APLIKASI GEOMETRI, TRIGONOMETRI, DAN INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK MEMBAGI SEBUAH LINGKARAN MENJADI BEBERAPA BAGIAN YANG SAMA LUASNYA

Transkripsi

1 1 LIKSI GEOMETRI, TRIGONOMETRI, DN INVERS FUNGSI TRIGONOMETRI UNTUK MEMGI SEUH LINGKRN MENJDI EER GIN YNG SM LUSNY THE LITION OF GEOMETRY, TRIGONOMETRY, ND INVERSE TRIGONOMETRI FUNTIONS TO DIVIDE IRLE INTO SOME RTS WITH THE SME RES Wiwip Mtono (Stf engj U MKU oliteknik Negei ndung) STRK Untuk membgi sebuh lingkn menjdi bebep bgin yng sm lusny dilkukn dengn membgi sudut pustny. lin dikejkn dengn metod geometi tu tigonometi dn inves fungsi tigonometi. Metod geometi dikejkn dengn konstuksi geometi, mislny lingkn dibgi menjdi bebep lingkn lin yng konsentis. Metod tigonometi dn inves fungsi tigonometi dpt dibgi menjdi tig, yitu: ) lingkn dipotong gis luus dn tebentuk tembeeng lingkn, lingkn dipotong lingkn lin dengn ji-ji yng sm dn tebentuk du buh tembeeng yng simetis, c) lingkn dipotong lingkn lin dengn ji-ji R yng bebed dn pustny teletk pd tepi busu lingkn semul dn tebentuk du buh tembeeng yng tidk simetis. Dengn metod tigonometi dn inves fungsi tigonometi kn dipeoleh pesmn tnsedentl yng dpt dihitung sec numeik dengn pogm kompute. Keslhn di lus iisn lingkn lebih kecil dipd 1% dn bemtuk iisnny lebih menik dibndingkn dengn metod geometi. Kt kunci: lingkn, geometi, tigonometi dn inves fungsi tigonometi, segmen. STRT Dividing cicle into some pts with the sme es cn be done by septing it t its centl ngle. Geomety, tygonomety, nd invese tigonometic functions e the othe methods which cn be used fo the sme pupose. Geomety method is done by using constuction geomety, such s cicle is divided into nothe concentic cicles. Tigonomety nd invese tigonometic functions method cn be divided into thee, i.e: ) the cicle is cut by stight lines nd thee will be segment of cicle; the cicle is cut by nothe cicle by the sme dius, s the esult thee will be two symmeticl segments of cicle; c) the cicle is cut by nothe cicle with diffeent dius R nd centelized t the bim of the initil cicle, thus thee will be two ssymmeticl segments of cicle. Using tygonomety nd invese tigonometic functions, the esult is tnscedentl eqution tht cn be clculted numeiclly using compute pogm. The eo of the cicle s coss section will be less thn 1% nd the shpe of the section will be moe inteesting to see by using geomety method. Keywods: cicle, geomety, tygonomety, invese tigonomeic functions, segment.

2 Sigm-Mu Vol.4 No.1 Met 01 ENDHULUN d umumny, mknn sepeti pizz, mtbk, kue ulng thun bebentuk silinde tegk dengn penmpng bebentuk lingkn. Yng kn dibhs di sini dlh membgi sebuh lingkn menjdi bebep bgin yng sm lusny tu membgi ) mknn bebentuk silinde tegk yng sm volumeny. yng sedehn untuk membgi sebuh lingkn dlh dengn membgi sudut pustny oleh gis luus menjdi bebep bgin sepeti gmb 1) dn 1. Gmb 1). Sebuh lingkn dibgi menjdi du bgin yng sm lusny 1. Sebuh lingkn dibgi menjdi tig bgin yng sm lusny d gmb 1), sudut pustny dibgi du msing-msing sebes dengn menik sembng gis mellui pustny. d gmb 1, sudut pustny dibgi tig msingmsing sebes 10 0 dengn menggunkn jngk ken busu sebuh lingkn dpt dibgi menjdi enm bgin yng sm ( pinsip segi tig sm sisi ). Jdi, sudut = sudut = sudut = lin untuk membgi sebuh lingkn menjdi du bgin yng sm lusny dlh menggunkn busu lingkn sepeti pd gmb ) dn ) G E D H F Gmb ) dn. Sebuh lingkn dengn ji-ji dibgi menjdi du bgin yng sm lusny oleh busu lingkn dengn ji-ji dn ½.

