PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR. Oleh : DEWI YULIANTI

Transkripsi

1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : DEWI YULIANTI FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU

2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SVD) DEWI YULIANTI Tanggal Sidang : 6 Juni Tanggal Wisuda : Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl HR Soebrantas No55 Pekanbaru ABSTRAK Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX B Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleks Sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) Metode SVD merupakan suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks A menjadi tiga komponen matriks USV H Metode SVD dapat digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear kompleks yang konsisten maupun sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten Solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear kompleks yang konsisten adalah solusi tunggal dan banyak solusi Sedangkan solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten adalah solusi pendekatan terbaik Katakunci: basis ortonormal sistem persamaan linear kompleks Singular Value Decomposition (SVD) vii

3 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR ( SVD) Penulisan tugas akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam rangka menyelesaikan studi Strata (S) di UIN Suska Riau Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW mudah-mudahan kita semua selalu mendapat syafa at dan dalam lindungan Allah SWT amin Dalam penyusunan dan penyelesaian tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua tercinta ayahanda dan ibunda yang tidak pernah lelah dalam mencurahkan kasih sayang perhatian do a dan dukungan untuk menyelesaikan tugas akhir ini Selanjutnya ucapan terimakasih kepada : Bapak Prof Dr H M Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Ibu Dra Hj Yenita Morena MSi selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 3 Ibu Sri Basriati MSc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 4 Ibu Fitri Aryani MSc selaku pembimbing sekaligus koordinator tugas akhir yang telah banyak membantu mengarahkan mendukung dan membimbing penulis dengan penuh kesabarannya dalam penulisan tugas akhir ini 5 Ibu Sri Basriati MSc selaku penguji I yang telah banyak membantu memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini ix

4 6 Bapak Wartono MSc selaku penguji II yang telah banyak membantu mendukung dan memberikan saran dalam penulisan tugas akhir ini 7 Semua dosen-dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan dukungan serta saran dalam menyelesaikan tugas akhir ini Dalam penyusunan tugas akhir ini penulis telah berusaha semaksimal mungkin Walaupun demikian tidak tertutup kemungkinan adanya kesalahan dan kekurangan baik dalam penulisan maupun dalam penyajian materi Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak demi kesempurnaan tugas akhir ini Pekanbaru 6 Juni Dewi Yulianti x

5 DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL LEMBAR PERNYATAAN LEMBAR PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR SIMBOL DAFTAR LAMPIRAN Halaman ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii xiv BAB I BAB II PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah I- Rumusan Masalah I- 3 Batasan Masalah I- 4 Tujuan Penelitian I- 5 Manfaat Penulisan I-3 6 Sistematika Penulisan I-3 LANDASAN TEORI Bilangan Kompleks II- Konjugat Kompleks II-3 3 Sistem Persamaan Linear II-4 3 Sistem Persamaan Linear Riil II-5 3 Sistem Persamaan Linear Kompleks II-6 4 Metode Singular Value Decomposition (SVD) II-8 5 Ortogonal dan Basis Ortonormal II-4 5 Ortogonal II-4 5 Basis Ortonormal II-5 xi

6 6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen II-7 7 Matriks Kompleks II-9 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3 Metodologi Penelitian III- BAB IV PEMBAHASAN 4 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Kompleks Menggunakan Metode SVD IV- BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5 Kesimpulan V- 5 Saran V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii

7 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Sistem persamaan linear merupakan sebuah materi dalam ilmu aljabar linear yang mana merupakan salah satu bahasan penting dalam matematika Sistem persamaan linear dapat dibentuk sebagai persamaan matriks (Lipschutz S 6) Sistem persamaan linear mempunyai beberapa bentuk pemecahan atau solusi yaitu solusi tunggal banyak solusi dan tidak ada solusi Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari koefisien dan variabel Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleks Sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan riil telah banyak dipelajari atau dibahas di dalam perkuliahan sedangkan sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan kompleks sangat jarang dipelajari Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear diantaranya Operasi Baris Elementer (OBE) dan Singular Value Decomposition (SVD) Metode SVD adalah suatu metode yang mendekomposisikan suatu matriks menjadi tiga komponen matriks di mana merupakan matriks uniter berukuran merupakan matriks yang berukuran yang semua entri di luar diagonalnya dan merupakan matriks uniter berukuran (Leon S ) Kelebihan metode SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu solusi dari sistem persamaan linear dapat dicari meskipun matriks koefisien yang terbentuk bukanlah matriks persegi maupun matriks yang tidak mempunyai invers Kelebihan lain dari metode SVD adalah dapat menyelesaikan sistem persamaan linear yang tidak konsisten dalam hal ini solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik (Ahmad I ) Metode SVD telah digunakan oleh beberapa peneliti sebelumnya diantaranya oleh Dina Mariya (8) yang menggunakan SVD untuk menentukan

