Untuk matriks diperoleh bahwa ú

Transkripsi

1 B DETERMINAN Ekspsi Lple Bris Pertm Determi (determit) dri sutu mtriks persegi ts field F dlh sutu eleme dri field F Terleih dhulu k ditujukk gim meghitug determi dri mtriks erukur d DEFINISI Dierik mtriks A Î M (F) Didefiisik fugsi determi det : M (F) F segi sutu sklr, yitu det(a) Notsi ½A½ serig diguk utuk meytk determi dri A DEFINISI Didefiisik M ij (A ), ser sederh ditulis M ij, yg meytk mtriks ( ) ( ) yg dietuk deg meghpus ris kei d kolom kej dri A Seljuty mtriks M ij diseut mior (i, j) dri A CONTOH Utuk mtriks A diperoleh hw 8 9 M 9 Jik didik hw fugsi determi telh didefiisik utuk mtriks erukur ( ) ( ), mk det(a ) didefiisik segi erikut : det(a ) M M ( ) M ( ) å j j M () Defiisi di ts diseut ekspsi determi sepjg ris pertm (epsio of the determit log the first row) se jumlh dilkuk deg memilih sukusuku erurut pd ris pertm dri A Serig dikel jug defiisi terseut deg m ekspsi Lple ris pertm (firstrow Lple epsio) j j 9 Didit B Nugroho

2 B Determi Segi otoh, jik A [ ij ] erukur mk ekspsi Lple ris pertmy dlh det(a) ( ) M ( ) M ( ) M ( ) ( ) ( ) Defiisi rekursif jug erlku utuk determi mtriks erukur Jik didefiisik determi dri mtriks [k] erukur dlh sklr k, mk determi A erukur dirumusk oleh det(a) M M CONTOH Jik B, mk det(b) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ()()(8 ( )) ( )( )(8 ) ()( ( )) 8 CONTOH Dierik mtriks C Tujukk hw det(c) 8 jik d hy jik 9 Peyelesi det(c) ( ) ()( 8) ( ) ()( ) ( ) ()(8 ) (9 ) Jdi det(c) jik d hy jik 9 CONTOH ili z gr det(d) Peyelesi det(d) Dierik mtriks i D i i i i i z Î M (C) Tetuk z ( ) ( i)(z ( i)z) ( ) ( i)(( i)z zi) ( ) ( i)(( i)( i) (i)) ( i) ( i)z ( i)( i)z ( i)( i) iz ( 8 i) Jdi det(d) jik d hy jik 8 i z i i Didit B Nugroho

3 B Determi Slh stu perhitug determi yg plig sederh yitu utuk mtriks segitig wh TEOREMA Jik A [ ij ] Î M (F) deg ij utuk i < j, mk ii i det(a) Õ () Bukti Diguk iduksi mtemtis pd mtriks erukur Bsis iduksi: utuk, mk det(a) Lgkh iduksi: dimil > deg hipotesisy dlh hsil er utuk mtriks A erukur Ak diuktik hsil jug er utuk mtriks A erukur Ekspsi determi A sepjg ris memerik hsil det(a) erdsrk hipotesis iduksi ( ) Jik A dlh sutu mtriks segitig ts, mk persm () memerik hsil yg er d is diuktik sejl deg mtriks segitig wh Sutu ksus khusus yg petig yitu utuk mtriks digol Jik dikethui A dig(,,, ) mk diperoleh det(a) Leih khusus lgi, utuk mtriks sklr ki k diperoleh det(ki ) k Teorem erikut meytk hw dpt dilkuk ekspsi determi sepjg sutu ris tu kolom tertetu Buktiy tidk mudh, kre itu diik TEOREMA Dierik mtriks A Î M (F) å i det(a) () utuk sutu i,,, yg diseut deg ekspsi mior ris kei, tu j å i det(a) () i utuk sutu j,,, yg diseut ekspsi mior kolom kej i j Peryt () megikuti pol pp tur deg td segi erikut: j j ij ij AKIBAT Jik pd sutu mtriks terdpt ris ol (ris yg semu usury ol), mk ili determiy sm deg ol Hsil yg sm jug diperoleh utuk kolom M M ij ij Didit B Nugroho

4 B Determi Bukti Pd Teorem dimil ij utuk setip j d sutu i, tu utuk setip i d sutu j Ekspsi Kofktor DEFINISI Dierik A Î M (F) Didefiisik kofktor (i, j) dri A, diotsik C ij (A) tu ditulis sigkt deg C ij, yitu i j ( ) ij C ij M Megguk termiologi terseut, dpt ditulisk kemli persm () mejdi det(a) å jc j () Kre itu, Teorem dpt ditulisk kemli seperti di wh ii TEOREMA Dierik A Î M (F) Determi dri mtriks A dirumusk: utuk sutu i,,, tu utuk sutu j,, j det(a) å ij C ij j det(a) å ij C ij CONTOH Hitug determi mtriks A 8 Peyelesi Ak dihitug det(a) deg megguk ekspsi kofktor ris pertm yitu i det(a) å jc j C C C j Dlm hl ii perlu diri dulu mior d kofktor dri usurusur ris pertm 8 8 M, M 8, M 8 C ( ) ( ), C ( ) ( 8) 8, C ( ) ( 8) 8 Jdi det(a) ( ) 8 ( 8) 8 CONTOH Hitug determi dri mtriks B Didit B Nugroho