3 pliksi Geometi, Tigonometi dn Inves 3 Fungsi Tigonometi untuk Membgi Sebuh Lingkn Menjdi ebep gin yng Sm Lusny d gmb ), lingkn dipotong oleh du buh busu lingkn dengn ji-ji yng sm yitu. ust lingkn petm di yng meupkn pepotongn sumbu dengn busu lingkn di sebelh kii. ust lingkn ke du di D yng meupkn pepotongn sumbu dengn busu lingkn di sebelh knn. d gmb, lingkn dibgi du oleh busu lingkn dengn ji-ji ½. gilh gis tengh EF menjdi empt bgin yng sm yitu EG = G = H = HF = ½. Titik G teletk pd sumbu E dn titik H teletk pd sumbu F. ust lingkn petm teletk di titik G dn pust lingkn kedu teletk di titik H. melukis gmb 1 dn mempegunkn konstuksi geometis sepeti membut sumbu simeti, sift segi enm betun dn sebginy. (nett, 009) untuk membgi sebuh lingkn menjdi tig bgin yng sm lusny dlh menggunkn busu lingkn sepeti pd gmb 3) dn 3. ) F E Gmb 3). Sebuh lingkn dengn ji-ji dibgi menjdi tig bgin yng sm lusny oleh busu lingkn dengn ji-ji. Gmb 3. Segi enm betun DEF dlm lingkn untuk menentukn pust lingkn pd gmb 3). D d gmb 3), pust busu lingkn petm dlh di titik F, busu lingkn kedu di titik dn busu lingkn ketig dititik D dengn ji-ji dn sudut pust EMHSN Sebuh lingkn dpt dipotong menjdi bebep bgin yng sm lusny dengn menggunkn du buh c, yitu : 1. Geometi.. Tigonometi dn Inves fungsi tigonometi. enyelesin c kedu dpt dibgi lgi menjdi tig, yitu :. Lingkn dipotong gis luus dn tebentuk tembeeng lingkn. b. Lingkn dipotong lingkn lin dengn ji-ji yng sm. c. Lingkn dipotong lingkn lin dengn ji-ji R yng bebed dn pustny teletk pd tepi busu lingkn semul.

4 4 Sigm-Mu Vol.4 No.1 Met 01 geometi meupkn hsil pemikin penulis sendii., b, dn c dipeoleh di sol pd buku Vlbeg dn penyelesin c b dn c dlh hsil pemikin penulis sendii. Dengn c geometi, dipegunkn ds-ds konstuksi geometi dn lebih mudh mengejknny dengn bntun jngk dn penggis. Kekutn dn ketelitin gmb yng dipeoleh begntung pd yng membutny. Dengn c tigonometi dn inves fungsi tigonometi, kn dipeoleh pesmn tnsendentl yng dpt dihitung sec numeik dengn bntun kompute c ini lebih sulit mengejknny. Hg pendektn sudut pust yng dipeoleh dpt ditentukn dengn busu dejt. 1. Geometi Dlm kehidupn sehi-hi, seing dijumpi ssn nk pnh tu peluu dlm pelombn memnh tu menembk. Tget ssn bebentuk lingkn-lingkn yng konsentis (pustny sm). pliksi dlm bidng fisik dlh dlm pembutn esisto tu untuk konduksi pns. Yng kn dibhs di sini dlh c membgi sebuh lingkn menjdi du bgin dn tig bgin yng sm lusny dengn lingkn yng konsentis. ontoh 1 : Di gmb 4 di bwh ini, sebuh lingkn dengn ji-ji kn dibgi menjdi du bgin dengn lus yng sm sec konsentis sehingg kn dipeoleh ji-ji lingkn kecil = ½. ) D Gmb 4). Sebuh lingkn dibgi menjdi du bgin sec konsentis. 4. Lukisn D = ½. untuk mempeoleh D = kecil = ½ dlh sebgi beikut. d pesegí ditik digonl dn yng bepotongn di titik D. njng = dn D = D = ½ = ½. ontoh : Di gmb 5 di bwh ini, sebuh lingkn dengn ji-ji kn dibgi menjdi tig bgin dengn lus yng sm sec konsentis sehingg kn dipeoleh ji-ji lingkn kecil = 1/3 3 dn ji-ji lingkn sedng = 1/3 6. d gmb 5, segitig dlh segitig sm sisi dengn = = =, = = ( teletk pd sumbu ) sehingg kn dipeoleh pnjng = 3. Gis dibgi menjdi tig bgin yng sm dengn konstuksi geometis dn dipeoleh pnjng gis

