Dasar-Dasar Gerak dan Lintasan Satelit. Oleh Dr. Suryadi Siregar

Transkripsi

1 Ds-Ds Gek dn Oleh D. Suydi Sieg Pogm Studi Astonomi Institut Teknologi Bndung 7

2 Bb Stelit Sebgi Bend Lngit Obit meupkn elemen ds dlm setip misi ung ngks. Untuk mengeti bgimn gek dn lintsn sebuh stellit, dipelukn bebep pengethun ds tentng klkulus dn geometi. Roket yng tebng ke ngks lu, stelit yng begek bebs dpt dijelskn di pesmn gek yng telh dikembngkn oleh Copenicus, Keple dn Newton uyng semuny tekum dlm pengethun meknik bend lngit. Sekli posisi dn keceptn sebuh objek dikethui, yng meupkn fungsi di medn gvitsi, ong dpt mempeediksi dengn tept dimn posisi objek dlm bebep menit mendtng mupun thun. Ad bebep jenis obit yng dpt dincng untuk meletkkn stelit pd posisiny. Obit di stelit ini digkn dlm Gb - Gb - Bemcm tipe obit sepeti obit pking, tnsfe obit dn finl obit. Sebuh stelit umumny memuli kl hidup pd lintsn pking, di lintsn ini kemudin uppe stge oket digunkn sebgi booste untuk menemptkn stelit di obitny. Bebep doongn dipelukn smpi stelit menempti posisi yng dihpkn. Pesmn gek Pesmn gek stelit dpt dipelji dengn meninju mslh du bend yng memenuhi pesmn; Dimn = μ (-) -

3 = (-) Meupkn vekto stun sepnjng gis M-m, sedngkn μ = G(M+m) jik m << M mk pust koodint dpt dinggp titik M itu sendii sehingg pesmn gek dpt ditulis dlm bentuk yng identik; Gb - Koodint ktesis untuk sistem du bend, m begek eltif tehdp M. Dlm penuunn pesmn gek m dn M dinytkn sebgi mss titik Di pesmn dits dpt dituunkn bebep besn nt lin keceptn dn peceptn di titk mss m eltif tehdp M v = = + θ θ (-3) Dn vekto peceptnny dlh; = = ( θ ) + ( θ+ θ) θ (-4) -

4 Dengn menggunkn kedh Hukum Newton, tuunkn pesmn (-) du kli tehdp wktu t, membndingkn dengn pesmn (-4) dipeoleh pesmn gek stelit, ) untuk gek tnp penguh gy gnggun μ θ = (-5) θ+ θ = (-6) b) untuk gek dengn penguh gy gnggun; μ θ = + f(,) t (-7) θ+ θ = g(, t) (-8) dlm hl ini f(,t) dn g(,t) msing msing meupkn fungsi gnggun pd h dil dn tngensil. Gy gnggun dpt dibedkn dlm du ktgoi, yitu yng besift gvitsionl dn non-gvitsionl. Gy gnggu gvitsionl dtng di bentuk bumi yng tidk simeti dn pt mss yng yng bebed distu tempt dengn tempt yng lin. Untuk stelit yng obitny juh di Bumi, gy gnggu buln jug tuut bepen, demikin pul hlny dengn mnuve whn mupun btu-btu ngks yng mendekti Bumi. Sedngkn gy gnggu non-gvitsionl bis dtng di pengeemn tmosfe mupun teknn disi Mthi, yng bebed pd st stelit melintsi byng-byng Bumi dibndingkn ketig i meneim sin lngsung di Mthi. Apbil gek stelit dipenguhi oleh gy hmbtn tmosfe (tmospheic dg) mk gy gnggun dpt dinytkn oleh pesmn; FD = CDAρv ev = CDAρ v v (-9) m m A = dlh lus penmpng stelit ρ = pt mss ud v = keceptn stelit m = mss stelit e v = v v meupkn vekto stun dlm h keceptn v -3

