KURVA BEZIER DAN BRESENHAM UNTUK PEMBUATAN LINGKARAN

Transkripsi

1 KURVA BEZIER DAN BRESENHAM UNTUK PEMBUATAN LINGKARAN (Djoi Haryadi Setiabusi) KURVA BEZIER DAN BRESENHAM UNTUK PEMBUATAN LINGKARAN Djoi Haryadi Setiabudi Fakultas Tekologi Idustri, Jurusa Tekik Iformatika Uiversitas Kriste Petra ABSTRAK: Salah satu primitif yag petig di komputer grafik adalah pembuata ligkara. Utuk meggambar betuk ligkara diperluka suatu metode tertetu seperti metode Bezier da algoritma. Pada metoda Bezier megguaka titik-titik kotrol poligo utuk membuat ligkara. Sedagka pada algoritma megguaka traslasi titik koordiat. Pada peelitia ii dibadigka kedua metode yaitu metode Bezier da algoritma. Kedua metode ii aka dibadigka berdasarka kecepata proses dalam pembuata ligkara da akurasi hasil peggambara ligkara oleh masig-masig metode. Tujua peelitia ii utuk megetahui metode pembuata ligkara yag palig baik. Utuk peelitia ii diguaka bahasa pemrograma Borlad Delphi. Dari hasil peelitia, didapatka bahwa algoritma memiliki kecepata proses 1.44 kali lebih cepat dari Bezier utuk 70 titik peggambara, sedagka akurasi dalam pembuata ligkara metode Bezier lebih baik, dimaa error utuk koordiat X Bezier lebih kecil 0, dari koordiat X sedagka error utuk koordiat Y Bezier lebih kecil 0, dari koordiat Y. Kata kuci: Bezier,, ligkara, komputer grafik. ABSTRACT: Oe of the primitive i computer graphics is a circle. It eeds a special method to draw a circle like Bezier method ad algorithm. Accordig to Bezier method, it use polygo cotrol poits to draw circle but it use coordiate poits of traslatio o algorithm. I this research, there are two methods were compared amely Bezier s method ad algorithm. Both of them were comparig accordig to speed ad accuratio i drawig a circle. The purpose of this research is to kow which oe is better to draw a good circle. It is used of Borlad Delphi programmig laguage for implemetatio. The result of this research shows algorithm had 1.44 times faster tha Bezier for 70 drawig poits, however for accuratio, the Bezier s method is better. The error of Bezier X coordiate is 0, smaller tha that of X coordiate, ad the error of Bezier Y coordiate is 0, less tha Y coordiate. Keywords: Bezier,, circle, computer graphics. 1. PENDAHULUAN Pembuata suatu ligkara merupaka salah satu primitive yag berpera dalam grafika komputer. Prisip yag dipakai pada peelitia ii dalam pembuata ligkara adalah meterjemahka dari bahasa matematika ke dalam bahasa pemrograma utuk metode Bezier da algoritma. Utuk program-program terapa sederhaa, ligkara yag diperoleh dari betuk dasar kurva cukup memadai, tetapi serigkali diigigika betuk ligkara yag jauh lebih rumit da tidak teratur. Betuk fugsi matematis yag palig utama utuk meggambar kurva sebagai dasar pembuata betuk ligkara adalah fugsi parametrik atau vector-valued fuctio yaitu utuk sembarag titik pada suatu permukaa, lokasiya ditetuka oleh dua buah parameter u da v biasaya berilai atara 0 da 1, da fugsi parametrik x,y, da z merupaka lokasi-lokasi titik pada kurva atau permukaa. Algoritma de Casteljau [2] merupaka algoritma utuk membuat kurva megguaka sejumlah titik kotrol, da megguaka tekik i-betweeig utuk medapatka kurva yag diigika. Algoritma ii dikembagka oleh P. de Casteljau, da merupaka cikal bakal kurva Bezier, yag secara terpisah dikembagka lebih lajut 51