5 pliksi Geometi, Tigonometi dn Inves 5 Fungsi Tigonometi untuk Membgi Sebuh Lingkn Menjdi ebep gin yng Sm Lusny D = 1/3 3. d gis, ukukn E = D dn dipeoleh segitig sikusiku sm kki DE dn pnjng gis DE = 1/3 6. ) D 3 E Gmb 5). Sebuh lingkn dibgi menjdi du bgin sec konsentis. 5. Lukisn D = 1/3 3 dn DE = 1/3 6. ) D Gmb 6). =, lus bgin yng disi dlh 1/3 di lus lingkn. 6. Sebuh lingkn dibgi menjdi tig bgin yng sm dengn menggunkn empt buh setengh lingkn. Ide pd gmb 6) dipeoleh penulis di buku (Hoffe nd Koss, 1996). Dimete = dn setelh dihitung, kn dipeoleh lus bgin yng disi dlh 1/3 di lus lingkn. Ide ini dikembngkn oleh penulis sehingg dipeoleh gmb 6, yitu lingkn yng dibgi tig dengn lus yng sm. d gmb 6, dimete lingkn dibgi menjdi tig bgin yng sm, yitu = D = D = /3. d titik dn D, dilukis setengh lingkn dengn ji-ji /3 dn dengn dn D sebgi dimete dilukis setengh lingkn lin dengn ji-ji 1/3.. Tigonometi dn Inves fungsi tigonometi. enyelesin c kedu dpt dibgi lgi menjdi tig, yitu :. Lingkn dipotong gis luus dn tebentuk tembeeng lingkn. b. Lingkn dipotong lingkn lin dengn ji-ji yng sm.

6 6 Sigm-Mu Vol.4 No.1 Met 01 c. Lingkn dipotong lingkn lin dengn ji-ji R yng bebed dn pustny teletk pd tepi busu lingkn semul. Di gmb 7 di bwh ini, dpt diliht bhw sebuh lingkn dengn ji-ji dipotong oleh gis luus (tli busu) dn tebentuk tembeeng lingkn (bgin yng disi). Lus tembeeng dengn sudut pust α dlh ½ (α sinα)...(1) α α Gmb 7. Tembeeng lingkn dengn sudut pust α. ontoh : 1. Lus tembeeng = ½ (α sinα) = 1/6 lus lingkn = 1/6 π Dipeoleh pesmn tnsendentl α sinα = π/3 dn sudut α = 0, din = 56,407 0 Jdi, jk tembeeng di pust dlh = d = cosα = 0,5539. Lus tembeeng = ½ (α sinα) = 1/4 lus lingkn = 1/4 π Dipeoleh pesmn tnsendentl α sinα = π/ dn sudut α = 1,15494 din = 66,173 0 Jdi, jk tembeeng di pust dlh = d = cosα = 0, Lus tembeeng = ½ (α sinα) = 1/3 lus lingkn = 1/3 π Dipeoleh pesmn tnsendentl α sinα = π/3 dn sudut α = 1,3066 din = 74,637 0 Jdi, jk tembeeng di pust dlh = d = cosα = 0,64934 Lus setengh tembeeng dpt dihitung dengn integl (Vlbeg, 007), yitu d csin ontoh. : Menghitung setengh tembeeng yng lusny = 1/8 lingkn. 0,4 0 d 0,4 ( csin )] 0, (0,3891 mendekti π/8 = 0,397, dengn keslhn 0,9 %) c

