FAKTOR INTEGRASI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-1 UNTUK MENYELESAIKAN RANGKAIAN RC SIGIT KUSMARYANTO

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "FAKTOR INTEGRASI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-1 UNTUK MENYELESAIKAN RANGKAIAN RC SIGIT KUSMARYANTO"

Adi Tanuwidjaja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 FAKTOR INTEGRASI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE- UNTUK MENYELESAIKAN RANGKAIAN RC SIGIT KUSMARYANTO Persamaan Diferensial Linier Orde- yang berbentuk + PPPP = QQ, P dan Q fungsi x atau konstanta penyelesaiannya diperoleh dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integrasi ee PPPPPP Contoh, selesaikan PD yy = xx Penyelesaian: dari persamaan diperoleh P = - dan Q = x faktor integrasinya ee PPPPPP = ee xx jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan ee xx maka: ee xx ( yy) = ee xx (xx) ee xx ee xx. yy = ee xx. xx {ee xx yy} = ee xx. xx ee PPPPPP. yy = ee PPPPPP. xx = ee PPPPPP. QQ sehingga penyelesaiannya (ee xx yy) = ee xx. xxxxxx ee xx. yy = ee xx. xx + ee xx = ee xx. xx ee xx + cc yy = xx + cc /ee xx dari contoh di atas jika faktor integrasi ee PPPPPP = μμ, maka PD linier orde satu bisa dinyatakan dalam bentuk (μμ. yy) = μμ. QQ dengan bentuk di atas, penyelesaiannya menjadi: μμ. yy = μμμμ + cc aaaaaaaa yy. ee PPPPPP = ee PPPPPP. QQ + cc Model persamaan rangkaian listrik RC mempunyai bentuk PD Linier orde-. Penyelesaian rangkaian RC dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. Ilustrasi penerapan faktor integrasi PD Linier orde- pada rangkaian RC dengan sumber E= Konstanta, E 0 sinωt dan eksponensial dijelaskan sbb:

2 Gambar Rangkaian RC Seri Dengan menerapkan hukum Kirchoff maka model persamaan rangkaian adalah: RR + QQ = EE CC + RRRR QQ = EE RR atau RRRR + IIIIII = EE RR CC + II = CC diperoleh PD linier orde satu: Penyelesaian umum: faktor integral PD Linier : + RRRR II = RR μμ = ee PPPPPP = ee perkalian PD dengan faktor integral menghasilkan: ee + RRRR II = RR ee RRRR tt ee. II = RR ee RRRR tt ee. II = RR ee RRRR tt + kk II = ee RR ee RRRR tt + kkee

3 = ee RR ee tt RRRR + kk Kasus A. Jika E= Konstanta, maka de/dt=0, sehingga II = ee RR ee kk = kk. ee RC disebut konstanta waktu kapasitif Kasus B. Jika E(t) = E 0 sinωt, maka: = ωωee 0cccccc ωωωω sehingga jika disubstitusikan ke persamaan menjadi: II = ee RR ee. ωωee 0 cccccc ωωωω + kk II = ee ωωee 0 ee. cccccc ωωωω + kk RR ee. cccccc ωωωω. dengan integral parsial dapat diselesaikan menjadi: rumus baku integral parsial: uu = uu. vv vv jika uu = ee dan = cccccc ωωωω; vv = ssssss ωωωω, maka: ωω ee. cos ωωωω = ωω ee ssssss ωωωω ee ssssss ωωωω ωωωωωω = ee ssssss ωωωω ; jika uu = ee ωωωωωω dan = ssssss ωωωω, vv = cccccc ωωωω ωω = ωωωωωω ωω ee cccccc ωωωω + ee cccccc ωωωω ωωωωωω untuk penyederhanaan misalkan AA = ee. cccccc ωωωω, maka: AA == ωω ee ssssss ωωωω + ωω RRRR ee cccccc ωωωω AA ωω RR CC AA = ωω RR CC + ωω RR CC ωω ee ssssss ωωωω + ωω RRRR ee cccccc ωωωω sehingga:

4 II = ee RR ωωee 0 ee. ssssssssss. + kk II = ee RR ωωee ωω RR CC 0 + ωω RR CC ωω ee ssssss ωωωω + ωω RRRR ee cccccc ωωωω + kk II = ee ωω3 EE 0 RR CC + ωω RR CC ωω ee ssssss ωωωω + ωω RRRR ee cccccc ωωωω + kk II = ee ωω EE 0 RRCC + ωω RR CC ee ssssss ωωωω + II = ωω EE 0 RRCC + ωω RR CC ssssss ωωωω + ωωee 0 CC + ωω RR CC cccccc ωωωω + kkee ωωee 0 CC + ωω RR CC ee cccccc ωωωω + kk Contoh: Suatu rangkaian listrik terdiri dari Resistor 0 ohm yang dihubungkan seri dengan kapasitor 0,05 farad dan baterai E volt. Pada saat t=0 tidak ada muatan pada kapasitor. Tentukan besar muatan dan arus untuk t>0, jika E= 60, E=00t e -t dan E= 00 cos t! (a) jika E=60, model persamaan rangkaian RC adalah: + RRRR QQ = EE RR + QQ = 3 faktor integrasi = e t perkalian PD dg faktor integrasi didapatkan: ee tt + QQ = 3eett [eett QQ] = 3 ee tt ee tt QQ = 3ee tt + kk ee tt QQ = 3ee tt + kk QQ = 3 + kkee tt, QQ = 3 3ee tt, QQ(tt = 0) = 0 kk = 3 karena II = /, maka II = [3 3ee tt ] = 3ee tt

