Trigonometri. Bab 2. A. Perbandingan. Trigonometri. B. Perbandingan. Trigonometri

Transkripsi

1 b Sumbe: medicinewheel.vcsu.edu Pd bb ini, nd kn dijk menepkn pebndingn, fungsi, pesmn, dn identits tigonometi dlm pemechn mslh, mellui menentukn nili pebndingn tigonometi sutu sudut, mengkonvesi koodint tesius dn koodint kutub, menepkn tun sinus dn cosinus, set menentukn lus sutu segitig. Menuut sejh, wln tigonometi dikembngkn untuk kepelun geogfi (pembutn pet) dn untuk kepelun stonomi (untuk memhmi gek bend-bend lngit). Pd pekembngn beikutn, tigonometi tidk hn dimnftkn oleh mtemtik, tetpi jug menjdi lt penting bgi ilmu-ilmu ds, sepeti kimi, fisik, teknik mesin, teknik elekto, dn teknik geodesi. Oleh ken itu, tigonometi menjdi sngt penting untuk dipelji. Dlm kehidupn sehi-hi bnk pemslhn ng dpt diselesikn dengn menggunkn konsep tigonometi. Slh stun pemslhn beikut. Eko menguku bngn sebuh ting di tnh. Setelh diuku, pnjngn mencpi 5, m. Kemudin, i menguku sudut ng tebentuk nt ujung bngn dengn ujung ting. es sudut tesebut dlh 60. Tnp menguku lngsung ting tesebut, dptkh Eko menentukn tinggi ting ng sebenn?. Pebndingn. Pebndingn Sudut-Sudut ng eelsi. Menggunkn Tbel dn Klkulto untuk Menci Nili Pebndingn D. Identits E. Mengkonvesi Koodint tesius dn Koodint Kutub F. tun Sinus dn osinus G. Lus Segitig 5

2 Pet Konsep Mtei mengeni dpt digmbkn sebgi beikut. mtei ng dipelji Pebndingn Koodint tesius dn Koodint Kutub tun Sinus dn tun osinus Menghitung Lus Segitig tedii ts tedii ts tedii ts jik dikethui Sutu Sudut Segitig Siku-Siku Sudut-Sudut Istimew Nili Pebndingn di ebgi Kudn Identits Mengubh Koodint tesius Menjdi Koodint Kutub Mengubh Koodint Kutub Menjdi Koodint tesius tun Sinus Jik Dikethui Du Sudut dn Sebuh Sisi tun osinus Jik Dikethui Sebuh Sudut dn Du Sisi ng Mengpitn Sebuh Sudut dn Du Sisi ng Mengpitn Sebuh Sisi dn Du Sudut ng Mengpitn Ketig Sisin Sol Pmtei Kejknlh sol-sol beikut sebelum nd mempelji bb ini.. Pehtikn segitig siku-siku beikut. b c Tentuknlh pnjng sisi segitig ng belum dikethui.. c = 0, = 6, b =... b. =, b = 4, c =... c. b = 576, c = 676, =.... Tentuknlh nili beikut.. ( 5 ) d. 45 b. ( 7 ) e. 4 c. 7 6 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

3 Pebndingn Pd mtei bb ini, nd kn mempelji pebndingn tigonometi di sutu sudut segitig siku-siku sehingg nd kn mengenl istilh sinus, cosinus, tngen, secn, cosecn, dn cotngen. Untuk memudhkn nd mempelji mtei ini, cob ingt kembli dlil Pthgos beikut "kudt di sisi tepnjng (hipotenus) sm dengn jumlh kudt sisi linn." Kt Kunci segitig siku-siku sinus cosinus tngen. Pebndingn dlm Segitig Siku-siku Sebelum mempelji mtei ini, lkuknlh kegitn beikut. Kegitn Sisw Lkukn kegitn beikut besm 4 ong temn nd.. Gmblh tig buh segitig siku-siku ng sebngun dengn ketentun sebgi beikut. sisi miing sisi di depn sisi di dekt (i) (ii) (iii). Gunkn busu dejt untuk menghitung bes sudut (ke dejt tedekt). Pelu nd ingt bhw bes sudut lebih di 0 dn kung di 90.. Gunkn penggis untuk menguku pnjng msingmsing segitig siku-siku tesebut, kemudin isiknlh pd tbel beikut. 7

4 Jeljh Mtemtik Segitig ke- (i) (ii) (iii) Pnjng sisi di depn Pnjng sisi miing Pnjng sisi di dekt Pnjng sisi miing Pnjng sisi di depn Pnjng sisi di dekt Pthgos lhi sekit thun 58 M di Pulu Smos, Yunni. eliu menemukn dn membuktikn sebuh umus sedehn dlm geometi tentng ketig sisi pd segitig sikusiku. Dlil ini dinmkn Dlil Pthgos. Pthgos meninggl sekit thun 497 SM pd usi 85 thun. 4. Pehtikn nili-nili pebndingn ng nd peoleh pd ketig segitig siku-siku tesebut. p ng nd dptkn di hsil tesebut? 5. Sekng, cob nd pehtikn gmb Δ beikut. Sumbe: Ofod Ensiklopedi Pelj, 999 b. Dengn menggunkn busu dn penggis, hitunglh: b (gunkn stun ke dejt tedekt),, dn (gunkn stun ke cm tedekt) b. Tentukn nili pebndingn pnj ng sisi di depn b... = pnj ng sisi miin g... pnj ng sisididekt b... = pnj ng sisi miin g... pnj ng sisi di depn b pnj ng sisididek t b = pkh nili pebndingn untuk Δ sm dengn nili pebndingn untuk ketig segitig sebelumn? Jik tidk sm, peubhn pkh di ketig segitig sebngun ng membut nili pebndingn segitig bu bebed? 8 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

5 Hsil kegitn ng telh nd kejkn dpt mempejels bhw hsil pebndingn sisi-sisi segitig begntung pd sudut dn b. Jik sudutn ( ) sm mk hsil pebndingn sisisisin kn sm. Pehtikn gmb beikut. D Gmb. sebngun dengn ED Δ ΔED (dibc "segitig sebngun dengn segitig ED"). Pebndingn sisi-sisi segitig sec cept dpt dikethui dengn menggunkn konsep tigonometi ng didefinsikn sebgi beikut.. ED = =sinus = D i. E = =cosinus = D. ED = = tnge n = t E 4. D = =cosecnt = c osec ED 5. D = =secnt = E 6. E = =cotnge nt = cotn ED edskn penjelsn tesebut, dpt dibut ingksnn sebgi beikut. E b Pebndingn tigonometi untuk segitig siku-siku sepeti pd Gmb. dlh:. sin = b 4. cosec = b c. cos = c b. tn = c 5. sec = b c 6. cotn = c Gmb. Segitig siku-siku dengn sebgi slh stu sudutn 9

6 Jeljh Mtemtik Hippchus (±70 5 M) Di ingksn tesebut, nd dpt mempeoleh hubungnhubungn beikut. sin. = b b = = = tn cos c b c c b Jdi, sin tn = cos b. sin = = b Teoem pebndingn sisi-sisi pd segitig telh digunkn bngs Mesi dn biloni. kn tetpi, pebndingn ng sekng digunkn kli petm ditetpkn sekit thun 50 SM oleh Hippchus ng menusun pebndingnpebndingn itu di dlm tbel. Hippchus di Nice sngt tetik pd stonomi dn Geogfi. Hsil kejn meupkn sl mul umusn tigonometi. Hippchus menepkn tigonometi untuk menentukn letk kotkot di pemukn bumi dengn menggunkn gis buju dn gis lintng. Sumbe: Ensiklopedi Mtemtik dn Pedn Mnusi, 00 Jdi, sin = tu cosec = cosec sin c b. cos sec = = b c Jdi, cos = tu sec = sec cos c 4. tn t = = c Jdi, tn = tu cotn cotn = tn Tugs Sisw. ob nd buktikn kebenn pentn beikut. cos cosec = = cotn sin sec ontoh Sol. Jik sin b = 4, tentuknlh nili pebndingn tigonometi linn. 5 Jwb: utlh gmb ng mewkili sin b = Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

7 Tentukn sisi ng belum dikethui dengn umus Pthgos. = 5 4 = 5 6 = 9 = 9 = Dengn demikin, dpt ditentukn nili pebndingn tigonometi linn. 5 4 cos b = 5 sec b = 5 b = tn b = 4 cotn b = 4 cosec b = 5 4 ontoh Sol. Dikethui Δ dn ΔDEF sepeti pd gmb beikut. F c b q () D E Tentuknlh semu pebndingn tigonometi untuk sudut q. Jwb:. sin q = = cos q = = (b) b. sin = b cos = c b tn q = = tn = c cosec q = = cosec = b sec q = = sec = b c cotn q = = cotn = c 4

