E-learning matematika, GRATIS

Transkripsi

1 Penyusun : D. Nuning Sulistyowti Edito : Ds. Keto Susnto, M.Si. M.T. ; Istijb, S.H. M.Hum. Imm Ind Gunwn, S.Si. I. Pengukun Sudut Sebelum membhs stun pengukun sudut,kit ulng telebih dhulu tentng pengetin sudut. Sudut dlh sutu deh yng dibtsi oleh du sin(gis) yng besekutu pd titik pngklny. Pehtikn pd gmb dibwh ini: B Gis dn gis besekutu di titik O A Membentuk sudut AOB ditulis O AOB Sudut stu putn penuh 60 0 tu din(dlm din). Dengn demikin bes sudut stu dejt ( ) didefinisikn sebgi ukun sudut yng besny putn penuh dpt dituliskn : putn 60 Ukun sudut linny dlh din. Stu din( d) didefinisikn sebgi besny sudut pust sutu lingkn yng menghdp busu lingkn yng pnjngny sm dengn ji-ji lingkn tesebut (liht gmb). P Dpt dituliskn bes POR dlh d. Untuk stu putn penuh niliny sm dengn keliling lingkn yitu,oleh ken itu O d π putn penuh d Hubungn dejt dn din R d 60 0 d d π d 57, 0 π tu din 80 Contoh.Ubhlh bes sudut dlm stun dejt ke dlm stun din x b x 80. Ubhlh bes sudut dlm stun din ke dlm stun dejd 80. π π 80 b. π 0 π

2 II. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT Tigonometi tedii di sinus(sin), cosinus(cos), tngens(tn), cotngens(cot), secn(sec), dn cosecn(cosec). Tigonometi meupkn nili pebndingn yng dpt didefinisikn pd koodint Ctesius tu segitig siku-siku. Misl lingkn L beji-ji. Titik P(, b) teletk pd lingkn L dn OP, OP membentuk sudut α dengn sumbu x positif. b odint sin α y ji ji P(, b) cosα tnα y x bsis ji ji odint bsis x bsis cot α y odint ji ji sec α x bsis ji ji cosecα y odint Jik tigonometi didefinisikn dlm segitig siku-siku mk definisiny dlh sebgi beikut: b c sin cosecα c b c c cosα sec α b c α b tn α cot α b O α x Contoh Jik sin α dn 0 O < α < 90 O, tentukn nili cosα dn tnα Jwb: sin α dpt digmbkn pd segitig siku-siku. cos α tnα α

3 . Nili Tigonometi Untuk Sudut-Sudut Istimew Di dlm tigonometi d 5 sudut yng diktegoikn sudut istimew. Kelim sudut tesebut dlh sudut-sudut yng besny 0 O, 0 O, 45 O, 60 O, 90 O. Nili tigonometi untuk sudut-sudut istimew ini disjikn pd tbel beikut: Sin α 0 Cos α Tn α 0 Sec α 0 - Cosec α - - Cot α - A. Rumus-Rumus Identits Tigonometi 0 sinα tn α cosα cosα cot α sinα sec α cosα cosecα sin α sin α + cos α tn α + sec α cot α + cosec α B. Pebndingn tigonometi sutu sudut di bebgi kudn.. Sudut pd kudn Sumbu-sumbu pd koodint membgi bidng koodint menjdi empt deh yng disebut dengn kudn. Sehingg bes sudut α dpt dikelompokkn menjdi 4 deh sepeti yng teliht pd gmb beikut : Y Kudn II ( -x, y) Kudn I ( x, y) X Kudn III ( -x, - y) Kudn IV ( x, - y) Pembgin sudut pd tip kudn : Kudn I 0 o < α < 90 o Kudn II 90 o < α < 80 o Kudn III 80 o < α < 70 o Kudn IV 70 o < α < 60 o