5 3.5 Arus I(t) sumbu waktu (t) Gambar Arus Pada Rangkaian RC Seri, E=60 V Program MATLAB untuk Gambar 6 %Arus pada Rangk RC seri E=60 clear all; close all; clc; t=(0:0.0:5); I=3*exp(-t) plot(t,i,'b','linewidth',) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',4) ylabel('arus I(t)','fontsize',4) (b) jika E=00 t e -t, model persamaan rangkaian RC adalah: + RRRR QQ = EE RR + QQ = 5ttee tt faktor integrasi = e t perkalian PD dg faktor integrasi didapatkan: ee tt + QQ = 5ttee tt [eett. QQ] = 5tt. ee tt ee tt. QQ = 5 tt. ee tt + kk tt. ee tt diselesaikan dengan integral parsial rumus baku integral parsial: uu = uu. vv vv jika uu = tt dan = ee tt ; vv = ee tt, maka:

6 tt. ee tt = tt. ee tt + ee tt maka: ee tt. QQ jadi: = tt. ee tt ee tt = 5 [ tt. ee tt ee tt ] + kk QQ = 5 [ tt. ee tt ee tt ] + kkee tt, QQ(tt = 0) = 0 kk = 5 QQ = 55 tt. ee ee + 55ee tt II = = [5 [ tt. ee tt ee tt ] + 5ee tt ] = [ 5. ee tt + 0ttee tt + 0ee tt ] 5ee tt = ee + 55ee 55ee tt 5 4 5e -t 0te -t +5e -t -5e -t rus I(t) 3 0te -t 0-5e -t Gambar 3 Arus Pada Rangkaian RC Seri, E=00te -t V Program MATLAB untuk Gambar 7 sebagai berikut: %Arus pada Rangk RC seri E=60 clear all; close all; clc; t=(0:0.0:5); I=0*t.*exp(-t*) plot(t,i,'b','linewidth',) I=5*exp(-t*) plot(t,i,'r','linewidth',) I=-5*exp(-t)

7 plot(t,i,'g','linewidth',) I=0*t.*exp(-t*)+5*exp(-t*)-5*exp(-t) plot(t,i,'k','linewidth',) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',4) ylabel('arus I(t)','fontsize',4) (c) jika E=00cost volt, R=0 ohm, C=0,05 farad, model persamaan rangkaian RC adalah: + RRRR QQ = EE RR + QQ = 5 cccccc tt faktor integrasi = e t perkalian PD dg faktor integrasi didapatkan: ee tt + QQ = 5eett cccccc tt [eett. QQ] = 5ee tt cccccc tt ee tt. QQ = 5 ee tt cccccc tt + kk ee tt cccccc tt diselesaikan dengan integral parsial rumus baku integral parsial: uu = uu. vv vv jika uu = ee tt dan = cccccc tt; vv = ssssss tt, maka: ee tt. cccccc tt = eett ssssss tt eett ssssss tt = eett ssssss tt ; jika uu = ee tt dan = ssssss tt vv = cccccc tt = eett cccccc tt + eett cccccc tt untuk penyederhanaan misalkan AA = ee tt cccccc tt, maka: AA = eett ssssss tt eett cccccc tt + AA = eett ssssss tt + 4 eett cccccc tt 4 AA AA = 5 eett ssssss tt + 5 eett cccccc tt sehingga:

8 ee tt. QQ = 5 ee tt cccccc tt + kk QQ = 5 5 eett ssssss tt + 5 eett cccccc tt + kk = ssssss tt + cccccc tt + kkee tt, II(tt = 0) = 0, mmmmmmmm kk = = ssssss + cccccc ee tt II = = ee tt Respon Arus Lengkap (transien+steady state) 5 4 Arus transien I(t)=e -t rus I(t) 3 0 Arus steady state I(t)=4cos(t)-sin(t) Gambar 4 Arus pada Rangkaian RC Seri, E=00 cos t V Program MATLAB untuk Gambar 8 sebagai berikut: %Arus pada Rangk RC seri E=00cost clear all; close all; clc; t=(0:0.0:7); I=4*cos(*t)-*sin(*t) plot(t,i,'r','linewidth',) I=exp(-t) plot(t,i,'b','linewidth',) I=4*cos(*t)-*sin(*t)+exp(-t) plot(t,i,'k','linewidth',) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',4)

9 ylabel('arus I(t)','fontsize',4) Referensi: [] Sigit Kusmaryanto, Buku Ajar Matematika Teknik I,0 [] Kreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, 988. [3] Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, 987. [4] Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Singapore, 994 [5] Howard, P., Solving ODE in MATLAB, Fall, 007 [6] Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 003 [7] Rosenberg, J.M., Lipsman, R.L., Hunti, B.R., A Guide to MATLAB for Beginners and Experienced

dokumen-dokumen yang mirip

PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK RL DAN RC SERI Oleh: 1 Ir. SIGIT KUSMARYANTO, M.Eng.

PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK RL DAN RC SERI Oleh: 1 Ir. SIGIT KUSMARYANTO, M.Eng. 1 Teknik Elektro, http://sigitkus@ub.ac.id Pengantar: Modul ini menjelaskan pemodelan rangkaian listrik RL dan