5 C D koefisien gesek ngks, dlm hl ini C D =, untuk bol bult sempun dn memenuhi juh lebih bes di jln bebs t-t molekul. C D =, untuk bol bult sempun dn memenuhi juh lebih kecil di jln bebs t-t molekul, pd ketinggin < H < 5 kilomete gy gnggu tmosfe cukup bepen Gy hmbt ngks F D, menuut Pitchd et l.(993) dpt jug ditulis dlm komponen dil dn tngensil dlm bentuk f ( t, ) = Bρ v (-) g( t, ) = Bρv θ (-) B dlm penytn (-) dits disebut koefisien blistik dn didefinisikn sebgi, CD A B = (-) m Gy hmbtn tmosfe tidk boleh dibikn untuk stelit yng begek pd obit endh( kung di 5 km). Gy ini mempunyi h yng belwnn dengn h vekto keceptn dn sec bethp menghilngkn enegi stelit. Bekungny enegi stelit menyebbkn dius obit menjdi mengecil sec gdul stelit kn jtuh ke Bumi Gb. -3 Ilustsi gek pojektil didekt pemukn Bumi. -4

6 Gy gvitsi Fg = mg k mengh ke pust Bumi dn gy gesek ngks Fd = CDAρv v belwnn h dengn gek stelit selin itu, sedngkn gy d Newton F = m dlm hl ini, belku F = F dt g + Fd, Ken vekto posisi = x i + y j+ z k dn vekto keceptn v = x i + y j + z k dn peceptnny = x i + y j+ z k Oleh sebb itu d tig komponen gy yng bekej disepnjng sumbu koodint yng kit pilih, gy-gy tesebut dlh; mx= CDAρ x x + y + z my= CDAρ y x + y + z mz= CDAρ z x + y + z mg Kit liht hny komponen gy dlm h sumbu z yng mempunyi gy bet, mg Gb -4 Peswt ulng-lik Atlntis. Fungsi whn(spce shuttle) melkukn tnspotsi ngks lu temsuk menemptkn stelit pd obitny menjg i tetp d disn memut dn memindhknny bil dipelukn. Whn mempunyi kemmpun untuk menmbh/mengungi keceptn di ngks bil dipelukn dn tetp bed pd obitny. Spce booste tedii di bebep tingkt yng fungsiny dlh untuk menmbh keceptn dn kemudin melontkn stelit pd lintsn yng telh ditentukn -5

7 . Desin Obit Beikut diuikn kjin teoits c meletkkn stelit pd bidng obit. Asumsi gek mengikuti meknik Newton fcto teknologi, gnggun gvitsionl dn non-gvitsionl dibikn, semu kedh Hukum Keple dpt digunkn untuk bhn telh; Gb.-5 Kjin gek du bend untuk mendeskipsikn penemptn obit stelit dn jenis lintsn yng dihsilkn sebgi fungsi di sudut lont θ dn keceptn lont. Jiji Bumi R dn ketinggin stelit di pemukn Bumi dlh H. Jk stelit di pust gy sentl (pust Bumi) =R+H Di pesmn gek system du-bend (two body poblem) kit kethui sebuh ptikel yng begek dibwh gy gvitsi kn memenuhi hukum beikut. Keceptn Stelit pd obit elips memenuhi pesmn; = μ (-3) -6

8 = R + H (-4) di kedh hukum Keple ke-3 kekekln momentum sudut memenuhi penytn; x = Sinθ = μ ( e ) (-5) Ubh bentukny dengn menghilngkn tnd k dius kii dipeoleh; Sin θ μ e = μ (-6) Dismping itu dikethui bhw keceptn leps (keceptn pbol pd jk R di pust Bumi dlh μ p = (-7) R Definisikn sio kudt keceptn stelit dengn keceptn leps; H = R y = (-8) p ε, pebndingn tinggi stelit dengn jeji Bumi, ( ) x = Sinθ, dn z = e jdi pesmn dits dpt ditulis sebgi ( + ε )[ ( + y] z = 4xy ε ) (-) tu dpt disedehnkn menjdi [ ] z = 4xη η dlm hl ini η = ( + ε )y (-) Untuk nili x =. Sin θ = jdi sudut pelontn θ = π/ dn - π/ disebut hoizontl injection. z menjdi mksimum bil dipenuhi hubungn dz/dη = tu -7

9 d [ 4 ( η] = η = dη xη (-) nili ini dipenuhi untuk; z(/) = x = tu e =, obit lingkn dpt tebentuk Untuk x< Sin θ < nili θ yng memenuhi dlh θ < π/ tu - π/ Nili ini dipenuhi oleh z< tu e obit lingkn tidk penh tebentuk Syt lin min = (-e) > R untuk x = hus dipenuhi jug > H + R (-3) di pesmn μ = μ dipeoleh = μ (-4) Substitusi y dn ε dipeoleh; R + ε = η (-5) dengn demikin g stelit tidk jtuh ke Bumi huslh tu H f + = + ε (-6) R R + ε > + ε η (-7) -8

