KETEGARAN UJI-t TERHADAP KETIDAKNORMALAN DATA

Transkripsi

1 KETEGARAN UJI-t TERHADAP KETIDAKNORMALAN DATA Agus Satoso Uiversitas Negeri Yogyakarta ABSTRACT t-test used to test meas of two populatios assumes that each populatio is ormally distributed. Theoretically, violatio of the assumptio makes the result of the test ivalid. This research evaluates the robustess of the t-test o various value of sample size usig three types of distributio: ormal, symmetric o-ormal, ad ot symmetric o-ormal. Differet computatio techiques of t-value which deped o the variace of the two populatios were also employed. The simulatio showed that t-test used to test mea of two populatios is ot iflueced by o-ormality of the populatio distributio. The exploratio of distributio of the differece betwee two samples meas showed that its distributio was ormal. Therefore, the robustess agaist o-ormality of the t-test was the cosequeces of the differece betwee two sample meas that ormally is distributed. Key words: cetral limit theorem, ormality, robust, t-test for two populatio meas Dalam mempelajari karakteristik suatu populasi serigkali sudah ada dugaa tertetu terhadap populasi tersebut yag tertuag dalam hipotesis. Apabila populasi yag dipelajari ada dua da karakter populasi yag jadi kajia adalah ilai tegahya, maka hipotesis tersebut dapat berupa ilai tegah populasi pertama lebih besar dari populasi kedua, atau ilai tegah populasi pertama lebih kecil dari populasi kedua, atau ilai tegah kedua populasi tidak sama. Dalam otasi matematika, ketiga tipe hipotesis tersebut dapat ditulis sebagai berikut. a. H0: vs H: > b. H0: vs H: < c. H0: = vs H: Utuk meguji hipotesis tersebut dapat diguaka Uji t, Uji Ma-Whitey, atau Uji Kruskal- Wallis. Dari ketiga Uji tersebut, Uji t memiliki kuasa uji lebih besar dibadigka dua uji laiya (Siege & Castella,988). Hal ii berarti bahwa Uji t pada taraf yata yag sama, lebih mampu medeteksi hipotesis H yag memag bear dibadig Uji Ma-Whitey atau Uji Kruskal-Wallis. Hal ii yag meyebabka Uji t lebih serig diguaka dibadigka dua uji laiya. Haya saja, Uji t megasumsika bahwa data yag aka diuji meyebar ormal, tidak seperti dua uji laiya yag tidak memerluka asumsi keormala tersebut. Pada beberapa peelitia ketegara uji yag memerluka asumsi keormala, disebutka bahwa uji semacam itu tegar terhadap ketidakormala data selama sebara data simetris. Nasoetio (000) megemukaka bahwa pada kasus percobaa faktor tuggal dalam RAL, pelaggara asumsi keormala masih dapat ditolerir asalka galat percobaa masih simetris. Sedagka Suryabuaaputra (00) meujukka hasil yag seada pada kasus uji ilai tegah satu populasi.