4 4 Di gmb tesebut nili ( tnd ) pebndingn tignometi dibebgi kudn dpt diliht pd tbel sebgi beikut : Pebndingn Tigonometi Kudn I Kudn II Kudn III Kudn IV Sinus α Cosinus α Tngen α Cosecn α Secn α Tngen α Sudut Beelsi. Sudut di kudn I ( 0 o < x < 90 o ) Pehtikn segitig OAP di kudn I dn titik P ( x,y) O x 90 Dpt disimpulkn bhw : Sin (90 o ) Cos o Cos (90 o ) Sin o Tn (90 o ) Cot o Sin o y/ Cos o x/ Tn o y/ x Sin ( 90 o - ) x/ Cos ( 90 o - ) y/ Tg ( 90 o - ) x/y b. Sudut di kudn II ( 90 o < x < 80 o ) Pehtikn segitig OAP di kudn I, titik P (x,y) dn titik p ( -x,y) P( x,y) P(x,y) A y P(x,y) y (80 ) 90 y x O x A Sudut di kudn I Sudut di kudn II Sin o y/ Sin ( 80 o ) y/ Cos o x/ Cos ( 80 o ) x/ Tn o y/x Tn ( 80 o ) y/ x Di bebep umusn dits dpt disimpulkn : Sin ( 80 o o ) Sin o Cos ( 80 o o ) Cos o Tn ( 80 o o ) Tn o

5 5 c. Sudut di kudn III ( 80 o < x < 70 o ) P(x,y) (80 +) 90 y x O x A y P( x, y) Pehtikn segitig OAP di kudn I dn titik P ( x,y) dn titik P ( x, y) di kudn III. Dipeoleh elsi sebgi beikut : Sudut di kudn I Sudut di kudn III Sin o y/ Sin ( 80 o + ) y/ Cos o x/ Cos ( 80 o + ) x/ Tn o y/ x Tn ( 80 o + ) y/x Di bebep umusn dits, dpt disimpulkn : Sin ( 80 o + o ) Sin o Cos ( 80 o + o ) Cos o Tn ( 80 o + o ) Tn o d. Sudut di kudn IV ( 70 o < x < 60 o ) Dengn c yng sm didpt hubungn(elsi) sebgi beikut : Sin (60 o o ) Sin o Cos (60 o o ) Cos o Tn (60 o o ) Tn o Contoh :. Tentukn nili tigonometi beikut :. Sin 60 0 b. Sin 0 0 c. Cos 0 0 d. Tn 40 0 e. Sin 5 0 f. Cos 00 0 Jwb :. Sin 60 0 Sin ( ) Cos 0 0 b.sin 0 0 Sin ( ) Sin 60 0 c. Cos 0 0 Cos ( ) Cos 0 0

6 6 d. Tn 40 0 Tn ( ) Tn 60 0 e. Sin 5 0 Sin ( ) Sin 45 0 f. Cos 00 0 Cos ( ) Cos 60 0 C. Hubungn Koodint Ctesius dn Koodint Kutub/Pol. P(x,y) y O o x A. Meubh Koodint Ctesius ke Koodint Kutub Dikethui koodint P(x, y) P(, o )..? Liht OAP siku-siku di A x + y ; Tn o y x o c Tn y x b. Meubh Koodint Kutub ke Koodint Ctesius Dikethui koodint P(, o ) P(x, y)..? Liht OAP siku-siku di A Sin o y ; Cos o x y Sin x Cos Contoh.Tentukn koodint ktecius di titik A(,5 0 ) Jwb x Cos y Sin cos 5 0 sin 5 0 cos( ) sin ( ). cos 45 0 sin Jdi Koodint ktecius titik A(, ).Tentukn koodint kutub di titk B(-, ) Jwb y tn - x - c tn( ) mk 5 0 ( dikudn II sin (+) dn cos (-)) Jdi koodint kutub titik B(,5 0 )