7 pliksi Geometi, Tigonometi dn Inves 7 Fungsi Tigonometi untuk Membgi Sebuh Lingkn Menjdi ebep gin yng Sm Lusny Tbel 1. ehitungn lus tembeeng lingkn. Sudut α ( 0 ) α (din) Lus tembeeng Lus sebenny Keslhn (%) pembultn = ½ (α sinα) 56,5 0,986 0,557 1/6 π = 0, , ,15 0,7800 1/4 π = 0,7854 0,69 74,5 1,300 1,04 1/3 π = 1,047 0,48 Di gmb 8 di bwh ini dpt diliht bhw sebuh lingkn dengn ji-ji dipotong oleh lingkn lin dengn ji-ji yng sm. Iisnny bebentuk du buh tembeeng yng simetis. (Vlbeg, 007) α M Gmb 8. Du buh tembeeng lingkn yng simetis dengn sudut pust α. Lus yng disi = lus tembeeng dengn sudut pust α = (α sinα) dn = d = cosα = M dn dipeoleh M = d = cosα. ust M dpt ditentukn dn tembeeng sebelh kii dpt digmb tu cosα = d/ dn α = c cos(d/) Lus yng disi = ( c cos(d/) sin( c cos(d/))...() ontoh : lus yng disi = ( c cos(d/) sin( c cos(d/)) = ½ π c cos sin( c cos) = π/ dn dipeoleh = d/ = 0,40397 tu d = 0,40397 (cocok dengn pehitungn.) Di gmb 9 di bwh ini, dpt diliht bhw sebuh lingkn dengn ji-ji dipotong oleh lingkn lin dengn ji-ji R yng bebed dn pustny teletk pd tepi busu lingkn semul. Iisnny bebentuk du buh tembeeng yng tidk simetis. (Vlbeg, 007)

8 8 Sigm-Mu Vol.4 No.1 Met 01 N β α β R β = π/4, lus buln sbit = Gmb 9 kii. Du buh tembeeng lingkn yng tidk simetis dengn sudut pust α dn β. Gmb 9 knn, untuk ksus khusus di mn β = π/4. Lus = lus tembeeng kii dengn sudut pust α dn ji-ji + lus tembeeng knn dengn sudut pust β dn ji-ji R = ½ (α sinα)+½r (β sinβ) Setelh disedehnkn, menuut penulis kn dipeoleh Lus = π sinα π cosα + α cosα.(3) dengn α + β = π dn R = sin½ α tu dlm bentuk lin (Vlbeg, 007), kn dipeoleh Lus = R c cos csin R R + 1 R ( ) 1...(3 R dengn R = sin½ α = cosβ. Khusus untuk sudut β = π/4, α = π/ dn R =, lus tembeeng = π dn sisny yng bebentuk buln sbit mempunyi lus ( bentuk pesegi ). Sol ini sudh dihitung oleh Hipóctes of hios pd 430 ( Vlbeg hl 403) ontoh : 1. Lus = π sinα π cosα + α cosα = 1/3 π tu π/3 sinα π cosα + α cosα = 0 dipeoleh α = 0, din = 54,3 0 dn ji-ji R = sin½ α = 0, Lus = π sinα π cosα + α cosα = 1/ π tu π/ sinα π cosα + α cosα = 0 dipeoleh α = 1,3589 din = 70,81 0 dn ji-ji R = sin½ α = 1, Lus = π sinα π cosα + α cosα = /3 π tu π/3 sinα π cosα + α cosα = 0 dipeoleh α = 1,541 din = 88,9 0 dn ji-ji R = sin½ α = 1, Lus = R c cos R R 1 R ( ) 1=/3 π R + c sin dipeoleh pesmn c sin + 4 c cos 1 1 π/3 = 0 dengn = R/ = 0,6965 dn R = 1,3930 (cocok dengn pehitungn c.3)