8 invers Moore Penrose dari suatu matriks Peneliti selanjutnya Adiwijaya dkk (9) yang menggunakan SVD untuk mengurangi noise yang terdapat pada citra digital dengan bantuan DFT ( Discrete Fourier Transform) Kemudian Irdam Haidir Ahmad dan Lucia Ratnasari () yang juga menggunakan SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan riil Berdasarkan uraian di atas maka penulis tertarik untuk menggunakan SVD dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks Sehingga pada tugas akhir ini penulis melakukan penelitian dengan judul Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Kompleks Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular (SVD) Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan maka penulis merumuskan masalah yaitu Bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode SVD 3 Batasan Masalah Agar tujuan dari penelitian ini dapat dicapai dengan baik dan tepat maka diperlukan adanya pembatasan masalah diantaranya: a Sistem persamaan linear kompleks yang akan diselesaikan adalah sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten b Sistem persamaan linear kompleks dengan persamaan dan variabel yang dibatasi pada contoh yaitu: > dengan 6 dan 5 > dengan 8 dan 7 4 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: a Mendapatkan penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode SVD I-

9 b Mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten 5 Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut: a Untuk memperdalam ilmu pengetahuan mengenai materi tentang sistem persamaan linear kompleks dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang telah dipelajari untuk mengkaji suatu permasalahan aljabar linear khususnya dalam hal menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode SVD b Memberikan informasi kepada pembaca bahwa SVD dapat juga digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks 6 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: Bab I Pendahuluan Bab ini bersisi latar belakang masalah rumusan masalah batasan masalah tujuan penelitian manfaat penulisan dan sistematika penulisan Bab II Landasan Teori Bab ini menjelaskan tentang bilangan kompleks konjugat kompleks sistem persamaan linear sistem persamaan linear riil sistem persamaan linear kompleks metode Singular Value Decomposition (SVD) ortogonal dan basis ortonormal nilai eigen dan vektor eigen dan matriks kompleks Bab III Metodologi Penelitian Bab ini berisikan langkah-langkah atau prosedur dalam penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) I-3

10 Bab IV Pembahasan Bab ini berisikan penjelasan bagaimana metode Singular Value Decomposition (SVD) dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linear kompleks Bab V Kesimpulan Dan Saran Bab ini berisikan kesimpulan dari hasil dan pembahasan yang telah dilakukan pada bab IV dan saran dari penulis I-4

11 BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini membahas teori-teoripendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentangbilangan kompleks konjugat kompleks sistem persamaan linear sistem persamaan linear riil sistem persamaan linearkompleks metode Singular Value Decomposition (SVD) ortogonal dan basis ortonormal nilai eigen dan vektor eigen dan matriks kompleks Bilangan Kompleks Definisi (Churchill R 99): Bilangan kompleks ( ) yang mana sebagai pasangan berurut i Bagian rill atau Re( ) dapat didefinisikan ℝ ii Bagian imajiner atau Im( ) Selanjutnya akan dijelaskan tentang operasi aljabar terhadap bilangan kompleks: Operasi penjumlahan ( )( ) ( )( ) ( Operasi pengurangan 3 Operasi perkalian ( 4 Operasi pembagian ( ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) )( ) ) )

12 Contoh : Diberikan dua buah bilangan kompleks sebagai berikut: 43 dan 54 Akan ditentukan penjumlahan pengurangan perkalian dan pembagian dari dua buah bilangan kompleks dan Penyelesaian: Penjumlahan (4 3 ) (5 4 ) (4 5) (3 4) 9 Pengurangan (4 3 ) (5 4 ) (4 5) 3 (4) 7 3 Perkalian (4 3 )(5 4 ) Pembagian II-

13 Konjugat Kompleks sebagai: Konjugat kompleks dari bilangan kompleks didefinisikan Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya didefinisikan sebagai: ( )( ) Sedangkan modulus dan norma vektor dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai: dan Akan diberikan contoh perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya dan norma vektor dari bilangan kompleks Contoh : Diberikan bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya sebagai berikut: 3 dan 3 Akan ditentukan perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya dan norma vektor dari bilangan kompleks Penyelesaian: Menentukan perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugat kompleksnya (3 )(3 ) Menentukan norma vektor dari bilangan kompleks (3 )(3 ) II-3