7 7 Ltihn. Nytkn dlm bentuk dejt : d b. d c. d d. d. Nytkn dlm bentuk din :. 0 0 b c. 7 0 d Tentukn nili beikut :.Sin 50 0 c.tn 0 0 e. Cos b.cosec 45 0 d.sin f. Sin 4. Hitunglh nili di : 5. Cos π Cos π + Sin π b. Sin 60 0.Cos tn 5 0 c. (Cos 00 0 Sin 0 0 ) x ( Cos Sin 0 0 ) tn50 + cos60 d. tn50 cos60 4 e. Jik Cot ß, tentukn nili tigonometi beikut: * Sin ß dn tg ß. * Sec ß dn Ctg ß. * ( Sin ß ) + (Cos ß) * Cos ß dn Cosec ß 5. Nytkn titik titik beikut dlm koodint kutub!. A( 4 4 ) b. B( 5,6 ) c. C( 5, 5 ) d.d(, ) 6. Nytkn titik-titik beikut dlm koodint Ctecius. A( 6,0 0 ) b.( 9,50 0 ) c.c(,40 0 ) d.d( 4,50 0 ) III. Atun Sinus dn Kosinus.Atun Sinus Dlm segitig ABC sepeti pd gmb beikut : b c Dlm ADC, kit tentukn pnjng DC ditinju di Sin α Sin α mk DC AC Sin α DC b Sin α... Dlm BDC,kit tentukn pnjng DC ditinju di Sin β Sin β mk DC BC Sin β DC Sin β... Di pesmn dn : DC DC b Sin α Sin β...

8 8 Sm dengn dits cob tentukn pnjng AE jik ditinju di Sin β dn Sin γ. Sin β AE AB Sin β mk AE c. Sin β dn Sin γ AE AC Sin γ mk AE b. Sin γ Di kedu penytn dits dipeoleh : c. Sin β b. Sin γ... Sehingg di pes. dn dipeoleh tun sinus beikut : b c Sinα Sinβ Sinγ Contoh :. Dikethui : PQR dengn sisi p 0 cm dn q 0 cm, P 60 0 dn Q 0 0 Tentukn :. R, b.pnjng sisi Jwb :. R 80 0 ( P + Q) 80 0 ( ) 90 0 b. Pnjng sisi 0 cm b. Atun Cosinus Dlm Segitig ABC sembng telh dikethui ukun sebuh sudut dn du sisi yng mengpitny.bgimn menentukn pnjng sisi linny?pehtikn gmb dibwh ini Pd gmb dits ABC segitig lncip dn CD AB Misl AD x mk BD (c x ) Pd ADC ; CD...( ) Pd BDC ; CD ( c x)... () Di () dn () dipeoleh : CD CD b x c + cx x b c + cx tu b + c bc...() Dlm ADC Cos A x b cos A...(4) Di pesmn( ) dn( 4) b + c bc cos A

9 9 Dengn c yng seup dpt kit buktikn pul bhw : b + c - c cos B dn c + b - b cos C Atun Cosinus : b + c bc cos A b + c - c cos B c + b - b cos C Contoh :. Dikethui segitig ABC pnjng AB 7 cm,ac 8 cm,dn BC 5 cm bes sudut-sudut segitig ABC. Jwb : Misl AB c 7 cm,ac b 8 cm, BC 5 cm,, Degn tun cosinus dipeoleh b + c bc cos 0,7857 Jdi c cos 0,7857 α 8, Sudut dpt ditentukn dengn c beikut : b + c c cos Cos 0, 49 Jdi c cos 0,49 β 8,79 0 Dengn demikin, kit dpt menentukn yitu : , 0 8, c. Lus Segitig Misl dikethui segitig ABC sembng Jik pnjng ls dn tinggi segitig dikethui mk kit dpt menentukn lus deh yitu: L x ls x tinggi Rumus lus segitig tesebut dpt dikembngkn menjdi lus segitig yng lin dengn menggunkn Unsu tigonometi. L x ls x tinggi L x c x t