8 ontoh Sol. Dikethui slh stu sudut segitig siku-siku dlh q. Jik dikethui sin q = 5 dn pnjng sisi di sebeng q dlh 6 cm. Hitunglh cos q, tn q, cosec q, sec q, dn cotn q. Jwb: Dikethui sin q = 5 dn pnjng sisi sebeng q = = 6 cm. =... 6 cm Sebelum menghitung cos q, tn q, cosec q, sec q, dn cotn q, nd hus menci pnjng sisi dn telebih dhulu. Di nili sin q =, nd dpt menemukn nili. 5 q =... sin q = 5 = 6 = 6 5 = 0 cm Oleh ken nd telh mengethui nili dn, nd dpt menci nili dengn umus Pthgos. = = 0 6 = 00 6 = 64 = 64 = 8 cm Jdi, pebndingn tigonometin dlh 8 4 cos q = = tn q = = cosec q = = sec q = = cotn q = = 6 4 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

9 Tugs Sisw.. Tentukn pebndingn tigonometi sesui dengn gmb beikut. 0 6 q. sin q b. cos q c. tn q d. cosec q e. sec q f. cotn q. Hitunglh pnjng. Kemudin, tentukn nili pebndingn tigonometin. 6. sin b b b. cos b c. tn b 9 d. cosec b e. sec b f. cotn b. Nili Pebndingn Sudut-Sudut Istimew Pd bgin sebelumn, nd telh mempelji pebndingn tigono meti. Sekng, nd kn mempelji pebndingn tigono meti sudut-sudut istimew. Sudut istimew ng kn dibhs di sini dlh sudut ng besn 0, 0, 45, 60, dn 90. Penhkh nd meliht bend-bend ng memiliki sudut 0, 0, 60, 60, dn 90?. Nili Pebndingn untuk Sudut 60 Pehtikn Gmb.. ΔO meupkn segitig smsisi dengn pnjng sisi stun, sehingg O = = stun. Oleh ken ΔO sm sisi, O = O = O = 60. meupkn gis tinggi ΔO. Gis O meupkn setengh di O sehingg O stun. Di ketengn tesebut, nd dpt menci pnjng dengn umus Pthgos. Mengp dici dengn umus Pthgos? Selidikilh. 60 O Gmb. Segitig smsisi O 4

10 Pnjng dpt dici dengn c beikut. = O - O = = Di infomsi ng telh dipeoleh, nd dpt menentukn pebndingn tigonometi untuk sudut 60. Pebndingnn sebgi beikut. sin60 = = = O O cos60 = = O tn6 0 = = = O O ; cosec 60 = = = O ; sec60 = = = O O ; cotn6 0 = = = O 45 P(,) b. Nili Pebndingn untuk Sudut 45 Pehtikn Gmb.4. Titik P memiliki koodint (,). meupkn titik pd sumbu- ng ditik di titik P ng tegk luus sumbu- dn meupkn titik pd sumbu- ng ditik di titik P ng tegk luus sumbu-. Dpt dikethui P = P =. OP = O = 45 Gmb.4 Gfik tesius dengn sebuh gis besudut 45 tehdp sumbu- 60 O 0 Gmb.5 Segitig O pd segitig O Oleh ken itu, OP dpt dici dengn umus Pthgos. OP meupkn sisi miing Δ siku-siku O. OP = =, sehingg kn dipeoleh pebndingn tigonometi beikut. P sin45 = = = OP O cos45 = = = OP P tn 45 = = = O OP ; cosec45 = = = P OP ; sec45 = = = O O ; cotn45 = = = P c. Nili Pebndingn untuk Sudut 0 Pehtikn gmb ΔO pd Gmb.5. ΔO meupkn segitig sm sisi, sehingg O = O = O = 60. ΔO meupkn segitig siku-siku dengn siku-siku di dn pnjng sisi stun. O meupkn setengh di O. Dengn demikin, O = Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

11 O sin0 = = O cos0 = = = O O tn0 = = = O ; cosec0 O O ; sec0 = = = ; cotn0 = = = O d. Nili Pebndingn untuk Sudut 0 Pehtikn Gmb.6(). meupkn sisi miing pd segitig O dengn sudut ( 0). gimn jik = 0? Jik = 0 mk gmb segitig kn sepeti pd Gmb.6(b). Dengn demikin, nili = nili =, nili = 0. Di nili-nili tesebut, nd dpt menentukn pebndingn tigonometin sebgi beikut. 0 sin0 = = = 0 ; cosec0 Æ tk tedefinisi 0 cos0 = = = ; sec0 = = = 0 tn0 = = = 0 ; cotn 0 Æ tk tedefinisi 0 e. Nili Pebndingn untuk Sudut 90 Pehtikn kembli Gmb.6(). gimn jik = 90? Jik = 90, = O kn beimpit dengn sumbu- (Pehtikn Gmb.7). Dengn demikin, nili = 0, nili = nili =. Di nili-nili tesebut, nd dpt menentukn pebndingn tigonometin sebgi beikut. sin90 = = = ;cosec90 = = = 0 cos90 = = = 0 ;sec90 = = Æ tk tedefinisi 0 0 tn90 = = Æ tk tedefinisi; cotn 90 = = = 0 0 Nili-nili pebndingn tigonometi di sudut 0 smpi 90 dingkum pd tbel beikut. O O Gmb.6 () Segitig O dengn O = (b) Sudut 0 pd digm tesius O = (0, ) 90 Gmb.7 () (b) = Gfik tesius dengn sudut 90 (, 0) 45

12 Pebndingn sin 0 Sudut-Sudut Khusus (Istimew) cos 0 Solusi eds tn 0 tk tedefinisi Dikethui: sin =, cosec tk tedefinisi 0º < < 90º. Nili cos =.. d. 4 b. e. 4 8 c. Jwb: sec cotn ontoh Sol.4 tk tedefinisi tk tedefinisi 0 sin = sin = sin 0º = 0º = 60º cos = cos 60º cos = Jdi, cos =. Jwbn: c UN SMK, 004 Dengn menggunkn nili-nili pebndingn tigonometi sudutsudut istimew, hitunglh nili beikut.. sin 0 + cos 60 b. sin 0 cos 45 + cos 0 sin 45 tn60 tn 0 c. tn 60 tn 0 Jwb:. sin 0 + cos 60 = + = b. sin 0 cos 45 + cos 0 sin 45 Ê = ˆ Á + Ê Ë Ë ˆ = = ( 6 ) 4 c. tn60 tn 0 tn 60 tn 0 - = Ê Ë ˆ Ê ˆ Á - = Ë 46 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

13 = = ontoh Sol.5 Eko menguku bngn sebuh ting ng menncp di tnh. Setelh diuku, pnjng bngnn mencpi 5, m. Kemudin, i menguku sudut ng tebentuk nt ujung bngn dengn ujung ting. es sudut tesebut dlh 60. Tentukn tinggi ting ng sebenn, tnp menguku lngsung ting tesebut. Jwb: Di gmb di smping dipeoleh tn 60 = 5, = 5, tn 60 = 5, Jdi, tinggi ting dlh 5, m. Ting 60 pnjng bngn = 5, m. Pebndingn Sutu Sudut di Kudn I, II, III, dn IV Pehtikn gmb beikut. P (, ) P (, ) Kudn II Kudn I O Kudn III Kudn IV P (, ) D P 4 (, ) Gmb.8 Kudn pd gfik tesius Kedudukn titik P (, ) dpt beubh begntung pd sejuh mn gis OP diput. d 8 kemungkinn kedudukn titik P jik dikitkn dengn bes sudut putn, itu: 47

14 90 (0, ) P (, ). Jik = 0 mk titik P teletk pd sumbu- positif.. Jik 0 < < 90 mk titik P teletk di kudn I.. Jik = 90 mk titik P teletk pd sumbu- positif. 4. Jik 90 < < 80 mk titik P teletk di kudn II. 5. Jik = 80 mk titik P teletk pd sumbu- negtif. 6. Jik 80 < < 70 mk titik P teletk di kudn III. 7. Jik = 70 mk titik P teletk pd sumbu- negtif. 8. Jik 70 < < 60 mk titik P teletk di kudn IV. Hubungn nt,, dn menuut teoem Pthgos dlh = +. edskn ketengn tesebut mk tnd (positif tu negtif) nili pebndingn tigonometi pd bebgi kudn dpt kit peoleh sebgi beikut.. Kudn I (0 < < 90 ) Pehtikn Gmb.9. Titik P (, ) teletk di kudn I dn membentuk sudut OP =, sehingg dipeoleh hubungn nt = OP,, dn sebgi beikut. sin OP =sin = (pos itif) cos OP P = cos = (positif) O P(, 0) Gmb.9 tn OP P = tn = (positif) cosec OP = cosec = (pos itif) Sudut di kudn I sec OP = sec = (positif) cotn OP = cotn = (positif) 90 P (, ) (, 0) (, ) 80 O Gmb.0 Sudut di kudn II b. Kudn II (90 < <80 ) Pehtikn Gmb.0. Titik P (, ) teletk di kudn II dn membentuk sudut OP =, sehingg didpt hubungn nt = OP,, dn sebgi beikut. sin sin = ( positif iif) cos cos = - ( negtif ) tn tn = ( negtif ) - 48 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