10 3 + ε ε ε ε η p tu η f + ε (-8) 4 8 Asumsikn suku-suku fkto kudtis dn seteusny dpt kit bikn tehdp bentuk linie mk pesmn dpt dinytkn sebgi; ε η + (-9) Untuk nili η = ½ + ε/4 dipeoleh; ε y = [ + ] + ε (-3) Selin itu ken ; ε = = + ε p ( + ) y (-3) p keceptn ini meupkn keceptn kitis, jik keceptn ini dinytkn sebgi f. ε = + + f p ( ε ) Dpt dimbil kesimpuln; ) Dlm hl f mk stelit jtuh ke Bumi, begek dlm pol obit ICM (Inte Continentl Missile). Thnn ud dn gnggun gvitsionl mupun nongvitsionl kn mempenguhi bentuk lintsn. ) Jik > f stelit tidk kn jtuh dn mengobit mengelilingi Bumi dlm bentuk lintsn tetentu. Gmb -5 beikut megkn bebgi ksus untuk bebep sudut lont sebgi fungsi sio keceptn lont kudt dn keceptn pbol kudt, η = p Jdi jels bhw sudut lont θ dn keceptn lont hus dipehtikn dengn seksm g stelit dpt mengobit dlm bentuk lintsn yng dikehendki. Keslhn yng tejdi pd st menentukn sudut θ dn keceptn lont kn menyebbkn tidk tebentukny obit yng dihpkn -9

11 Gb -6 Lintsn lingkn,elips, pbol dn hipebol. Lintsn lingkn tidk penh tejdi bil x< (pehtikn legend), stelit kn jtuh bebs bil z =. Lintsn pbol tejdi bil nili et, η =. Sedngkn untuk hipebol tejdi bil η > Gfik dits menunjukkn stelit msih bis mengobit pbil < η < stelit tidk kn jtuh tupun leps di gvitsi Bumi. Untuk lingkn hny bis tejdi bil x = tu sudut lont θ = ± 9 dn hus pd nili η =.5. Gmb dits jug menunjukkn bhw untuk η <,5 gfik menunjukkn monoton nik sedngkn pd,5 < η gfik mempelihtkn pol monoton tuun. Pd nili η = beppun besny sudut lont, mk obit stelit kn sellu bebentuk pbol. -

12 Gb -7 Kelug lintsn dengn sudut pelontn θ=π/ sebgi fungsi. Segl mcm bentuk obit bis tejdi ; lingkn, elips, pbol, jtuh bebs dn hipebol Penguh keceptn lont menunjukkn pbil i tellu bes mk stelit kn leps di gy gvitsi Bumi, bil keceptnny tellu kecil mk i kn jtuh ke Bumi. Untuk menemptkn stelit g tetp mengobit Bumi dipelukn keceptn lont yng memenuhi syt f < < p dlm hl ini sepeti bisny p dlh keceptn pbol/keceptn leps dn f keceptn jtuh stelit. Syt ini didftkn dlm Tbel. beikut Tbel. Bts bwh dn bts ts bgi keceptn lont untuk bebgi ketinggin di pemukn Bumi No H [km] f [km/det] p [km/det] 7,9,9 5 7,47,77 3 7,6, ,68,6 5 6,34 9,76 -

13 Gb.-8 Kelug lintsn dengn sudut pelontn θ π/ sebgi fungsi. Obit lingkn tidk penh tejdi. Bentuk obit yng bis tejdi dlh, elips, pbol, jtuh bebs dn hipebol Di Tbel. dits dpt diliht bhw keceptn jtuh sedikit lebih kecil di keceptn lingkn. Dipemukn Bumi keceptn jtuh sm dengn keceptn linie otsi Bumi. selin itu teliht jug bhw mkin endh titik pelontn mkin bes pul yng kit pelukn, hl ini dpt dimengeti ken didekt Bumi peceptn gvitsi yng menik stelit menjdi lebih bes. Atu dengn pektn lin enegi yng dipelukn untuk melontkn stelit bebnding teblik dengn jk stelit di pemukn Bumi. Setip model stelit dibei nm bedskn misi tupun tipe obitny bisny, nm stelit meupkn singktn di pojek yng sedng diembnny. Beikut ini didftkn bebep stelit butn yng telh dikethui, misi utmny dn tipe obitny. Tbel - : Dft stelit bedskn misi yng diembnny No Stellite Nm Lengkp. ADvnced Eth Obseving Stellite/ Reflecto In ADEOS/RIS Spce. ADEOS- ADvnced Eth Obseving Stellite 3. ALOS Advnced Lnd Obseving Stellite 4. ANDE Atmospheic Neutl Density Expeiment 5. ATEx Advnced Tethe Expeiment -