5 B Determi Peyelesi Kre pd kolom kedu terdpt usur ol mk perhitug det(b) k leih mudh deg megguk ekspsi kofktor kolom kedu, yitu det(b) C C C C C ( ( ) ( )) CONTOH Dierik C Hitug det(c) deg memetuk (i) ekspsi ris ketig, (ii) ekspsi kolom kedu Peyelesi (i) det(c) ( ) ( )(( )( ) ) ( ) ()(( ) ) ( ) ()( ( )) (ii) det(c) ( ) ( )( ( )( )) ( ) ()( ( )) ( ) ()(( ) ) LEMMA Jik du ris tu du kolom dri mtriks A Î M (F) dlh idetik tu sm, mk det(a) Bukti Diik Ii tidklh sulit ser khusus, hy mortmrit Segi otoh, jik A mempuyi du kolom pertm yg sm: (),,, Du suku pertm dihpus d semu suku liy merupk determi dri mtriks erukur deg du kolom yg sm, sehigg diperoleh hsil megguk iduksi Hsil erikut dlh hsil li yg erkit deg kofktor LEMMA å Jik A Î M (F), mk () utuk i ¹ k; () utuk j ¹ k j ijc kj å i ijc ik Didit B Nugroho

6 B Determi Bukti Jik A erukur d utuk i ¹ k dierik mtriks B yg diperoleh dri A deg meggti ris kek deg ris kei mk det(b) kre mempuyi du ris yg sm Seljuty diguk ekspsi kofktor ris kek, k diperoleh Hsil log utuk () det(b) å kj j C kj ( B) å ijc j kj ( A) TEOREMA Dierik A Î M (F) d B diperoleh dri A deg (i) meukrk ris kes deg ris ket dri A, mk det(b) det(a), dimk peruh ris determi (rowltery of determits); (ii) meglik sutu ris kei dri A deg k Î F, mk det(b) kdet(a), dimk homogeits ris determi (rowhomogeeity of determits) Bukti (i) Diilustrsik deg meukrk du ris pertm dri mtriks A: M M ( ) M ( M M ( ) M ) det(a) (ii) Dihitug determi mtriks B megguk ekspsi kofktor ris kei: det(b) å ( ) j k ij C ij k i C i k i C i k i C i k( i C i i C i i C i ) kdet(a) AKIBAT Jik du ris tu du kolom dri mtriks A Î M (F), A [ ij ], dlh sedig tu proporsiol, mk det(a) Bukti Didik sj k tj, k Î F, utuk s ¹ t d utuk semu j Jik B dlh mtriks yg diperoleh dri A deg usurusur dri ris kes digi oleh k, mk det(a) kdet(b) Kre itu, ris kes d ris ket dlm B dlh idetik, d jug det(b), kity det(a) Hsil log utuk kolom TEOREMA Dierik A Î M (F), mk ( A T ) det( A) det Bukti Deg iduksi mtemtik, jels hw sift ii erlku utuk kre mtriks dlh simetris Didik hw sift terseut erlku utuk semu mtriks erukur k k d A dlh mtriks erukur (k) (k) Deg ekspsi mior sepjg ris pertm, diperoleh det(a) M M ( ),k M,k Kre semu M ij dlh mtriks erukur k k, mk hipotesis iduksi k megkitk det(a) (M ) T (M ) T ( ),k (M,k ) T Rus k tidk li dlh ekspsi mior kolom pertm dri mtriks A, kre itu ( A T ) det( A) det Didit B Nugroho

7 B Determi CONTOH det det AKIBAT Dierik A Î M (F) d C diperoleh dri A deg (i) meukrk kolom kes deg kolom ket dri A, mk det(b) det(a), diseut sift peruh kolom determi, (ii) meglik sutu kolom kei dri A deg k Î F, mk det(b) kdet(a), diseut sift homogeits kolom determi Bukti Deg megkomisik Teorem d Teorem AKIBAT Dierik A Î M (F), mk det(ka) k det(a) Bukti Deg megmil mtriks B ka errti mtriks B diperoleh dri A deg meglik setip kolomy deg k d kre terdpt kolom mk erdsrk Akit (ii) k diperoleh det(b) k det(a) Adjoi DEFINISI Dierik A Î M (F) Didefiisik djoi (djoit) dri A, diotsik deg dj(a), dlh trspos dri mtrik kofktor A Deg kt li C C C dj(a) C C C C C C CONTOH Dierik mtriks A 8 Kofktorkofktor dri mtriks A yitu C, C, C 8 C Jdi C, C 8, C, C, C dj(a), 8, 8 Didit B Nugroho

