SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m n MEMPUNYAI SOLUSI ABSTRACT

Transkripsi

1 SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m n MEMPUNYAI SOLUSI Aryan Zainuri 1, Syamsudhuha 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia 4rieyan.zainuri@gmail.com ABSTRACT This article discusses the necessary and sufficient condition for the system of linear equations Ax = b where A is an m n matrix, with m < n and b is an n 1 vector to have a solution. The discussion involves determining the number of single variables by looking at columns lowering rank and determining the value of the single variables. Keywords: nonhomogeneous system of linear equations, consistency theorem, a necessary condition, sufficient conditions, matrix. ABSTRAK Artikel ini membahas syarat perlu dan cukup agar sistem persamaan linear berukuran Ax = b dengan A merupakan matriks berukuran m n, dengan m < n dan b vektor berukuran n 1 mempunyai solusi. Pembahasan meliputi penentuan jumlah variabel tunggal dengan melihat kolom penurun rank dan penentuan nilai variabel tunggal itu sendiri. Kata kunci: sistem persamaan linear nonhomogen, teorema kekonsistenan, syarat perlu, syarat cukup, matriks. 1. PENDAHULUAN Persamaan linear adalah suatu persamaan dimana variabel yang terlibat berderajat paling tinggi satu, dan peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Sedangkan hinpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear itu disebut dengan sistem persamaan linear, dikenal dengan (SPL)[1]. Sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk Ax = b, (1) Repository FMIPA 1

2 dengan,matriksa m n dinamakanmatrikskoefisien,x n 1 dinamakanmatrikspeubah, dan b m 1 dinamakan matriks konstanta. Sistem persamaan linear yang terdiri dari variabel x 1,x 2,...,x n memiliki variabel tunggal dimisalkan dengan N, maka variabel sisanya (n N) memiliki nilai takhingga banyaknya, sehingga ini menimbulkan 3 pertanyaan berikut: 1. Apa syarat perlu dan cukup suatu variabel tunggal dapat ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear? 2. Berapa banyak variabel tunggal yang ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear? 3. Jika variabel tunggal dapat ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear, adakah formula eksplisit untuknya? Ketiga masalah inilah yang menjadi pembahasan artikel ini, yang sekaligus memberikan review sebagian tulisan dari jurnal yang berjudul Uniquely Determined Unknowns in Sistems of Linear Equations [4]. 2. SYARAT PERLU DAN CUKUP UNTUK ADANYA SOLUSI Definisi 1 (Syarat Perlu)[2, h. 71] Syarat perlu merupakan salah satu yang harus dipenuhi untuk menyimpulkan suatu kebenaran, namun tidak menjamin hasilnya selalu benar. Dengan kata lain, jika dikatakan T merupakan syarat perlu dari Z artinya Z bernilai benar hanya jika T benar, atau dapat dinotasikan dengan Z T. Definisi 2 (Syarat Cukup)[2, h.72] Syarat cukup merupakan salah satu yang menjamin suatu pernyataan adalah benar. Pernyataan bernilai benar jika syaratnya tidak dipenuhi. Dengan kata lain, jika dikatakan T merupakan syarat cukup dari Z artinya Z bernilai benar jika T benar, atau dapat dinotasikan dengan T Z. Sistem persamaan (1) terdiri dari a 11 a 12 a j1 a 1n a 21 a 22 a j2 a 2n a 31 a 32 a j3 a 3n A = a }{{} m1 a m2 a }{{} jn a }{{}}{{} mn C 1 C 2 C j C n, x = x 1 x 2 x 3. x n, b = misalkan C 1,C 2,C 3,,C j,,c n adalah kolom-kolom dari matriks A. Syarat perlu sistem persamaan linear Ax = b memiliki solusi adalah konsisten, dan syarat cukupnya adalah jika Ax = b konsisten maka rank A = rank [A b] [1], dijelaskan pada teorema berikut. b 1 b 2 b 3. b m, Repository FMIPA 2