14 6. BE-C Becon Exploe C 7. CHAMP CHAllenging Micostellite Pylod 8. Envist ENIonmentl SATellite 9. ERS-X Eth Remote Sensing Stellite X. ETS-III Engineeing Test Stellite III. FIZEAU METEOR -. GSTB-/A Glileo System Test Bed /A 3. GSTB-/B Glileo System Test Bed /AB 4. GEOS-X Geodetic Eth Obiting Stellite X 5. GFO- Geost Follow-On 6. GFZ- GeoFoschungsZentum 7. GLONASS-X GLObl NAvigtion Stellite System X 8. Gvity Field nd Stedy-Stte Ocen Cicultion GOCE Mission 9. GP-B Gvity Pobe B. GPS-X Globl Positioning System X. GRACE Gvity Recovey nd Climte Expeiment. HA-LRE Lse Retoeflecto Expeiment 3. ICESt Ice, Cloud, nd lnd Elevtion Stellite 4. IRS-P5 Indin Remote Sensing Stellite P5 5. Json- TOPEX Follow-On 6. LAGEOS-X LAse GEOdynmics Stellite X 7. MSTI- Minitue Senso Technology Integtion 8. Ntionl Pol-obiting Opetionl Envionmentl NPOESS Stellite 9. Opticl Inte-obit Communictions Engineeing OICETS Stellite 3. Student-Tcked Atmospheic Resech Stellite fo STARSHINE-X Heuistic Intentionl Netwoking Expeiment-X 3. SUNSAT Stellenbosch UNivesity SATellite 3. TiPS Tethe Physics nd Suvivbility Mission 33. TOPEX/Poseidon TOPogphy EXpeiment 34. CL egittion Cnopy Lid 35. WESTPAC- WESTen PACific Lse Stellite -3

15 Tbel. -3 Nm stelit, infomsi tentng obit, misi utm yng diembn dn instumen yng dibw ( downlod 9 Febui 8 di Pimy Apogee Peiod Stellite i e Peigee (km) No Appliction (km) (min). Eth ADEOS/RIS Sensing Eth ADEOS- Sensing Geodynmic AJISAI s 5.,485, Apollo Se of Lun ,4 46,7 Tnquility Science dys 5. Lun 9.53 Apollo 4 F Muo ,4 46,7 Science dys 6. Apollo 5 Hdley Lun ,4 46,7 Rille Science dys 7. Eth BE-C Sensing ,3 8. Geodynmic DIADEM-C s ,85 9. Geodynmic DIADEM-D s , Eth ERS- Sensing Spce ETALON- Expeiments ,5 9, Geodynmic ETALON- s ,35 9, Eth FIZEAU Sensing Eth GEOS- Sensing ,8,77 5. Eth GEOS- Sensing ,77, Eth GEOS-3 Sensing Eth 7.98 GFO- Sensing Geodynmic GFZ- s GLONASS(49-97) Positioning 64. 9,4 9, GPS-35 Positioning 54..,95,95 78 GPS-36 Positioning 55..6,3, LAGEOS- Geodynmic ,85 5,96 5 s -4

16 3. LAGEOS- 4. Lun 7 Se of Rins 5. Lun Se of Seenity 6. RESURS SEASAT Stlette Stell SUNSAT TiPS TOPEX/Poseidon WESTPAC- ZEYA Geodynmic s Lun Science Lun Science Eth Sensing Eth Sensing Geodynmic s Geodynmic s Eth Sensing Tethe Science Eth Sensing Geodynmic s Stellite Tests ,65 5, ,4 46, ,4 46, dys 9.53 dys , ,5, ,35, Dt dlm tbel dits, msih teus beubh dengn cept ken hmpi tip buln d stelit bu yng diluncukn, pembc yng mempunyi fsilits intenet dpt mempebhui infomsi ini dengn beselnc di situs Sebgin di dt tesebut ditunjukkn pd Lmpin.3 Tnsfe Obit Definisi: Impulse dlh gy yng bekej dlm intevl wktu yng sngt singkt di t smpii t dengn t t. Jdi dpt ditulis t I = Fdt (-3) t Untuk t t dpt ditulis -5