2 JURNAL INFORMATIKA Vol. 2, No. 2, November 2001: oleh P. Bezier. Algoritma de Casteljau utuk membuat kurva Bezier cukup ampuh secara algoritmik, tetapi tidak secara eksplisit meyataka betuk fugsioalya. Karea alasa ii, kemudia dikembagka persamaa lai utuk membuat kurva Bezier, yag sagat bergua utuk tujua aalisis. Algoritma dipilih karea merupaka metode dasar grafis yag sagat populer da terkeal efisiesiya, memakai dasar iteger arithmetic yag jauh lebih cepat daripada floatig-poit arithmetic yag biasa dipakai da megguaka suatu persamaa matematis utuk megetahui adaya baris atau kolom baru yag aka dibuat dalam proses pembuata suatu garis. Tetapi juga memiliki kekuraga yaitu timbulya error jika dua segme garis yag overlap dibuat, error juga aka timbul jika sebuah segme garis yag itesitasya berbeda overlap terhadap suatu segmet garis yag sudah ada. dihasilka. Sehigga cepat dipelajari da diperkiraka betuk dari kurva yag dihasilka oleh suatu poligo Bezier. Kurva Bezier dega suatu parameter t memiliki persamaa matematika yag didefiisika sebagai berikut : P( t) = B J ( ) 0 t 1 i= 0 i, i t Gambar 1. Kurva Bezier Dega Defiisi Poligo 2. ALGORITMA 2.1 Algoritma BEZIER Metode kurva Bezier didefiisika oleh titik-titik kotrol poligo seperti ditujukka pada gambar 1. Kurva Bezier megguaka fugsi bledig yag juga adalah basis Berstei sehigga beberapa macam dari kurva Bezier dapat diketahui. Beberapa defiisi dari kurva Bezier yaitu : - Fugsi basis adalah real. - Tigkat defiisi poliomial segme kurva adalah satu lebih kecil dari jumlah defiisi titik-titik poligo. - Kurva megikuti betuk dari defiisi poligo. - Titik-titik awal da akhir dari kurva tepat sama dega titik-titik awal da akhir dari defiisi poligo. - Arah vector di ujug-ujug dari kurva mempuyai arah yag sama dega awal da akhir dari betuk poligo. - Kurva didalam covex hull dari defiisi poligo. Pada gambar 2 ditujukka cotoh utuk empat titik poligo Bezier da kurva yag Gambar 2. Beberapa Kurva Bezier dega Empat titik Kotrol Poligo dega fugsi bledig atau basis Berstei adalah : 1, 1( ) i J t = t (1 t) i dega! = i i!( i)! keteraga : J, adalah fugsi factor bledig atau i basis Berstei adalah koefisie biomial 3 i B i adalah titik kotrol J, (t) adalah tigkat ke- yag ke-i dari i fugsi basis Berstei. Disii adalah derajat dari defiisi fugsi basis Berstei. Dimaa (0) 0 1 da 0!