10 0 Pd segitig ACP Sin A t b.sin A Sehingg L x c.b.sin A L x ls x tinggi L x c x t Pd segitig BPC Sin B t.sin B Sehingg L x c..sin B Pd tun sinus belku : Sin B L x.c.sin B L x.c. Sehingg, L x.b.sin C Bedskn penjelsn dits,lus deh segitig ABC dpt ditentukn pbil pnjng du sisi dn stu sudut pitny dikethui. Lus ABC.. b. sin C Lus ABC.. c. sin B Lus ABC. b. c. sin A Lus segitig ABC dpt pul ditentukn pbil pnjng ketig sisiny dikethui L s( s )( s b)( s c) Dengn S keliling (+b+c) Contoh :. Tentukn lus segitig ABC jik dikethui cm,b 6 cm,dn 45 0 Jwb : L.b. sin C.6.sin cm. Tentukn lus segitig ABC bil dikethui pnjng sisi- sisiny, msing-msing AB 4 cm,ac 5 cm dn BC 7 cm! Jwb : Keliling segitig AB + AC + BC cm Sehingg : S x 6 8 cm L L 4 cm

11 Ltihn. Kejkn sol-sol beikut dengn ben!. Di segitig ABC, jik dikethui dengn pnjng cm, pnjng b cm, dn bes sudut C 0 O. Tentukn Pnjng sisi c.... Pd segitig PQR sudut P 0 0,p 4 cm,dn q 5 cm.tentukn dn pnjng sisi!. Pd segit ABC,dikethui BC 4 cm,ac 5cm dn 45 0,Tentukn pnjng AB dn bes sudut B! 4. Sutu segitig ABC dikethui 45 0, 65 0 jik pnjng c 8 cm.tentukn lus segitig tesebut! 5. Tentukn lus segitig ABC,jik dikethui pnjng AB 0 cm, BC 8 cm,dn AC 6 cm. 6. Dlm segitig PQR dikethui pnjng PQ 6 cm dn PR 0 cm jik lus segitig PQR 5 cm,tentukn pnjng QR tesebut! 7. Pd segitig ABC dikethui 50 0, 70 0,dn pnjng b Tentukn pnjng sisi dn c IV. Rumus-Rumus Fungsi Tigonometi Untuk Jumh dn Selisih Du Sudut cos cos A.cos B sin A. sin B cos cos A.cos B + sin A. sin B sin sin A.cos B + cos A. sin B sin sin A.cos B cos A. sin B tn A + tn B tn A.tn B tn A tn B + tn A.tn B. ( A + B) b. ( A B) c. ( A + B) d. ( A B) e. tn ( A + B) f. tn ( A B) Contoh. Hitunglh Cos 5 0 dn Cos 05 0 tnp menggunkn tbel mtemtik tu klkulto. Jwb :.Cos 5 0 Cos( 45 0) 0 cos 45 0.cos sin45 0 sin0 0 ( )(. ( ) +( )( ) + ( ) b. Cos 05 0 Cos ( ) cos 60 0 cos 45 0 sin 60 0 sin ( ) - ( ) ( ) - ( - )

12 . Buktikn bhw cos ( ) + cos ( ) cos Bukti : Rus kii cos ( ) + cos ( ) ( cos cos sin sin ) + ( cos cos + sin sin ) cos cos ( ) cos cos Rus knn (tebukti). Hitung nili Sin 75 0 tnp menggunkn klkulto tu tbel mtemtik Jwb : Sin 75 0 Sin( ) sin 45 0 cos cos 45 0 sin 0 0 ( )( ) + ( )( ) + ( + ) 4. Dikethui sin A,cos B,sudut A dn B lncip.hitunglh nili tn( A B )! Jwb : AP 4 tn A Tn (A B ) RS 5 tn B x

13 V.Rumus-Rumus Sudut Rngkp. sin A sin A. cos A b. cos A cos A sin A sin A cos A tn A c. tn A tn A Contoh.Dikethui Sin A dn sudut A lncip Hitunglh sin A,cos A,tn A Jwb : Pehtikn gmb dismping Sin A mk BC 4,dn AC 5 AB Sehingg Cos A Tn A Dengn demikin : Sin A sin A.cos A ( )( ) Cos A - ( ) ( tn A Tn A tn A x - -