17 Lim Lim dv I = Fdt = t t m dt = m ( t) m ( t ) = m m t t dt t t t t (-33) Dlm gmb -8 digkn hubungn impulse I dn keceptn Gb -9 Hubungn nt impulse I dn keceptn wl dn peklin skl du vekto I = ICosθ. Sedngkn, nom di peklin vekto I x = I Sin θ Keubhn enegi kibt dny impulse ini dibeikn oleh pesmn (-34) E = m ( ) Δ = m ( )( + ) = I + I. (-34) Dlm hl ini kit liht bhw bil;. I tegk luus. ΔE minimum. I sejj dengn ΔE mksimum 3. Momentum sudut L = x m 4. Peubhn momentum sudut ΔL = L - L = x I Nom di keubhn momentum sudut; x I = I Sin θ (-35) Jdi dpt diliht bil;. tegk luus I mk ΔL mksimum. sejj I mk ΔL minimum Dismping itu untuk lintsn elips dikethui enegi totl system dlh μm E = de d μm = Δ = ΔE μm -6 (-36)

18 Jdi peubhn setengh sumbu pnjng bebnding lngsung dengn enegi totl sistem, jik ΔE membes mk Δ jug membes, demikin pul seblikny Akibt dny impulse dpt mempenguhi obit dlm bentuk;. mengubh peiode. mengubh eksentisits Gb - Akibt dny impulse tejdi peubhn peiode dn eksentisits obit dlm ksus ini keceptn wl dn khi sellu tngensil tehdp lintsn stelit. Gis tebl obit wl, gis putus-putus obit khi.4 Tnsfe Hohmnn Alih obit di bentuk lingkn ke bentuk lingkn dikenl dengn nm tnsfe Hohmnn, ilustsi tnsfe digkn dlm Gb. -. Cii di tnsfe Hohmnn dlh begek di obit semul lingkn ke obit lin yng bebentuk lingkn pul, sedngkn obit tnsfe bebentuk elips. Tnsfe Hohmnn meupkn c yng pling seing digunkn untuk menemptkn stelit pd obitny yng tetp (pking obit) Gb - Tnsfe obit model Hohmnn dimuli di lingkn kecil( = ) kemudin menjdi elips ( = + ) selnjutny beubh lgi menjdi lingkn bes ( = ) -7

19 Dlm hl ini belku penytn; μ μ = j = j sedngkn = j = j (-37) Impulse pd titik A dn B dibeikn oleh; I A = sedngkn IB = (-38) Untuk thp kedu obit elips; = μ disini belku = ( + )/ Jdi keceptn tnsfe dititik A dn B dlh; = μ = μ = μ + = (-39) + = μ = μ = μ + = (-4) + Dlm bentuk vekto dpt ditulis = j + dn = j + (-4) Oleh sebb itu dipeoleh; / IA = j + (-4) -8

20 -9 / B I j = + (-43) Impulse yng dipelukn untuk melkukn pepindhn obit di lingkn kecil ke lingkn bes dlh; = + = I I I I I I B A (-44) dipeoleh; / / I = (-45) Peubhn enegi pd titik A dn B dlh E I I wl Δ = + (-46) Dengn menilik pd msing-msing titik dipeoleh; Mnuve tunggl peubhn keceptn pd titik A dlh; + = Δ E A dn + = Δ E B (-47) Sehingg enegi totl yng dibutuhkn untuk melkukn tnsfe Hohmnn dlh; + + = Δ ) ( E (-48)

21 Pd dsny d du tipe mnuve untuk mengubh obit, yitu mnuve tunggl dn mnuve gnd Gb - Mnuve gnd dn mnuve tunggl.untuk mnuve tunggl, tnsfe obit dilkukn di obit sl lngsung ke obit tujun. Untuk mnuve gnd pepindhn obit dilkukn setelh stelit mengubh obit lingkn menjdi lintsn elips setelh melengkpi obitny, pd titik peige whn memnftkn enegi kinetik mksimum untuk bepindh ke obit lingkn yng lebih bes Untuk mnuve tunggl: Peubhn keceptn pd titik A dlh; Δ = l h (-5) Dlm hl ini l dlh keceptn lingkn, p keceptn leps/pbol dn h keceptn hipebol, bil keceptn obit pd titik tujun dlh mk belku; μ / h = + p h = [ + ] (-53) A μ / h = [ ] (-54) A Enegi kinetis pd posisi dlh ; μ = h (-55) A Dengn demikin peubhn keceptn yng dipelukn untuk mnuve tunggl dlh μ / ΔA = l [ + ] (-56) A -

