VEKTOR DAN OPERASINYA

Transkripsi

1 VEKTOR DAN OPERASINYA (ALJABAR LINEAR) Oleh : H. Krso FPMIPA UPI A. Pengertin Vektor Perhtikn du buh titik tu tempt, yitu titik A dn titik B yng tertentu. Mislkn kit berd pd titik A kemudin berpindh tempt ke titik B, mk terjdilh sutu perpindhn, tu pergesern, tu trnslsi dri titik A ke titik B. A Gmbr 4. B Perpindhn kedudukn dri titik A ke titik B ini ditentukn oleh du hl, yitu berp juh jrkny dn ke rh mn perpindhn tempt dilkukn. Setip perpindhn tempt yng mempunyi jrk tertentu (ntr titik A dn titik B) dn rh tertentu (dri titik A ke titik B) yng digmbrkn dengn nk pnh (yng berpngkl di titik A dn berkhir di titik B) dinmkn vektor perpindhn tu vektor trnslsi, disingkt vektor. Vektor yng titik wlny di A dn titik khirny di B dinytkn dengn simbol AB. Vektor AB, rtiny sutu vektor dengn titik A sebgi titik wl (titik pngkl tu titik tngkp), titik B sebgi titik khir (titik ujung tu titik terminl), rhny dri A ke B, dn besrny (pnjngny) dlh jrk dri A ke B (pnjng rus gris AB).

2 Simbol lin untuk menytkn vektor AB tu AB, yitu dengn menuliskn huruf kecil yng dibubuhi rus gris di bwhny, tu boleh pul tnp rus gris tetpi ditulis tu dicetk gk tebl, mislny: = (liht Gmbr 4. ). AB = B A Gmbr 4. Di dlm geometri, jik dikethui sutu vektor, kn sellu didpt sutu trnslsi yng bersift tunggl dn dinytkn oleh rus gris (segmen) berrh yng mempunyi besr dn rh yng sm dengn vektor. Dengn demikin, mk di dlm geometri, sutu vektor didefinisikn sebgi sutu trnslsi dri sutu titik ke titik yng lin. Hl ini berrti bhw setip vektor dpt ditentukn oleh besr dn rh. Dimnpun sutu vektor berd, dn berppun bnykny vektor, jik msing-msing vektor itu mempunyi pnjng (besr) dn rh yng sm, mk himpunn vektor itu dpt dinggp stu vektor sj. Tip rus gris berrh dlm himpunn itu disebut wkil dri vektor (Gmbr 4. ). D Q B F S C R A E P Gmbr 4. Jdi, dptlh kit simpulkn bhw vektor dlh himpunn rus gris (segmen) berrh yng mempunyi pnjng (besr) dn rh yng sm, dn slh stu dri nggot himpunn tersebut dpt mewkiliny (definisi).

3 Dptkh And memberikn contoh besrn yng mempunyi besr dn rh seperti vektor tdi?. Dlm kehidupn sehri-hri, terutm dlm fisik, bnyk sekli dijumpi konsep yng mempunyi besr dn rh. Sebgi contoh yng sngt mudh dlh besrn gy. Gy dlh besrn vektor, kren gy selin mempunyi besr, jug mempunyi rh, mislny :. Gy trik seseorng yng sedng menimb ir, rhny dlh miring ke bwh sedngkn rh trik bumi terhdp ember dlh tegk lurus ke bwh. (Gmbr 4. 4). Gmbr 4. 4 Gmbr Gy dorong seseorng yng sedng menggeserkn bend di ts lnti, rhny mendtr ke smping (Gmbr 4. 5). Bgimn dengn besrn-besrn seperti perceptn, keceptn, medn mgnet dn sejenisny? Besrn-besrn tersebut dlh besrn-besrn yng mempunyi besr dn rh, krenny dinmkn vektor. Sedngkn besrnbesrn seperti jrk tu pnjng yng hny mempunyi besr sj dinmkn sklr. Besrn sklr linny, mislny lus, bert, isi, ms, wktu, dn sebginy. Sebgi tugs, coblh And kerjkn sol-sol ltihn pertm nomor, b, dn c. B. Vektor-vektor di R (Vektor Bidng). Penulisn Vektor di R Sekrng kit perhtikn beberp vektor yng terletk dlm rung berdimensi (vektor bidng) seperti ditunjukkn oleh Gmbr 4. 6 dn 4. 7 berikut.