2 Jural Matematika, Sais, da Tekologi, Voume 7, Nomor, Maret 006, - 0 Dari beberapa hasil peelitia tersebut, mearik utuk megkaji ketegara terhadap ketidakormala data dari Uji t pada pegujia hipotesis ilai tegah dua populasi. Sebagaimaa dikemukaka, terdapat tiga tipe hipotesis ilai tegah dua populasi, yaitu a. H0: vs H: > b. H0: vs H: < c. H0: = vs H: Ketiga tipe hipotesis tersebut dapat juga dituliska mejadi a. H0: 0 vs H: > 0 b. H0: 0 vs H: < 0 c. H0: = 0 vs H: 0 Dari tiga tipe tersebut, tipe a da b serig disebut sebagai hipotesis satu arah karea kisara selisih ilai tegah yag diyataka pada hipotesis H adalah satu arah, yaitu kurag dari ol atau lebih dari ol; sedagka tipe c disebut sebagai hipotesis dua arah karea kisara selisih ilai tegah yag diyataka pada hipotesis H adalah dua arah (tidak sama dega ol dapat berarti lebih dari ol atau kurag dari ol). Pegujia yag dilakuka pada Uji t pada dasarya meghitug selisih ilai tegah sampel yag ditarik secara acak dari masig-masig populasi ( X X ) sebagai dugaa bagi selisih ilai tegah populasiya ( ), kemudia membadigkaya dega kisara ilai pada hipotesis H0. Apabila ilai selisih ii sejala dega kisara ilai pada H0, dapat dikataka bahwa data medukug H0. Utuk megatasi masalah satua pegukura yag ada pada selisih ilai tegah sampel ii serta utuk megakomodasi besarya ragam data, ilai selisih ii dibagi terlebih dahulu dega galat bakuya. Ide ii terlihat dari formula statistik uji thitug yag diguaka utuk pegujia yag dapat (X X ) dituliska sebagai berikut ii. t hitug di maa SE adalah galat baku bagi ( X X ) SE Besarya ilai SE ii tergatug ragam kedua populasi apakah dapat diaggap sama ataukah tidak. Kesamaa ragam kedua populasi ii diperiksa dega Uji F dega hipotesis yag diuji adalah H0: = vs H: Formula statistik uji Fhitug yag diguaka adalah max{s,s F hitug mi{s,s Dega S da S masig-masig adalah ragam sampel dari populasi da populasi da Fhitug F(db = ;db = ) di maa = ' da = " dega ' adalah bayakya sampel pada ragam sampel hasil dari fugsi max{s,s} da " adalah bayakya sampel pada ragam sampel hasil dari fugsi mi{s,s}. Pada taraf yata, kedua ragam populasi diaggap sama apabila Fhitug > F(db = ;db = ; /) atau Fhitug < F(db = ;db = ; -/) dega F(db = ;db = ; /) da F(db = ;db = ; -/) masig-masig adalah persetil ke (-/)x00 da persetil ke (/)x00 dari sebara F(db = ;db = ). } }

3 Satoso, Ketegara Uji-t terhadap Ketidakormala Data Apabila dari hasil Uji F kedua ragam populasi dapat diaggap sama maka formula statistik uji thitug mejadi (X X ) t hitug ; S gab S gab ( )S ( )S dega thitug t(db = - -) di maa da masig-masig adalah bayakya sampel yag diambil dari populasi da populasi. Apabila kedua ragam populasi tidak dapat diaggap sama maka formula statistik uji thitug mejadi t hitug (X S X S ) dega thitug t(db = ) di maa ν S S S S Nilai-p bagi ketiga tipe hipotesis ilai tegah dua populasi adalah: a. H0: 0 vs H: > 0 Nilai-p = P(t>thitug) b. H0: 0 vs H: < 0 Nilai-p = P(t<thitug) c. H0: = 0 vs H: 0 Nilai-p = P(t> thitug ) Hipotesis H0 ditolak apabila ilai-p lebih kecil dari taraf yata yag ditetapka. METODOLOGI Peelitia ii dilakuka melalui kajia simulasi. Berikut ii beberapa faktor yag aka dikaji pegaruhya pada ketegara terhadap ketidakormala dari Uji t.. Sebara data Berkaita dega sebara data, terdapat tiga tipe sebara yag aka dicobaka, yaitu sebara ormal, sebara simetris buka ormal, da sebara tidak simetris buka ormal. Karea populasi yag dihadapi ada dua maka dapat disusu eam kemugkia pasaga sebara populasi seperti disajika pada Tabel.. Ragam populasi Pada pejelasa megeai Uji t dikemukaka dua tipe peghituga statistik uji thitug yag tergatug ragam dua populasi yag diuji. Merupaka hal yag mearik utuk membadigka ketegara dua tipe peghituga statistik uji thitug ii. Oleh karea itu, utuk meelusuri pegaruh ragam dua populasi aka dicobaka kedua ragam populasi sama da tidak sama pada simulasi yag dilakuka. 3