9 pliksi Geometi, Tigonometi dn Inves 9 Fungsi Tigonometi untuk Membgi Sebuh Lingkn Menjdi ebep gin yng Sm Lusny Sudut α ( 0 ) pembultn Tbel. ehitungn lus du buh tembeeng lingkn. α (din) Lus tembeeng = π sinα π cosα + α cosα Lus sebenny Keslhn (%) 54 0,94 1,0391 1/3 π = 1,047 0, ,39 1,5764 1/ π = 1, , ,536,0863 /3 π =,0944 0,39 ) c) e) d) f) Gmb 10. Sebuh lingkn dipotong menjdi tig bgin yng sm lusny. d gmb ) dn, dipegunkn c. d gmb c) dn d), dipegunkn c b; pd gmb c) lus tembeeng yng di tengh dlh /3 lus lingkn, dn pd gmb d) bentukny simetis. d gmb e) dn f), dipegunkn c c; pd gmb e) lus tembeeng yng di tengh dlh /3 lus lingkn dn pd gmb f) bentukny simetis. Jdi, sebuh lingkn dpt dibgi menjdi tig bgin yng sm lusny dengn c tigonometi sehingg dipeoleh bentuk iisn yng bebed-bed dn lebih menik jik dibndingkn dengn c geometi. ttn : Hsil pehitungn dengn kompute menggunkn c, b dn c, yitu umus (1), (), (3) dn (3 dlh sm. Rumus (1) dn (3) beisi pesmn tigonometi, sedngkn umus () dn (3 beisi pesmn inves fungsi tigonometi. lebih mudh jik dibndingkn dengn c b dn c c. SIMULN Sebuh lingkn dpt dipotong menjdi bebep bgin yng sm lusny dengn membgi sudut pustny dengn busu dejt. Iisnny bebentuk juing tu sekto. lin

10 10 Sigm-Mu Vol.4 No.1 Met 01 dikejkn dengn geometi tu tigonometi dn inves fungsi tigonometi. geometi memelukn pemhmn tentng kontuksi geometi dn peltnny. tigonometi dn inves fungsi tigonometi memelukn penyelesin pesmn tnsendentl yng dpt dihitung sec numeik dengn bntun kompute. Sudut pust yng dipeoleh dibultkn dlm stun dejt dn lus iisn lingkn yng dipeoleh keslhnny lebih kecil di 1 %. entuk iisn c tigonometi dn invesny lebih menik dibndingkn dengn c geometi. SRN Dlm pembhsn di ts, sebuh lingkn dibgi menjdi du tu tig bgin yng sm lusny dn c ini dpt dipelus menjdi empt, lim tu enm bgin dn seteusny. pliksi dlm bidng Físik bisny mempegunkn lingkn yng dibgi sec konsentis untuk konduksi pns tu esisto. DFTR USTK nett Rich nd histophe Thoms Schum s outlines of Geomety, 4 th Edition. Mc Gw Hill. hpte 15. onstuction. Hoffe nd Koss Focus on Geomety, Teche s Edition. ddison-wesley ublishing ompny, Inc. Hlm Mtono Wiwip Diktt Geometi untuk oliteknik. ndung : oliteknik Negei ndung. Vbeg, ucell nd Rigdon lculus, 9 th Edition. eson Eduction, Inc. Hlm. 373 dn 403.