15 cosec cosec = ( positif iif) sec sec = ( negtif ) - cotn cotn = - ( negtif ) c. Kudn III (80 < < 70 ) Pehtikn Gmb.. Titik P (, ) teletk di kudn III dn membentuk sudut OP =, sehingg didpt hubungn nt = OP,, dn sebgi beikut. sin sin = - ( negtif ) cos cos = - ( negtif ) tn tn = - iif - = ( positif) cosec cosec = ( negtif ) - sec sec = ( negtif ) - cotn cotn = - iif - = ( positif) d. Kudn IV (70 < < 60 ) Pehtikn Gmb.. Titik P 4 (, ) teletk di kudn IV dn membentuk sudut OP 4 =, sehingg didpt hubungn nt = OP 4,, dn sebgi beikut. sin sin = - ( negtif ) 4 cos cos = ( positif iif) 4 tn tn = - ( negtif ) 4 cosec cosec = ( negtif ) 4 - sec sec = ( positif iif) 4 cotn cotn = ( negtif ) 4-90 (0, ) (, 0) 80 O D(0, ) P (, ) 70 Gmb. Sudut di kudn III 90 (0, ) (, 0) 80 O D(0, ) 70 Gmb. Sudut di kudn IV (, 0) (, 0) P 4 (, ) 49

16 Sec umum tnd-tnd pebndingn nili tigonometi di bebgi kudn dpt dituliskn sepeti pd tbel beikut. Kudn I Kudn II Kudn III Kudn IV sin + + cos + + tn + + cosec + + sec + + cotn + + ontoh Sol.6 ( 5, ) b O Sol Pilihn Dikethui koodint titik ( 5, ) dn b dlh sudut ng dibentuk oleh gis O dengn sumbu- negtif. Tentuknlh nili di sin b, cos b, dn tn b. Jwb: = + = ( 5 ) + = = 69 = sin b = = cos b = - = - 5 tn b = = ontoh Sol.7 Jik dikethui tn = dengn 90 < < 80 mk nili sin cos = d. - 5 b. - 5 c. - 7 e. - Dikethui sin = dn cos =. Tentukn nili tn. Jwb: sin = = - cos = = mk = dn = mk = dn = Nili tn = = - = - 50 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

17 tu dpt jug memki umus beikut. tn - sin = = cos = - = - ontoh Sol.8 Jik dikethui tn q = - 6, dn 90 < q < 80 mk tentukn nili sin q dn cos q. Jwb: tn q = - 6, 90 < q < 80 (d di Kudn II) = = 6 = ( ) + 6 = = 400 = sin q = = = 0 5 cosq = = - = q 8 4 O Evlusi Mtei. Kejknlh sol-sol beikut di buku ltihn nd.. Tentuknlh nili pebndingn tigonometi untuk sudut pd gmb beikut. c b Jik q meupkn slh stu sudut pd segitig siku-siku, hitunglh nili pebndingn tigonometi linn di nili tigonometi beikut.. sin q = 5 b. cosq = 6 0 5

18 c. tn q = 4 7 e. cosec = d. cotn = f. sec = 4. Pd segitig siku-siku, dikethui pnjng sisi miing 4 cm dn sin q = 8. Tentu knlh 7 pnjng sisi ng lin. 4. Sebuh tngg ng pnjngn m disndkn pd sebuh tembok. Jk ujung tngg dengn ds tembok dlh m. Tentuknlh semu pebndingn tigonometi untuk sudut. m q m 5. Pehtikn Δ beikut. 8 7 b Di segitig dikethui = 7 cm, 8 = 8 cm, dn sin b = 7. Hitunglh pnjng sisi dn sinus sudut ng linn. 6. Hitunglh nili di pebndingn tigonometi beikut.. sin 0 + sin 45 + sin 60 b. sin 0 sin 45 + sin 60 sin 45 tn0 + sin 0 c. cos60 cos 0 tn0 + sin 60 d. tn45 tn 0 e. cos0 sin 0 tn60 tn 0 f. cos 0 sin 0 g. tn 0 sin 60 + tn 60 cos 0 sin0 cos 60 h. tn 0 + cosec 60 + cosec 90 sec 0 sec 0 sec Tentuknlh keenm pebndingn tigonometi pd titik beikut.. P( 0, ) b. P( 6, ) c. P( 7, ) d. P( 5, 5) 8. Tentukn kelim pebndingn tigonometi linn jik dikethui sebgi beikut.. tn q =, 80 < q < 70 b. cosq = - 5, q sudut tumpul c. sin q = -, 80 < q < Dikethui sec = 5 dn sin = 7 5. Sudut teletk di kudn II dn sudut teletk di kudn IV. Tentuknlh nili di:. cos cos + sin sin b. ( sin ) ( sin ) Ê cos ˆ Ê+ cos ˆ c. Á Á Ë sin Ë sin d. (cosec + sec ) (cosec cos ) 0. Di sutu tempt wist lm, Febi bedii di sudut pd tepi sungi ng luus. Di sebeng sungi tetmbt du smpn X dn Y ng bejk 0 mete. Smpn X teletk tept di sebeng. Jik bes sudut XY 0, bep metekh leb sungi tesebut? 5 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

19 Pebndingn Sudut-Sudut ng eelsi nd telh mempelji pebndingn tigonometi sutu sudut di kudn I, II, III, dn IV. Sekng, nd kn belj mengeni sudut-sudut ng beelsi. Sudut beelsi tin psngn sudut ng memiliki sutu hubungn sehingg pebndingn sudut-sudutn memiliki umus tetentu.. Pebndingn di Kudn I (Hubungn Sudut º dn Sudut (90 )º) Dikethui sebuh lingkn ng bepust di titik O(0, 0) dn beji-ji. Pd lingkn tesebut teletk sebuh titik (, ) ng membentuk sudut dengn sumbu- positif, sepeti teliht pd gmb beikut. Kt Kunci kudn I kudn II kudn III kudn IV sudut negtif (, ) O Gmb. Sudut pd kudn I Jik dikethui O =, O =, dn = mk dipeoleh umus-umus pebndingn tigonometi beikut. sin = ; cosec = cos = ; sec = tn = ; cotn = Selnjutn, nd dpt menemukn hubungn sudut dengn penikun, itu (90 ). 5

20 Selnjutn, pehtikn Gmb.. Titik (, ) diceminkn tehdp gis = mk bngnn dlh titik '(, ). Oleh ken pnjng = ' ', O = O', O = ''O = 90, ΔO =Δ 'O', kibtn O = 'O' =, dn 'O = (90 ) º (pehtikn segitig O' ng siku-siku di ). = '(, ) ' (90 ) (, ) O Gmb. Hubungn sudut dengn penikun Oleh ken 'O = (90 ) dn koodint titik '(, ), sehingg 'O = 'O = (90 ) dn oleh ken pnjng sisi O = dn O' = mk dipeoleh hsil beikut. sin (90 ) = = sin sin (90 ) = sin cos (90 ) = = cos cos (90 ) = cos tn (90 ) = = tn tn (90 ) = tn Tugs Sisw. Setelh nd mempelji hubungn sudut dn penikun, lengkpilh hubungn beikut. cosec (90 ) = =... cosec (90 ) =... sec (90 ) = =... sec (90 ) =... cotn (90 ) = =... cotn (90 ) =... ontoh Sol.9 Ntkn pebndingn tigonometi beikut dlm pebndingn tigonometi sudut penikun.. sin 50 b. cos 5 c. tn 5 54 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

21 Jwb:. sin 50 = sin (90 40) = cos 40 b. cos 5 = cos (90 75) = sin 75 c. tn 5 = tn (90 55) = cotn 55. Pebndingn di Kudn II (Hubungn Sudut dn Sudut (80 ) ) Jeljh Mtemtik ' 80 ' O Gmb.4 Hubungn sudut dn sudut (80 ) Pehtikn Gmb.4 tesebut. Titik (, ) diceminkn tehdp sumbu-, sehingg bngnn dlh titik '(, ). Dengn demikin, ΔO = Δ'O' mk O = 'O' = dn 'O = (80 ). Oleh ken 'O = (80 ) dn koodint titik '(, ) mk dipeoleh sin (80 ) = = sin sin (80 ) = cos cos (80 ) = - = cos cos (80 ) = sin tn (80 ) = Tugs Sisw.4 - = tn tn (80 ) = cotn nd telh mengethui hubungn sudut dn sudut (80 ). Sekng, lengkpilh pebndingn tigonometi beikut. cosec (80 ) = =... cosec (80 ) =... sec (80 ) = =... sec (80 ) =... cotn (80 ) = =... cotn (80 ) =... Sumbe: Teodolit dlh lt dengn lens pembidik ng dipki untuk menguku sudut-sudut vetikl dn hoizontl tentng kedn pemukn tnh (ketinggin, lus, dn sebgin). kej teodolit menggunkn pinsip togonometi, itu menguku sudutsudut vetikl dn hizontl tehdp bidng uku dengn memnftkn sin inf meh. Teodolit memiliki lt memoi untuk menimpn dt ng dipeoleh st pengukun. Sumbe: Ensiklopedi Mtemtik dn Pedbn Mnusi, 00 55