4 Jural Matematika, Sais, da Tekologi, Voume 7, Nomor, Maret 006, - 0 Tabel. Eam Kemugkia Pasaga Sebara Populasi Kemugkia Populasi Populasi Sebara ormal Sebara ormal Sebara ormal Simetris buka ormal 3 Sebara ormal Tidak simetris buka ormal 4 Simetris buka ormal Simetris buka ormal 5 Simetris buka ormal Tidak simetris buka ormal 6 Tidak simetris buka ormal Tidak simetris buka ormal 3. Ukura sampel Faktor ukura sampel ii diguaka utuk meelusuri apakah ketegara Uji t juga tergatug dari ukura sampel yag diambil. Simulasi yag dilakuka aka dicobaka ukura sampel = 0, 5, 5, 40, 50, da 00. Pemiliha besarya ukura sampel ii sedemikia rupa utuk dapat mewakili ukura sampel kecil sampai besar. Dari ketiga faktor tersebut, faktor sebara data da ragam populasi merupaka faktor yag berkaita dega pembagkita populasi. Apabila kedua faktor ii dikombiasika maka aka didapatka duabelas kemugkia pasaga sebara populasi seperti ditampilka pada Tabel. Keduabelas kemugkia pasaga populasi tersebut dibagkitka pada kodisi H0 bear, yaitu =. Tabel 3 memberika uraia keduabelas kemugkia pasaga populasi tersebut dega Y da Y berturut-turut adalah sebara dari populasi pertama da kedua. Selajutya, lagkah yag diguaka di dalam simulasi yag aka dilakuka adalah sebagai berikut.. Pembagkita populasi. Pada tahapa ii, populasi yag aka dibagkitka adalah sebayak duabelas pasaga populasi seperti yag telah dikemukaka.. Pearika sampel dari populasi Setelah data populasi dibagkitka pada Lagkah, dari masig-masig populasi aka ditarik sampel sebayak dega berbagai kemugkia seperti dijelaska pada faktor ukura sampel. 3. Pegujia dega Uji t Setelah sampel diperoleh dari masig-masig populasi, lagkah berikutya adalah meguji dega Uji t. Taraf yata pegujia ditetuka sebesar 5%. Pada simulasi yag aka dilakuka, Lagkah da 3 diulag sebayak 0000 kali. Dari 0000 pegulaga ii, proporsi peolaka H0 pada Uji t yag dilakuka dibadigka dega taraf yata 5% yag diguaka. Proporsi peolaka H0 yag tidak sama dega 5% merupaka idikasi Uji t tidak tegar. HASIL DAN PEMBAHASAN Deskripsi Populasi Hasil Simulasi Dari Tabel 4 yag meyajika deskripsi keduabelas pasag populasi yag dibagkitka terlihat bahwa masig-masig pasaga populasi pada keduabelas pasag populasi tersebut dapat 4

5 Satoso, Ketegara Uji-t terhadap Ketidakormala Data dikataka memiliki rata-rata yag sama besar. Dega demikia dapat disimpulka bahwa ilai tegah masig-masig pasaga populasi berada di bawah H0. Selai itu, dari besarya simpaga baku terlihat bahwa keeam pasaga populasi pertama dapat dikataka memiliki ragam yag sama besar, sedagka eam pasaga populasi berikutya memiliki ragam yag tidak sama. Selajutya, dari Gambar yag meyajika perbadiga sebara atar masig-masig pasag populasi dari keduabelas pasag populasi yag dibagkitka terlihat bahwa keduabelas pasaga populasi yag dibagkitka masig-masig memiliki ilai tegah yag sama. Dari Gambar juga terlihat bahwa eam pasag populasi pertama memiliki ragam yag sama besar, sedagka eam pasag populasi berikutya memiliki ragam yag berbeda. Gambar juga megiformasika pola kesimetrisa sebara populasi. Sebagai cotoh, gambar Pasaga Populasi, di maa sebara Gamma (00,) relatif simetris bila dibadigka dega sebara Normal (00,00) pasagaya. Demikia pula utuk gambar Pasaga Populasi 3 di maa sebara Gamma (35,) lebih mejulur ke kaa apabila dibadigka dega sebara Normal (35,35) pasagaya. Dega demikia pola kesimetrisa sebara populasi yag dibagkitka sesuai dega skeario sebagaimaa diuraika pada Tabel. Tabel. Duabelas Kemugkia Pasaga Sebara Populasi Kemugkia Ragam dua populasi Populasi Populasi Sama Sebara ormal Sebara ormal Sama Sebara ormal Simetris buka ormal 3 Sama Sebara ormal Tidak simetris buka ormal 4 Sama Simetris buka ormal Simetris buka ormal 5 Sama Simetris buka ormal Tidak simetris buka ormal 6 Sama Tidak simetris buka ormal Tidak simetris buka ormal 7 Tidak sama Sebara ormal Sebara ormal 8 Tidak sama Sebara ormal Simetris buka ormal 9 Tidak sama Sebara ormal Tidak simetris buka ormal 0 Tidak sama Simetris buka ormal Simetris buka ormal Tidak sama Simetris buka ormal Tidak simetris buka ormal Tidak sama Tidak simetris buka ormal Tidak simetris buka ormal Tabel 3. Uraia Keduabelas Kemugkia Pasaga Populasi Pasaga Populasi Populasi Y ~ Normal(5,5) Y ~ Normal(5,5) Y ~ Normal(00,00) Y ~ Gamma(00,) 3 Y ~ Normal(35,35) Y ~ Gamma(35,) 4 Y ~ Gamma(00,) Y ~ Gamma(00,) 5 Y ~ Gamma(00,) Y = X, dega X ~ Gamma(8,) 6 Y ~ Gamma(35,) Y ~ Gamma(35,) 7 Y ~ Normal(5,5) Y ~ Normal(5,5) 8 Y ~ Normal(00,000) Y ~ Gamma(00,) 9 Y ~ Normal(35,75) Y ~ Gamma(35,) 0 Y ~ Gamma(00,) Y = X dega X ~ Gamma(00,) Y ~ Gamma(00,) Y = X, dega X ~ Gamma(8,) Y ~ Gamma(35,) Y = X dega X ~ Gamma(35,) 5