3 Teorema 3 [1, h. 171] Sebuah sistem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A b] dimana Bukti: dapat dilihat pada [1, h. 171]. rank A = rank [A b]. Selanjutnya, ditunjukkan sistem persamaan linear berukuran m n memiliki variabel tunggal. Definisi 4 [4] Kolom ke-j yang dihapus dari matriks A dikatakan mempertahankan rank jika, dan dikatakan menurunkan rank jika, rank A j = rank A, rank A j = (rank A) 1, dimana A j = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a 31 a 32 a 3n a m1 a m2 a mn Teorema 5 [4] Misalkan bahwa sistem linear yang didefinisikan oleh persamaan (1) adalah konsisten, maka variabel x j, dimana j = 1,2,,n, ditentukan secara tunggal jika dan hanya jika kolom ke-j di A menurunkan rank A. Bukti: C 1,C 2,C 3,,C j,,c n adalah kolom-kolom dari matriks A, dimana kolom C j menurunkan rank, maka dengan Definisi 4 diperoleh rank A j = (rank A) 1. Kolom C j bukan merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya. Ax = x 1 C 1 +x 2 C 2 + +x j C j + +x n C n = 0, Ax = 0, dengan x j = 0, solusi dari persamaan (1) memiliki nilai yang sama untuk x j, maka x j merupakan variabel tunggal. Selanjutnya dengan menghapus kolom C j mempertahankan rank, maka ranka j = ranka, dimana x j 0 sehingga kolom C j merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom lain, dan solusi persamaan (1) memiliki nilai berbeda untuk x j maka x j merupakan variabel tidak tunggal. Selanjutnya, akan diberikan teorema yang menjelaskan banyaknya variabel tunggal yang dapat ditentukan dari suatu sistem persamaan linear. Repository FMIPA 3

4 Teorema 6 [4] Misalkan sistem linear pada persamaan (1) konsisten dan ranka = r. Maka jumlah variabel tunggal yang ditentukan oleh sistem persamaan linear adalah n nr rank A j. (2) j=1 Bukti: Misalkan matriks A apabila dihapus salah satu kolom misalkan C j akan menurunkan rank, berdasarkan Teorema 6 dapat ditulis dengan r rank A j = rank A j = r 1, { 1, jika kolom C j dari matriks A menurunkan rank, 0, jika kolom C j dari matriks A mempertahankan rank. Berdasarkan Teorema 6 misalkan N merupakan banyaknya variabel tunggal yang terdapat pada A maka n N = (r rank A j ) j=1 N =(r rank A 1 )+(r rank A 2 )+(r rank A 3 )+ +(r rank A n ) N =nr (rank A 1 +rank A 2 +rank A 3 + +rank A n ) n N =nr (rank A j ). j=1 Teorema 7 [4] Misalkan bahwa sistem linear yang terdefinisi pada persamaan (1) adalah konsisten, dan m = r = rank A. Misalkan A i, dimana i = 1,2,...,m menyatakan baris ke-i di A. Bilangan bulat k 1...,k n r dengan dapat dipilih sehingga 1 k 1 < k 2 < < k n r n, (3) span(a 1,...,A r,e k1,...,e kn r ) = F n. Misalkan matriks A (k 1,...,k n r ) M r,r (F) dibentuk dari A dengan menghapus kolom k 1,...,k n r. Misalkanj 1,2,...,nsedemikianhinggax j merupakanvariabelyang bernilai tetap pada persamaan (1). Misalkan A k 1,...,k n r (j,b) M r,r (F) dibentuk dari A dengan mengganti kolom ke-j dengan b dan menghapus kolom k 1,...,k n r, maka x j = det(a(k 1,...,k n r ) (j,b)) det(a (k 1,...,k n r). (4) ) Repository FMIPA 4

