat terlihat bahwa ada kecedruga peurua ilai R 2 dega bertambahya ilai kuatil, tetapi peuruaya kecil. 36 Ferra Yauar

5 R Gambar 2. Nilai Dugaa R 2 utuk Setiap Kuatil. KESIMPULAN Artikel ii bertujua meujukka peerapa metode regresi kuatil pada data yag melaggar asumsi keormala sisaa. Regresi kuatil merupaka metode peduga parameter regresi dega pedekata memisahka atau membagi data mejadi kuatil-kuatil tertetu. Metode pedekatayag dilakuka adalah dega memiimumka sisaa mutlak berbobot yag tidaksimetris da meduga fugsi kuatil bersyarat pada sebara data tersebut. Data simulasi yag diguaka pada kajia ii dibagkitka dari berbagai distribusi dega sisaaya berdistribusi chi kuadrat. Kajia ii meghasilka beberapa model dugaa yag dibagi-bagi atas beberapa kuatil terpilih. Koefisie regresi dugaa pada berbagai kuatil terpilih meghasilka ilai dugaa hampir medekati ilai awal yag ditetapka. Nilai R 2 utuk setiap model dugaa juga cukup baik yaitu di atas 80%, artiya keragama respo dapat diteragka oleh model dugaa sebesar lebih dari 80%. Hal ii megidikasika bahwa model dugaa yag dihasilka utuk setiap kuatil adalah cukup baik, dega demikia model dugaa tersebut dapat diterima. DAFTAR PUSTAKA Betzie, S & Friederichs,P Decompositio ad graphical portrayal of the quatile score. Quarterly Joural of the Royal Meteorological Society, 40 (683) : Davio, C., Furo, M. & Vistocco, D Quatile Regressio Theory ad Applicatios. Joh Wiley & Sos, Ltd. Furo M. 20.Goodess of Fit ad Misspecificatio i Quatile Regressio. Joural Of Educatioal Ad Behavioral Statistics, 36 (): 05-3 Wu, Y. & Liu, Y Variable Selectio i Quatile Regressio. Statistica Siica, 9: Yauar, F Quatile Regressio Approach to Determie the Idicator of Health Status. Scietific Research Joural, : EKSAKTA Vol. Tahu XVII Februari