3 KURVA BEZIER DAN BRESENHAM UNTUK PEMBUATAN LINGKARAN (Djoi Haryadi Setiabusi) Harga maksimum dari tiap fugsi bledig pada t = i/ i i i i ( i) J, i = i X 2 + Y 2 = R 2 Keteraga: X = absis 0 Y = ordiat 0 R = bilaga iteger 1. Pada algoritma pembuata ligkara dega arah peggambara searah jarum arah jarum jam utuk litasa yag besarya seperempat ligkara atau 90 o memiliki tiga titik perhituga yaitu m1, m2, da m3 seperti yag digambarka pada gambar 2.5 di bawah ii: Gambar 3. Kurva Fugsi Bledig Berstei Titik akhir pada kurva Bezier da titik akhir pada defiisi poligo adalah tepat sama. Hasil fugsi bledig ii ditujukka pada gambar 3. Selajutya ditujukka bahwa utuk memberika ilai pada parameter t, hasil pejumlaha terakhir dari fugsi basis adalah tepat sama dega satu, yaitu: i 0 B J i, i ( t) = Algoritma BRESENHAM Algoritma megguaka aritmatika iteger yag tidak memerluka perkalia da pembagia dalam proses perhitugaya didalam seluruh implemetasi, yag maa aritmatika iteger ii memiliki kecepata perhituga yag lebih tiggi daripada aritmatika floatig poit. Algoritma memberika persamaa umum utuk ligkara sebagai berikut: (X a) 2 + (Y b) 2 = R 2 Dega (Xa,Ya) sebagai koordiat awal da (Zt,Yt) sebagai koordiator akhir. Persamaa umum ligkara yag diberika oleh Algoritma di atas dituruka dari persamaa umum ligkara : Gambar 4. Titik Peggambara Litasa Ligkara Algoritma Seperti terlihat pada gambar 4, pada suatu titik Pi dega koordiat (Xi, Yi) aka bergerak diatara m1 ke (Xi + 1, Yi) pada sudut 0 o, m2 ke (Xi + 1, Yi 1) pada sudut 315 o, da m3 ke ( Xi, Yi 1 ) pada sudut 270 o. Dimaa ketiga litasa tersebut memiliki besar sebagai berikut: - Utuk m1 ke ( Xi + 1, Yi ) besarya 2 {( Xi+ 1) + Yi } R - Utuk m2 ke ( Xi + 1, Yi 1 ) besarya 2 {( Xi+ 1) + ( Yi 1) } R - Utuk m3 ke ( Xi, Yi 1 ) besarya 2 { Xi + ( Yi 1) 2 } R jadi pada algoritma ii haya dilakuka evaluasi terhadap dua buah titik saja pada setiap lagkahya yaitu Xi da Yi serta megamati perubaha harga i yag besarya: 53

4 JURNAL INFORMATIKA Vol. 2, No. 2, November 2001: i = {[( Xi+ 1) + ( Yi 1) ] R } Keteraga: Xi adalah traslasi pada absis. Yi adalah traslasi pada ordiat. i adalah utuk megidetifikasi apakah Xi da Yi di dalam atau di luar ligkara FLOWCHART 3.1 Bezier Gambar 6. Flowchart Procedure Gambar 5. Flowchart Program Ligkara Bezier Fugsi procedure dibawah ii sebagai algoritma utama metode Bezier. procedure bezier(var x,y:real; t:real; :iteger; absis,ordiat:larik1d); var i: iteger; b:real; x:=0; y:=0; for I:=0 to do b:=basis(i,,t); x:=x+absis[i]*b; y:=y+ordiat[i]*b; ed; ed; Fugsi procedure dibawah ii sebagai algoritma utama utuk meggambar ligkara. x:=0; y:=100; xceter:=150; yceter:=150; plotpoits; p:=1-y; while x < y do if p<0 the x:=x+1 else x:=x+1; y:=y-1; ed; if p<0 the p:=p+2*x+1; else p:=p+2*(x-y)+1; plotpoits ed; ed; 54