22 Sol Pilihn Sol Tebuk os 50 meupkn slh stu pebndingn tigonometi ng benili negtif. ilh pebndingn tigonometi linn ng jug benili negtif. ontoh Sol.0 Gunkn umus hubungn sudut dn sudut (80 ) untuk menedehnkn sol-sol beikut.. sin 5 b. cos 50 c. tn 0 Jwb:. sin 5 = sin (80 45) = sin 45 = b. cos 50 = cos (80 0) = cos 0 = c. tn 0 = tn (80 60) = tn 60 =. Pebndingn di Kudn III (Hubungn Sudut º dn Sudut (80 + ) º ) ' '(, ) (80 + ) O Gmb.6 Hubungn sudut dn sudut (80 + ) (, ) Pehtikn Gmb.6. Gmb tesebut menunjuk kn sebuh titik (, ) ng diceminkn tehdp titik pngkl sumbu koodint sehingg dipeoleh bngnn, itu '(, ). Dengn demikin, dipeoleh ΔO = Δ'O' dn kn bekibt O = 'O' =. Oleh ken 'O = (80 + ) dn koodint titik '(, ) mk dipeoleh sin (80 + ) = - = - = sin sin (80 + ) = sin cos (80 + ) = - = - = cos cos (80 + ) = cos tn (80 + ) = - - = = cotn tn (80 + ) = tn Tugs Sisw.5 nd telh mempelji hubungn sudut dn sudut (80 + ). Sekng, lengkpilh hubungn beikut. 56 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

23 cosec (80 + ) = =... cosec (80 + ) =... sec (80 + ) = =... sec (80 + ) =... cotn (80 + ) = =... cotn (80 + ) =... ontoh Sol. Gunkn umus hubungn sudut dn sudut (80 + ) untuk menedehnkn sol-sol beikut.. cos 0 b. sin 40 c. tn 5 Jwb:. cos 0 = cos (80 + 0) = cos 0 = b. sin 40 = sin ( ) = sin 60 = c. tn 5 = tn ( ) = tn 45 = 4. Pebndingn di Kudn IV (Hubungn Sudut Sudut (60 ) º ) º dn Pehtikn Gmb.7. Gmb tesebut menunjukkn sebuh titik (, ) ng diceminkn tehdp sumbu-, sehingg titik bngnn '(, ). Pd gmb teliht bhw ΔO = Δ 'O, sehingg bes O = 'O =. Ukun sudut 'O ng lncip dintkn jug sm dengn ken hn seh jum jm, sehingg tndn negtif, sedngkn ukun sudut 'O dlh (60 ). Oleh ken sudut 'O dlh (60 ) dn titik '(, ) mk dipeoleh umus-umus sebgi beikut. sin (60 ) = - = - = sin sin (60 ) = sin (60 ) O Gmb.7 (, ) '(, ) cos (60 ) = = cos cos (60 ) = cos Hubungn sudut dn sudut (60 ) 57

24 tn (60 ) = - = - = tn tn (60 ) = tn Tugs Sisw.6 Sol Pilihn Nili di sin 40 + sin 5 + cos 5 dlh d. b. - c. - e. Sol UN SMK, 004 nd telh mengethui hubungn sudut dn sudut (60 ). Sekng, lengkpilh hubungn beikut. cosec (60 ) = =... cosec (60 ) =... sec (60 ) = =... sec (60 ) =... cotn (60 ) = =... cotn (60 ) =... ontoh Sol. Gunkn umus hubungn sudut dn sudut (60 ) untuk menedehnkn sol beikut.. sin 00 b. cos 0 c. tn 5 Jwb:. sin 00 = sin (60 60) = sin 60 = b. cos 0 = cos (60 0) Y O q q P(, ) X P'(, ) Gmb.8 Sudut q dn sudut q = cos 0 = c. tn 5 = tn (60 45) = tn 45 = 5. Pebndingn untuk Sudut Negtif ( θ) Pehtikn Gmb.8. utlh stu titik pd lingkn di kudn I. Sebut titik tesebut P dengn koodint (, ). Tiklh gis di tegk luus sumbu- hingg menentuh lingkn pd kudn IV. Sebut titik tesebut P' dengn koodint (, ). dlh titik pd sumbu- dengn koodint (, 0). Di titik-titik tesebut dpt dibentuk sudut OP dn sudut OP'. p ng membedkn kedu sudut tesebut? 58 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

25 Pembedn dlh c pengmbiln sudut tesebut. OP dimbil belwnn h putn jum jm, sedngkn OP' dimbil seh jum jm. Oleh ken itu, jik OP meupkn θ mk OP' meupkn q. Hubungn sudutsudut tesebut sebgi beikut. sin ( q ) = - = sin q sin ( q ) = sin q cos ( q ) = = cos q cos ( q ) = cos q sin ( q ) = - = tn q tn ( q ) = tn q Tugs Sisw.7 nd telh mempelji pebndingn tigonometi untuk sudut q. Sekng, isilh pe bndingn tigonometi beikut. cosec ( q) = =... cosec ( q) =... sec ( q) = =... sec ( q) =... cotn ( q) = =... cotn ( q) =... ontoh Sol. Tentuknlh nili tigonometi beikut.. sin ( 5) b. cos ( 0) c. tn ( 00) Jwb:. sin ( 5) = sin 5 = sin ( ) = ( sin 45) = - Ê ˆ Á - Ë = b. cos ( 0) = cos 0 = cos (80 60) = cos 60 = Sol Pilihn Nili di sin0 + cos0 + sin50 tn45 + cos 0 =.... b. c. d. e. Sol UN SMK,

26 c. tn ( 00) = tn 00 = tn (60 60) = ( tn 60 ) = ( ) = 6. Pebndingn untuk Sudut ng Lebih di 60 º q (60 + q ) Gmb.9 Sudut (60 + q) Pehtikn Gmb.9. Gmb tesebut menunjukkn sudut stu putn ditmbh q. Oleh ken bes sudut stu putn 60 mk bes sudut ng lebih di 60, misln (60 + q ) kn sm dengn q. Dengn demikin, nili pebndingn tigonometi untuk sudut ng lebih di 60 dlh sebgi beikut. sin (k 60 + q ) = sin q ; cosec (k 60 + q ) = cosec q cos (k 60 + q ) = cos q ; sec (k 60 + q ) = sec q tn (k 60 + q ) = tn q ; cotn (k 60 + q ) = cotn q dengn k Œ q bilngn bult. ontoh Sol.4 Sol Pilihn Nili di cos.00 = d. b. - e. c. - Sol UN SMK, 005 Hitunglh nili tigonometi beikut.. sin 750 b. cos 40 c. tn ( 900) Jwb:. sin 750 = sin ( ) = sin ( ) = sin 0 = b. cos 40 = cos ( ) = cos ( ) = cos 60 = c. tn ( 900) = tn 900 = tn ( ) = tn 80 = tn (80 0 ) = ( tn 0 ) = 0 60 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

27 Tugs Sisw.8 nd telh mempelji pebndingn tigonometi sudut di sutu kudn dn pebndingn tigonometi sudut-sudut ng beelsi. Gunknlh pengethun nd mengeni hl tesebut untuk menelesikn sol-sol beikut. Tentuknlh semu nili ng memenuhi pesmn beikut.. sin = 6. sin = Sol Pilihn Sol Tebuk Dikethui nili sin =. Tentuknlh semu nili ng mungkin.. sin = 7. cos =. cos = 8. cos = 4. tn = 9. tn = 5. tn = 0. sin = Evlusi Mtei. Kejknlh sol-sol beikut di buku ltihn nd.. Ntknlh bentuk pebndingn tigonometi beikut dlm sudut q.. sin (90 q ) g. sin (80 + q ) b. cos (90 q ) h. cos (80 + q ) c. tn (90 q ) i. tn (80 + q ) d. sin (90 + q ) j. sin (70 q ) e. cos (90 + q ) k. cos (70 q ) f. tn (90 + q ) l. tn (70 q ). Ntknlh bentuk pebndingn tigonometi beikut dlm sudut lncip. Kemudin, tentukn nilin.. sin 5 f. cotn 0 b. sec50 g. sin 70 c. tn 40 h. cos 0 d. cosec 0 i. cosec 5 e. cos 5 j. tn 0. Hitunglh nili tigonometi beikut tnp menggunkn klkulto.. sin ( 0 ) f. sin 60 b. sin ( 5 ) g. tn 570 c. cos ( 40 ) h. cotn 85 d. cos ( 0 ) i. cos ( 90 ) e. tn ( 5 ) j. tn ( 480 ) 4. Dikethui sin 65 = 0,90; cos 65 = 0,755; tn 65 = 0,870. Hitunglh nili sin 5, cos 5, dn tn Dikethui sin 5 = 0,574; cos 5 = 0,89; tn 5 = 0,700. Hitunglh nili sin 45 + cos 5 tn Jik q sudut di kudn IV dn cos q = 4, tentukn nili sin q dn tn q. 7. Jik dikethui cos q = dn q sudut di kudn II, tentukn sin q dn cos q di kudn I. 8. Jik q sudut di kudn III dn sin q =, tentukn nili di:. cos q dn tn q ; b. sin (80 q ), cos (80 q ), dn tn (80 q ); 6

