IDENTIFIKASI RING DENGAN SIFAT UNIQUELY MORPHIC

Transkripsi

1 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: IDENTIFIKASI RING DENGAN SIFAT UNIQUELY MORPHIC Hery Willym Michel Ptty Zeth Arthur Leleury Jurus Mtemtik FMIPA Uiversits Pttimur Jl Ir M Putuhe, Kmpus Pok Ambo hery_4t00@yhoocom, zleleury@yhoocoid ABSTRACT A rig R is sid hve the property left morphic if for ech R, R / l( ) or equivletly there exists br such tht l( b) d l( ) Rb, where l( ) l( b) deote the left ihiltors d b i R, respectively Motivted by the left morphic properties, so tht will be ivestigted rigs R stisfyig uiquely morphic properties, ie for ech 0 R there exists uique b R such tht l( b) d l( ) Rb I this pper, it will be idetified d studied the properties of uiquely morphic rigs Keywords: ihiltor, left morphic, uiquely morphic PENDAHULUAN Kosep rig deg sift uiquely morphic dimotivsi dri sutu keyt bhw jik diberik sutu rig sositif deg eleme stu, R terdpt sutu fugsi: f : R R yg didefiisik x f ( x) x Ker ( f ) x R f ( x) 0 x R x 0 l( ) deg l( ) A l ( ) Meurut Teorem Utm Homomorfism R Im( f ) Ker ( f ) tu mk dpt dibetuk dul dri, dim Im( ) R l( ) R l( ) yitu R l ( ) f x xr Seljuty Sutu eleme R disebut left morphic jik R l( ) tu ekuivle deg meytk bhw jik terdpt sutu eleme br sedemiki higg l( b) l( ) Rb Sutu rig R disebut left morphic jik setip elemey left morphic Dimotivsi dri kosep tersebut dikembgk sutu rig yg memeuhi sift utuk setip 0 R terdpt deg tuggl sutu br sedemiki higg l( b) Rb Rig iilh yg disebut rig deg sift uiquely morphic [] Dlm tulis ii k diidetifiksi rig yg mempuyi sift uiquely morphic dibhs beberp sifty Semu rig yg dibicrk di sii dlh rig sositif deg eleme stu Seljuty L b meytk rig deg sift left morphic, U ( R) J ( R) berturut-turut meytk grup uit rdikl Jcobso dri R, Z meytk bilg bult modulo M ( R ) meytk mtriks berukur ts R METODE Metode yg diguk dlm peeliti ii dlh studi pustk yitu deg mempeljri litertur yg berkit deg rig modul Secr rigks lgkh-lgkh yg diguk dlh sebgi berikut: 97

2 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: Mempeljri sift-sift dlm struktur ljbr rig yg medsri idetifiksi rig deg sift uiquely morphic Meyelidiki sift-sift rig uiquely morphic deg meiju kembli sift-sift rig yg telh dikethui sebelumy HASIL DAN PEMBAHASAN Defiisi Sift-sift Rig deg Sift Left Morphic Berikut k ditiju defiisi sutu rig deg sift left morphic yg medsri defiisi rig deg sift uiquely morphic Diberik pegerti dri ihiltor kiri k dlm sutu rig R sebgi berikut Defiisi 3 Mislk A R Aihiltor kiri dri A yitu ( A) l( A) r R r 0, A ihiltor k dri A yitu ( ) r( A) r R r 0, A r A Berikut ii diberik sutu sift yg memotivsi pedefiisi eleme left morphic dri sutu rig R Proposisi 3 Jik ue deg uu( R) e er mk berlku s utuk sutu s R R l( ) sebgi R-modul kiri Bukti: Dikethui ue deg uu( R) e e R Ak ditujukk () s s R () R l( ) sebgi R-modul kiri Kre uu( R) mk terdpt u R sehigg berlku kre e eleme idempote di R e ekuivle deg u ( u ) u u mk berlku u u ue e l utuk sutu Seljuty ( u ) ( u ) ( u ) yg Kre 0 u R mk berlku u Terbukti, s utuk sutu s u R Kre ue mk Rue Utuk sutu u R diperoleh