8 B Determi Adjoi dri sutu mtriks ermft dlm kity deg ivers dri sutu mtriks (jik d) Teorem d Lemm is dikomisik d memerik hsil erikut ii TEOREMA Jik A Î M (F), mk Adj(A) det(a)i dj(a)a Bukti ( Adj ( A) ) ik å ij dj( A) j jk å j ij C kj d ik det( A) ( ( A )I ) ik Kre itu Adj(A) det(a)i Utuk persm li uktiy sejl det Lemm erikut ergu utuk meyederhk d meghitug determi ser umerik Bukti diperoleh deg megekspsik sepjg ris tu kolom yg erkorespodesi LEMMA Determi merupk sutu fugsi lier dri setip ris d kolom Bukti Diilustrsik deg megmil A [ ij ], B [ ij ], C [ ij ], Î M (F) deg usur ris kedu smpi ris ke dri ketig mtriks dlh sm Didik usur ris pertm dri mtriks A didefiisik deg j k j j, k Î F, j,,, Determi dri mtriks A megguk ekspsi kofktor ris pertm yitu det(a) ( k ) ( ) ( ) C k C k C k( C C C ) k( C C C ) kdet(b) det(c) Sejl utuk kolom AKIBAT Jik kelipt sutu ris ditmhk ke ris liy, mk ili determiy tidk eruh Hl ii sejl utuk kolom Bukti Pd ukti Lemm dimil k Determi dri mtriks A j j j megguk ekspsi kofktor ris pertm yitu det(a) ( ) ( ) ( ) k C k C k C C C C k( C C C ) Berdsrk Lemm gi (), mk diperoleh det(a) C C C det(b) CONTOH det Didit B Nugroho

9 B Determi Opersi Bris Elemeter Utuk meghitug determi ser umerik, seiky mereduksi mtriks ke etuk eselo ris deg megigt setip peruh td yg disek oleh pertukr ris d jug pegmil fktor dri sutu ris DEFINISI Terdpt jeis opersi ris elemeter yg dpt dietuk pd sutu mtriks I Mempertukrk ris: «yg errti meukrk ris kei deg ris kej II III i j Meglik sutu ris deg sklr tk ol: i k i yg errti meglik ris kei deg sklr tk ol k Memhk kelipt sutu ris ke ris li: k yg errti ris kej ditmh deg k kli ris kei j j i DEFINISI Sutu mtriks A diktk ekuivle ris (rowequivlet) deg mtriks B jik B dpt diperoleh dri mtriks A deg sergki opersi ris elemeter CONTOH Berikut ii pegerj opersi ris elemeter dri kiri ke k A «B Jdi A ekuivle ris deg B Jels hw B jug ekuivle ris deg A yg dietuk dri B deg opersi ris ivers:, «, CONTOH Hitug determi mtriks di wh ii megguk eerp opersi ris elemeter Peyelesi Diguk opersi ris d 8 yg diljutk deg ekspsi sepjg kolom pertm, diperoleh CONTOH Hitug determi mtriks Didit B Nugroho

10 B Determi Didit B Nugroho 8 Peyelesi «Perlu ditt hw opersi ris elemeter d kity pd ili determi sutu mtriks jug erlku jik opersi terseut dilkuk utuk kolom Kre itu jug dipuyi tig jeis opersi kolom elemeter DEFINISI Terdpt jeis opersi kolom elemeter I Mempertukrk du kolom II Meglik sutu kolom deg sklr tk ol III Memhk kelipt sutu kolom ke kolom li CONTOH (Determi Vdermode) Buktik hw ( )( )( ) Peyelesi Jik kolom ke d kolom ke dikurgi kolom ke d seljuty diguk ekspsi sepjg ris pertm mk diperoleh ) )( ( ( )( )( ) CONTOH «

11 B Determi Didit B Nugroho 9 «k k « CONTOH Hitug det(a) det Peyelesi Dipliksik utuk 999, mejdi det Dipliksik k k k utuk 999, diperoleh det Diekspsik sepjg kolom pertm, diperoleh det ( ) 998

12 B Determi Pd opersi ris elemeter, khususy opersi jeis III, serigkli melitk sklr k yg merupk ilg peh Akity, usurusur mtriks hsil reduksi dpt erup ilg peh d hl ii k meyulitk perhitug seljuty Utuk megtsi hl terseut, dpt diguk leih dhulu opersi jeis II utuk meymk eerp usur tk ol Dlm hl ii usur yg sm terseut merupk ilg ult Kemudi jug hrus diigt Teorem gi (ii) CONTOH 8 ` k «k ( ) 8 8()() ()() () 8 ()() 8 Sift li yg perlu diperhtik deg sugguhsugguh erkit deg determi yitu hw pd umumy utuk mtriks A, B Î M (F) tidk sellu erlku det(a B) det(a) det(b) CONTOH 8 Dierik mtriks Dpt diselidiki hw tetpi ¹ Didit B Nugroho

