PDB ORDE SATU PADA KURVA TRAYEKTORI ORTOGONAL Oleh: 1 Ir. Sigit Kusmaryanto, M.Eng

Transkripsi

1 PDB ORDE SATU PADA KURVA TRAYEKTORI ORTOGONAL Oleh: 1 Ir. Sigit Kusmaryanto, M.Eng 1 Teknik Elektro UB, Pengantar: Modul ini mempelajari penerapan Persamaan Diferensial orde satu untuk menentukan persamaan kurva yang tegak lurus terhadap kurva lain(disebut dengan Trajektori Ortogonal). Dijelaskan juga metode simulasi Matlab untuk menentukan persamaan kurva Trayektori Ortogonal. Digambarkan hasil kurva Trayektori Ortogonal dengan Matlab..1 Trayektori Ortogonal Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa dapat memahami definisi trajektori orthogonal Mahasiswa dapat menentukan persamaan kurva trajektori orthogonal Mahasiswa dapat membuat program Matlab untuk menggambar kurva dan menentukan persamaan kurva trajektori ortogonal Definisi Jika diketahui keluarga kurva pada bidang XY yang dinyatakan oleh persamaan F(x, y, k)= 0 dengan k = konstanta variabel. Kurva yang memotong tegak lurus kurva-kurva tersebut dinamakan trayektori ortogonal dari kurva F. Contoh: Diberikan keluarga kurva y = mx dan y + x = k yang disajikan pada satu sistem koordinat kartesius seperti tampak pada Gambar berikut. Keluarga Kurva y = mx dan y + x = k Terlihat bahwa grafik fungsi garis berpotongan dengan kurva lingkaran. Kurva lingkaran dan grafik garis berpotongan saling tegak lurus atau ortogonal, karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal di titik potongnya. Dengan kata lain garis lurus y = mx adalah trayektori ortogonal dari keluarga 1

2 lingkaran tersebut. Sebaliknya dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari garis y = mx. Prosedur menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva F(x, y, k) = 0 adalah: Langkah 1. Turunkan persamaan garis/kurva, sehingga didapatkan persamaan diferensial orde-1 untuk keluarga kurva, yaitu F (x, y, k) = 0 Langkah. Langkah 3. Substitusikan k = F(x, y) pada F (x, y, k) = 0 untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi F(x, y) = 0 berbentuk = (,) Buat persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal menjadi bentuk berikut: = 1 (, ) Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga trayektori ortogonal. Contoh Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini: y = cx. Penyelesaian Langkah I Langkah Langkah 3 Langkah 4 Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y = cx yaitu = Disubstitusikan = untuk memperoleh persamaan diferensial implisit: = = Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu = 1 (,) = 1 = Selesaikan persamaan diferensial baru = = = = =

3 Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx adalah: + = 6 keluarga kurva *y +x -k dan k*x -y 4 y x Trayektori Ortogonal Kurva = dan + = Program MATLAB sebagai berikut: %Program MATLAB untuk kurva + = dan y = cx % clear all; clc; syms x y k f1='k*x^-y' for k=1:1:10 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end for k=-10:1:-1 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end f='*y^+x^-k^' for k=-8:1:8 ezplot(eval(f)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end title('keluarga kurva *y^+x^-k^ dan k*x^-y') Contoh: Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini. + = 3

4 Penyelesaian: Langkah I Langkah Langkah 3 Langkah 4 PD untuk keluarga kurva + = yaitu + = = mensubstitusikan = untuk memperoleh persamaan diferensial implisit: = Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu = 1 (,) = menyelesaikan PD + = +, jika y=u.x maka + + = sehingga:..(.) +. =. =. 1.. = = = untuk penyelesaian konstannya: = 0,.+.3 = 0. = 0 jadi y=u.x = 0 untuk penyelesaian tak konstan(penyelesaian umum PD). = = 1. dengan integrasi fungsi parsial didapatkan: = 1 89(.) 89(. +1) = 89()+ 4

5 . 1+. =, 0 dengan substitusi y=u.x atau u=y/x, didapatkan: + = Penyelesaian implisit PD di atas dan u=0 atau y=0 merupakan trayektori ortogonal kurva + =. 6 keluarga kurva y +x -kx dan x +y -ky 4 y x Kurva + = dan + = Program MATLAB sebagai berikut: %Program MATLAB kurva + = ; dan + = % clear all; clc; syms x y k f1='y^+x^-*k*x' for k=-3:0.1:3 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end for k=3:-0.1:-3 5