u u ue e tu ekuivle deg meytk Rue Re Kre rig Re merupk jumlh lgsug dri sutu rig R R tu R Re R R ( e ) Diperoleh: l( ) x R x 0 x R xue 0 x R xu l( e) x R xu ( e) R u ( e) R Dpt disimpulk l( ) R( e) Dili pihk, kre R( e) R R e sebgi R-modul kiri Re mk l( ) R( e) R R R e Terbukti l( ) R sebgi R-modul kiri Berdsrk Proposisi 3, dpt didefiisik sutu eleme left morphic dlm sutu rig R sebgi berikut Defiisi 33 [] Mislk R rig terdpt sutu eleme R Eleme R disebut left morphic (diotsik LM) jik R l( ) Jik setip eleme dlm rig R bersift left morphic mk R disebut rig deg sift left morphic Berikut ii diberik sutu sift yg k memotivsi pedefiisi eleme left morphic, seli yg disebutk pd Defiisi 33 Proposisi 34 Mislk rig R rig R mk beberp peryt berikut ii ekuivle: Eleme R left morphic yitu R l( ) 98

3 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: Terdpt sutu eleme br sedemiki sehigg l( b) Rb 3 Terdpt sutu eleme br sedemiki sehigg l( b) Rb Bukti: Diberik sutu pemet : R l( ) Mislk utuk R didefiisik ( ) b Ak ditujukk Rb l( ) l( b) (i) Ak ditujukk Rb l( ) Dikethui : R l( ) deg sutu epimorfism mk diperoleh Im( ) l( ) sehigg cukup ditujukk Im( ) Rb Dimbil sebrg yim( ) rtiy y ( r ) utuk sutu r R Ak ditujukk yrb rtiy y rb utuk sutu r R Diperoleh y ( r ) ( r ) r ( ) rb Telh ditujukk utuk sebrg yim( ) diperoleh yrb tu deg kt li Im( ) Rb Sebliky, dimbil sebrg zrb mk berlku z rb utuk sutu r R Ak ditujukk zim( ) rtiy z ( r ) utuk sutu r R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Didik z ( r ) Di li pihk, kre ( r ) rb mk berlku z rb Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri, terbukti z Im( ) Jdi, telh ditujukk utuk sebrg zrb diperoleh zim( ) tu deg kt li Rb Im( ) Kre diperoleh Im( ) Rb Rb Im( ) mk Im( ) Rb Di li pihk megigt Im( ) l( ) mk terbukti Rb l( ) (ii) Ak ditujukk l( ) Rb Dikethui : R l( ) deg sutu moomorfism mk berlku Ker( ) 0 Jdi, cukup ditujukk Ker( ) l( b) Dimbil sebrg xl( b) mk xb 0 Megigt 0 b ( ) mk x ( ) 0 Hl ii berrti x 0 tu deg kt li l( b) 0 Telh ditujukk Ker( ) 0 l( b) tu l( b) 3 Trivil, kre l( ) 3 Kre l( b) mk berlku Homomorfism rig Rb berrti jels bhw l( ) Rb R R Seljuty, meurut Teorem Utm l( b) R Rb di li pihk dikethui ( ) l( b) Rb l Jdi R l( ) Berdsrk Proposisi 34 dpt didefiisik rig deg sift left morphic sebgi berikut Defiisi 35 [] Sutu rig R disebut rig deg sift left morphic (diotsik R:LM) jik utuk setip eleme R, terdpt eleme b R, sedemiki sehigg l( b) l( ) Rb Dlm sutu rig R, pergd tr eleme uit sebrg eleme LM k meghsilk eleme LM, seperti yg ditujukk dlm proposisi berikut Proposisi 36 [] Jik dlh eleme deg sift left morphic dlm sutu rig R mk u u jug merupk eleme left morphic utuk setip uit u dlm R Bukti: Jik diberik R yg merupk eleme deg sift LM mk terdpt sutu br sehigg berlku l( b) Rb Didefiisik Ru xu x R utuk sutu 99