4 Pd kedu gmbr ini terliht susunn sumbu koordint yng berpotongn tegk lurus, yitu sistem koordint Crtesius ortogonl XOY. Sumbu X dlh sumbu mendtr (horizontl), sumbu y dlh sumbu tegk (vertikl) dn titik O sebgi titik pngkl koordint. Gmbr 4. 6 Gmbr 4. 7 Kemudin kit perhtikn vektor AB tu AB yng koordint titik wlny di A(,) dn koordint titik khirny di B(5,4). Vektor AB ini dpt kit tulis dengn simbol AB = 4 tu AB = [ 4, ] Bilngn-bilngn 4 dn yng diletkn di dlm kurung kecil ditulis secr tegk tu dlm kurung siku ditulis secr mendtr, dinmkn komponen-komponen sklr dri vektor AB. Mungkin dintrny d yng bertny, dri mn dtngny komponen 4 dn itu? Dpt And liht, bhw 4 dlh selisih dri bsis titik B = x B = 5 dengn bsis titik A = x A =, sedngkn dlh selisih dri ordint titik B = y B = 4 dengn ordint titik A = y A =. Untuk jelsny AB = = [ 4, ] Msih dri Gmbr 4. 6 di ts, bgimnkh komponen-komponen sklr vektor OC dn vektor DE? Tentuny OC = [, 5 ] dn DE = [, 4 ]. Vektor OC disebut vektor posisi sebb titik wlny di titik pngkl koordint O(,). 4

5 Dri ilustrsi di ts dpt disimpulkn bhw penulisn vektor PQ tu PQ seperti tmpk pd Gmbr 4. 7 di ts dpt kit tulis dengn berbgi cr seperti berikut ini : PQ = u = u = x y q q x y p p x y x y = [ x - x, y - y ].. Pnjng tu Besr Vektor di R Sekrng kit perhtikn tig buh vektor yng terdpt pd Gmbr 4. 8, yitu u, v, dn w. And tentuny dpt menentukn koordint dri msing-msing titik wl dn titik khir dri ketig vektor itu, mislny v dengn titik wlny di C(5,) dn titik khirny di D(7,5). Jik And ingin mengethui besr v, mk yng hrus kit ukur dlh Gmbr 4. 8 pnjng segmen CD yng lzimny ditulis CD. Dengn demikin, tentuny besrny v dlm nili mutlk yng berrti sellu positif, jdi dpt kit tulis v (besrny v). Selnjutny dengn bntun teorem Pythgors, kit dptkn CD CP PD CD CP PD = ( 7 5) (5 ) (dimbil yng positif) 5

6 = 4 =. Jdi besrny v dlh v. Sendiny v ini ditulis dengn komponen-komponenny, mk tentuny kn And tulis v = 4, Dri mn komponen dn komponen 4? Akibtny perhitungn besr v tu kit tulis dengn v dlh : v 4 Bgimn dengn u dn w EF? Tentuny u dn w 8 Dengn demikin, dptlh kit tentukn besrny sutu vektor jik komponen-komponenny dikethui. Jdi dpt disimpulkn, bhw jik u = u u = [ u, u ] mk besrny u tu pnjngny u yng ditulis u dlh u u u Kemudin jik koordint titik A( x,y ) dn B(x,y ), mk jrk d dintr kedu titik tersebut dlh pnjng vektor AB (Gmbr 4. 8). Kren mk AB = (x - x, y - y ) d = AB ( x x ) ( y y ) 6

7 . Penjumlhn Vektor (di R ) Kembli lgi pd konsep vektor sebgi gerk trnslsi, yitu pergesern tempt dri sutu titik ke titik lin. Mislkn kit melkukn perpindhn tempt dri titik A ke titik B yng jrk dn rhny dinytkn oleh. Setelh berpindh tempt dri A ke B, kit melkukn perpindhn tempt sekli lgi, yitu dri titik B ke titik C yng jrk dn rhny dinytkn oleh b sehingg tempt kedudukn kit yng bru dlh titik C (liht gmbr 4. 9). Perpindhn tempt berturut-turut yng dinytkn oleh dn b, ditunjukkn oleh vektor ketig yitu c yng titik pngklny di A dn titik ujungny di titik C. Aturn untuk memperoleh c tu AC, Gmbr 4. 9 sebgi penjumlhn dri vektor tu AB dengn b tu BC seperti ini dinmkn turn segitig. Jdi, dptlh kik ktkn bhw c dlh jumlh dri vektor dn b, dn kit tulis : c = + b tu AC = AB + BC. Untuk mencpi titik C dri titik A tdi, dpt pul kit berpindh tempt dengn vektor lin, mislny dri A ke B dengn dn dri B ke C dengn vektor b tu oleh psngn vektor liny seperti dengn b, vektor dengn vektor b, dst. (gmbr 4.). Ini berrti, bhw sutu vektor c dpt dibentuk oleh psngn vektor linny Secr umum dptlh kit ktkn bhw sutu vektor dpt dipndng sebgi jumlh dri n vektor, dengn (n - ) vektor dpt kit mbil sembrng (Gmbr 4. ). 7