28 c. sinus, cosinus, dn tngen untuk di kudn IV. 9. Jik tn 5 =, tentukn nili di tn5 tn 85 tn95 tn Sedehnknlh bentuk-bentuk beikut.. cos (80 ) + sin (70 ) + sin (90 ) b. sin 40 cos 0 sin ( 0 ) c. sin( 90 - ) sin( 80 - ) d. tn( 80 - ), untuk 0 cotn ( ) Menggunkn Tbel dn Klkulto untuk Menci Nili Pebndingn Kt Kunci tbel tigonometi klkulto nd telh mempelji nili pebndingn tigonometi sudut-sudut istimew, sepeti 0, 0, 45, 60, dn 80. Tidk sulit untuk menemukn nilin ken nili-nili pebndingn tigonometi tesebut mudh untuk dihfl. gimn jik nd hus menci nili pebndingn tigonometi untuk sudut-sudut ng bukn sudut istimew? Misln, nd dimint menci nili sin 6,, cos 6,78, dn tn 8,5. pkh nd dpt lngsung menjwbn? Mungkin tidk mudh untuk mendptkn nili pebndingn tigonometin. Nmun, nd dpt menci nili pebndingn tigonometin dengn bntun tbel tigono meti dn klkulto.. Menci Nili Pebndingn Menggunkn Tbel Pehtikn Tbel. ng meupkn tbel pebndingn tigonometi untuk sinus. Selin tbel sinus, d jug tbel cosinus dn tngen ng dpt membntu nd untuk mempeoleh nili pebndingn tigonometi. Tbel pebndingn tigonometi tedii ts bebep bgin, itu bgin judul tbel, kolom bes sudut (bgin bult) di kolom pling kii, ngk di bis petm mentkn desiml (stu ngk sj), set bgin nili. 6 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

29 Tbel. Tbel Sinus Kolom bes sudut (bgin bult) sin bis desiml bis desiml gin nili Jeljh Mtemtik ekembngn tigonometi di duni bt membw pekembngn tigonometi di si. Mskt di si pun menelidiki tigonometi. Ong in meneliti hou-pei-fun-king ng menggunkn segitig siku-siku untuk menghitung jk. nk pul penguh penelitin ng dilkukn di Indi, tehdp sistem bilngn dn nili tempt. Pd ms kejn Dinsti Gupt, bht menulis bhi ng meupkn kumpuln di vesi, ng temsuk di dlmn lgoitm untuk menghitung kudt, pngkt tig, k kudt, k pngkt tig, dn tbel sinus. Sumbe: mth.unip.it 6

30 Sekng, nd kn belj menci nili pebndingn tigonometi dengn bntun tbel. Misln, nd ingin menci nili sin 7,4, lngkh-lngkh ng dpt nd lkukn sebgi beikut.. uk tbel sinus tu gunkn Tbel... i ngk 7 pd kolom bes sudut (bgin bult).. Tentukn nili desimln, itu 0,4 pd bis desiml. 4. Nili sin 7,4 dlh pepotongn bis 7 dengn kolom 0,4, itu 0,990. Jdi, nili sin 7,4 dlh 0,990. Seblikn, bgimn jik nd memiliki nili pebndingn tigonometi sin = 0,990, kemudin nd dimint untuk menci nili? eti nd dimint untuk menci keblikn di nili sin ng dpt ditulis sin tu c sin. Hubungn sin dn sin dlh sebgi beikut. sin = sin = tin, jik sin 7,4 = 0,990 mk sin 0,990 = 7,4. Dengn demikin, sin digunkn untuk mendptkn bes sudut ng nili sinusn. Pencin bes sudut ng dikethui nili -n dpt menggunkn tbel tigonometi dengn c ng bekeblikn dengn c menci nili pebndingn tigonometi. Untuk menci bes sudut, lngkh petm ng dilkukn dlh menci nili sinus, cosinus, tu tngen pd tbel tigonometi bgin nili, kemudin tik gis sejj hingg menemukn bes sudut (bgin bult). Selnjutn, di bgin nili tik gis vetikl ke ts hingg menemukn nili desiml. Gbungn bgin bult dn bgin desiml tesebut meupkn sudut ng dimksud. Gunknlh penjelsn tesebut untuk menci bes sudut pd Tugs Sisw.9 (Tbel tigonometi dpt nd liht di hlmn belkng buku ini). Notes Telitilh dlm menggunkn tbel tigonometi. Pehtikn judul tbel tesebut. Tugs Sisw.9 Dengn menggunkn tbel, tentuknlh nili-nili beikut.. sin 0 f. sin 0,997 b. cos 7,8 g. cos 0,84 c. tn 7,5 h. tn 0,99 d. cos 94 i. sin 0,767 e. sin 84,6 j. cos 0,7 64 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

31 . Menci Nili Pebndingn dengn Klkulto Menci nili sinus, cosinus, tu tngen dengn menggunkn tbel memng mudh, tetpi kekutnn kung ken hsil ng dipeoleh hn smpi empt desiml. Selin itu, bes sudut ng dici pun tebts pd bilngn ng bedesiml stu. Sendin kit ingin menci nili cos 0,87, tentu tbel cosinus sedehn ng disedikn tidk dpt membntu nd untuk mendptkn nilin. Oleh ken itu, nd dpt menggunkn klkulto scientific untuk mendptkn nili pebndingnn. menci nili tigonometi dengn menggunkn klkulto tidk sellu sm, begntung pd jenis klkulto ng digunkn. Misln, nd kn menci nili sin 6,5 dn sin 0,866. tombol beikut. Sin 6. 5 = Pd l kn muncul ngk 0, Jdi, sin 6,5 = 0,8 ( desiml). Untuk menentukn kebliknn, misln nd kn menentukn sin 0,866. nd dpt menekn tombol beikut. Shift Sin Pd l kn muncul 59, Jdi, sin 0,866. = 60 (pembultn ke puluhn tedekt). menekn tombol beikut Sin Pd l kn muncul ngk 0, Jdi, sin 6,5 = 0,8. Untuk menentukn kebliknn, misln menentukn sin 0,866, nd dpt menekn tombol beikut Shift Sin Pd l kn muncul ngk 59, Jdi, sin 0,866 = 60. Sumbe: Gmb.0 Klkulto scientific 65

32 ontoh Sol.4.50 m º c =.50 m.500 m =.500 m Sebuh peswt tebng ng mengngkut tuis domestik tke off di lndsn dengn sudut tebng () sepeti ng ditunjukkn pd gmb di smping. Tentuknlh bes sudut tebngn (). Jwb: Pehtikn bhw bes sudut dipeoleh dengn menghitung tn. Di gmb di smping dipeoleh.500 m tn =.50 m = 0,67 = tn 0,67 =, 8º Jdi, bes sudut tebngn () dlh,8º. Tugs Sisw.0 Gunkn klkulto scientific, kemudin cilh nili-nili pd Tugs Sisw.9 dengn menggunkn klkulto. pkh hsil ng dipeoleh sm dengn pehitungn menggunkn tbel? Evlusi Mtei. Kejknlh sol-sol beikut di buku ltihn nd.. Gunkn tbel tigonometi untuk menghitung nili-nili tigonometi beikut.. sin 9, f. sin 0,46 b. sin 94,6 g. cos 0,90 c. cos 4,5 h. cos 0,77 d. cos 5,5 i. tn 0,84 e. tn, j. tn 0,0. Gunkn klkulto untuk menentukn nilinili tigonometi beikut.. tn 7,84 b. cos 4,67 c. sin 68,47 d. cos 0,584 f. tn 0,648 e. sin 0,9675. Tentukn bes sudut q pd gmb beikut dengn menggunkn klkulto.. b. cm 5 cm 8 cm cm q q 66 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