4 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: u U( R) Jik xr uu( R) R mk berlku xu R, ktklh xu y R Akibty Ru xu x R y y xu R Dipuyi l( b) x R xb 0 Dimbil sebrg x l( b) rtiy xb 0 utuk sutu b R Jik digdk deg eleme u dri k pd xb 0 mk diperoleh xbu 0 Jels bhw utuk sutu u R berlku l( b) x R xb 0 x R xbu 0 l( bu ) Terbukti ( ) l b l( bu ) Kre l( b) mk diperoleh Ru l( b) l( bu ) (3) Dikethui Rb l( ) Jik digdk deg u R dri k pd Rb l ( ) mk diperoleh Rbu l( ) u Dimbil sebrg xl( ) u rtiy x yu utuk sutu y l( ) Jik digdk deg u U ( R) mk diperoleh xu yu u y Jdi, xul( ) yg ekuivle deg xu 0 tu x l( u) Diperoleh utuk sebrg xl( ) u berlku xl( u) tu deg kt li l( ) u l( u) Deg cr yg log dpt dibuktik l( u) l( ) u sehigg diperoleh l( ) u l( u) Deg demiki Rbu l( ) u l( u) (3) Dri (3) (3) terbukti u merupk eleme LM dlm R Seljuty, kre l( b) mk utuk sutu u R, yg digdk dri k pd l( b), diperoleh u l( b) u Diperhtik bhw utuk sebrg yl( b) u berlku yu l( b), yg rtiy yu b 0 tu ekuivle deg meytk y l( u b) Kre utuk sebrg yl( b) u diperoleh yl( u b) mk berlku l( b) u l( u b) Alog utuk bukti l( u b) l( b) u sehigg diperoleh l( u b) l( b) u Diperoleh u l( b) u l( u b) (33) Kre Ru b xu b x R zb z xu R Rb mk Ru b Rb l ( ) Di li pihk jik dimbil sebrg xl( ) mk berlku x 0 Jik digdk deg uu( R) diperoleh xu 0 Hl ii berrti x l( u) Kre utuk sebrg xl( ) diperoleh xl( u) mk berlku l( ) l( u) Sebliky, jik dimbil sebrg yl( u) mk yu 0 Megigt u uit dlm R mk terdpt u R sehigg berlku yuu 0 tu deg kt li y 0 Hl ii berrti y l( ) Kre utuk sebrg yl( u) diperoleh yl( ) mk berlku l( u) l( ) Terbukti l( ) l( u) Diperoleh Ru b Rb l( ) l( u) (34) Dri (33) (34) terbukti u merupk eleme LM dlm R Berikut ii didefiisik sutu relsi dlm rig R sebgi berikut Defiisi 37 [] Sutu eleme R diktk berelsi deg b R (diotsik ~ b ), jik l( b) Rb Seljuty dlm pembhs ii, otsi ~ b berrti l( b) Rb Berikut ii, diberik sutu proposisi yg mejelsk hubug tr rig Boole deg rig deg sift left morphic Proposisi 38 [] Dlm sutu rig R, kedu peryt berikut ii ekuivle: R rig Boole Utuk setip R terdpt deg tuggl br sedemiki sehigg l( b) l( ) Rb 00

5 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: Bukti: : Dimbil sebrg R deg R rig Boole mk berlku Ak ditujukk terdpt deg tuggl br sehigg berlku l( b) Rb Kre R idempotet mk berlku = R Artiy jug merupk eleme idempotet di R Ak ditujukk terlebih dhulu bhw ~ ) Dimbil sebrg xr( ) deg x r( ), utuk sutu rr Ak ditujukk xl( ) yg rtiy x 0 utuk sutu R Jik x r( ) yg digdk deg R dri k mk diperoleh x r( ) r r r r 0, deg kt li x l( ) Kre utuk sebrg xr( ) diperoleh xl( ) mk berlku R( ) l( ) b) Dimbil sebrg yl( ) yg rtiy y 0 utuk sutu R Ak ditujukk yr( ), rtiy y r( ) utuk sutu r R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Didik y r( ) Utuk sutu R yg digdk dri k pd ketidksm y r( ) mk diperoleh y r( ) Di li pihk r( ) r r r r 0 mk berlku y 0 Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri, terbukti y r( ) Kre utuk sebrg yl( ) diperoleh yr( ) mk l( ) R( ) Dri bukti () (b), berlku l( ) R( ) c) Jik dimbil sebrg x mk x r, utuk sutu r R Ak ditujukk xl( ) Deg cr yg log deg bukti () diperoleh l( ) d) Jik dimbil sebrg y l( ) mk y( ) 0 Ak ditujukk y, rtiy y r utuk sutu r R Deg cr yg log deg bukti (b) mk diperoleh l( ) Berdsrk bukti (c) (d), terbukti l( ) Seljuty, kre telh ditujukk l( ) R( ) l( ) mk terbukti ~ Disumsik ~ b, utuk sutu b R Hl ii berrti l( b) Rb Kre l( ) R( ) l( ) mk berlku