8 Peristiw pemindhn tempt du kli berturut-turut yng dilkukn oleh dn b seperti pd contoh di ts tdi (Gmbr 4. 9), jels itu hsilny tidk berubh, rtiny dn b msing-msing bekerj secr terpish. Sendiny dn b itu bekerjny serempk, seperti hlny dlm contoh berikut ini. Gmbr 4. Gmbr 4. Di ts permukn sebuh sungi yng keceptn dn rh rusny dinytkn oleh, bergerk sepotong kyu (terpung) yng keceptn dn rhny dinytkn oleh b. Jik pd wktu tertentu tempt yng dicpi oleh potongn kyu tersebut dinytkn oleh vektor c = + b yng serup dengn contoh di ts (Gmbr 4. 9 dn 4. ), mk turn untuk memperoleh vektor c seperti ini disebut turn jjrngenjng (gmbr 4. ). Gmbr 4. 8

9 Setelh kit mengethui turn penjumlhn du vektor (secr geometris) yng dpt dilkukn dengn turn segirig tu turn jjrngenjng dn tentuny sngt berbed dengn turn penjumlhn du buh bilngn. Sekrng kit pndng (Gmbr 4. ) dengn vektor = [, ] dn vektor b = [ b, b ] mk dedefinisikn bhw : + b = [, ] + [ b, b ] = [ + b, + b ] dengn + b dlh digonl jjrngenjng dengn sisi-sisi dn b. Gmbr 4. Jumlh du vektor ini dpt diperlus untuk beberp buh vektor, msing-msing sebgi berikut : Jik, = [, ], b = [ b, b ], c = [ c, c ], d = [ d, d ] mk + b + c + d = [, ] + [ b, b ] + [ c, c ] + [ d, d ] = [ + b + c + d, + b + c + d ] Sebgi contoh, And perhtikn tig buh vektor berikut : u = [ 4, ], v = [, 5 ], dn w = [ -4, ] u + v = [ 4, ] + [, 5 ] = [ 5, 6 ] u + v + w = [4, ] + [, 5 ] + [ -4, ] = [ 5, 6 ] + [ -4, ] = [, 8 ] tu u + v + w = [ , ] = [, 8 ] Untuk menggmbrkn penjumlhn tig vektor tu lebih, pertm-tm jumlhkn dulu sepsng vektor, mislny vektor vektor ke- dn ke- untuk 9

10 mendptkn digonl jjrngenjng, kemudin tmbhkn vektor ke- pd digonl itu, dn digonl yng bru ini tmbhkn lgi dengn vektor ke-4 sehingg didptkn vektor digonl yng lebih bru lgi, dst., dst., sesui dengn jumlh vektor yng kn dijumlhkn. Secr umum dptlh kit simpulkn, bhw secr ljbr du vektor tu lebih dpt dijumlhkn dengn cr menjumlhkn komponen-komponen sklr yng seletkny, sedngkn secr geometris dpt dijumlhkn dengn turn segitig tu jjrngenjng yng dilkukn sepsng demi sepsng, rtiny vektor pertm dijumlhkn dengn vektor kedu, kemudin hsilny dijumlhkn dengn vektor ketig, dn hsil inipun dijumlhkn lgi dengn vektor keempt, dn seterusny. Gmbr Perklin Vektor dengn Sklr (di R ) Sendiny kit melkukn pemindhn tempt sebesr tig kli lebih besr dripd pemindhn tempt semul dri A ke B yng dinytkn dengn

11 Gmbr 4. 5 Gmbr 4. 6 vektor. Jik pemindhn tempt itu dilkukn dengn rh berlinn (berlwnn) dri A ke D, mk pemindhn tempt ini dinytkn dengn vektor -. (Gmbr 4. 5). Secr lebih umum lgi dpt kit perhtikn gmbr 4. 6, yitu jik k sutu sklr mk yng dimksud dengn k dlh vektor : k = k [, ] = [ k, k ] Ini berrti, bhw besr (pnjng) vektor diklikn dengn k tnp merubh rh vektor jik k > dn pnjngny menjdi k kli. Jdi dptlh disimpulkn bhw: jik k >, mk rh k sm dengn rh dn pnjngny k kli. jik k <, mk rh k berlwnn dengn rh dn pnjngny k kli. 5. Selisih Du Vektor (di R ) Perklin vektor dengn sklr, dpt kit pki untuk menentukn selisih du vektor tu lebih. Mislny : Jik = [, ] dn b = [ b, b ] mk - b = + (-b) = [, ] + (-) [b, b ] = [, ] + [-b, -b ] = [ -b, -b ]