33 c. 5. Tentukn nili tigonometi di gmb beikut. cm b q 5 cm 4. Hitunglh pnjng,, dn z pd gmb beikut.. b. c. cm 5 cm 8 cm 54 cm z 6 cm 5, 8 cm cm q g 5 cm 0 cm. sin c. tn g b. cos q d. cos b 6. Di sebuh tmn bemin tedpt jungktjungkit ng pnjngn,8 m dn membentuk sudut 50 pbil slh stu ujungn menentuh tnh. Tentuknlh tinggi jungktjungkit pd kedn tesebut. 7. Sebuh tngg ng pnjngn 9 m disndkn pd sebuh dinding. Jk ujung tngg dengn ds tembok tinggi n 6 mete. epkh sudut ng dibentuk oleh ujung tngg dengn tnh? 8. Seuts kwt ditik di punck sebuh men pemnc menuju ke sebuh jngk ng letkn 00 m di ds men. Jik bes sudut elevsin dlh 40, bepkh tinggi men tesebut? 48 D Identits g nd lebih memhmi mtei identits tigonometi, pehtikn Gmb.. Segitig O siku-siku di sehingg belku hubungn O =O + = + = + Pebndingn tigonometin, itu Kt Kunci pebndingn tigonometi identits tigonometi pembuktin identits tigonometi sin = cos = 67

34 sin = (, ) O Gmb. Segitig 0 siku-siku di Notes sin tn = cos sec = cos cosec = sin cotn = tn Oleh ken cos = mk = cos Oleh ken sin = mk = sin Di hsil tesebut dpt dipeoleh = + = ( cos ) + ( sin ) = cos + sin = (cos + sin ) cos + sin = = Di penjelsn tesebut, dipeoleh hubungn beikut. cos + sin = Hubungn dn pesmn tesebut disebut identits tigono meti. Di identits tesebut dpt dituunkn identitsidentits tigonometi ng linn. Identits tu kesmn dlh sutu bentuk pesmn ng sellu benili ben. Untuk membuktikn kebenn sutu identits dpt dilkukn dengn bemcm-mcm c, di ntn sebgi beikut.. Mengubh bentuk us kii sehingg menjdi sm dengn us knn.. Mengubh bentuk us knn sehingg menjdi sm dengn us kii.. Mengubh kedu us sehingg kedun menjdi sm. ontoh Sol.6 Dengn menggunkn nili di msing-msing fungsi tigonometin, buktiknlh bhw:. cos 0 + sin 0 = c. cotn 45 = cos 45 sin 45 b. tn 0 = sin 0 cos0 d. sec 0 = + tn 0 Jwb:. cos 0 + sin 0 = ukti: Rus kii = cos 0 + sin 0 68 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

35 = ˆ ˆ Ê Á Ë + Ê ÁÊ Ë = 4 () + 4 = = 4 = (us knn) 4 b. tn 0 = sin 0 cos0 ukti: Rus kii = us knn tn 0 = sin 0 cos0 = = = = = = (tebukti) c. cotn 45 = cos 45 ukti: sin 45 Rus kii = us knn = = (tebukti) d. sec 0 = + tn 0 ukti: Ê ˆ Á Ë = + Ê ˆ Á Ë Sech Ketik: jeed/mth9/stnd/ tigonomet.swf Ketik: dikmenum. go.id/dtpp/elening/bhn/ kels/imges/ PENERPN%0 RUMUS%0 SINUS% 0KOSINUS.swf website-website tesebut memut infomsi mengeni tigonometi. 69

36 4 9 () = + 9 () 9 = = 9 (tebukti) ontoh Sol.7 uktikn bhw:. cos b + cos b = b. (cos + sin ) = + cos sin c. cos 4 q sin 4 q = cos q sin q Jwb:. cos b + cos b = membuktiknn dlh dengn mengubh bentuk us kii g sm dengn us knn. cos b + cos b = (cos b + cos b ) = () = (tebukti) b. (cos + sin ) = + cos sin membuktiknn dlh dengn mengubh bentuk us kii g sm dengn us knn. (cos + sin ) = cos + cos sin + sin = cos + sin + cos sin = (cos + sin ) + cos sin = + cos sin (tebukti) c. cos 4 q sin 4 q = cos q sin q membuktiknn dlh dengn mengubh bentuk us kii g sm dengn us knn. cos 4 q sin 4 q = (cos q + sin q )(cos q sin q ) = () (cos q sin q ) = cos q sin q (tebukti) Evlusi Mtei.4 Kejknlh sol-sol beikut di buku ltihn nd.. Gunkn nili-nili pebndingn tigonometi (sudut istimew) untuk membuktikn pentn beikut.. sin 45 + cos 45 = b. + tn 0 = sec 0 c. sin 0 cotn 0 = sec0 d. cosec 45 = + cotn 45 e. tn 0 cos 0 = sin 0 f. sin 60 cotn 60 = cos Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

37 g. = sin 0 cosec 0 h. tn 45 = sin 45 sec 45. uktiknlh identits tigonometi beikut.. ( + sin )( sin ) = cos b. (sin cos ) = sin cos c. cos = sin d. (sin + cos ) (sin + cos ) = sin e. (sin cos ) + cos sin = f. - cos sin = sin + cos 4. Dikethui cos b = -7 5, untuk 90 < b < 80. Tentuknlh nili sin b dn tn b Dikethui tn = 0, untuk 70 < < 60. Tentuknlh nili sin, cos, cosec, sec, dn cotn.. Dikethui sin = dn sudut lncip. 5 Hitunglh nili di cos, tn, cotn, sec, dn cosec. E Mengkonvesi Koodint tesius dn Koodint Kutub. Pebedn Koodint tesius dn Koodint Kutub Pehtikn Gmb. dn Gmb. g nd lebih mudh memhmi pebedn koodint tesius dn koodint kutub. Pd koodint tesius, letk sutu titik ditentukn bedskn jk dn h tehdp du gis ng sling tegk luus. Gis tegk luus meupkn sumbu koodint. Jk titik ke sumbu hoizontl (sumbu-) disebut odint dn jk titik tesebut ke sumbu vetikl (sumbu-) disebut bsis. Psngn koodint titik P(, ) tin titik P memiliki bsis dn odint. Selin dengn koodint tesius, letk sutu titik pd bidng dt dpt jug dintkn dengn koodint kutub (koodint pol) ng ditunjukkn oleh Gmb.. Untuk mentkn letk sutu titik pd koodint kutub, dipelukn du ukun, itu jk (jk di sutu titik tehdp titik sl O) dn ukun sudut, itu sudut nt gis sumbu- positif dengn gis penghubung titik Kt Kunci koodint tesius koodint kutub P(, ) (odint) O (odint) Gmb. Titik P pd koodint tesius 7

38 P(, ) O Gmb. Titik P pd koodint kutub (5, 0 ) = 5 0 O tesebut dengn titik O ng ditik belwnn h jum jm. Koodint kutub titik P dintkn dengn P(, ). Selnjutn, nd kn belj menggmb letk titik pd koodint kutub. Lngkh menentukn koodint kutub sutu titik dlh menentukn sudut ng diuku di sumbu-, kemudin menentukn pnjng jk di titik O ke titik P sepnjng stun. ontoh Sol.8 Dikethui koodint titik (5, 0 ) dn koodint titik (5, 5 ) sepeti ng ditunjukkn pd gmb di smping. Ntkn kedu titik tesebut dlm koodint tesius. Jwb:. (5, 0 ) ng diuku di sumbu- pd kudn I. dengn menik gis pembentuk sudut 0 di titik O sepnjng 5 stun. dengn koodint kutub (5, 0 ). b. (5, 5 ) di sumbu- pd kudn III. dengn menik gis pembentuk sudut 5 di titik O sepnjng 5 stun. dengn koodint kutub (5, 5 ).. Hubungn Koodint Kutub dn Koodint tesius Pehtikn gmb beikut. = 5 5 O (5, 5 ) P(, ) = P(, q ) q O P' Gmb.4 Titik P dlm koodint tesius dn koodint kutub 7 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

39 Titik P dpt ditulis dlm du bentuk koodint, itu koodint tesius dn koodint kutub. Koodint tesius ditulis P(, ), koodint kutub ditulis P(, q ). Pehtikn ΔOPP'. OP meupkn ji-ji = + sin q = PP' OP = mk = sin q cos q = OP' OP = mk = cos q tn q = PP' OP' = mk q = tn Di ketengn tesebut dpt dipeoleh hubungn nt koodint esius dn koodint kutub sebgi beikut.. Jik koodint tesius P(, ) dikethui, nd dpt mempeoleh koodint kutubn, itu P(, q ) dengn nili = + dn q dlh sudut ng memenuhi tn q = (pehtikn kembli Gmb.4).. Jik koodint kutub P(, q ) dikethui, nd dpt mempeoleh koodint tesiusn, itu P(, ) dengn = cos q dn = sin q. ontoh Sol.9 Ubhlh koodint titik P(9, ) ke dlm koodint kutub P(, q ). Jwb: Titik P(9, ) beti titik P teletk di kudn I dengn = 9 dn =. = + tn q = = 9 ( ) = 9 = 8+ 7 = = 08 q = tn = 0 Jdi, koodint titik kutub P(9, ) dlh ( 08, 0 ). 7