13 B Determi Mtriks Tk Sigulr d Ivers DEFINISI (Mtriks Tk Sigulr) Mtriks A Î M (F) diktk tidk sigulr (osigulr) tu iversiel (ivertile) jik terdpt sutu mtriks B Î M (F) sehigg AB I BA Sutu mtriks B deg sift seperti di ts diseut ivers dri A d diotsik A Jik A tidk mempuyi ivers mk A diktk sigulr CONTOH Utuk mtriks di wh ii, tujukk hw A I d simpulk hw A dlh tidk sigulr, seljuty rilh A A Peyelesi Setelh diperiks hw A I, kemudi dietuk æ ö æ ö A ç A I ç A A è ø è ø Kre itu A dlh tidk sigulr deg A TEOREMA (Ketuggl Ivers) Ivers dri mtriks A Î M (F) dlh tuggl Bukti Dimislk mtriks B d C dlh ivers dri A d k diuktik hw B C Kre B ivers dri A errti BA AB I d jug kre C ivers dri A errti CA AC I Di sisi li B BI B(AC) (BA)C IC C AKIBAT (Rumus ivers) Jik det(a) ¹ mk A dlh tidk sigulr d A dj( A) det( A) Bukti Berdsrk Teorem A CONTOH Determi utuk mtriks B yitu det(b) ¹ Kre itu, diperoleh C C C B C C C C C C 8 8 Didit B Nugroho

14 B Determi CONTOH Pd Cotoh sudh dihitug determi dri mtriks C 8 yitu det(c) 8 ¹ Kre sudh didptk ili C, C 8, d C 8, seljuty k dihitug kofktor utuk usurusur ris ke d ke C ( ), C ( ) 9, C ( ), C ( ), C ( ) 9, C ( ) 8 8 Diperoleh djoi dri mtriks C yitu dj(c) 8 9 9, 8 kre itu ivers utuk mtriks C yitu C dj( C) det( C) 8 8 AKIBAT Jik mtriks A deg det (A) d ¹, mk A d dlh tidk sigulr deg iversy yitu d A det( A) Jik A d B dlh mtriks tk sigulr yg erukur sm, mk dipuyi siftsift seperti erikut ii () (A ) A; () ( A ) ( A ) deg,,, ; () ( ka ) A, utuk setip k Î R, k ¹ ; k () (AB) B A Di sii hy k diuktik sift yg keempt (AB)(B A ) A(BB )A AI A AA I Sejl deg itu (B A )(AB) I Perlus utuk hsil kli dri m mtriks tk sigulr yitu jik dierik mtriks iversiel A, A,, A m erukur mk hsil kli A A A m jug iversiel Diperoleh ( A A A A ) A A A m m m m A Deg kt li, ivers dri hsil kli sm deg hsil kli dri ivers dlm urut yg seliky Didit B Nugroho

15 B Determi CONTOH Jik A d B dlh mtriks erukur yg memeuhi sift A B (AB) I, uktik hw AB BA Peyelesi Didik A B (AB) I Kre itu A, B, d AB dlh tidk sigulr deg A A, B B, d (AB) AB Berdsrk sift (AB) B A mk AB BA Sutu kels petig dri mtriks tk sigulr yitu mtriks ris elemeter DEFINISI Terdpt tig jeis mtriks ris elemeter (elemetryrow mtri) yg erkorespodesi utuk tig jeis opersi ris elemeter I E ij E( i «j ), (i ¹ j), diperoleh dri mtriks idetits I deg meukrk ris kei d ris kej II E i (k) E(k i ), (k ¹ ), diperoleh deg meglik ris kei dri I deg sklr k III E ij (k) E(k j i ), (i ¹ j), diperoleh dri I deg memhk k kli ris kej ke ris kei CONTOH E Utuk mtriks idetits I, dipuyi, E ( ), E ( ) Mtriks ris elemeter mempuyi sift khusus seperti di wh ii TEOREMA Dierik mtriks A Î M (F) d mtriks ris elemeter E erukur jeis I, II, d III () Mtriks EA diperoleh dri A deg memetuk opersi ris elemeter yg ersesui () Mtriks AE diperoleh dri A deg memetuk opersi kolom elemeter yg ersesui Bukti () Dimil A [ ij ], B EA [ ij ], d E [e ij ] Ksus jeis I Mtriks E diperoleh dri I deg meukrk ris ker d ris kes Jik i ¹ r tu s, mk e ij d ij ( j m) sehigg ij å eik kj åd ik kj ij ij k k Jdi ij ij utuk i ¹ r, s sehigg ris kei dri B sm deg ris kei dri A Dipuyi e rj d sj (e rj utuk j ¹ s d e rs ) Diperoleh rj åerk kj åd kskj sj k Jdi rj sj utuk j,,,, yitu ris ker dri B dlh ris kes dri A Deg rgume yg sm dipliksik utuk ris kes Dipuyi e sj d rj sehigg åd Jdi sj rj, yitu ris kes dri B dlh ris ker dri A sj k kr k kj rj Didit B Nugroho