5 KURVA BEZIER DAN BRESENHAM UNTUK PEMBUATAN LINGKARAN (Djoi Haryadi Setiabusi) 4. PENGUJIAN DAN ANALISIS Hasil percobaa peghituga waktu yag dilakuka sebayak 25 kali, utuk peggambara ligkara berjari-jari 100 sebayak 100 kali. Utuk ilai rata-rata 1 kali peggambara ligkara didapatka hasil seperti pada tabel 1. Tabel 1. Rata-rata Hasil Peghituga Waktu Bezier (ms) (ms) 1 8,8 6,6 2 8,3 6,6 3 8,8 5,5 4 8,8 6,0 5 8,3 6,0 6 8,8 6,0 7 8,8 6,1 8 8,3 6,6 9 8,8 6,0 10 8,8 6,0 11 8,8 5,5 12 8,8 6,1 13 8,8 6,0 14 8,8 6,0 15 8,8 5,5 16 8,8 6,1 17 8,8 6,0 18 8,8 6,0 19 8,8 6,0 20 8,3 6,0 21 8,8 5,5 22 8,3 6,1 23 8,8 6,0 24 8,8 6,0 25 8,8 6,0 Hasil perhituga rata-rata kecepata proses diatas diperoleh dari pegujia terhadap peggambara satu ligkara peuh dega metode Bezier da seperdelapa bagia ligkara dega algoritma tetapi dega jumlah titik potog yag sama sebesar 70 titik, sehigga aka didapatka bahwa algoritma lebih cepat 2,692 ms dari metode Bezier. Nilai titik-titik koordiat sepajag peggambara ligkara dari masigmasig metode dapat dilihat pada tabel 2 kolom 1 da 3 utuk koordiat X da tabel 3 kolom 1 da 3 utuk koordiat Y. Pada tabel 2 kolom 2 da 4, kemudia tabel 3 kolom 2 da 4 memperlihatka hasil perhituga koordiat real utuk X da Y pada setiap metode. Perhituga koordiat real didapatka dega substitusi koordiat-koordiat X da Y yag bersesuaia ke dalam persamaa umum ligkara X 2 + Y 2 = R 2. Persamaa utuk meghitug koordiat Y ligkara real adalah sebagai berikut: X1 = X 150 Y Y = 150 Y1 1= R X1 Sedagka persamaa utuk meghitug koordiat X ligkara real adalah sebagai berikut: Y1 = 150 Y X X = X1 1= R Y1 Tabel 2. Nilai Real Y Bezier x Real y Bezier x Real y , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabel 3. Nilai Real X Bezier y Real x Bezier y Real x , , , , , , , , , , , , , , , , , , Dega meghitug selisih atara ilai koordiat X da Y pada peggambara ligkara dega ilai x da y real dari hasil perhituga persamaa umum ligkara maka aka diperoleh harga rata-rata error koordiat X da Y utuk setiap metode sebagai berikut: Rata-rata error koordiat X Bezier = 5, / 7 = 0, Rata-rata error koordiat Y Bezier = 2, / 7 = 0, Rata-rata error koordiat X = 5, / 7 = 0, Rata-rata error koordiat Y = 3, / 7 = 0, Dari hasil perhituga di atas dapat disimpulka bahwa akurasi Bezier lebih baik daripada yaitu utuk 55

6 JURNAL INFORMATIKA Vol. 2, No. 2, November 2001: koordiat X terpaut 0, da utuk koordiat Y terpaut 0, KESIMPULAN Dari hasil pegamata da uji coba yag dilakuka, dapat kesimpula: 1. Pembuata ligkara dega megguaka algoritma lebih cepat prosesya sebesar 1.44 kali dibadigka dega metode Bezier. 2. Sedagka ditijau dari akurasi, ligkara Bezier lebih baik dibadigka ligkara dega error koordiat X lebih kecil 0, da error koordiat Y lebih kecil 0, Dega kecepata prosesor komputer seperti Petium dega aeka tipeya yag memiliki kecepata eksekusi cukup tiggi maka dapat disimpulka secara keseluruha bahwa metode Bezier lebih baik dibadigka algoritma karea memiliki akurasi yag lebih baik. DAFTAR PUSTAKA 1., Jack, A Liear Algorithm for Icremetal Digital Display of Circular Arcs. Associatio for Computig Machiery, Ic., Fari, Gerald, Curves ad Surfaces for CAGD, 3 rd ed. Arizoa: Academic Press, Hear, Doald, ad M. Paulie Baker, Computer Graphics, Pretice-Hall, Piegl, L, Iteractive Data Iterpolasi by Ratioal Bezier Curves, IEEE. April p Rogers, David F., Mathematical Elemets for Computer Graphic, NewYork: Mc- Graw Hill,