40 Solusi eds Dikethui koodint tesius ( 5, 5) mk koodint kutubn dlh.... (0, 0 ) b. (0, 60 ) c. (0, 0 ) d. (0, 50 ) e. (0, 0 ) Jwb: Koodint tesius ( 5, 5) beti bsis () = 5 dn odint () = 5. nd hus menci koodint kutubn (, ). = = ( ) = = 00 = 0 Oleh ken dikethui nili dn -n, nd dpt menci bes sudutn dengn menggunkn pebndingn tigonometi tngen sudut ng dici dlh mk tn = = 5-5 = = tn = c tn = 50 Jdi, koodint kutubn dlh (0, 50 ). Jwbn: d Sol UN SMK, 006 ontoh Sol.0 Ubhlh koodint titik P(, ) ke dlm koodint kutub P(, q ). Jwb: Titik P(, ) beti titik P teletk di kudn III dengn =, dn =. = + = ( ) ( ) tn q = = - - = + 4 = = 6 = 4 q = tn = 0 (di kudn III) Jdi, koodint titik kutub P(, ) dlh (4, 0 ). ontoh Sol. Dikethui titik P mempuni koodint kutub (, 0 ). Tentukn koodint tesiusn. Jwb: P(, 0 ) beti = dn q = 0 = cos q = sin 0 = sin( ) = ( sin 0 ) = ( ) = = sin q = cos 0 = cos( ) = ( cos 0 ) = ( ) = Jdi, koodint tesius titik P(, 0 ) dlh P(, ). 74 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

41 Evlusi Mtei.5 Kejknlh sol-sol beikut di buku ltihn nd.. Ubhlh titik dlm koodint kutub beikut ke dlm koodint tesius. Kemudin, tunjukkn titik-titik tesebut pd stu bidng gmb.. K(, 45 ) d. N(, 0 ) b. L(, 5 ) e. O(5, 750 ) c. M(, 70 ). Ubhlh titik-titik beikut ke dlm koodint kutub. Kemudin, tunjukkn titiktitik tesebut pd stu bidng gmb.. P(, ) d. S( 5, 5) b. Q(, ) e. T(, ) c. R(, ). Dikethui koodint tesius titik ( 8, ) dn koodint kutubn (, 0 ). Tentuknlh nili di Koodint kutub P dlh (, q) dn koodint tesiusn dlh (, ). Jik P teletk di kudn III, tentuknlh nili q dn. 5. Sebuh pehu begek di pelbuhn u ke pelbuhn Kjudi dengn h 60 dn keceptn 50 km/jm. Setelh bel jm, pehu tesebut tib di pelbuhn Kjudi. Tentuknlh:. jk pelbuhn Kjudi di pelbuhn u; b. jk pelbuhn Kjudi di pelbuhn h Ut pelbuhn u; c. jk pelbuhn Kjudi di pelbuhn h Timu pelbuhn u. F tun Sinus dn osinus Pd subbb sebelumn, nd telh mempelji umus tigonometi. Rumus tigonometi ng telh nd pelji tesebut hn belku pd segitig siku-siku. Untuk segitig sebng nd dpt menentukn unsu-unsu ng belum dikethui dengn menggunkn tun sinus dn tun cosinus. Kedu tun tesebut sebgi beikut.. tun Sinus g nd lebih mudh mempelji mtei tun sinus, pehtikn segitig-segitig pd Gmb.5. Kt Kunci segitig sebng pnjng sisi bes sudut sd s s sd s sd sd sd (i) (ii) (iii) s (sd - sd - s) (sd - s - sd) (s - s - sd) Gmb.4 Segitig dengn bebgi unsu ng dikethui 75

42 b E c D Gmb.6 Segitig dengn D sebgi gis tinggi Segitig (i) dn (ii) dikethui slh stu sisi dn du sudutn, sedngkn segitig (iii) dikethui du sisi dn sudut di depn slh stu sisi ng dikethui. gimn nd dpt mengethui ukun sudut dn sisi lin di ketig segitig tesebut? Pehtikn segitig pd Gmb.6. Mislkn, D =, D dlh gis tinggi mk pebndingn tigonometin dlh sin = = b sin... () b sin = = sin... () c Di pesmn () dn () dipeoleh b sin = c sin ng dpt dibut bentuk beikut. b c = sin sin Dengn menggunkn pesmn tesebut, pnjng b dn c dpt dintkn sebgi beikut. b = c i dn c = b sin sin Selnjutn, untuk menci pnjng, nd dpt menggunkn gis tinggi E. Misln, E disimbolkn dengn mk pebndingn tigonometin dlh sin = b = b sin... () sin = = sin... (4) Di pesmn () dn (4) dipeoleh b sin = sin. b sin = sin sehingg b = sin b c Di bentuk sin = sin dn b sin = sin, dipeoleh tun sinus ng diumuskn sebgi beikut. b c sin = sin = sin c ontoh Sol. b 45 Dikethui segitig sepeti pd gmb di smping ng unsuunsun sebgi beikut. = 90, = 45, dn = 6 cm. Tentukn unsu-unsu linn. 76 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

43 Jwb: ob nd ingt kembli jumlh ketig sudut dlm sutu segitig dlh 80, sehingg + + = 80 = 80 ( + ) = 80 ( ) = 45 Selnjutn, gunkn tun sinus untuk menci unsu linn. b = sin sin b = i sin = 6 90 sin 45 Jdi, b = 6 cm. b c = sin sin c = b = 6 sin 45 sin sin 90 Jdi, c = 6 cm. = 6 = = 6 = 6 = 6 Notes c Ingtlh jumlh ketig sudut segitig dlh 80 sehingg jik dikethui sudut = dn = c, nd dpt menci sudut dengn c = 80 ( + ) = 80 ( + b) b Jdi, unsu-unsu linn dlh = 45, b = 6 c = 6 cm. cm, dn ontoh Sol. Dikethui segitig PQR dengn PQR = 45, QPR = 75, dn pnjng sisi PR 8 cm. Tentuknlh pnjng QP dn QR. Jwb: Sol tesebut dpt nd gmbkn sepeti gmb di smping. Dengn mengingt kembli bhw jumlh sudut segitig dlh 80, nd dpt menentukn bes PRQ dengn c beikut. PRQ = 80 ( PQR + QPR) = 80 ( ) = 80 (0 ) PRQ = 60 Selnjutn, nd dpt menggunkn umus sinus untuk menci pnjng PR dn QR. tun sinus ng belku pd segitig ini dlh PR QR QP = = sin PQR sin QPR sin PRQ 8 QR QP = = sin 45 sin 75 sin 60 8 Untuk menci pnjng QP mbil sin 45 = QP sin60 45 Q P 75 R 77

44 8 = QP = QP 8 QP = 4 6 Untuk menci pnjng QR gunkn tun sinus beikut. 8 sin 45 = QR sin75 8 QR = sin 75 dici dengn menggunkn klkulto 0, 965 tu sin 75º = (45º + 0º) QR = 0,9 cm Jdi, pnjng QP = 4 6 cm dn pnjng QR = 0,9 cm. ontoh Sol D Pehtikn gmb di smping. Rus gis meupkn bentngn kwt sepnjng 5 km dn titik menggmbkn posisi pbik. Jik di titik ke dn di titik ke dipsng kwt, kn tebentuk segitig dengn = 0 dn = 60. Di infomsi tesebut, tentuknlh:. pnjng kwt listik ng dipelukn di titik ke titik ; b. pnjng kwt listik tependek ng dibutuhkn g pbik mempeoleh penengn listik. Jwb: Pehtikn gmb di smping. Dikethui = 0 dn = 60, sehingg = 90. Selnjutn, nd dpt menggunkn umus sinus untuk menjwb petnn-petnn tesebut.. Menci pnjng kwt listik ng dipelukn di titik ke titik beti nd hus menci pnjng. tun sinus ng belku = sin sin = sin sin = 5 0 sin 90 = 5 Ê ˆ Á Ë =,5 Jdi, pnjng kwt listik ng menghubungkn titik dn dlh,5 km. 78 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