12 Vektor b dn vektor -b dlh du vektor yng besrny sm, tetpi rhny berlwnn. Vertor (-b) disebut negtif vektor b. Untuk lebih jelsny kit perhtikn Gmbr Gmbr ini memperlihtkn bhw selisih vektor dengn vektor b, yitu - b dpt dinytkn dengn vektor BA, dn BA = OC. Cr ini lebih singkt dripd dengn terlebih dhulu menentukn negtif vektor b. Bgimn dengn vektor b -? Tentuny AB = (b - ). Sebgi ltihn, coblh And periks kebenrn sift-sift berikut, jik, b, c sembrng vektor dengn m dn n sembrng sklr. Gmbr b = b + (komuttif) 5.. = o. ( + b) + c = + (b + c) 6.. = = + b + c 7. m. o = o. + o = 8. m. ( + b) = m + mb 4. (mn) = m(n) 9. (m + n) = m + n. Sekrng kn kit pki cr penjumlhn vektor dn perklin sklr vektor untuk mengurikn sebuh vektor menjdi vektor-vektor komponen. Misl = [, ], mk vektor ini dpt kit tulis sbb : = [, ] = [ +, + ] = [, ] + [, ]

13 = [, ] + [, ] = i + j vektor [, ] dn [, ] disebut vektor komponen dri vektor pd sumbusumbu koordint tu disebut pul vektor-vektor bsis di R. Sedngkn vektor i = [, ] dn j = [, ] berturut-turut terletk pd sumbu x dn sumbu y dengn pnjng msing-msing stu stun pnjng disebut vektor stun (Gmbr. 4. 8). Jdi, jik = [, ] mk dpt kit tulis =[, ] = i + j. y j i x Gmbr 4. 8 Sebgi contoh, jik dikethui, u = [, ] dn v = [5, ] dn kit kn menghitung u - v sert v - u, mk crny seperti berikut. u - v = [, ] - [5, ] dn v - u = [5, ] - [, ] = [, ] + [-5, -] = [5, ] - [4, 4] = [ + (-5), + (-)] = [5, ] + [-4, -4] = [ - 5, - ] = [5-4, - 4] = [ -, ] = [, - ]

14 Gmbr 4. 9 Dlm menyelesikn sol di ts, dpt pul dikerjkn dengn bntun vektor-vektor bsis, yitu u = [, ] = [, ] + [, ] = i + j dn v = [ 5, ] = 5 [, ] + [ ] = 5i + j mk u - v = (i + j) - ( 5i + j) = -i + j tu u - v = [, ] + [, ] = [ -, ] + [, ] = [ -, ] C. Vektor-vektor di R (Vektor Rung). Sistem Koordint Rung (R ) Seperti hlny vektor-vektor di dlm bidng (R ) dpt digmbrkn oleh psngn bilngn rel dengn sistem koordint siku-sikuny. Untuk membentuk sistem koordint seperti itu, pertm-tm kit tentukn titik O sebgi titik pngkl (titik sl) koordint kemudin triklh tig buh gris yng sling berpotongn tegk lurus di titik O yng disebut sumbu-sumbu koordint. Mislny kit nmkn sumbu-sumbu itu sebgi sumbu x, sumbu y dn sumbu z, kemudin dipilih rh positif untuk tip sumbu koordint membentuk bidng koordint. Bidng koordint yng dibentuk oleh sumbu x dn sumbu y disebut bidng XOY tu bidng xy, bidng koordint yng dibentuk oleh sumbu x dn sumbu z disebut 4

15 bidng XOZ tu bidng xz, dn bidng yng dibentuk oleh sumbu y dengn z disebut bidng YOZ tu bidng yz. Gmbr 4. Letk titik P dlm rung (R ) ditentukn oleh tripel terurut (x, y, z) yng dinmkn koordint-koordint dri P. Koordint x disebut bsis koordint y disebut ordint dn koordint z disebut plikt. Untuk menentukn bsis, ordint, dn plikt titik P, lewtkn tig buh bidng mellui P yng sejjr dengn bidngbidng koordint dn nytknlh titik potong bidng-bidng itu dengn sumbu x, sumbu y, dn sumbu z (Gmbr 4. b). Koordint-koordint dri titik P didefinisikn sebgi pnjng-pnjng yng mempunyi tnd x = OX, y = OY, z = OZ. Gmbr 4. memperlihtkn letk titik A dn B yng koordintkoordintny berturut-turut (4, 5, 6) dn (-,, -4) tu A(4, 5, 6) dn B(-,, -4). 5

16 Gmbr 4. Ad du ktegori dlm sistem koordint siku di rung- (R ), yitu sistem tngn kiri (left hnded) dn sistem tngn (right hnded). Sift sistem tngn knn seperti skrup yng berrh positif pd sumbu z kn bergerk mju jik sumbu x positif dirotsikn sebesr 9 o menuju sumbu y positif (Gmbr 4. ). Seblikny, sistem itu sistem tngn tngn kiri, jik skrup tersebut tersebut bergerk mundur (Gmbr 4. b). Dlm pembicrn kit selnjutny, yng dipki dlh sistem tngn knn tu koordint tngn knn. () Gmbr 4. (b). Komponen Sklr Vektor Rung (Tripel Terurut) 6