6 ezplot(eval(f1)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end f='x^+y^-k*y' for k=-5:1:5 ezplot(eval(f)),axis square,axis equal,hold on,grid on,end title('keluarga kurva y^+x^-kx dan x^+y^-ky') Contoh Penyelesaian dengan Program MATLAB: Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva = >> syms x y k; >> y=k*x y =k*x >> dy=diff('k*x','x') dy =k >> k=solve('dy=k','k') k =dy >> edif=subs('y-k*x=0','k',k) edif =y - dy*x = 0 >> edif_ortog=subs(edif,'dy','-1/dy') edif_ortog =y + x/dy = 0 >> Dy=solve(edif_ortog,'Dy') Dy =-x/y >> y_ortog=dsolve('dy =-x/y','x') y_ortog = ^(1/)*(C3 - x^/)^(1/) -^(1/)*(C3 - x^/)^(1/) >> figure,for C3=1:6,ezplot(eval(y_ortog(1)),[-3,3]), axis square,axis equal,hold on,grid on,end >> for C3=1:6,ezplot(eval(y_ortog()),[-3,3]), axis square,axis equal,hold on,grid on,end >> for k=-1.5:0.5:1.5,ezplot(eval(y),[-3,3]),hold on, grid on,end 6

7 keluarga kurva y=kx dan trayektori ortogonalnya x Kurva = dan Trayektori Ortogonalnya Contoh Penyelesaian dengan Program MATLAB: Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva = < = >> syms x y k >> y=k/(1+x^) y =k/(x^ + 1) >> dy=diff('k/(1+x^)','x') dy =-(*k*x)/(x^ + 1)^ >> k=solve('dy=-(*k*x)/(x^ + 1)^','k') k =-(dy*(x^ + 1)^)/(*x) >> edif=subs('y-k/(1+x^)=0','k',k) edif =y + (dy*(x^ + 1))/(*x) = 0 >> edif_ortog=subs(edif,'dy','-1/dy') edif_ortog =y - (x^ + 1)/(*Dy*x) = 0 >> Dy=solve(edif_ortog,'Dy') Dy =(x^ + 1)/(*x*y) >> y_ortog=dsolve('dy =(x^ + 1)/(*x*y)','x') y_ortog = ^(1/)*(C14 + log(x)/ + x^/4)^(1/) -^(1/)*(C14 + log(x)/ + x^/4)^(1/) 7

8 >> edif_y_ortog=subs(y_ortog,'x',abs(x)) edif_y_ortog = ^(1/)*(abs(x)^/4 + C14 + log(abs(x))/)^(1/) -^(1/)*(abs(x)^/4 + C14 + log(abs(x))/)^(1/) >>figure,for k=-1.5:0.5:1.5,ezplot(eval(y),[-3,3]),hold on, grid on,end >> for C1=1:6,ezplot(eval(edif_y_ortog(1)),[-3,3]),axis square,axis equal,hold on,grid on,end >> for C1=1:6,ezplot(eval(edif_y_ortog()),[-3,3]),axis square,axis equal,hold on,grid on,end, title('keluarga kurva y=k/(1+x^) dan trayektori ortogonalnya') keluarga kurva y=k/(1+x ) dan trayektori ortogonalnya x Kurva = < = dan Trayektori Ortogonalnya Latihan Soal: Tentukan Trayektori Ortogonal pada persamaan kurva berikut, kemudian gambarkan grafik kurvakurva tersebut: 1. +( >) =. = 3 3. = + 4. = +> 8

9 5. = = +> 6. = ln()+>.1.1 Rangkuman Kurva yang memotong kurva lain secara tegak lurus dinamakan trayektori ortogonal Prosedur menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva F(x, y, k) = 0 adalah: Langkah 1. Turunkan persamaan garis/kurva, sehingga didapatkan persamaan diferensial orde-1 untuk keluarga kurva, yaitu F (x, y, k) = 0 Langkah. Substitusikan k = F(x, y) pada F (x, y, k) = 0 untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi F(x, y) = 0 berbentuk Langkah 3. = (,) Buat persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal menjadi bentuk berikut: = 1 (, ) Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga trayektori ortogonal..1. Test Formatif Untuk 1-8, tentukan Trayektori Ortogonal pada persamaan kurva berikut, kemudian gambarkan grafik kurva-kurva tersebut: 1. + = >. +( >) = 3. = >? 4. = > 5. = 6. = 7. = > 8. +( > ) = 1+. Daftar Pustaka [1] Sigit Kusmaryanto, Buku Ajar Matematika Teknik I,01 [] Kreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, [3] Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, [4] Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Singapore, 1994 [5] Howard, P., Solving ODE in MATLAB, Fall, 007 9

10 [6] Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 003 [7] Rosenberg, J.M., Lipsman, R.L., Hunti, B.R., A Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users, Cambridge University Press,

11 11