14 3 Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari persamaan dengan disusun dalam bentuk standar yang mana dan pada persamaan adalah konstanta Huruf yang dapat () dan bilangan variabel adalah koefisiendari variabel adalah konstantadari persamaan Sistem persamaan linear pada persamaan () yang terdiri dari persamaan linear dengan yang mana variabel ekuivalen dengan persamaan matriks adalah matriks koefisien variabel-variabel dan () atau adalah vektor kolom dari [ ] adalah vektor kolom dari konstanta Beberapa bentuk pemecahan atau solusi dari sistem persamaan linear adalah sebagai berikut: Solusi tunggal Dikatakan memiliki solusi tunggal apabila terdapat satu titik potong dari sistem persamaan linear Banyak solusi Dikatakan memiliki banyak solusi apabila terdapat banyak titik potong dari sistem persamaan linear 3 Tidak ada solusi Dikatakan tidak ada solusi apabila tidak ada titik potong dari sistem persamaan linear Koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil dan ada yang berbentuk bilangan kompleksselanjutnya akan diberikanpenjelasan II-4

15 tentang sistem persamaan linear yang berkoefisien bilangan riil dan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks 3 Sistem Persamaan Linear Riil Sebelum membahas sistem persamaan linear riil kita perlu mengetahui terlebih dahulu pengertian bilangan riil Bilangan riil adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional Sistem persamaan linear riil merupakan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan riilmetode dasar yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear riil adalah Operasi Baris Elementer (OBE) OBE merupakan suatu metode untuk menyelesaikan sistem persamaan lineardengan menerapkan tiga tipe operasi yaitu mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang taksama dengan nol menukarkan dua barisdan menambahkan perkalian dari satu baris pada baris yang lainnya Selanjutnya akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linear riil Contoh 3: Selesaikan sistem persamaan linearriil berikut dengan menggunakan Operasi Baris Elementer: Penyelesaian: Dari sistem persamaan linear riil di atas dapat dibuat ke dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut: Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke dan kemudianmenambahkan baris ke 3 dengan 3 kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: II-5

16 Dengan mengalikan baris ke dengan maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke dan kemudianmenambahkan baris ke 3 dengan 3 kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: Dengan mengalikan baris ke 3 dengan maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke 3 dan kemudianmenambahkan baris ke dengan 7 kali baris ke 3 maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 3 Jadi solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan Operasi Baris Elementeradalah solusi tunggaldengan dan 3 3 Sistem Persamaan Linear Kompleks Sistem persamaan linear kompleks merupakan sistem persamaan linear dengan koefisien bilangan kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan bilangan imajiner Menurut Nicholson () sistem persamaan linear kompleks dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Operasi Baris Elementer II-6

17 Contoh 4: Selesaikan sistem persamaan linear kompleks berikut dengan menggunakanoperasi Baris Elementer: ( ) Penyelesaian: ( ) 3 Dari sistem persamaan linear kompleks di atas dapat dibuat ke dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 3 Dengan menambahkan baris ke dengan kali baris ke dan kemudianmenambahkan baris ke 3 dengan ( ) kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 3 Dengan mengalikan baris ke dengan maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 4 Dengan menambahkan baris ke dengan ( ) kali baris ke dan kemudian menambahkan baris ke 3 dengan kali baris ke maka akan diperoleh matriks sebagai berikut: 3 Jadi solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan Operasi Baris Elementer adalah banyak solusi dengan dimisalkan maka didapat 3 ( ) dan II-7

18 4 Metode Singular Value Decomposition (SVD) Singular Value Decomposition atau Dekomposisi Nilai Singular yang selanjutnya ditulis dengan SVD adalah suatumetode yangmendekomposisikan suatu matriks menjadi tiga komponen matriks yang mana salah satu dari matriks tersebut entrinya merupakan nilai singular dari matriks Proses dekomposisi ini sering juga disebut dengan faktorisasi Berikut akan diberikan definisi dari nilai singular ℂ Definisi (Ahmad ): Diketahui matriks > ( ) Nilai eigen dari matriks yang mana Akar nilai eigen positif dari singular ( ) dari matriks dan dinyatakan dengan ( ) dengan adalah disebut dengan nilai untuk setiap Berikut ini akan diberikan penjelasan tentang matriks dan adalah matriks uniter berukuran ( )didefinisikan oleh (Kalman ): untuk setiap Basis ortonormal dari dengan Sedangkan untuk setiap akan himpunan { membentuk basis ortonormaluntuk ( }membentuk basis ortonormal untuk adalah matriks yang berukuran yang ditentukan adalah tunggal dan disebut nilai-nilai singular dari matriks Matriks )dan yang semua entri di luar diagonalnya adalah dan elemen-elemen diagonalnya memenuhi Semua dengan dengan mempunyai bentuk: II-8