Rb l( ) R( ) l( b) l( ) Jik dimbil sebrg brb R( ), deg R rig Boole mk berlku b bb b( ) Seljuty utuk sebrg ( ) R( ) Rb, berlku ( ) ( )( ) ( ) b Berdsrk, Proposisi [] diperoleh b( ) ( ) b sehigg berlku b b( ) ( ) b Kre ~ b ~, sert telh dibuktik b mk b terjmi tuggl, sehigg l( b) Rb : Dikethui utuk setip R, terdpt deg tuggl br sedemiki sehigg l( b) Rb Ak ditujukk R rig Boole Jik dimbil 0 R, mk terdpt R sehig berlku : R0 x0 x R 0, R x x R R l(0) y R y0 0 R, l() y R y 0 0 Dri hsil tersebut, terbukti R0 l() l(0) R deg kt li 0 ~ Seljuty k ditujukk bhw 0 ~ u utuk sutu u U ( R) R ) Dimbil sebrg x R0 deg x r0 utuk sutu r R Ak ditujukk x l( u) yg rtiy xu 0 Jik x r0 mk utuk sutu u U ( R) diperoleh xu r0 u 0 Jdi, utuk sebrg x R0 diperoleh x l( u), terbukti R0 l( u) 0

6 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: b) Jik dimbil sebrg y l( u) mk yu 0 utuk sutu u U ( R) Ak ditujukk y R0, yg rtiy y r0 utuk sutu r R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Didik y r0 Utuk sutu u U ( R) yg digdk dri k pd ketidksm y r0 mk diperoleh yu r0 u tu deg kt li yu 0 Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri, terbukti y R0 Jdi, utuk sebrg y l( u) diperoleh y R0, terbukti l( u) R0 Berdsrk bukti () (b) terbukti R0 l( u) c) Dimbil sebrg x Ru deg x ru utuk sutu r R Ak ditujukk x l(0) Deg cr yg log deg bukti () mk diperoleh Ru l(0) d) Dimbil sebrg y l(0) deg y0 0 Ak ditujukk y Ru rtiy y ru utuk sutu r R Deg cr yg log deg bukti (b) mk diperoleh l(0) Ru Dri bukti (c) (d) terbukti l(0) diperoleh 0 ~ u u tu Ru Hl ii berrti utuk Ru l(0) l(0) Ru Kre 0 ~ 0 ~ u sert megigt sift ketuggl br mk U ( R) Di li pihk, kre hy 0 stu-stuy eleme ilpote dlm R mk R merupk rig tereduksi Oleh kre itu utuk sebrg R deg R merupk rig tereduksi diperoleh ihiltor k r( ) x R x 0 ( ) Dimbil sebrg mr( ) r( ) deg m 0 r x R y 0 0 Kre R rig tereduksi mk m 0 0 k dipeuhi utuk m Akibty, utuk setip R diperoleh r( ) r( ) Di li pihk deg megigt bhw setip ihiltor kiri jug merupk idel kiri di R mk k ditujukk l r( ) l r( ) e) Dimbil sebrg x deg x r utuk sutu r R Ak ditujukk x l r( ), rtiy xy 0 utuk sutu y r( ) deg y 0 Kre x r mk utuk sutu y R diperoleh xy ry r( y) r0 0 Jdi, utuk sebrg x diperoleh xl r( ) tu deg kt li l r( ) Sebliky, dimbil sebrg yl r( ) deg yz 0 utuk sutu z r( ) deg tur z 0 Ak ditujukk y Kre yz 0 z mk diperoleh yz z Hl ii berrti yz z 0 tu ( y ) z 0 Jik ( y ) z 0 mk diperoleh y 0 tu z 0 Terbukti y Jdi, utuk sebrg yl r( ) diperoleh y tu deg kt li l r( ) Seljuty, kre l r( ) l r( ) mk berlku l r( ) f) Deg cr yg log seperti bukti e) mk diperoleh l r( ) Berdsrk bukti e) f) sert megigt r( ) r( ) l r( ) l r( ) mk dpt diytk l r( ) l r( ) Hl ii berrti utuk sebrg diperoleh Deg demiki R merupk rig reguler kut yg rtiy setip eleme dlm R dpt diytk sebgi pergd uit eleme idempote Kre U( R) mk tu deg kt li Terbukti R merupk rig Boole 3 Defiisi Sift Rig deg Sift Uiquely Morphic Dlm sutu rig R deg sift left morphic jik dimbil sebrg R, k terdpt sutu b R sedemiki sehigg ~ b Utuk sutu kodisi khusus yitu jik dimbil sebrg 0 R mk terdpt deg tuggl b R sedemiki sehigg ~ b Hl iilh yg mejdi motivsi utuk medefiisik rig deg sift uiquely morphic 0