16 B Determi Ksus jeis II Mtriks E diperoleh dri I deg meglik ris ker deg sklr k Jdi E [e ij ] deg e ij d ij utuk i ¹ r, d e rj kd rj Didik hw i ¹ r Diperoleh ij åeik kj åd ik kj ij yg errti ris kei dri B EA dlh ris kei dri A Sekrg dipertimgk ris ker Dipuyi rj årk kj åkd rk kj krj k k Jdi rj k rj, yitu ris ker dri B dlh k kli ris ker di A Ksus jeis III Mtriks E diperoleh dri I deg memhk k kli ris kes ke ris ker Dipuyi E [e ij ] deg e ij d ij utuk i ¹ r d ì jik j r ï e rj ík jik j s ï î jik j ¹ r, j ¹ s Utuk i ¹ r dipuyi ij åeik kj åd ik kj ij k sehigg ij ij, yitu ris kei dri B sm deg ris kei dri A Utuk ris ker, rj å erk kj err rj e k yitu msuk kej dlm ris ker dri B sm deg msuk kej dlm ris ker dri A k kli msuk kej dlm ris kes dri A () Alog k k k rs sj CONTOH E d e f e d f e f d «e d f AKIBAT I E ij Eij Tig jeis mtriks ris elemeter dlh tidk sigulr, rtiy ( E ( i «j ) E( i «j ) ( E ) i k Ei ( k ), rtiy ( E ( k i )) E( i ) k ( E k ) E ( k), rtiy ( E ( k ) E( k ) II ( ) III ( ) ij ij Bukti Pd Teorem dimil A I, sehigg diperoleh persm: E ij E ij I E i (k)e i (k ) I E i (k )E i (k), jik k ¹ E ij (k)e ij ( k) I E ij ( k)e ij (k) j i j i Didit B Nugroho

17 B Determi CONTOH Tetuk mtriks D E ()E ()E d D Peyelesi D E ()E () E () Ditetuk D segi erikut D (E ()E ()E ) ( E ) ( E ( ) ) ( E ( )) E E ( )E ( ) D E E ( ) E Igt hw A d B dlh ekuivle ris jik B dpt diperoleh dri A deg sergki opersi ris elemeter Jik E, E,, E r ser erurut dlh mtriks ris elemeter, mk B Er (( E ( E A) )) ( Er EE ) A PA, deg P E r E E dlh tidk sigulr Seliky jik B PA, deg P dlh tidk sigulr, mk A ekuivle ris deg B Leih ljut terliht hw P dlh sutu hsil kli dri mtriksmtriks ris elemeter LEMMA Jik A dlh mtriks tk sigulr erukur, mk (i) A dlh ekuivle ris deg I, (ii) A dlh sutu hsil kli dri mtriksmtriks ris elemeter Bukti Didik hw A dlh tidk sigulr d B merupk etuk eselo ris tereduksi dri A Dri situ, mk B tidk mempuyi ris ol yg kosekuesiy B I Berdsrk hl itu jug errti hw terdpt mtriks ris elemeter E, E,, E r sehigg E r (( (E (E A)) ) B I d kre itu A sutu hsil kli dri mtriks ris elemeter E r E E segi LEMMA Dierik mtriks A yg ekuivle ris deg I Mtriks A dlh tidk sigulr d A dpt diri deg memetuk sergki opersi ris elemeter pd I seperti meguh A ke I Bukti Didik hw E r E E A I Deg kt li BA I d B E r E E dlh tidk sigulr Kre itu B (BA) B I d jug A B dlh tidk sigulr Seljuty A (B ) B E r (( (E (E I )) ) yg meujukk hw A diperoleh dri I deg memetuk sergki opersi ris elemeter seperti yg diguk utuk meguh A ke I Berdsrk lemm di ts hw jik A dlh sigulr mk A ekuivle ris deg sutu mtriks yg ris terkhiry dlh ol CONTOH 8 Dikethui hw F dlh tidk sigulr Tetuk mtriks F d ytk F segi hsil kli mtriksmtriks ris elemeter Peyelesi Dietuk mtriks yg diperesr [F I ] yg terdiri dri F d I Sergki opersi ris elemeter k mereduksi F ke I d I ke F Didit B Nugroho

18 B Determi Didit B Nugroho [ ] I F ) ( Oleh kre itu F ekuivle ris deg I d F dlh tidk sigulr deg F Diperhtik jug hw E ( )E ( )E ( )F I Oleh kre itu F E ( )E ( )E ( ) F E ()E ( )E () Jdi utuk meetuk ivers dri sutu mtriks yg iversiel, seli megguk rumus djoi is jug diperoleh deg opersi ris elemeter Sergki opersi ris elemeter terseut k mereduksi sutu mtriks A ke I d jug megerjk opersiopersi terseut pd I sehigg k diperoleh A dri sutu mtriks yg iversiel Hl terseut diilustrsik segi erikut: [ ] [ ] reduksi A I I A CONTOH 9 Dierik mtriks tk sigulr G Ivers dri mtriks G dpt diri segi erikut: [ ] I G, [I G ] Jdi G Berikut ii dierik sutu jeis mtriks tk sigulr yg erkit deg sift ivers d trsposy DEFINISI Mtriks tk sigulr A Î M (F) diktk ortogol (orthogol) jik A T A I, tu deg kt li A A T