17 Jik sebuh vektor dlm rung diletkn sedemikin hingg titik wlny berimpit dengn titik pngkl sistem koordint siku-siku, mk koordint-koordint titik khirny dinmkn komponen-komponen sklr dri vektor v yng merupkn vektor posisi dpt kit tulis: v = [ x,y,z ] = x y z Gmbr 4. Vektor v di ts disebut vektor posisi, sebb vektor tersebut berpngkl di titik pust koordint O, sedngkn titik ujungny dlh titik A(x,y,z ).(bndingkn dengn vektor posisi pd psl B bgin yng llu). Sesui dengn vektor bidng (R ), mk dlm rung (R ) jug terdpt hubungn stu-stu ntr semu titik di R dengn semu vektor yng berpngkl di titik pust koordint O. Dengn dny korespondensi stu-stu ini, mk kit dpt mendefinisikn bhw sutu vektor dlm rung (tig dimensi tu R ) dlh tripel (rngkp terurut dri tig) bilngn rel. Contoh 4. Jik koordint titik R(,-4,5) dn koordint titik S(,,), mk vektor posisi 7

18 OR = r = [,-4,5 ] = QS = s = [,, ] = 4 5, dn Nmun dklny vektor-vektor itu titik wlny tidk di titik pngkl (bukn vektor posisi). Mislny vektor P P titik wlny P (x,y,z ) dn titik khirny P (x,y,z ), mk P P = [ x - x, y - y, z - z ]. Komponen-komponen sklr P P diperoleh dengn mengurngi koordintkoordint titik khir oleh koordint-koordint titik wl. Hl ini dpt diperlihtkn pd Gmbr 4. 4, yitu selisih dri vektor OP dn OP dlh vektor P P, berrti P P = OP - OP = [ x, y, z ] - [x, y, z ] = [ x - x, y - y, z - z ]. Gmbr 4. 4 Contoh 4. 8

19 Komponen-komponen sklr dri vektor v = P P dengn titik pngkl P (, -, 4) dn titik khir P (7, 5, -8) dlh v = [ 7 -, 5 - (-), (-8) - 4 ] = [ 5, 6, - ] = 5 6. Opersi Hitung Vektor Rung Seperti hlny dlm opersi hitung untuk vektor bidng, mk dlm bgin inipun yng kn kit bhs hnylh beberp opersi hitung yng sederhn dlm vektor rung. Khusus mengeni opersi kli ntr vektor kn dibhs dlm modul mendtng. Seperti hlny vektor bidng, mk definisi kesmn dn opersi ntr vektor dlm R, berlku pul dlm R. Mislny definisi vektor sm dlm R berlku pul untuk R dengn pengertin psngn terurut dn tripel terurut merupkn hl yng sngt penting. Jik = dn b = b b b mk = b, jik dn hny jik Sedngkn jumlh = b, = b, = b + b = + b b b = b b b Diperlus : + b + c = + b b b + c c c = b c b c b c Dengn demikin jik k sutu sklr dn sutu vektor, mk 9

20 k = k k k k dn selisih - b = - b b b = b b b Untuk lebih jelsny kit perhtikn contoh-contoh berikut ini : Jik v = [, -, ] dn w = [ 4,, ], mk v + w = [, -, ] + [ 4,, ] = [ 5, -, ], v = [, -, ] = [, -6, 4 ], -w = - [ 4,, ] = [ -4, -, - ], dn v - w = v + (-w) = [, -, ] + [ -4, -, - ] = [ -, -5, ]. Seperti hlny dlm vektor bidng (R ) d beberp turn dsr ilmu hitung yng berlku pul dlm vektor rung (R ), yitu jik u, v, dn w dlh vektor-vektor di rung dn k sert l sklr-sklr, mk berlku () u + v = v + u (b) (u + v) + w = u + (v + w) (c) u + o = o + u = u (d) u + (-u) = o (e) k(lu) = kl(u) (f) k(u + v) = ku + kv (g)(k + l) u = ku + lu (h) lu = u. Sebelum membicrkn bukti dri beberp sift tersebut di ts, kit ingtkn kembli, nhw sebenrny kit telh mengembngkn du pendektn dlm vektor, yitu pendektn geometrik yng menytkn vektor sebgi segmen gris berrh dn pendektn nlitik yng menytkn vektor oleh psngn terurut

21 tu tripel terurut bilngn-bilngn rel yng dinmkn komponen-komponen sklr. Akibtny hsil-hsil di ts dpt kit buktikn secr geometrik mupun secr nlitik. Untuk memberikn gmbrn kit kn membuktikn bgin (b) dengn kedu cr di ts. Untuk membuktikn yng linny diberikn sebgi ltihn. Bukti bgin (b) (Secr nlitik). Akn diberikn bukti untuk vektor di rung. Bukti untuk di rung dpt dilkukn dengn cr yng sm. Jik u = [ u, u, u ], v = [ v, v, v ], dn w = [ w,w, w ], mk (u + v) + w = ([u, u, u ] + [ v, v, v ]) + [ w,w, w ] = [u + v, u + v, u + v ] + [ w,w, w ] = [ (u + v ) + w, (u + v ) + w, (u + v ) + w ] = [ u + (v + w ), u + (v + w ), u + (v + w ) ] = [u, u, u ] + [ v + w, v + w, v + w ] = u + (v + w). Bukti bgin (b) (Secr geometrik). Mislkn u, v, dn w berturut-turut dinytkn dengn PQ, QR, dn RS seperti diperlihtkn dlm Gmbr 4.5. Mk v + w = QS dn u + (v + w) = PS Jug u + v = PR dn (u + v) + w = PS Akibtny u + (v + w) = (u + v) + w Gmbr Pnjng tu Besr Vektor di R