7 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: Defiisi 3 [] Sutu rig R disebut rig deg sift uiquely morphic (diotsik R:UM) jik utuk setip 0 R, terdpt deg tuggl b R, sedemiki sehigg l( b) Rb Kre sift ketuggl br mejdik rig deg sift uiquely morphic lebih mudh ditetuk, dibdigk rig deg sift left morphic Diperoleh bhw rig Boole, rig divisio, Z 44 4, Z4 x/( x ) S M( Z) merupk rig deg sift uiquely morphic Proposisi 3 [] Setip rig divisio dlh rig deg sift UM Bukti: Diberik sutu rig R yg merupk rig divisio Ak ditujukk R dlh rig deg sift UM, rtiy utuk setip 0R terdpt deg tuggl br sehigg berlku l( b) Rb Kre setip rig divisio merupk rig simple yg rtiy idel I R 0 R mk utuk sutu I R I 0 diperoleh: R x x R R, 0 hy x0 x R R 0, () R l x R x l (0) y R y0 0 R sehigg berlku R l(0) l() 0 Terbukti rig divisio merupk rig deg sift uiquely morphic Cotoh 33 Z 44 4dlh R:UM Z 4 4 0,,, 3 deg ~ 0, ~, 3 ~ 0 dlh semu kemugki relsi dlm 44 4 ~ 0, kre R x x 4 4 y 4 y l Z4 Z4 ~, kre Z4 Z4 3 ~ 0, kre R x x Z4 Z4 y Z4 y l R x x 4 y 4 y l Z x x 4 /( ) Z Z Z (0), l() x x y0 y R0 R x x 0, y y 0 l() 3 3 (0) Z 0 Z 3 0 (3) dlh R:UM Z x x x x deg ~ 0, ~ /( ) 0,,, 4 Z 4 x /( x ) relsi dlm ~ 0, kre x x x ~ 0 0, x x y x y Z x x Z x x ( ) Z dlh semu kemugki R y y Z x x Z x x z Z x x z l(0) l() y Z x x y 0 0 z0 z Z x x R0 x ~ x, kre Rx yx y Z x x x ~ 0, kre R l( x) y Z x x y x z Z x x zx l( x) 0 z Z x x z l(0) z z Z x x R0 Seljuty, diberik sutu sift yg terkit deg eleme ilpote, rdikl Jcobso dlm sutu rig R yg bersift uiquely morphic Proposisi 34 [] Jik R rig deg sift uiquely morphic mk berlku : 0 utuk setip eleme ilpote R Jc( R) 0 3 R dlh rig Boole tu idecomposble 03

8 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: Bukti: Diberik sutu rig R:UM, rtiy utuk setip 0 R br sehigg berlku l( b) Rb terdpt deg tuggl Dimbil sebrg 0 R, deg eleme ilpote dlm R, rtiy 0 utuk sutu N Ak ditujukk 0 Dimislk ~ b yg rtiy l( b) Rb Berdsrk Proposisi [] utuk sutu eleme ilpote R k terdpt U ( R) Ak ditujukk ( ) ~ b, deg tur R( ) l( b) l(( ) ) Rb () Ak ditujukk R( ) l( b) Dimbil sebrg xr( ) deg x r( ) utuk sutu rr Ak ditujukk x l( b), rtiy xb 0 utuk sutu b R Jik dikethui l( b), mk berlku l( b) tu deg kt li b 0 Kre x r( ) mk utuk sutu br diperoleh xb r( ) b r( )0 0 Jdi, utuk sebrg xr( ) diperoleh xl( b) deg kt li R( ) l( b) Sebliky, dimbil sebrg yl( b) deg yb 0 Kre l( b) mk diperoleh y r utuk sutu r R Ak ditujukk yr( ) deg y r( ) utuk sutu r R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Didik y r( ) mk utuk sutu br diperoleh yb r( ) b Di li pihk r( ) b r( )0 0 Akibty yb 0 Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri, diperoleh y r( ) Jdi, utuk sebrg yl( b) diperoleh yr( ) deg kt li l( b) R( ) Kre R( ) l( b) l( b) R( ) mk terbukti R( ) l( b) (b) Ak ditujukk l( ( )) Rb Deg cr yg log seperti bukti () mk diperoleh l( ( )) Rb Dri bukti () (b) diperoleh ( ) ~ b Jik ( ) ~ b dikethui ~ b mk berlku l( b) R( ) sehigg utuk b 0 yg tuggl diperoleh ( ) tu deg kt li 0 Dimbil sebrg r Jc( R) disumsik r ~ s rtiy Rr l( s) l( r) Rs, utuk sutu