19 B Determi Siftsift Determi Berdsrk Teorem d Akit diperoleh hsil erikut ii AKIBAT Jik E dlh sutu mtriks ris elemeter erjeis deg Î {I, II, III} mk ì jik α I ï det( E) ík jik α II ï î jik α III Bukti Dikethui hw det(i ) Dipliksik Teorem, Akit, d Defiisi utuk memperoleh hsil terseut AKIBAT Dierik mtriks elemeter E d mtriks A Î M (F), mk det(ea) det(e)det(a) AKIBAT Dierik E i dlh mtriks elemeter erukur, deg i,, k, d A Î M (F), mk det(e k E k E E A) det(e k )det(e k ) det(e )det(e )det(a) Bukti Deg iduksi mtemtik pd Akit Berdsrk kitkit di ts mk dpt ditulisk kemli Teorem d Akit segi erikut: () det(e ij A) det(a); () det(e i (k)a) kdet(a), jik k ¹ ; () det(e ij (k)a) det(a) AKIBAT Mtriks A Î M (F) dlh iversiel jik hy jik det(a) ¹ Peryt ii ekuivle deg A dlh tidk iversiel jik hy jik det(a) Bukti Mtriks A direduksi ke etuk eselo ris tereduksi R: E k E A R utuk mtriksmtriks elemeter E,, E k Berdsrk kitkit seelumy diperoleh det(a) (det(e k )) det(e ) det(r) Jik A iversiel, mk R I deg det(r), d kre itu det(a) ¹ Jik A tidk iversiel, mk R mempuyi sutu ris ol d det(r), kre itu det(a) Disimpulk hw det(a) ¹ jik hy jik A iversiel AKIBAT Dierik A, B Î M (F), mk det(ab) det(a)det(b) Bukti Dpt ditulisk E k E A R dlm etuk A F F k R, deg E,, E k dlh mtriksmtriks elemeter erukur yg iversy erturutturut dlh mtriksmtriks elemeter F,, F k d R dlh eselo ris tereduksi dri A Jdi AB F F k RB Didit B Nugroho

20 8 B Determi () Jik A tidk iversiel mk det(a) d jug R mempuyi sutu ris ol Jdi RB jug mempuyi sutu ris ol, d dri Akit diperoleh det(ab) det(f ) det(f k ) det(rb) Jdi det(ab) det(a) det(b) () Jik A iversiel mk R I, d dpt ditulisk kemli AB F F k B, sehigg oleh Akit diperoleh det(ab) det(f ) det(f k ) det(b) det(f F k ) det(b) det(a) det(b) AKIBAT Dierik A, B Î M (F), mk det(ab) det(ba) Bukti Berdsrk Akit d sift ritmtik, diperoleh det(ab) det(a)det(b) det(b)det(a) det(ba) AKIBAT Jik A dlh iversiel, mk det(a ) (det(a)) Bukti Jik A dlh iversiel, mk A A I, sehigg det(a A) det(i ) Megguk Akit, diperoleh det(a ) det(a) Oleh kre itu det(a ) (det(a)) CONTOH tidk iversiel Peyelesi Utuk mtriks A Î M (C), tetuk ili p sehigg i p A i i i p i p det(a) det i i p i p ( i)( p) (i p)( i) p( i 9 i) i ( i)p i Kre itu, det(a) jik hy jik ( i)p i, yg errti hw i p i Jdi, mtriks A tidk iversiel jik hy jik i ( i)( i) i p i i i) ( )( ) Didit B Nugroho

21 B Determi 9 Sift yg merik dri sutu mtriks simetris mirig A yg erkit deg sigulrits yitu hw A dlh sigulr jik dlh gjil Utuk meliht ii, erdsrk Defiisi 8 d sift determi k diperoleh det(a) det( A T ) ( ) det(a) Utuk dlh gjil, det(a) det(a) yg errti det(a) d kre itu A dlh sigulr Perigkt Mtriks DEFINISI Dierik mtriks A Î M m (F) Perigkt (rk) dri sutu mtriks A, ditulisk rk(a), didefiisik segi ukur teresr dri mtriks gi persegi yg determiy tidk sm deg ol CONTOH Dierik mtriks A Dpt diperiks hw mtriks gi persegi teresr dri A yg determiy tidk sm deg ol dlh mtriks A itu sediri, kre itu rk(a) CONTOH Dierik mtriks B Kre det(b) mk rk(b) psti leih keil dri Seljuty ditetuk mtriks gi erukur yg slh stuy yitu B deg det(b ) ¹ Kre itu rk(b) Megguk Defiisi d Akit, mk dpt ditulisk kemli sigulrits sutu mtriks erdsrk perigkt mtriks AKIBAT Sutu mtriks A Î M (F) diktk tidk sigulr jik hy jik rk(a) Mtriks A diktk tidk sigulr jik hy jik rk(a) < CONTOH Peljri eerp kemugki perigkt dri mtriks C y z z y yz z y deg, y, z Î R Peyelesi Dietuk (y z) d (yz), diperoleh y z ( y z)( z) Didit B Nugroho