22 Pnjng dri sebuh vektor seringkli dinmkn norm (besr) dri v dn dinotsikn v. Menurut teorem Pythgors, bhw pnjng dri vektor v = (v, v ) di rung dlh : v = v v Dlm hl ini diperlihtkn oleh Gmbr 4. 6(). Selnjutny mislkn v = (v, v, v ) dlh sebuh vektor di rung. Dengn menggunkn gmbr. 6(b) dn du kli pemkin teorem Pythgors, mk kit dptkn : v OR RP OQ OS RP = v + v + v Jdi : v = v v v... (.) () (b) Gmbr 4. 6 Jik P (x, y, z ) dn P (x, y, z ) dlh du buh titik sembrng dlm rung, mk jrk dintr du titik tersebut dlh sm pnjng dri vektor P P (Gmbr 4. 7). Kren menurut (.) P P = [ x - x, y - y, z - z ] d = P P (x x) (y y) (z z)

23 Gmbr 4. 7 Selnjutny kit perhtikn contoh berikut : Misl v = [-,, ], mk pnjng tu norm vektor v = [ -,, ] dlh v ( ) ( ) ( ) 4 Sedngkn jik P (, -, -5) dn titik P (4, -, ), mk jrk P dengn P dlh d = ( 4 ) ( ) ( 5) 44 = 5. Vektor Komponen (Vektor Bsis) dlm Rung Sekrng kit perhtikn vektor = vektor ini dpt kit tulis sebgi berikut : = = + + = + + = i + j + k

24 Jdi, = i + j + k. Vektor-vektor,, disebut vektor komponen dri vektor pd sumbu-sumbu koordint, dn bilngn-bilngn, dn disebut komponen-komponen sklr vektor. Sedngkn vektor-vektor,, dn Gmbr 4. 8 disebut vektor-vektor stun pd sumbu-sumbu koordint x, y, dn z. Vektorvektor stun pd sumbu x, sumbu y, dn sumbu z berturut-turut kit tulis : i =, j = dn k =. Vektor-vektor i, j, dn k ini disebut pul vektor-vektor bsis di rung- (R ). Jdi untuk sembrng vektor dpt kit tulis seperti berikut : = 4

25 = + + = i + j + k Contoh 4. Jik v = 4, mk v = = = i + j - 4k. Selnjutny untuk lebih memntpkn pemhmn And mengeni mteri Kegitn Beljr di ts, kerjknlh sol-sol ltihn berikut. Ltihn. Diskusiknlh dengn kwn And, untuk menjwb pertnyn-pertnyn berikut : ) Jik And menggerkkn ujung pensil, muli dri titik A smpi ke titik B seperti diperlihtkn Gmbr Dptkh And menytkn bhw gris lengkung A ke B itu merupkn vektor? Jelskn! Gmbr 4. 9 Gmbr 4. 5

26 b) Gerkkn lgi ujung pensil kit muli dri titik A ke titik B, llu gerkny dilnjutkn ke titik C seperti Gmbr 4.. Apkh terbentuk vektor? Jik terbentuk vektor, d berp bnyk vektor yng terjdi? c) Tentukn yng mn dintr besrn-besrn berikut yng merupkn besrn vektor dn yng mn yng merupkn besrn sklr? () bert (d) klori (b) teng (e) isi (c) kut medn (f) jrk. Jik u = [, ] dn v = [ 4, - ] ) Hitunglh u + v dn v + u b) Lukislh grfik u + v dn v + u c) Tentuknlh vektor w = u - v d) Lukislh grfik w = u - v e) Tentukn besr (pnjng) u dn pnjng w.. Tentukn letk titik berikut dlm sistem koordint tngn knn () A(-,, 4) (b) B(,, -4) 4. Dikethui u = [,, ] dn v = [,, ]. Crilh () u - 5 v (b) -u v 5. Jik dikethui = i - j - 4k, b = i + 4j - k dn c = I + j - k. Hitumglh -b +4c. Setelh And mencob menyelesikn sol-sol ltihn di ts, bndingknlh jwbnny dengn petunjuk jwbn ltihn berikut. 6