s R Ak ditujukk terlebih dhulu bhw utuk sutu r Jc( R) berlku r( r) ~ s, deg kt li Rr( r) l( s) l r( r) Rs () Ak ditujukk Rr( r) l( s) Dimbil sebrg xrr( r) deg tur x yr( r) utuk sutu yr Ak ditujukk xl( s) deg xs 0 utuk sutu s R Jik r Rr l( s) mk rs 0 sehigg utuk s R yg digdk dri k pd x yr( r), diperoleh xs yr( r) s yrs yr s y( rs) yr( rs) y0 y0 0 Jdi, utuk setip xrr( r) diperoleh xl( s) deg kt li Rr( r) l( s) Sebliky, dimbil sebrg yl( s) deg ys 0 Di li pihk kre l( s) Rr mk utuk yrr berlku y zr utuk sutu zr Ak ditujukk yrr( r) deg y zr( r) utuk sutu z R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Didik y zr( r) Jik r Rr l( s) mk rs 0sehigg utuk 04

9 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: sutu sr diperoleh ys zr( r) s Di li pihk zr( r) s zrs zr s z0 zr0 0 Akibty ys 0 Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri sehigg y zr( r) Jdi, utuk setip yl( s) diperoleh yrr( r) tu deg kt li l( s) Rr( r) Seljuty, kre Rr( r) l( s) l( s) Rr( r) mk terbukti bhw Rr( r) l( s) (b) Ak ditujukk l r( r) Rs Deg cr yg log seperti bukti () mk diperoleh l r( r) Rs Dri bukti () (b) berlku r( r) ~ s Seljuty deg megigt r ~ s mk diperoleh Rr( r) l( s) Rr sehigg utuk utuk s 0 yg tuggl, diperoleh r( r) r tu r r r Akibty Dimbil sebrg, c Jc( R) Artiy r 0 utuk sebrg r Jc( R) c 0 Disumsik, ~ b utuk sutu b R Jdi, utuk sutu c Jc( R) mk diperoleh 0 ( c) c c c c c tu deg kt li c c Berdsrk Teorem 5, utuk, c Jc( R) deg c c mk diperoleh c c yg merupk uit dlm R Ak ditujukk ( c) ~ b rtiy ( c) l( b) l( ( c)) Rb (c) Ak ditujukk ( c) l( b) Dimbil sebrg x( c) deg x r( c) utuk sutu r R Ak ditujukk xl( b) deg xb 0 Kre x r( c) mk utuk sutu br diperoleh xb r( c) b rb rcb Megigt c c mk xb rb rcb Seljuty, jik l( b) mk berlku b 0 Jdi, utuk xb rb rcb diperoleh xb r( b) rc( b) r0 rc0 0 Diperoleh, jik x( c) mk berlku xl( b) tu deg kt li ( c) l( b) Sebliky, dimbil sebrg yl( b) deg yb 0 utuk sutu b R Ak ditujukk y( c) deg y z( c) utuk sutu z R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Didik, y z( c) rtiy utuk sutu br diperoleh yb z( c) b yg ekuivle deg yb zb zcb Megigt c c mk yb zb zcb Seljuty, kre b 0 mk diperoleh yb z( b) zc( b) tu yb z0 zc0 0 Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri sehigg y z( c) Jdi, utuk sebrg yl( b) diperoleh y( c) tu deg kt li l( b) ( c) Kre ( c) l( b) l( b) ( c) mk terbukti ( c) l( b) (d) Ak ditujukk l( ( c)) Rb Deg cr yg log seperti bukti (c) mk diperoleh l( ( c)) Rb Berdsrk bukti (c) (d) berlku ( c) ~ b Seljuty deg megigt ~ b mk ( c) l( b) Jdi, utuk b 0 yg tuggl, diperoleh ( c) tu deg kt li c Akibty c 0 Terbukti, c Jc( R) 0 05

10 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: Disumsik R merupk rig yg tidk idecomposble Artiy R memut sutu eleme idempote cetrl e yg o trivil Sebelumy k ditujukk e ~ e rtiy Rel( e) l( e) R(- e) (3) Ak ditujukk Re l( e) Dimbil sebrg x Re deg x re utuk sutu r R Ak ditujukk xl( e) deg x( e) 0 Kre x re mk utuk sutu er diperoleh x( e) re( e) re re Megigt er dlh eleme idempote mk diperoleh x( e) re re 0 Jdi, utuk sebrg xre diperoleh xl( e) tu deg kt li Rel( e) Sebliky, dimbil sebrg