22 Untuk mnuve gnd Peubhn keceptn pd titik A; Δ = ) + ( ] (-57) A ( l B h A Keceptn obit dititik A(keceptn eliptik) = A μ (-58) A A + B Keceptn eliptik di titik B = B μ (-59) B A + B Peubhn keceptn dlh; A A ΔA = l ( + ) + ( + ) (-6) B B P Definisikn efisiensi tnsfe obit dengn pmete beikut; = + α, P = + A β B Rsio mnuve gnd dn tunggl dlm pmete beikut Δ β + α + β 4 Agnd Q = = Δ tunggl α A (-6) (-6), (-63) Besn ini disebut efisiensi, selnjutny tinju bebep ksus ) jik sio kibtny α P β + β jdi Q = (-64) jik kit mbil limitny; Lim Q= Lim Q= β B A (-65) -

23 A b) sedngkn bil dimbil ; B mk; Lim lim Q = Q =.4 B β A (-66) Kesimpuln yng dpt dimbil di penytn (-66) dlh efisiensi kn mencpi; ) % bil dpt dibut A >> B ) 4% bil dpt dibut B >> A P Jik β dibut tetp sedngkn mk Lim Q lim β+ β+α 4 = α α α (-67) Atu dpt jug ditulis dengn menggunkn teoem l Hospitl bhw penytn (-67) identik dengn Lim Q lim α = = Lim α = α α α+β 4 α β 4 + α Penytn ini menytkn bhw kn dicpi efisiensi sebes % dengn kt lin mnuve dengn keceptn khi P dn obit lih yng mempunyi peige di titik A kn lebih menguntungkn dipd mnuve tunggl.5 Gek Ptikel yng Menglmi Pepindhn Pust Gy Sentl di Stu Titik Fokus ke Titik Fokus yng Lin -

24 Gb.-3 Lintsn elips dn besn geometiny. Mul-mul ptikel bed pd posisi dengn pust gy titik A, kemudin begek ke posisi lin dengn pust gy bed pd titik B Mislkn p, menytkn peilotusectum pd st pust gy d di titik A dn p, menytkn peilotusectum pd st pust gy d di B. Bedskn kedh hokum Keple pd kedu posisi ini belku penytn; (-69) p = ( e ) = h / μ (-68) p = ( e ) = h / μ Gy dipindhkn di fokus A ke B Mislkn AB=k mk c = c-k, c c e = = k = c ( k ) = e( k ) c c (-7) Selin itu dikethui pul ; e ( e ) =, klikn besn ini dengn mk dipeoleh; c c k = (-7) Atu dpt dinytkn dlm bentuk; [ c + c kc + k ]= [ ] kc + k = (-7) -3

25 c c( + c) k = = (-73) ( c) k ( c + c) (3 + c/ ) e(3 + c) e = e( ) = e( ) = e = (-74) c ( c) c ( c/ ) e.6 Eksentisits Gek Hipebol μ Sebuh ptikel begek dengn gy epulsive F = menjuhi titik sl, mul-mul gek obitny bebentuk elips, pd titik yng bejk c di pust gy sentl ptikel μ tesebut dilemp dengn keceptn =, kn ditentukn eksentisits obit.ptikel yng c μ begek dibwh gy epulsive F = memenuhi m (-75) m + μ = E c pesmn enegi ini mempelihtkn enegi totl system ptikel E, sellu benili positif Di teoi tentng poblem du bend kit kethui pesmn enegi ptikel yng begek μ dibwh gy tik gvitsi F = untuk jk =c enegi totl system dlh, m m μ = E (-76) c mislkn h= c θ h, u = dn cθ = = substitusi ketig penytn ini kedlm c c pesmn enegi dits kit peoleh pesmn kudt dlm bentuk u, mh u μ mu E = (-77) sehingg kit peoleh k pesmn, μ μ = ± h h Eh + μ m u, nili mksimum dn minimum memenuhi penytn, μ μ Eh = + + dn h h μ m u mx μ μ Eh = + (-78) h h μ m u min Bndingkn bentukny dlm koodint pol μ u = ACos( θ ω ) + (-79) h -4