5 Bukti: Karena {E 1,...,E n } span F n dan A 1,...,A r bebas linear pada F, maka r pada E 1,...,E n dapat diganti oleh A 1,...,A r sehingga span(a 1,...,A r,e k1,...,e kn r ) = F n, dimana berlaku persamaan (3). Perhatikan bahwa dengan x j ditentukan secara tunggal, E j termasuk keruang baris A sehingga j k 1,...k n r. Misalkan A M n,n (F)dibentukdarimatriksAdenganmengadjoinE kn r sebagaibarisr+1,...,n maka himpunan {A 1,...,A r,e k1,...,e kn r }, merupakanbasisuntukf n karenadeta 0. A yangdiperbesardenganbarisn r, diperoleh deta = ( 1) (r+1)+ +n+k 1+ +k n r det A (k 1,...,k n r ), maka deta k 1,...,k n r 0. (5) Misalkan x M r,1 (F) adalah matriks kolom yang dibentuk dari x dengan menghapus x k1,...,x kn r. Ditetapkan bahwa b = b x k1 A k 1 x kn r A k (n r), maka sistem persamaan linear yang didefinisi oleh (1) dapat ditulis kembali dengan A k 1,...,(k n r ) x = b. (6) Dari persamaan (5) dan (6) terlihat bahwa seluruh x v dengan v k 1,...,k n r, ditentukansecara tunggal dari segivariabel bebas n r yakni x k1,...,x kn r. Dengan demikian x j bebas linear terhadap pemilihan x k1,...,x kn r dan karena dapat dipilih x k1 = = x kn r = 0 pada persamaan (6) untuk menentukan x j. Bentuk matriks dari sistem persamaan linearnya menjadi A k 1,...,(k n r ) x = b, dengan menggunakan Teorema aturan Cramer [1] dihasilkan Diberikan sistem persamaan linear x j = det(a(k 1,...,k n r ) (j,b)). det(a (k 1,...,k n r ) ) 3. CONTOH PENERAPAN 6x 1 +12x 2 +x 3 +6x 4 +x 5 = 7, 5x 1 +10x 2 +x 3 +5x 4 +x 5 = 6, 13x 1 +26x 2 +2x 3 +13x 4 +3x 5 = 18, (7) Repository FMIPA 5

6 persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk matriks x x x x 4 = x 5 dengan menggunakan Teorema 3 dan Definisi 4 diperoleh dan , (8) rank A = rank A 1 = rank A 2 = rank A 4 = 3, (9) rank A 3 = rank A 5 = 2. (10) Persamaan(9) menunjukan kolom ke-1, kolom ke-2 dan kolom ke-4 mempertahankan rank A, sedangkan persamaan (10) menunjukan bahwa kolom ke-3 dan kolom ke-5 menurunkan rank A. Berdasarkan Teorema 5, maka hanya x 3 dan x 5 yang merupakan variabel tunggal, sehingga x j = (3,5). (11) Baris dan kolom pada persamaan (8) yaitu m = 3 dan n = 5, dan diperoleh r = 3 = rank A dan n r = 2, dengan menggunakan persamaan (3) dapat diambil kolom ke-1=k 1 =1 dan kolom ke-2=k 2 =2. Misalkan N adalah jumlah variabel tunggal pada A maka dengan menggunakan persamaan (2), diperoleh N = 5 3 ( ) N = N = 2. Menentukan nilai variabel dari persamaan (11) dengan menggunakan persamaan (4), diperoleh x 3 x3 = det(a(1,2) (3,b)) persamaan (12) menjadi atau x 3 = det(a (1,2) ) x 3 = 2 1 x 3 = 2,,, (12) Repository FMIPA 6

7 dan variabel x 5 maka persamaan (13) menjadi x 5 = det(a(1,2) (5,b)), (13) det(a (1,2) ) x 5 = , atau x 5 = 3 1 x 5 = 3, maka nilai variabel tunggal dari x 3 = 2 dan x 5 = KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu syarat perlu sistem persamaan linear berukuran m n mempunyai sedikitnya satu solusi adalah jika Ax = b adalah konsisten, sedangkan syarat cukupnya adalah jika Ax = b mempunyai solusi maka rank A = rank [A b]. Syarat sistem persamaan linear memiliki variabel tunggal adalah terdapat sedikitnya satu kolom pada matriks A misalkan kolom ke-j dimana akan menurunkan rank A. Banyaknya variabel tunggal pada sistem persamaan linear dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan(2), yang diperoleh dari Teorema 6. Formula ekplisit untuk mencari banyaknya variabel bernilai tetap dalam sebuah sistem persamaan linear non homogen konsisten dengan menggunakan formula yang dihasilkan dari Teorema 7. x j = det(a(k 1,...,k n r ) (j,b)) det(a (k 1,...,k n r), ) DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, H Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. dari Elementery Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, P.& I. N. Susila. Penerbit Erlangga, Jakarta. [2] Houston, K How to Think Like a Mathematician. Cambridge University Press, New York. Repository FMIPA 7

8 [3] Jacob, B Linear Algebra. W. H. Freeman and Company, New York. [4] Kardy, K. W & B K. Spearman Uniquely Determined Unknowns in Sistems of Linear Equations. Mathematics Magazine. 75(1): [5] Nicholson, W.K Elementary Linear Algebra, McGraw-Hill Ryerson, New York. Repository FMIPA 8