19 3 Agar vektor-vektor kolom matriks adalah matriks uniter berukuran membentuk himpunan ortonormal maka vektor-vektor eigen dari tersebut dinormalisasikan yaitu: adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen akan membentuk untuk ( )Sedangkanuntuk setiap ortonormal untuk ortonormal untuk ( Untuk setiap basis ortonormal akan membentuk basis )dan himpunan { }membentuk basis Contoh 5: Diberikansistem persamaan linear riil dengan 3persamaan dan variabel sebagai berikut: 3 3 Selesaikan sistem persamaan linear riil di atas dengan menggunakan metode SVD Penyelesaian: Mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk persamaan matriks 3 3 Mencari nilai eigen dan vektor eigen a Mengubah matriks menjadi matriks b Mencari nilai-nilai eigen ( 9 )λ II-9

20 ( ) Persamaan karakteristik dari λ λ 5 adalah λ λ 5 Sehingga didapat nilai-nilai eigen dari 77 dan adalah 99 c Mencari vektor-vektor eigen 77 Untuk 77 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [ Untuk Didapat vektor eigen untuk 99 yaitu: [53 3 Mendekomposisikan matriks ] ] menjadi tiga komponen matriks a Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah Matriks singular yang terbentuk adalah maka b Menyusun matriks maka (8673) () Selanjutnya untuk adalah: II-

21 (53) () Sehingga diperoleh matriks sebagai berikut: c Menyusun matriks maka 437 Selanjutnya untuk adalah: Sehingga diperoleh matriks sebagai berikut: matriks tersebut mempunyai ukuran 3 padahal seharusnya berukuran 3 3 Agar berukuran 3 3 maka matriks harus ditambahkan satu kolom lagi yang mana kolom tersebut saling ortonormal dengan vektor kolom lainnya Misalnya diambil sehingga II-

22 Sehingga bentuk SVD dari matriks adalah: Menentukan basis-basis ortonormal untuk ( ) ( a Untuk basis ( ) Basis dari ( )adalah { b Untuk basis ( Basis dari ( ) )adalah { c Untuk basis ( ) } } Basis dari ( ) adalah { d Untuk basis ( Basis dari ( ) ) ( ) dan ( ) } )adalah { } {} 5 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear riil ( ) 43 (3 )( ) II-

23 843 (3 )( ) perhitungan tersebut diperoleh Berdasarkan ( ) (3 )Karena ( ) berarti ( ) atau ( ) Maka sistem persamaan linear riil di atas tidak konsisten akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari yaitu: Jadi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linear di atas adalah 66 dan 4 II-3

24 5 Ortogonal dan Basis Ortonormal Sebelum membahas ortogonal dan basis ortonormal terlebih dahulu akan dibahas tentang vektor proyeksi kombinasi linear dan basis Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang dan arah Vektor atau titik dapat diidentifikasi sebagai: ( ) Proyeksi dari suatu vektor pada suatu vektor bukan-nol ( ) Suatu vektor dikatakan kombinasi linear dari himpunan vektor { bila terdapat skalar-skalar didefinisikan sebagai: { Himpunan vektor-vektor sedemikian sehingga } } adalah basis dari jika setiap dapat dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis Selanjutnya akan diberikan definisi ortogonal dan teorema basis ortonormal 5 Ortogonal Sebelum diberikan definisi mengenai ortogonal akan didefinisikan terlebih dahulu mengenai hasil kali dalam kompleks ( Definisi 3(Anton H ): Diketahui vektor ( ) ℂ maka hasil kali dalam vektor dan yang mana adalah konjugat dari adalah ) dan Selanjutnya akan diberikan definisi mengenai ortogonal Definisi 4 (Anton H ):Vektor hanya jika ℂ dikatakan ortogonal jika dan Contoh 6: II-4

25 Diberikan vektor-vektor sebagai berikut: ( ) ( ) dan Akan ditentukan apakah vektor Penyelesaian: ortogonal terhadap vektor Untuk menentukan apakah vektor ortogonal terhadap vektor maka akan ditunjukkan hasil kali dalam yaitu: ( )() ()( ) ( )() ()( ) Karena maka vektor ortogonal terhadap vektor 5 Basis Ortonormal Berikut akan diberikan teorema mengenai basis ortonormal Teorema (Anton H ):Jika { untuk ruang hasil kali dalam dan { Bukti:Karena dalam bentuk adalah sebarang vektor dalam maka dalam diperoleh Karena { } adalah basis maka vektor selanjutnya akan ditunjukkan bahwa setiap vektor } adalah basis ortonormal untuk dapat dinyatakan Untuk } adalah himpunan ortonormal maka diperoleh dan jika Maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi II-5

26 Contoh 7: Diberikan vektor-vektor sebagai berikut: ( ) dan ( ) Akan ditentukan apakah himpunan vektor { jika dinyatakan vektor Penyelesaian: ( ) } merupakan basis ortonormal Langkah pertama menunjukkan himpunan vektor { }ortonormal ( )( ) ( )( ) ( )( ) Karena dan ortonormal maka himpunan vektor { Langkah kedua menunjukkanhimpunan vektor { } }basis ortonormal ()() ()( ) ()() ()( ) II-6