6 Jural Matematika, Sais, da Tekologi, Voume 7, Nomor, Maret 006, - 0 Tabel 4. Deskripsi Populasi Hasil Simulasi Pasaga populasi Rata-rata Simpaga baku Populasi Populasi Populasi Populasi (a) Pasaga Populasi (b) Pasaga Populasi (c) Pasaga Populasi 3 (d) Pasaga Populasi 4 6

7 Satoso, Ketegara Uji-t terhadap Ketidakormala Data (e) Pasaga Populasi 5 (f) Pasaga Populasi 6 (g) Pasaga Populasi 7 (h) Pasaga Populasi 8 (i) Pasaga Populasi 9 (j) Pasaga Populasi 0 (k) Pasaga Populasi (l) Pasaga Populasi Gambar. Perbadiga Pola Sebara Keduabelas Pasaga Populasi yag Dibagkitka 7

8 Jural Matematika, Sais, da Tekologi, Voume 7, Nomor, Maret 006, - 0 Performa Uji t Evaluasi terhadap performa Uji t yag dilihat dari proporsi peolaka H0 dari ulaga disajika pada Tabel 5. Pada Tabel yag dimaksudka dega Cara adalah bahwa prosedur pegujia Uji t dilakuka dega aggapa ragam kedua populasi seperti pada Tabel. Dega kata lai, keeam pasag populasi pertama diuji dega aggapa ragam kedua populasi sama, sedagka keeam populasi berikutya diuji dega aggapa ragam kedua populasi tidak sama. Sedagka utuk Cara, prosedur pegujia Uji t dilakuka dega terlebih dahulu meguji kesamaa ragam kedua populasi. Sehigga utuk Cara ii, apapu kodisi ragam kedua populasi, apabila dari pegujia kesamaa ragam ii diperoleh kesimpula bahwa ragam kedua populasi sama maka pegujia Uji t dilakuka dega aggapa ragam kedua populasi sama. Demikia pula sebalikya, apabila dari pegujia kesamaa ragam ii diperoleh kesimpula bahwa ragam kedua populasi tidak sama maka pegujia Uji t dilakuka dega aggapa ragam kedua populasi tidak sama. Dari Tabel 5 terlihat bahwa besarya proporsi peolaka H0, baik utuk Cara maupu Cara, dapat dikataka sama besar. Hal ii meujukka bahwa Uji F yag diguaka utuk megevaluasi kesamaa ragam kedua populasi sebelum dilakuka Uji t, sebagaimaa prosedur pada Cara, memiliki kuasa uji yag cukup baik. Selai itu, hal ii juga meujukka bahwa data hasil pembagkita, khususya dalam hal pembadiga keragama kedua populasi, telah memeuhi skeario seperti yag dikemukaka pada Tabel. Secara umum dari Tabel 5 dapat dilihat bahwa besarya proporsi peolaka H0 utuk ketiga tipe H, baik utuk pasaga populasi dega ragam sama maupu tidak sama, berada di sekitar ilai 0.05 yag merupaka besarya taraf yata pegujia yag diguaka dalam simulasi. Hal ii meujukka bahwa Uji t utuk pegujia ilai tegah dua populasi tegar terhadap ketidakormala data. Tidak berbedaya proporsi peolaka H0 pada Tabel 5 meujukka bahwa faktor ragam populasi tidak memiliki pegaruh terhadap ketegara Uji t. Dega kata lai, prosedur pegujia Uji t, baik dega aggapa ragam kedua populasi sama maupu tidak sama, memiliki ketegara yag tidak berbeda. Hal serupa juga ampak pada faktor ukura sampel yag terlihat dari tidak adaya pola sistematis tertetu dari besarya proporsi peolaka H0 utuk berbagai ukura sampel yag dicobaka. Hal ii kemugkia disebabka oleh adaya dalil Limit Pusat. Dalil Limit Pusat pada dasarya megemukaka kovergesi sebara statistik rata-rata dari sembarag populasi yag megarah ke sebara ormal utuk limit ukura sampel yag tak higga. Dega kata lai, dalil ii megugkapka bahwa statistik rata-rata aka meyebar ormal utuk ukura sampel yag tak higga, apapu sebara dari populasi asal statistik rata-rata. Ukura sampel tak higga sebagai syarat teoritis kovergesi sebara statistik rata-rata ii dipahami secara praktis sebagai ukura sampel yag besar. Dega demikia dari dalil ii dapat disimpulka bahwa utuk ukura sampel yag besar statistik rata-rata aka meyebar ormal apapu kodisi sebara dari populasi asal di maa sampel ditarik. Kriteria kapa ukura sampel dikataka besar, dapat berbeda tergatug dari sebara populasi asal. Sebagai sampel, utuk sebara t, ukura sampel sebesar 30 dapat diaggap besar karea dega sampel sebayak itu sebara ormal dapat megaproksimasi sebara t dega cukup baik. Selajutya, uji t utuk pegujia ilai tegah dua populasi medasarka peghituga statistik t-hitugya pada sebara statistik selisih rata-rata sampel dua populasi. Pada Tabel 6 disajika ilai-p hasil pegujia keormala dega Uji Aderso-Darlig terhadap sebara statistik 8