45 b. Jk tependek di pbik ke bentngn kwt listik dlh gis D ken gis D meupkn jk tependek di ke (D tegk luus ). Pd segitig D belku hubungn beikut. D = sin D sin D 5 Ê ˆ sin D 5, sin60 Á D = = = Ë sind sin 90 = 5 4 ª, Jdi, kwt listik tependek g pbik mendpt penengn dlh, km.. tun osinus Pehtikn segitig pd Gmb.7 beikut. Sol Pilihn Jik di segitig dikethui = 0 cm, = 0 cm, dn sudut = 60 mk sudut dlh d. 55 b. 90 e. 45 c. 75 Sol UMPTN, 00 S S S sd S S () (b) (s-sd-s) (s-s-s) Gmb.7 () segitig ng dikethui du sisi dn sudut ng dipitn (b) segitig ng dikethui ketig sisin Pd segitig (), dikethui sebuh sudut dn du buh sisi ng mengpitn, sedngkn pd segitig (b), dikethui pnjng ketig sisin. gimn c nd mengethui ukun sudut dn sisi linn di kedu segitig tesebut? Pehtikn segitig pd Gmb.8. Mislkn,, b, dn c dikethui. Kemudin, nd dimint menci pnjng. Lngkh ng dpt nd lkukn dlh sebgi beikut. ut gis tinggi D, sebut pnjng D dlh cos = D D = c cos c Pehtikn segitig D pd Gmb.8. Pd segitig D belku dlil Pthgos beikut. = c D = c (c cos ) = c c cos c Gmb.8 D b Segitig ng dikethui du sisi dn sudut ng dipitn 79

46 Notes Gis tinggi pd segitig meupkn gis ng ditik di titik punck segitig tegk luus dengn ls segitig. D = (b D) = b bd + D = b bc cos + c cos Pehtikn pul segitig D. Pd segitig D belku dlil Pthgos beikut. = D + = (b bc cos + c cos ) + c c cos = b + c bc cos Tugs Sisw. D Pd gmb tesebut D meupkn gis tinggi segitig. Dengn c ng sm sepeti pd uin di ts, cob nd buktikn umus beikut. b = + c c cos c = + b b cos b Dengn demikin, dpt dipeoleh hsil beikut. Pd setip segitig dengn pnjng sisi,, dn betuut-tuut, b, dn c set sudut di depn sisi-sisi tesebut betuut-tuut,, mk belku tun cosinus beikut. = b + c bc cos b = + c c cos c = + b b cos c Untuk menentukn bes sudut dlm sutu segitig, tun cosinus dpt diumuskn sebgi beikut. Gmb.9 Segitig dn pnjng sisin cos = b c - bc cos = + c - b c cos = b - c b ontoh Sol.5 b = 8 cm 60 c = 5 cm Pd segitig, dikethui pnjng sisi b = 8 cm, sisi c = 5 cm, dn = 60. Hitunglh sisi. Jwb: = b + c bc cos = (8) (5) cos 60 = (40) Ê ˆ Á Ë 80 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

47 = = 49 = 49 = 7 Jdi, pnjng sisi dlh 7 cm. ontoh Sol.6 Hitunglh bes sudut-sudut pd segitig, jik dikethui = 5 cm, b = 7 cm, dn c = 9 cm. Jwb: cos = b c - bc = = 7 ( )( 9) 6 nd dpt menci bes sudut dengn menci cos 0,8 menggunkn klkulto. = cos 0,8 =,6 Jdi, =,6. cos = b + c - c = () ( 9) = 90 = = 0,6 = cos 0,6 = 50,7 Jdi, = 50,7. = 80 (,6 + 50,7 ) = 80 84, = 95,7 Jdi, = 95,7º. b = 7 cm c = 9 cm = 5 cm ontoh Sol.7 Ut Pd sebuh pet dengn skl :00.000, letk tempt wist di tempt wist dlh 0 sepeti pd gmb di smping. Jik hsil pengukun pd pet dipeoleh jk di tempt wist ke tempt wist dlh 50 mm dn jk di tempt wist ke tempt wist dlh 465 mm, tentuknlh jk sebenn di tempt wist ke tempt wist. 0 Timu 8

48 Jwb: edskn umus cosinus pd segitig mk belku = + ()() cos 0 = (50) + (465) (50) (465) Ê ˆ Á - Ë = = 7457 = 86, mm Jdi, jk tempt wist ke tempt wist ng sebenn dlh 86, m tu 86, km. Evlusi Mtei.6 Kejknlh sol-sol beikut di buku ltihn nd.. Tentuknlh unsu-unsu segitig linn pbil dikethui unsu-unsu sebgi beikut.. = 0, = 45, dn = 4 cm b. = cm, = 7, dn = 0 c. = 5 cm, = 0, dn = 0. Tentukn sisi-sisi segitig, jik dikethui sebgi beikut.. + b = 0, = 0, dn = 45 b. + b = 0, = 45, dn = 45 c. = 5, = 60, dn = 60 d. = 5, = 0, dn = 65. Tentukn sisi-sisi di segitig jik + b + c = 50, = 50, dn = Pehtikn gmb beikut. Rus gis meupkn bentngn kwt sepnjng 4 km dn titik mengmbkn posisi pbik. Jik di titik ke dn di titik ke dipsng kwt, kn tebentuk segitig dengn = = 45. Hitunglh pnjng kwt listik tependek ng dibutuhkn g pbik mempeoleh penengn listik. peneim dn. Dikethui sudut elevsi nt sinl ng dipnckn dn gedung peneim dlh 75,0, sedngkn sudut elevsi di gedung peneim dlh 6,. Jik jk nt gedung peneim dn dlh.50 km, tentukn jk stelit di gedung peneim. 6. Kpl l bengkt di pelbuhn ke pelbuhn dengn h 70. Kemudin, kpl l tesebut bel ke pelbuhn dengn h 40. Jk pelbuhn ke pelbuhn dlh 00 km. Pelbuhn bed pd h 0 di pelbuhn mk hitunglh:. jk pelbuhn di ; b. jk pelbuhn di. 7. Pehtikn gmb beikut. D 5. Sebuh stelit komuniksi tept bed di ts gis ng menghubungkn gedung Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn

49 Jik titik teletk pd kki bukit dn di titik teliht punck bukit, itu D dengn sudut elevsi 5. Kemudin, titik teletk sm tinggi dengn titik. Di titik punck bukit teliht dengn sudut elevsi 5. Jik jk dlh.00 mete mk hitunglh tinggi bukit tesebut. 8. Tentukn pnjng sisi ketig segitig untuk setip segitig beikut.. pd segitig, jik b =, c = 5, dn = 60 b. pd segitig, jik =, c = 5, dn = 5 c. pd segitig, jik b = 6, c = 8, dn = 55,8 9. Tentuknlh bes sudut pd segitig ng dikethui unsu-unsun sebgi beikut.. pd Δ, jik =, b = 0, dn c = 8 b. pd Δ, jik = 6, b = 7, dn c = 5 c. R pd ΔPQR, jik p = 8, q = 0, dn = 5 0. Du buh stelit dimti di sebuh stsiun pengmtn. Jk slh stu stelit dengn stsiun dlh.500 km dn stelit linn be jk.900 km di stsiun. Sudut ng dibentuk kedu stelit dn stsiun pe ngmtn dlh 0. Tentuknlh jk kedu stelit tesebut. stelit stelit.500 km 0 stsiun.800 km G Lus Segitig. Lus Segitig ng Dikethui Sebuh Sudut dn Du Sisi ng Mengpitn Pehtikn segitig pd Gmb.0. Mislkn, pnjng dlh c, pnjng dlh, pnjng dlh b, dn pnjng D dlh mk sin = = c sin c sin = = sin Kt Kunci sudut pit pnjng sisi lus deh L Δ = ls tinggi b b csin = = = bcsin L Δ = ls tinggi b b sin = = = bsin 8

50 c Sekng, pehtikn segitig pd Gmb.. Mislkn, dikethui pnjng = c, pnjng =, pnjng = b, dn pnjng E = mk sin = = c sin c b D Gmb.0 Segitig dengn D sebgi gis tinggi sin = = b sin b L Δ = ls tinggi = = sin = bsin ls tinggi tu L Δ = = = sin = bsin edskn uin tesebut dipeoleh hsil beikut. Untuk menghitung lus deh segitig jik dikethui sebuh sudut dn du sisi ng mengpitn nd dpt menggunkn umus beikut. c E L = bc sin b L = c sin Gmb. L = b sin Segitig dengn E sebgi gis tinggi ontoh Sol.8 Hitunglh lus Δ, jik dikethui sisi b = 4, c = 5, dn = 0. Jwb: b = 4 L Δ = bc sin 0 c = 5 = 4 5 sin 0 = 4 5 = 5 Jdi, lus Δ dlh 5 stun lus. ontoh Sol.9 q = 7 cm R Dikethui lus ΔPQR dlh 4 cm. Jik pnjng q = 7 cm dn = 6 cm, bepkh bes P? Jwb: P = 6 cm Q L ΔPQR = q sin P 84 Ketif Menggunkn Mtemtik untuk Kels XI SMK/MK Rumpun Seni, Piwist, dn Teknologi Keumhtnggn