27 ()( ) ()() ()( ) ()() Sehingga ( ) ( ) ( ) Karena ortonormal { maka himpunan vektor } basis 6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Berikut akan diberikan definisi mengenai nilai eigen dan vektor eigen Definisi 5(Sutojo T ): Diketahui nol adalah matriks di dalam ℂ dinamakan vektor eigen dari jika maka vektor tak adalah kelipatan skalar dari yaitu: untuk suatu skalar Skalar disebut nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan Setelah mengetahui definisi nilai eigen dan vektor eigen Selanjutnya akan dijelaskan cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen a Menghitung nilai eigen Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran menuliskannya kembali sebagai maka kita atau ( I ) dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika I II-7

28 Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik Mencari nilai eigen berarti menghitung determinan tersebut sehingga diperoleh nilai-nilai b Menghitung vektor eigen Apabila nilai-nilai eigen diketahui kemudian nilai-nilai ini dimasukkan kepersamaan: ( I ) Maka akan diperoleh vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen Selanjutnya akan diberikan contoh mencari nilai-nilai eigen dan vektor eigen Contoh 8: Carilah nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Penyelesaian: 3 Mencari nilai-nilai eigen ( )λ ( ) Persamaan karakteristik dari 3 3 λ 5λ 4 3 adalah λ 5λ 4 Sehingga didapat nilai-nilai eigen dari adalah Mencari vektor-vektor eigen a Untuk Didapat vektor eigen untuk b Untuk 4 Didapat vektor eigen untuk [ 4 Sehingga didapat vektor-vektor eigen dari dan adalah 4 ] [ ] dan 7Matriks Kompleks (Lipschutz S 6) II-8

29 Sebelum membahas matriks kompleks kita perlu mengetahui terlebih dahulu pengertian matriks Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks Matriks kompleks yaitu matriks dengan entri-entri bilangan kompleks Misalkan A adalah matriks kompleks jika maka adalah bilangan kompleks adalah konjugatnya Konjugat dari matriks kompleks ditulis adalah matriks yang diperoleh dari yang dengan cara menghitung konjugat dari setiap entri Notasi digunakan untuk transpos konjugat Yaitu [Beberapa literatur menggunakan Contoh 9: ( ) sebagai ganti ] Carilah transpos konjugat dari matriks Penyelesaian: 3 Mencari konjugat dari matriks 3 Mencari transpos konjugat dari matriks ( ) Dari hubungan antara matriks kompleks 3 dan transpos konjugatnya akan menghasilkan beberapa jenis matriks kompleks salah satu diantaranya adalah matriks uniter Matriks uniter merupakan matriks kompleks yang barisbaris (kolom-kolom)-nya membentuk suatu himpunan ortonormal yang relatif tehadap hasil kali titik II-9

30 Definisi 6(Anton H ): Sebuahmatriks dengan entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika Dengan catatan haruslah matriks bujursangkar dan dapat-dibalik Contoh : Tunjukkan adalah matriks uniter Penyelesaian: Mencari matriks Mengalikan matriks Karena maka dengan matriks Jadi merupakan matriks uniter II-

31 BAB III METODOLOGI PENELITIAN Bab III ini membahas tentang metodologi penelitian yang penulis gunakan 3 Metodologi Penelitian Adapun metodologi penelitian yang penulis gunakan adalah metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: Diberikan sistem persamaan linear kompleks Mengubah suatu sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks 3 Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks dengan cara membentuk matriks baru 4 Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks a adalah matriks uniter berukuran Basis ortonormal dari didefinisikan oleh Kalman (): b adalah matriks yang berukuran yang semua entri di luar diagonalnya adalah dan elemen-elemen diagonalnya memenuhi Semua yang ditentukan adalah tunggal dan disebut nilai-nilai singular dari matriks Matriks mempunyai bentuk: dengan c adalah matriks uniter berukuran Agar vektor-vektor kolom matriks dari membentuk himpunan ortonormal maka vektor-vektor eigen tersebut dinormalisasikan yaitu: 5 Membentuk basis-basis ortonormal ( ) ( ) ( ) dan ( ) 6 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks

32 BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Bab IV ini akan membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear kompleks dengan menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) 4 Penyelesaian SPL Kompleks Menggunakan Metode SVD Berikut ini akan dijelaskan bagaimana metode SVD dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks Seperti yang telah diketahui bahwa sistem persamaan linear dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks yang mana (4) merupakan matriks koefisien yang akan dicari bentuk SVD-nya Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks menggunakan metode SVD adalah sebagai berikut: Langkah Dengan menggunakan metode SVD dari matriks { } dan vektor { merupakan basis ortonormal dari ( ) dan ( } dan vektor { dari ( ) dan ( Langkah ) akan didapatkan vektor } yang masing-masing ) serta vektor { } yang masing-masing basis ortonormal Suatu sistem persamaan linear kompleks akan konsisten jika dan hanya jika berada dalam ( ) Untuk mengetahui bahwa maka akan diuji apakah sama dengan proyeksi ( ) direntang oleh vektor { diberikan oleh persamaan di bawah ini: proy ( ) berada dalam ( ) pada ( ) yang mana } Proyeksi pada ( ) (4)

33 Berdasarkan pengujian di atas akan diperoleh dua kasus yaitu: Kasus untuk ( ) Pada kasus untuk ( ) maka sistem persamaan linear kompleks konsisten dan mempunyai paling sedikit satu solusi Karena proy maka ( ) sehingga menurut persamaan (4) diperoleh persamaan: Oleh karena maka ( ) (43) dengan membandingkan persamaan (43) dengan persamaan (4) didapatkan (44) yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear kompleks pada persamaan (4) Nilai solusi dari sistem persamaan linear kompleks bergantung pada ruang nol dari matriks subkasus yaitu: a Jika ( yaitu ( ) Sehingga ada dua ) {} maka sistem persamaan linear kompleks mempunyai satu solusi yang mana solusinya diberikan oleh persamaan (44) Bukti: Untuk membuktikan ketunggalan dari solusinya akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi IV-

34 Misalkan terdapat solusi lain dari persamaan (4) yaitu dan kedua-duanya bernilai benar maka Dengan mengurangkan keduanya akan didapatkan ( Karena atau ( b Jika ( ) ) {} maka berlaku Hal ini berarti dengan kata lain solusinya adalah tunggal ) {} maka sistem persamaan linear kompleks mempunyai banyak solusi Solusinya diberikan oleh: (45) Bukti: Solusi umum dari sistem persamaan linear kompleks dapat dinyatakan dengan {} didapat solusinya ( terdapat titik ( Namun karena pada ) sedemikian sehingga umum untuk kasus ini adalah yang mana ( ) Pada ( ) ) {} maka Jadi solusi atau dinotasikan dengan (46) Dengan demikian untuk setiap titik-titiknya berlaku ( Setiap titik-titik basis karena { ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor dapat dinyatakan dengan } merupakan basis untuk ( (47) sebelumnya telah diketahui bahwa sehingga ) maka dapat dinyatakan dengan untuk suatu IV-3

35 Kasus untuk ( ) ( ) maka sistem persamaaan linear kompleks tidak Pada kasus untuk konsisten dalam hal ini solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik Solusi pendekatan terbaik tersebut adalah vektor di dalam ( ) dan yang mana sehingga adalah vektor yang terdekat dengan Solusi pendekatan terbaik diberikan oleh persamaan (44) yaitu: disebut sebagai solusi pendekatan terbaik artinya jika adalah vektor di ( ) yang terdekat dengan Sehingga vektor ( ( maka ) akan tegak lurus dengan setiap vektor di ( ) yaitu vektor-vektor termasuk vektor yang merentang (48) ( ) dengan adalah vektor yang ortonormal maka berlaku: ) ( ) Hal ini menunjukkan bahwa ( ) adalah tegak lurus dengan setiap vektor di ( ) dan persamaan (48) merupakan solusi pendekatan terbaik Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten dengan menggunakan metode SVD Beberapa contoh sistem persamaan linear kompleks yang diberikan berdasarkan dengan persamaan dan variabel IV-4

36 > ) Contoh 4: (untuk kasus Diberikan sistem persamaan linear kompleks dengan 6 persamaan dan 5 variabel sebagai berikut: Selesaikan sistem persamaan linear kompleks di atas dengan menggunakan metode SVD Penyelesaian: Mengubah sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks Mencari nilai eigen dan vektor eigen a Mengubah matriks 7 menjadi matriks IV-5

37 b Mencari nilai-nilai eigen Didapat nilai-nilai eigen dari adalah dan c Mencari vektor-vektor eigen Untuk yaitu: Didapat vektor eigen untuk [33 Untuk yaitu: Didapat vektor eigen untuk [645 3 Untuk Untuk [633 5 Untuk Didapat vektor eigen untuk [ Mendekomposisikan matriks yaitu: Didapat vektor eigen untuk yaitu: ] 8 66 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [ ] 8333] ] 5333] menjadi tiga komponen matriks a Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah IV-6

38 Matriks singular yang terbentuk adalah sebagai berikut: maka b Menyusun matriks maka dengan persamaan: Selanjutnya untuk adalah: IV-7