9 Satoso, Ketegara Uji-t terhadap Ketidakormala Data selisih rata-rata sampel dua populasi dari keduabelas pasag populasi. Secara umum dari Tabel 6 dapat disimpulka bahwa sebara statistik selisih rata-rata sampel dua populasi adalah ormal walaupu populasi asalya (baik salah satu populasi maupu keduaya) tidak meyebar ormal. Dega demikia, uji t utuk pegujia ilai tegah dua populasi yag tegar atau tidak dipegaruhi oleh ketidakormala sebara populasi asal dapat dipahami sebagai kosekuesi dari sebara statistik rata-rata sampel dua populasi yag meyebar ormal walaupu populasi asalya tidak ormal. Tabel 5. Proporsi Peolaka H0 Uji t dari 0000 Ulaga utuk Keduabelas Pasaga Populasi Tipe H Tipe H Pasaga Pasaga populasi < > populasi < > Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara

10 Jural Matematika, Sais, da Tekologi, Voume 7, Nomor, Maret 006, - 0 Tabel 6. Nilai-p Hasil Pegujia Keormala terhadap Sebara Statistik Selisih Rata-rata Sampel Dua Populasi dari Keduabelas Pasaga Populasi Pasaga PENUTUP Hasil simulasi meujukka bahwa Uji t utuk pegujia ilai tegah dua populasi adalah tegar terhadap ketidakormala data. Ketegara ii tidak dipegaruhi oleh ragam kedua populasi serta ukura sampel. Pada kajia sebara dari statistik selisih rata-rata sampel dua populasi disimpulka bahwa sebaraya adalah ormal. Dega demikia, ketegara terhadap ketidakormala dari uji t tersebut dipahami sebagai kosekuesi dari selisih rata-rata sampel dua populasi yag meyebar ormal. REFERENSI Nasoetio, M. D. (000). Uji F di bawah H0 ketika asumsi dilepaska. Forum Statistika da Komputasi (Edisi Khusus). Suryabuaaputra, D. (00). Normality test for o-ormal ad skewed populatio. Skripsi Jurusa Statistika (tidak dipublikasika). Siege, S. & Castella Jr., N. J. (988). Noparametric Statistics for the behavioral scieces ( d ed). New York: McGraw-Hill. 0