27 Petunjuk Jwbn Ltihn. ) Lengkungn dri A ke B seperti yng ditunjukkn oleh Gmbr 4. 9 di ts tentuny buknlh vektor. Kenp? Kren seklipun ujung pensil yng kit miliki tdi menempuh jrk tertentu, nmun gerkny itu sellu berubh rh. b) Jik demikin dny tentulh pd Gmbr 4. di ts terdpt du vektor, yitu AB dn BC. c) Kren medn dn teng dlh contoh-contoh besrn dlm fisik yng mempunyi besr dn rh (vektor), sedngkn bert jenis, klori, isi, dn jrk besrn-besrn yng hny mempunyi besr sj tidk mempunyi rh (sklr).. Kren u = [, ] dn v = [ 4, - ] mk : ) u + v = [, ] + [ 4, - ] = [ 7, ] dn v + u = [ 4, - ] + [, ] = [ 7, ]. b) u u + v = v + u v Gmbr 4. c) w = u - v = d) 7

28 Gmbr 4. e) u dn w Gmbr () Kren u - 5v = mk u - 5 v ( ) ( )

29 (b) -u v = - - = 56 = 4 = b + 4c = (i - j - 4k) - (i+ 4j - k) +4(i + j - k) = (9i - j - k) - (4i + 8j - 6k) + (4i + 8j - 4k) = 9i - j - k Sekrng cob And but rngkumn dri Kegitn Beljr, kemudin bndingkn dengn rngkumn berikut.. Pengertin vektor Rngkumn Vektor dlh himpunn segmen (rus gris) berrh yng mempunyi pnjng Gmbr 4. 4 Gmbr 4. 5 Pd gmbr ini d tig buh himpunn vektor vektor Pd gmbr ini tidk terdpt (besr) dn rh yng sm, dn slh stu dri nggot himpunn tersebut dpt mewkiliny. Dengn kt lin vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh, sedngkn yng hny mempunyi besr sj dinmkn sklr. 9

30 . Penulisn Vektor Bidng Jik u = u u dengn titik wlny di P(x,y ) dn titik khirny di Q(x,y ), mk u dpt ditulis sbb : u = PQ. Gmbr 4.6 dengn u = u u dn PQ = x y x y sehingg berlku hubungn : u = x - x, dn u = y - y dengn u dn u disebut komponen-komponen (komponen-komponen sklr) dri vektor tersebut. Sedngkn pnjng tu besr sutu vektor u = u, dn dengn bntun teorem Pythgors (liht Gmbr 4. 6) u = u u u u ditulis Kemudin jrk ntr P dn Q tu d dlh sm dengn pnjng vektor PQ, jdi d = PQ u (x x) (y y). Penjumlhn Vektor

31 Du vektor tu lebih dpt dijumlhkn (dikurngkn) dengn cr mengurngkn komponen-komponen yng seletkny. Mislny : u = u u dn v = v v, mk u v = u = u u v v. Sedngkn secr geometris du vektor tu lebih dpt dijumlhkn (dikurngkn) dengn turn segitig tu turn jjrngenjng dengn cr sepsng demi sepsng. 4. Perklin Vektor dengn Sklr Sutu vektor dpt diklikn dengn sembrng sklr dengn cr menglikn sklr tersebut pd setip komponen vektor. Mislny : = dn k = sklr, mk k = k = k k Untuk k >, mk rh k sm dengn rh dn pnjngny menjdi k kli.. 5. Sistem Koordint Rung Letk sutu titik dlm rung ditentukn oleh tripel terurut bilngn (x,y,z) dengn x disebut bsis yitu jrk dri bidng yz, y disebut ordint yitu jrk dri bidng xz dn z disebut plikt yitu jrk dri bidng xy. 6. Komponen Sklr Vektor Rung Komponen sklr sutu vektor rung dlh tripel terurut bilngn rel. Mislny koordint titik P (x, y, z ) dn koordint P (x, y, z ) mk komponenkomponen vektor : OP = [x -, y -, z - ] = [x,y, z ] OP = [x -, y -, z - ] = [x,y, z ] P P = [x - x, y - y, z - z ], dn P P = [x - x, y - y, z - z ]. 7. Beberp Opersi Hitung Vektor Rung