22 (, y ) (, y ) B Determi Dietuk k k k d k k k, diperoleh (, ) (, ) (, ) s y z ( y z)( z) Seljuty diperiks eerp r utuk medptk risris yg hy memut Jik y z, mk du ris terkhir dlh ris ol d kre itu rk(c) Jik tept du dri, y, z yg sm, mk slh stu ris dri du ris terkhir dlh ris ol d kre itu rk(c) Jik iliili, y, z dlh ered, mk jels hw rk(c) Dierik A, B Î M k (F) d C Î M k m (F) Perigkt mtriks mempuyi siftsift segi erikut: () rk(a) rk(a T ) rk(aa T ) rk(a T A); () rk(a B) rk(a) rk(b); () rk(a B) ³ rk(a) rk(b) ; () rk(ac) mi(rk(a), rk(c)); () rk(ac) ³ rk(a) rk(c) k Perigkt dri mtriks A tidk eruh jik A diklik deg serg mtriks tk sigulr Jdi, jik A dlh mtriks erukur m d P dlh mtriks tk sigulr erukur, mk rk(a) rk(ap) Leih ljut, utuk sutu mtriks A erukur m, mtriks tk sigulr B erukur m m, d mtriks C erukur, dipuyi rk(bac) rk(a) Pemhs megei hl ii k dijumpi di B IV 8 Apliksi Determi (, y ) Dierik segitig deg titiktitik (, y ), (, y ), (, y ) seperti pd Gmr Gmr : Bgu segitig Lus re dtr tr sumu d gris yg meghuugk (, y ) d (, y ) utuk yitu y y ( )( ) Lus re dtr tr sumu d gris yg meghuugk (, y ) d (, y ) utuk yitu y y ( )( ) Didit B Nugroho

23 B Determi Lus re dtr tr sumu d gris yg meghuugk (, y ) d (, y ) utuk yitu y y ( )( ) Oleh kre itu, segitig mempuyi lus yitu y y y y ( )( ) ( )( ) ( y y )( ) ( y y y y y y ) det y y y Didit B Nugroho

24 B Determi Didit B Nugroho SOALSOAL UNTUK BAB Hitug determi mtriksmtriks erikut ii () () () (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) Deg memfktorissi peyelesi utuk (f), perkirk ili dri det d d d Tetuk semu mior d kofktor dri Jik det, d ¹, uktik hw Dierik mtriks A Î M (R), A [ ij ], deg kk k d ij utuk i ¹ j Tetuk det(a) Tp ekspsi determi, uktik hw

25 B Determi Didit B Nugroho Buktik hw persm gris lurus yg mellui titik (, y ) d (, y ) dpt ditulisk segi y y y 8 Nytk determi mtriks di wh ii segi jumlh dri 8 determi w v u w z v y u z y 9 Buktik hw ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Tetuk ili k jik det(a) utuk k k A Jik A dlh mtriks persegi sehigg stu kolomy merupk komisi lier dri kolom sisy, uktik hw det(a) Buktik hw seliky jug er Buktik hw idetitsidetits di wh ii dlh er : (i) ( ) (ii) ) ( (iii) ) ( d d d (iv) ( )

26 B Determi Didit B Nugroho (v) ( ) ( ) (vi) ( ) (vii) d d d d d (viii) ( )( ) Nytk determi erikut segi hsil kli stu fktor kudrtik d empt fktor lier Guk iduksi mtemtik utuk meujukk hw ( ) det Didik hw A Î M (R) sehigg A T A I (i) Buktik hw A T (A I ) (A I ) T (ii) Buktik hw det(a) ± (iii) Buktik hw jik det(a), mk det(a I ) (Guk (i)) Tetuk ivers dri mtriks A deg pertm kli meghitug djoi mtriks

27 B Determi Didit B Nugroho Nytk determi dri mtriks t t t A segi poliomil dlm t d seljuty ytk ili dri t gr A d 8 Buktik hw A dlh sigulr d tetuk sutu mtriks tk sigulr B sehigg BA mempuyi ris ol terkhir 9 Jik A Î M (F) d det(a) ¹, uktik hw: (i) det(dj(a)) (det(a)), (ii) ( ) ( ) dj ) det( ) dj( A A A A Tetuk djoi d ivers dri mtriksmtriks erikut () () i i i i i i i () 8 Dierik mtriks i h g f e d A () Hitug det(a ti ) d ytk segi poliomil dlm t deg etuk t g t d t () Bgimkh d g erhuug deg det(a) d tr(a)? Pd sutu mtriks simetris A Î M (R) deg ³, ser erurut dietuk, k k k Apkh hsily tetp mtriks simetris? Tetuk etuk eselo ris tereduksi yg ekuivle ris terhdp mtriksmtriks erikut : () () () (d) Buktik hw perkli dri dep sutu mtriks A deg mtriks digol D, dlm hl ii hsily mtriks DA, dlh mtriks deg risrisy merupk ris A diklik deg eleme digol dri D ser erurut Nytk d uktik sutu hsil yg sejl utuk AD