14 VI. Rumus Peklin Cosinus Dn Sinus..cos A. cosb b..sin A. sin B c..sin A. cos B d..cos A. sin B 4 cos ( A + B) + cos( A B) cos ( A + B) cos( A B) sin ( A + B) + sin( A B) sin ( A + B) sin( A B) Contoh.Hitunglh nili di (cos 75 0 sin 5 0 ),tnp menggunkn tbel mtemtik tu klkulto. Jwb : cos A.sin B sin(a+b) sin(a B) Cos A.sin B Sehingg : Cos 75 0.sin 5 0 (sin sin 60 0 ) ( - ) 4 VII. Rumus Jumlh dn Selisih Cosinus dn Sinus. cos C + cosd b. cosc cosd c. sin C + sin D d. sinc sin D ( C + D) ( C D) cos.cos C + D C D cos.cos ( C + D) ( C D) sin.cos ( C + D) ( C D) cos.sin ( ) ( ) Contoh. Nytkn bentuk peklin beikut dn sedehnkn jik mungkin. Sin Sin 5 0 Jwb : Sin C + Sin D sin (C + D).cos (C D).mk Sin Sin 5 0 sin ( ).cos ( ). sin 45 0.cos 0 0 ( )( )

15 5 b.sin x sin x Jwb : Sin C sin D cos (C + D).sin (C D ) mk Sin x sin x cos (x+ x).sin (x x ) cos x.sin x Ltihn Kejkn sol-sol beikut dengn jwbn yng tept!. sin A.... sin 4A.... sin 50 0 cos cos 0 0 sin π 4. Jik α + β dn cos α.cos β, mk cos ( α β ) Jik tn, mk cos sin 4x.sinx cos4x.cosx Untuk semu nili A, bentuk sin (A + 0 O ) + cos (A + 60 O ) sm dengn sin x + sin 7x Tn tn cos (5 + ) 0 cos( 5 ) 0... ooo

16 6 Bgimn Mendptkn Modul Ini Di Intenet Sec GRATIS? Modul ini besm modul-modul yng lin, set semu infomsi tentng E-Lening mtemtik SMA-SMK dpt klin mnftkn sec GRATIS. Semu modul meupkn hsil ky semu nggot MGMP Mtemtik SMK Kot Psuun. Mohon mf pbil d keslhn penulisn. Thun peljn 00/0 meupkn thun petm kmi meintis. Akn kmi evisi di thun peljn beikutny. Kitik dn sn kmi teim lewt E-mil : mgmpmtk_smkpsuun@yhoo.co.id Bgimn cny memnftknny : A. Weblog : (i) Buk bowse intenet (contoh : Mozill Fiefox, Ope, Intenet Exploe, Google Come, dll) (ii) Pd Addes (lmt) gntilh dengn : llu tekn Ente (iii) Untuk mendptkn Modul Ini sec GRATIS, pilih menu Modul, llu pilih Modul yng sesui & klik (iv)tehubung (Link) dengn ziddu.com. Ikuti sj peinthny. Ulngi bebep kli jik ggl. B. Fcebook (i) Msuk kun fcebook (ii) Pd menu Sech, ketik : Mtemtik SMA/SMK llu tekn Ente (iii) Klik (Pilih) Mtemtik SMA/SMK dengn gmb kubus jib betuliskn E-Lening (iv)tehubung ke Pge (hlmn) E-lening Mtemtik SMA/SMK, Klik Suk (Like) (v) Semu Infomsi E-Lening (Pembeljn Elektonik) mtemtik tnp ttp muk dikels sec otomtis kn msuk di Bend (Home) kun fcebook klin. (vi) Sege jk temn-temn fcebook klin untuk begbung disini. Tidk semu Intenet itu tidk bik, bnyk sisi positif yng dpt dimbil di sn. Hny keykinn kit pd jn gm msing-msing yng dpt membentenginy. Kmi sudh dpt membuktiknny mellui E-LEARNING MATEMATIKA dengn memnftkn Weblog dn Fcebook. Semog Bemnft.