26 θ dn keceptn lont Dlm bentuk ini nili u mksimum dipeoleh bil Cos ( θ ω ) = tu θ = ω dengn pektn lin; μ umx = A + (-8) h / μ Eh Jdi A = + h μ m (-8) selin itu dikethui jug A = μe (-8) h jdi eksentisits huslh memenuhi penytn, / Ah Eh e = = + (-83) μ μ m di penytn ini jels bhw nili e kn sngt ditentukn oleh tnd ljb dn besn enegi E, yitu jik E= mk lintsnny bebentuk pbol(e=) dn jik lintsnny bebentuk hipebol( e>) huslh enegi E behg positif, sedngkn untuk lintsn elips (<e<), E hus negtif. Selnjutny pehtikn penytn beikut, h p = ( e ) = (-84) μ tu nytkn h dlm bentuk pesmn enegi ( e ) / Eh Eh h = [ μ ] = μ = μ m (-85) μm dengn demikin enegi untuk lintsn yng bebentuk elips dpt ditulis sebgi, μm E = (-86) msukkn kedlm pesmn enegi μm m m μ = = μ (-87) c c Sedngkn untuk lintsn hipebol, μm E =, dipeoleh μ m m m μ = c = μ + (-88) c -5

27 Ken ptikel dilemp dengn keceptn keceptn teoitis dits, jdi μ = keceptn ini tentulh hus sm dengn c μ μ = μ + c = = (-89) c c h Selin itu telh dikethui bhw p = ( e ) = tu μ e = (-9) c gnti dengn c mk e = + (-9) c Jels bhw eksentisits hny begntung pd konstnt c sj. Obit bebentuk hipebol.7 Peubhn mss oket yng begek di obit lingkn dengn keceptn l menjdi lintsn pbol dengn keceptn doong g Beikut dismpikn sebuh ilustsi sedehn tentng peubhn mss oket dn dmpkny pd keceptn whn besngkutn. Untuk menghitung bep mss yng hilng setip kli penembkn, pehtiknlh ilustsi beikut ini; Gb.-4 Mss yng dilontkn oket membut oket tedoong ke depn, keceptn oket begntung pd keceptn mtei yng dilontkn Menuut hukum kekekln momentum, pd ksus ini belku, peubhn momentum sebelum, dn sesudh penembkn dlh tetp, -6

28 dp + dp = (-9) Atu dpt ditulis kembli dlm bentuk g dm dv + m = dt dt = g dm dv m (-93) Tinju syt bts t= oket msih mengobit dlm bentuk lingkn keceptn oket l mss totl m setelh didoong pd st t, obit beubh menjdi pbol mislkn keceptnny menjdi p dn mssny m f Cttn, sio keceptn pbol/keceptn lingkn = Jdi t mf dm dv = - (-94) m g m Jdi sio mss finl tehdp mss wl oket dpt ditulis kembli sebgi m f m / g = e (-95) dlm hl ini = p Keceptn eltif oket tehdp keceptn lingkn dlh =, ken keceptn leps dlh kli keceptn melingk mk dpt dinytkn p = =,4 (-96) Dengn demikin sio mss oket sebelum dn sesudh mengubh lintsnny di lingkn menjdi pbol dlh, m m f, 4 l g = e (-97) Pesmn ini menytkn bhw bil; keceptn doong, g yng bes kn menyebbkn mss finl semkin membes, demikin pul seblikny keceptn doong endh kn menyebbkn mss finl semkin mengecil -7

29 Gb.-5 Tjectoy oket Aine 4 ketik diluncukn di Kouu (Guyn, Ameik Seltn) dipelukn tig kli penembkn untuk menemptkn stelit pd obitny Semkin kecil g semkin bes pul mss wl yng hilng demikin pul seblikny. Dlm hl keceptn lont g =,8 km/det dn keceptn whn pd obit lingkn, l = 5 km/det mk sio mss finl dn wl oket tesebut dlh; m f m,5 (-98) Atiny untuk mendptkn keceptn 5 km/det, mk setengh mss oket tdi kn hilng klu keceptn mteil yng disembukn melju dengn keceptn,8 km/det. Gmb beikut megkn penemptn sebuh stelit(pylod) pd oket Aine 4 dn oket Titn. -8

30 Gb. -6 Model oket Titn dn Aine 4. Untuk Aine 4 d sembiln bgin utm () Fist stge (L), () Solid stp on booste(pap), (3) Liquid stp-on booste(pal), (4) Inte-stge ½ skit, (5) Second stge(l33), (6)Thid stge(h), (7) ehicle equipment by (EB), (8) Dul lunch stuctue(spelda) dn (9) Fiing. Sebelh kii dlh pofil oket Titn yng membw whn Cssiny -9