x l( e) deg x( e) 0 Ak ditujukk xre deg x re utuk sutu r R Kre x( e) 0 mk x xe 0 tu x xe, utuk sutu x R Jdi, x xe Re Terbukti, utuk sebrg x l( e) diperoleh x Re, deg kt li l( e) Re Seljuty, kre Rel( e) l( e) Re mk terbukti Re l( e) (3b) Ak ditujukk l( e) R(- e) Deg cr yg log seperti pd bgi (3) mk diperoleh l( e) R(- e) Dri bukti (3) (3b) berlku e ~ e Seljuty, utuk sutu u U ( R), deg cr yg log pd bukti (3) (3b) diperoleh ue ~ e e ~ u( e) Akibty, ue e e u( e) Jdi, e u( e) u ue u e sehigg u tu U( R) Berdsrk bukti Proposisi 36, jik U( R) mk rig R merupk rig Boole Sutu himpu mtriks berukur ts rig R (diotsik deg M ( R ) ) dpt mejdi rig deg sift uiquely morphic Peryt tersebut dijelsk dlm sift berikut ii Proposisi 35 [] Diberik sutu rig R deg M ( R ) merupk rig deg sift uiquely morphic jik hy jik R Z Bukti: Diberik S M ( R), E ij : mtriks uit berukur (diotsik E : i, j ij ) Dimislk sutu himpu A S deg A E E3 berlku A 0 (mu E, sehigg A 0 ) Seljuty, berdsrk Proposisi 34 (), sebrg ilpote dlm S Dimbil sebrg x M ( R) deg,,, 0 u U( R), diperoleh : R E x E x M ( R) b 0 x ( R) c d M c 0 0 b x b c d R c d utuk, (35) b 0 RE xe x M ( R) x ( R) c d 0 M 0 b d, (36) l( E ) x ( R) xe 0 M b x M ( R), c d 0 (37) 06

11 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: b 0 M M (38) l( E) x ( R) x E 0 x ( R) c d (i) Ak ditujukk R E l( E ) Dimbil sebrg x RE mk x c 0 0 utuk sutu, c R Ak 0 ditujukk x l( E) deg xe 0 Diperoleh xe c 0 0 Jdi telh ditujukk utuk sebrg x RE diperoleh x l( E) Terbukti RE l( E ) Sebliky, dimbil sebrg y l( E) rtiy ye 0 Ak ditujukk y RE 0 deg kt li y c 0 Utuk sebrg y ( R) b M deg y c d E 0 diperoleh ye 0 tu b c d 0 = 0 b, deg kt li 0 d = b 0 Hl tersebut berrti, utuk y c d deg b 0 d, diperoleh y c 0 Jdi, utuk sebrg y l( E) diperoleh y RE deg kt li l( E) RE Kre RE l( E) l( E) RE mk terbukti R E l( E ) (ii) Ak ditujukk l( E) RE Deg cr yg log seperti bukti (i) mk diperoleh l( E) RE Jdi, telh dibuktik bhw E ~ E Seljuty, utuk sutu u U( R), deg cr yg olog seperti bukti (i) (ii), mk diperoleh E ~ ue Jdi, E ~ E E ~ ue sehigg diperoleh u tu U ( R) Hl ii berrti R merupk rig tereduksi Di li pihk, kre S merupk rig deg sift uiquely morphic, deg kt li S jug merupk rig deg sift left morphic mk dpt disimpulk R merupk rig tereduksi deg sift left morphic Seljuty, berdsrk bukti Proposisi, jik R tereduksi mk R merupk rig Boole Keyty S M( R) buk merupk rig Boole sehigg berdsrk Proposisi 44, S merupk rig yg idecomposble, rtiy S tidk memut eleme idempote cetrl yg otrivil Jdi, R jug tidk memiliki R 0, Z Sebliky, diberik eleme idempote cetrl yg otrivil tu sutu rig S M ( Z ) dimbil sebrg 0 S Ak ditujukk bhw terdpt 0 deg tuggl sutu bs sehigg berlku ~ b Dimislk E, mk k 0 0 terdpt b 0 0 sehigg diperoleh ~ b Berdsrk (45)-(48), jels bhw l( b) Rb Seljuty, dpt dikerjk utuk eleme yg li b yg tertetu sehigg, utuk E, E, E E, E E, E E, E E hy terdpt b, deg b S b Seljuty, utuk E, E, E E E E sehigg berlku ~ b k terdpt sehigg berlku ~ b Terbukti utuk sebrg 0 S k terdpt deg 07