39 Selanjutnya untuk Selanjutnya untuk adalah: yang terakhir untuk adalah: adalah: IV-8

40 Setelah matriks adalah sebagai berikut: maka diperoleh maka matriks dengan persamaan: yang terbentuk Selanjutnya untuk 8547 dan c Menyusun matriks adalah: 5 IV-9

41 Selanjutnya untuk adalah: Selanjutnya untuk dan 5 yang terakhir untuk adalah: 57 Setelah matriks adalah: adalah sebagai berikut: diperoleh maka matriks yang terbentuk IV-

42 diperhatikan matriks uniter ℂ agar matriks uniter menjadi matriks persegi berukuran 6 6 harus ditambahkan satu kolom lagi yang mana kolom tersebut saling ortonormal dengan vektor kolom lainnya Misalnya diambil sehingga Sehingga bentuk SVD dari matriks adalah: IV-

43 5 4 Menentukan basis-basis ortonormal untuk ( ) ( a Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { ) ( ) dan ( ) } b Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { c Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { 5 } } d Untuk basis ( Basis dari ( ) ) adalah { } {} 5 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks proy ( ) IV-

44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Berdasarkan perhitungan tersebut proy diperoleh ( ) atau ( ) ( ) Karena proy ( ) ( ) Maka sistem persamaan berarti linear kompleks di atas tidak konsisten akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari yaitu: IV-3

45 Jadi solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari sistem persamaan linear 867 kompleks di atas adalah 678 dan 3984 Untuk mengetahui bahwa ditunjukkan bahwa ( Untuk ( ) merupakan solusi pendekatan terbaik akan ) sebagai berikut: ( ) (9)(84 ) (763 )(64) (34 )(8969) (79)(367 ) (36)(66 ) (4844)(3 ) 5 Untuk ( ) ( ) (9)(58 ) (763 )(59) (34 )(55) (79)(68 ) (36)(338 ) (4844)(487 ) 4 3 Untuk ( ) ( ) (9)(577) (763 )(66 ) IV-4

46 (34 )(678 ) (79)(966) (36)(8376) (4844)(569) 6 4 Untuk ( ) ( ) (9)(585) (763 )(468 ) (34 )(679 ) (79)(5) (36)( 46) (4844)(95) 5 5 Untuk ( ) ( ) (9)(666) (763 )(4983 ) (34 )(46 ) (79)(45) (36)( 3589) (4844)(3) 5 > ) Contoh 4: (untuk kasus Diberikan sistem persamaan linear kompleks dengan 8 persamaan dan 7 variabel sebagai berikut: Selesaikan sistem persamaan linear kompleks di atas dengan menggunakan metode SVD IV-5

47 Penyelesaian: Mengubah sistem persamaan linear kompleks ke dalam bentuk persamaan matriks Mencari nilai eigen dan vektor eigen a Mengubah matriks 4 3 menjadi matriks 6 b Mencari nilai-nilai eigen Didapat nilai-nilai eigen dari dan 5 54 adalah c Mencari vektor-vektor eigen Untuk 89 Didapat vektor eigen untuk 89 yaitu: [ ] IV-6

48 Untuk yaitu: Didapat vektor eigen untuk [76 3 Untuk ] yaitu: Didapat vektor eigen untuk [ Untuk Untuk Untuk Untuk ] 45 yaitu: ] Didapat vektor eigen untuk [ ] 96 yaitu: Didapat vektor eigen untuk [ ] Didapat vektor eigen untuk [ yaitu: Didapat vektor eigen untuk [ yaitu: ] 3 Mendekomposisikan matriks menjadi tiga komponen matriks a Menyusun matriks Nilai singular dari matriks adalah IV-7

49 Matriks singular yang terbentuk adalah sehingga didapat matriks b Menyusun matriks maka 7 adalah sebagai berikut: dengan persamaan: IV-8

50 Selanjutnya untuk Selanjutnya untuk adalah: adalah: Selanjutnya untuk adalah: IV-9

51 Selanjutnya untuk adalah: Selanjutnya untuk adalah: yang terakhir untuk adalah: IV-

52 Setelah matriks dan diperoleh maka matriks yang terbentuk adalah sebagai berikut: c Menyusun matriks maka dengan persamaan: Selanjutnya untuk adalah: IV-

53 Selanjutnya untuk Selanjutnya untuk adalah: adalah: IV-

54 Selanjutnya untuk Selanjutnya untuk yang terakhir untuk adalah: adalah: adalah: IV-3

55 Setelah matriks terbentuk adalah sebagai berikut: diperhatikan matriks uniter ℂ dan diperoleh maka matriks agar matriks uniter yang menjadi matriks persegi berukuran 8 8 harus ditambahkan satu kolom lagi yang mana kolom tersebut saling ortonormal dengan vektor kolom lainnya Misalnya diambil sehingga didapat matriks adalah sebagai berikut: IV-4