31 Contoh Sol ltihn SOAL Sebuh pojektil dilempkn di Plnet X, pojektil dihpkn tidk jtuh kembli ke Plnet X. Bil thnn ud dibikn demikin pul penguh gvitsi di bend lngit yng lin. Buktiknlh keceptn pojektil tesebut pd jk di Plnet X mengikuti penytn beikut; gr v = + v gr Dlm hl ini R-Jeji Plnet X g-peceptn gvitsi plnet X v keceptn pojektil di pemukn(=r) plnet X Penyelesin Lngkh : Pemodeln Bedskn hukum gvitsi Newton, peceptn pojektil tesebut dlh bebnding teblik dengn jk kudt dv k ()= = dt () dlm hl ini v-keceptn pojektil tesebut t-wktu k-konstnt pembnding -jk di pust gy Ken mengecil bil membes mk pd ptikel tesebut tejdi pelmbtn, dengn demikin k< Bil = R mk = - g (peceptn gvitsi Plnet X) Jdi; k g = R ( ) = k= gr R () Gbungkn () ke () () = gr (3) Sekng; -3

32 dv dv d = = = dt d dt kibtny; dv d v dv gr v = (4) d Lngkh : Pechkn pesmn difeensil, pishkn vibel llu integsikn gr d gr vdv = d vdv = gr v = + C (5) Lngkh 3: Nytkn C sebgi fungsi v dn besn yng dikethui R dn g. Ken untuk =R keceptnny dlh v, jdi gr C = v (6) R Dengn memsukkn C kedlm penytn (3) kit peoleh; v = gr + v gr Oleh ken v mk dipelukn yng memenuhi syt lebih bes di gr. Keceptn miniml yng diizinkn dlh v = gr. Untuk Bumi, gnti R= 637 km dn g=9,8 m/det (peceptn gvitsi di ekuto) kit peoleh, v =, km/det Sol : Sebuh whn ntiks kn dijtuhkn di plnet X. Pd st psut tebuk(t = ) whn mempunyi keceptn wl, v() = km/jm. Tentukn keceptn whn tesebut pd wktu t sembng v(t). Apkh keceptn, v(t) kn menuju tk tehingg bil t menuju tk tehingg? -3

33 Penyelesin Lngkh : Modeling dn sumsi-sumsi Mislkn W-bet totl di whn tesebut dn g-peceptn gvitsi U-thnn ud, bebnding kudt dengn keceptn U=bv U Hukum Newton; F=m W U = m dv mg bv = m dt dv b = g v dt m W Lngkh: Selesikn pesmn difeensil dv b gm b = v = v k dt m b m () dlm hl ini; k = gm b Dpt jug ditulis; dv = b dt v k m () Pehtikn bentuk ( + ) + ( + ) = = A + B = v A B k A B v k ( v+ k)( v k) ( v+ k) ( v k) v k dengn demikn kit puny pesmn; -3

34 (A+B) = dn ( A+B)= /k dipeoleh A= -/k dn B= /k Integsikn pesmn () dv dv b dv = + = dt v k k ( v+ k) k ( v k) m tu ; v k b ln = k t+ c v+ k m disedehnkn kit peoleh bentuk v k = e v+ k b k t+ C m pt + ce tu ; v= k pt ce dlm hl ini; p = kb m dn c e = kc pt Kit liht jik vk mk ce tiny t Hl lin yng menik dlh tenyt v tidk begntung pd v Lngkh 3: Menentukn konstnt c Untuk t= mk v= v jdi + c v k v = k = c c + v k Dengn demikin uutn pehitungn menjdi;. Hitung; k W = == b gm b -33

35 . Hitung; 3. Hitung; p = kb m + c v k v = k = c c + v k 4. Hitung; v + ce pt = k pt ce Lngkh 4: Andikn nili numeik untuk whn yng dijtuhkn di Bumi dlh sebgi beikut; W = 7 nt keceptn wl v = km/det, peceptn gvitsi g = 9,8 m/det dn b = 3 nt det /m kibtny; gm b W b k = = = m k = m 3, 7 / det 4,87 / det ini dlh bts keceptn miniml untuk nili c =,345 untuk nili p; = kb.4,87.3 p = 4, / det m 7,7 = Akibtny kit peoleh keceptnny sebgi fungsi wktu; +,345e vt () 4,87,345 e 4,t = 4,t Dlm penytn ini dpt diliht bil t kit peoleh v = km/det sedngkn untuk t dipeoleh v = 4,87 km/det, bndingkn dengn keceptn linie otsi Bumi v = 7,9 km/det -34