12 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: tuggl sutu bs sehigg berlku ~ b tu deg kt li R bersift uiquely morphic Proposisi 36 [] Diberik sutu rig R deg sift uiquely morphic Jik utuk setip 0 R deg 0 mk berlku ~ Bukti: Diberik sutu eleme 0 R deg 0 Berdsrk Proposisi [], jik R deg eleme ilpote mk berlku U( R) Didik utuk 0 R, deg 0 berlku ~ b, utuk sutu b R Di li pihk utuk c R berlku b ~ c Ak ditujukk b ~ ( ) c rtiy k ditujukk bhw R b l(( ) c) l( b) R( ) c Nmu sebelumy perlu diperhtik bhw utuk deg l( b) diperoleh l( b) yg rtiy b 0 Deg cr yg log, diperoleh b Rb deg Rb l( ) yg rtiy b 0 Dri du keyt itu, dpt disimpulk bhw ( b)( ) bb b0 b b ( )( b) Seljuty, kre b R b l( c) mk ( b) c 0 (i) Ak ditujukk R b l(( ) c) Dimbil sebrg x R b deg x y( b) utuk sutu y R Ak ditujukk xl(( ) c) rtiy x( ) c 0 Kre x y( b) mk utuk U( R) c R diperoleh x( ) c y( b)( ) c y( )( b) c y( )0 0 Jdi, telh ditujukk utuk sebrg x R b berlku x l(( ) c) deg kt li R b l(( ) c) Sebliky, dimbil sebrg y l(( ) c) deg y( ) c 0 Ak ditujukk y R b rtiy y z( b) utuk sutu z R Ditujukk deg megguk sift kotrdiksi Adik y z( b) mk utuk sutu ( ) U( R) c R diperoleh y( ) c z( b)( ) c Di li pihk kre ( b)( ) ( )( b) diperoleh y( ) c z( )( b) c, sert megigt ( b) c 0 mk berlku y( ) c z( )0, kibty y( ) c 0 Timbul kotrdiksi, pegdi diigkri, terbukti y R b Jdi, telh ditujukk utuk sebrg y l(( ) c) berlku y R b Terbukti l(( ) c) R b Seljuty, kre R b l(( ) c) l(( ) c) R b mk terbukti R b l(( ) c) (ii) Ak ditujukk l( b) R( ) c Deg cr yg log, seperti bukti (i) mk diperoleh l( b) R( ) c Jdi, telh dibuktik bhw b ~ ( ) c Berdsrk Proposisi 38 yki utuk sutu eleme yg merupk eleme LM u U ( R) berlku u ~ u b Megigt, b ~ ( ) c deg U ( R) mk diperoleh ( b)( ) ~ ( ) ( ) c Di li pihk, kre ( b)( ) b b b ( ) ( ) c c mk berlku b ~ c Kre eleme LM, mk 0 sehigg berlku b b Seljuty, kre ( b) c 0 megigt ( b) 0 mk c 0 Ekuivle deg meytk utuk 0 b R, terdpt ( b) R sehigg utuk ( b) c 0 berlku ( b) ( b) c 0 Akibty, c 0 Hl tersebut berrti, b U( R) Kre ~ b bu( R) mk ~ b( b) sehigg berlku b b( b) b b tu deg kt li b bb 0 Dikethui sebelumy bhw 0 rtiy l( ) Rb, seli itu jug telh diperoleh b bb 0 yg rtiy bl( b), mk dpt disimpulk bhw Rb l( ), deg kt li ~ 08

13 Prosidig FMIPA Uiversits Pttimur 03 ISBN: KESIMPULAN Sutu rig yg bersift uiquely morphic dpt ditetuk deg megmbil sebrg eleme 0 R, k terdpt deg tuggl b R, sedemiki higg l( b) x x Rb Beberp rig yg bersift UM dlh divisio rig, rig Boole, Z 44 4, Z 4 /( ) Sert memiliki beberp sift tertetu yitu utuk setip ilpote R berlku 0 Jc( R) 0 setip rig R yg bersift UM merupk rig Boole tu idecomposble, seljuty utuk sutu himpu mtriks ts R berukur deg mk k sellu dipeuhi M ( R ) dlh UM jik hy jik R Z DAFTAR PUSTAKA [] Kos, MT, Lee, TK d Zhou, Y, 009 Uiquely Morphic Rigs Tipei: Mthemtic Divisio, Ntiol Ceter for Theoriticl Scieces NCTS/TPE-Mth Techicl Report [] Mlik, DS, Mordeso, J M d Se, MK, 997 Fudmetl of Abstrct Algebr Sigpore: McGrw-Hill Compies [3] Dummit, D S d Foote, R M, 999 Abstrct Algebr Sigpore: Joh Wiley & Sos [4] Wisbuer, R, 99 Foudtio of Modules d Rig Theory Amsterdm: Gordo d Brech Sciece Publisher [5] Brow, W C, 993 Mtrices over Commuttive Rigs New York: MARCEL DEKKER, pp 0-09