32 Beberp opersi hitung vektor rung umumny sm dengn opersi-opersi hitung pd vektor bidng. Mislny jik u = [u, u, u ], v = [v, v, v ] dn k R, mk : () u + v = [u + v, u + v, u + v ] (b) u - v = [u - v, u - v, u - v ] (c) ku = k[u, u, u ] = [ku, ku, ku ], dsb. 8. Pnjng tu Besr Vektor dn Jrk ntr Du Titik di R Pnjng tu Besr Vektor dn Jrk ntr Du Titik di R sm seperti hlny vektor-vektor di R. Mislny, jik P (x, y, z ) dn P (x, y, z ), mk d = P P (x x) (y y) (z z) 9. Vektor Komponen dlm Rung Setip vektor rung dpt dinytkn sebgi jumlh hsil kli dlm komponenkomponen sklrny dengn vektor-vektor komponenny merupkn vektorvektor stun pd sumbu x, sumbu y, dn sumbu z. Mislny u = [u, u, u ], mk : u = [u, u, u ] = u i + u j + u k dengn i = [,, ], j = [,, ], dn k = [,, ] sebgi vektor-vektor komponen yng menytkn vektor-vektor stun berturut-turut pd sumbu x, sumbu y, dn sumbu z. Vektor-vektor i, j, dn k disebut pul vektor-vektor bsis (bsis stndr) di R. Kerjknlh sol-sol Tes Formtif berikut dengn cr memberi tnd silng (X) dintr pernytn yng menurut And pling benr.. Jik A(-5,) dn B(,-), mk Tes Formtif A. AB = 4 7 C. AB =

33 B. BA = 7 4 D. BA = 7 4. Jik u = dn v = 5 mk w = u + v = A. C. B. D. A, B, dn C slh. Nili x dn y dri persmn vektor x y A. x = -, y = C. x = -, y = - B. x =, y = - D. x =, y = 4. Jik P (,) dn P (4,6), mk jrk dintr P dn P A. C. 65 B. 5 D Jik koordint titik A(-8,7,4) dn B(-,-,), mk komponen sklr vektor BA A. [ 5, 5, 4 ] C. [ -, 5, -4 ] B. 5, 9, 4 ] D. [ -, -9, -4 ] 6. Titik khir sutu vektor v = [ 7, 6, - ] dengn koordint titik wlny (, -, 4) A. (5, 7, -7) C. (-5, -7, 7) B. (-9, -5, -) D. (9, 5, ) 7. Dikethui vektpr-vektor u = [,, ], v [, -, ] dn w = [,, - ], mk vektor x yng memenuhi persmn u - v + x = 7x + w

34 A. [ 5,, ] C. [ -, 5, 6 ] 6 B. [, 5, -6 ] D. [ 5,, ] 6 8. Dikethui v = [,, 4] dn k v =, mk sklr k = A. C. B. D. A, B, dn C slh 9. Jik u = [ 5, -4, ] dn v = [,, -4 ] mk u - v = A. i - 4j + 6k C. -i + 4j - 6k B. i - 8k D. i, j, k. Jik koordint titik P (,, ) dn P (6, -7, ) mk jrk dintr P dengn P A. C. 4 B. 76 D. 94 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF. D Kren A(-5, ) dn B(, -), mk BA titik wlny di titik B dn titik khirny di A, sehingg BA = [ -5 -, - - (-) ] = [ -7, 4 ]. C Kren w u + v = [ -, ] + [ 5, ] = [ , + ] = [ -, ]. B Kren [, ] = x[, ] - y [, ] [ 6, ] = x [ x - y, -y ] berrti : x - y = 6 tu y = - dn x = 4

35 4. A Kren P P = ( 4 -, 6 - ) = (, ) mk d = P P 5. B BA = [ x A - x B, y A - y B, z A - z B ] = [ -8 - (-), 7 - (-), 4 - ] = [ 5, 9, 4 ] 6. D Jik koordint titik khir (x, y, z) mk v = [7, 6, -] = [x -, y +, z - 4] tu x - = 7 tu x = 9, y + = 6 tu y = 6, tu y = 5, dn z - 4 = - tu z =. Jdi koordint titik khirny (9, 5, ). 7. A u - v + x = 7x + w 6x = u - v - w 6[ x, y, z ] = [,, ] - [, -, ] - [,, - ] [ 6x, 6y, 6z ] = [ -, 5, 6 ] 6x = - tu x = -, 6y = 5 tu y = 5, dn 6z = 6 tu z =. 6 Jdi x = [-, 5 6, ]. 8. C kv k k k 4k k 4k 6k k = 5

36 9. A u - v = (5i - 4j + k) - (i - 4k) = i - 4j + 6k. C Kren P P = (6 -, -7 -, - ) = (5, -8, ) mk d = P P 5 ( 8) 9 6

37 DAFTAR PUSTAKA Ayres, Frnk, JR.Ph.D, (98). Theory nd Problems of Mtrices, Singpore: Schum s Outline, Mc-Grw Hill Book Compny. Anton Howrd, (987), Elementry Liner Algebr, 5 th Edition New York: John Wiley & Sons. Lrry Smith. (998). Liner Algebr. Gottingen: Springer. Risinghni & Aggrwl, R.S, (98), Mtrices, New Delhi: S.Chn & Compny Ltd. Romn Steven (99). Advnced Liner Algebr, New York, Berlin, Herdelberg, London, Pris, Tokyo, Hongkong, Brcelon, Budpest: Springer-Velg. Seymour Lipschutz. (98). Liner Algebr, Singpore: Schum s Outline, Mc- Grw Hill Book Compny. 7