56 Sehingga bentuk SVD dari matriks adalah: Basis dari ( ) adalah { Menentukan basis-basis ortonormal untuk ( ) ( a Untuk basis ( ) ) ( ) dan ( ) } IV-5

57 b Untuk basis ( Basis dari ( ) } ) adalah { c Untuk basis ( ) Basis dari ( ) adalah { d Untuk basis ( Basis dari ( ) } ) adalah { } {} 5 Menentukan solusi dari suatu sistem persamaan linear kompleks proy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV-6

58 Berdasarkan perhitungan tersebut diperoleh proy ( ) atau ( ) ( ) Karena proy ( ) ( ) Maka sistem persamaan berarti linear kompleks di atas tidak konsisten akan tetapi solusi pendekatan terbaiknya dapat dicari yaitu: IV-7

59 Jadi solusi pendekatan terbaik dari sistem persamaan linear kompleks di atas adalah dan Untuk mengetahui bahwa ditunjukkan bahwa ( Untuk ( ) ) ( merupakan solusi pendekatan terbaik akan sebagai berikut: ) (3794 )(356) (4536 )( 856) (49 )(894) (5675)(347 ) (766)(97 ) (558)( 75 ) (667 )(3698) (4876 )(59) 3 IV-8

60 Untuk ( ) ( ) (3794 )(466) (4536 )( 694) (49 )(455) (5675)(435 ) (766)(459 ) (558)( 48 ) (667 )(494) (4876 )(543) 59 3 Untuk ( ) ( ) (3794 )(664) (4536 )( 44) (49 )(65) (5675)(398 ) (766)(64 ) (558)( 777 ) (667 )(376) (4876 )(55) 49 4 Untuk ( ) ( ) (3794 )(978) (4536 )( 4395) (49 )(6579) (5675)(477 ) (766)(3 ) (558)( 3699 ) (667 )(44) (4876 )(576) 5 5 Untuk ( ) ( ) (3794 )(679) (4536 )( 5485) (49 )(5) (5675)( 4488 ) (766)(74 ) (558)(3735 ) (667 )(547) (4876 )(49) 7 IV-9

61 6 Untuk ( ) ( ) (3794 )(3363) (4536 )( 74) (49 )(49) (5675)(39 ) (766)(3647 ) (558)(75 ) (667 )(683) (4876 )(33) 6 7 Untuk ( ) ( ) (3794 )(48) (4536 )( 4573) (49 )(44) (5675)(8 ) (766)(448 ) (558)( 395 ) (667 )(364) (4876 )(4589) Berdasarkan dua contoh penyelesaian sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten di atas dapat disimpulkan bahwa solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari dua contoh tersebut merupakan solusi pendekatan terbaik yang memiliki tingkat kesalahan yang relatif kecil karena solusi pendekatan terbaik yang diperoleh dari dua contoh tersebut memiliki hasil kali ( ) yang mendekati nol IV-3

62 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab IV diperoleh hasil penelitian yaitu metode Singular Value Decomposition (SVD) dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks Berdasarkan contoh yang diberikan merupakan sistem persamaan linear kompleks yang tidak konsisten dan dengan menggunakan langkah-langkah SVD dalam penyelesaian sistem persamaan linear kompleks solusi yang diperoleh adalah solusi pendekatan terbaik yaitu: a Contoh 4 dengan 6 persamaan dan 5 variabel diperoleh solusi pendekatan terbaiknya adalah dan 3984 b Contoh 4 dengan 8 persamaan dan 7 variabel diperoleh solusi pendekatan terbaiknya adalah dan 83 5 Saran Tugas akhir ini penulis menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD) untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks diharapkan bagi pembaca yang berminat dapat mencoba menggunakan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear kompleks

63 DAFTAR PUSTAKA Anton Howard Elementary Linear Algebra Eighth Edition John Wiley New York Ahmad Irdam Haidir dan Lucia Ratnasari Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Menggunakan Analisis SVD Jurnal Matematika Vol 3;4-45 Churchill Ruel V dan James Ward Brown Complex Variables and Applications Fifth Edition McGraw-Hill Singapore 99 Kalman Dan A Singularly Valuable Decomposition : The SVD of a Matrix The AmericanUniversity Washington DC (Diakses Tanggal 8 Februari ) Leon Steven J Aljabar Linear dan Aplikasinya Edisi Kelima Erlangga Jakarta Lipschutz Seymour dan Marc Lars Lipson Aljabar Linear Schaum s Edisi Ketiga Erlangga Jakarta 6 Nicholson W Keith Elementary Linear Algebra First Edition McGraw-Hill Singapore Sutojo T dkk Teori dan Aplikasi Aljabar Linear dan Matriks Andi Yogyakarta