28 B Determi Dikethui dig(,,, ) meotsik mtriks digol deg elemeeleme digoly dii yitu,,, ser erurut Tujukk hw dig(,,, ) dig(,,, ) dig(,,, ) d simpulk hw jik ¹ mk dig(,,, ) dlh osigulr d (dig(,,, )) dig(,,, ) Jug uktik hw dig(,,, ) dlh sigulr jik i utuk sutu i Dierik mtriks A, B, C Î M (R) deg det(a), det(b), d det(c) Hitug (i) det(abc), (ii) det(ac), d (iii) det(a B C ) Setelh opersi kolom diytk pd mtriks A Î M (R) deg det(a), ser erturutturut diperoleh mtriks A,, A segi erikut: k k k k«k k kk k kk k A A A A A A Tetuk iliili umerik utuk det(a ), det(a ), det(a ), det(a ), d det(a ) Dierik mtriks A d B 9 () Buktik hw A d B dlh tidk sigulr () Tetuk ser eksplisit A d B () Nytk A d B segi sutu hsil kli dri mtriks ris elemeter 8 Tetuk sutu ilg rsiol k utuk mtriks sigulr erikut ii k 9 Jik A, tujukk hw A A I d simpulk hw ( A I ) A Dierik mtriks A (i) Tujukk hw A A A I (ii) Nytk A dlm sukusuku A, A, d I yg seljuty hitug A (iii) Guk (i) utuk memuktik hw A dlh tidk sigulr d tetuk A (i) Dierik mtriks B erukur deg sift B Jik A I B, uktik hw A tidk sigulr d A I B B Didit B Nugroho

29 B Determi Didit B Nugroho (ii) Jik t s r B, tujukk hw B d guk (i) utuk meetuk (I B) Dierik mtriks A erukur (i) Jik A, uktik hw A sigulr (ii) Jik A A d A ¹ I, uktik hw A sigulr Ser umum, AB ¹ B A Segi otoh, utuk mtriks erukur sm, tetuk A d B sehigg erlku sift terseut Nytk hsil kli mtriks ris elemeter erukur erikut ii (i) E E (ii) E ()E (iii) E ()E () (iv) (E ()) (v) E (vi) (E ()) (vii) (E ()E ()) Tetuk A d A, jik A dlh hsil kli mtriks ris elemeter : A E ()E E () Nytk pkh mtriksmtriks di wh ii sigulr tu tidk sigulr d tetuk ivers utuk mtriks tk sigulr () () () (d) (e) (f) 9 Buktik hw mtriks A dlh tk sigulr deg memuktik hw A ekuivle ris deg I 8 Dierik mtriks tk sigulr A erukur Buktik hw A T dlh tk sigulr d (A T ) (A ) T 9 Tetuk semu ili prmeter gr mtriks di wh ii tidk iversiel A

30 B Determi Didit B Nugroho 8 Apkh syrty gr mtriks iversiel? Tetuk ivers utuk syrt terseut Jik P AP B, uktik hw P A P B utuk ³ Dierik mtriks A d B Tujukk hw AB B d simpulk hw ø ö ç è æ A Dierik d A segi mtriks Mrkov deg elemeelemey tidk egtif d memeuhi sift d Dierik jug mtriks B Buktik hw jik A ¹ I, mk : (i) B dlh tidk sigulr d d AB B, (ii) A utuk jik ¹ A Jik A erukur m d B erukur m, uktik AB sigulr jik m > Dierik mtriks sigulr A d B erukur Buktik hw AB sigulr Dierik mtriks A Jik dikethui A, tetuklh ili d Hitug ivers dri mtriks erikut ii () () 9 ()

31 B Determi Didit B Nugroho 9 (d) (e) 8 Tetuk ivers dri mtriks segitig ts erikut ii () A Î M (R), deg sumsi,, ¹ () B Î M (R) 9 Tetuk ivers dri mtriks Î M (R) Dierik mtriks A, B Î M (R) segi erikut: A, B Tetuk B d uktik hw A T BAB Buktik hw utuk mtriks erukur ( > ) Buktik hw utuk mtriks erukur ( > ):

32 B Determi Didit B Nugroho ) ( Buktik hw mtriks 9 mempuyi ivers Buktik hw utuk mtriks erukur ( > ) mempuyi ivers s s s s s Tujukk hw mtriks rotsi du dimesi dlh ortogol: q q q q os si si os A Buktik jik A, B Î M (F) dlh ortogol mk C AB jug ortogol

33 B Determi Didit B Nugroho Tetuk perigkt utuk mtriks 9 A 8 Peljri eerp kemugki perigkt utuk mtriks erikut ii A, deg, Î R 9 Tetuk perigkt mtriksmtriks di wh ii deg,,, d Î R () A () B d d d d () C 8 Tetuk perigkt mtriks di wh ii segi sutu fugsi dri m Î C m m m Buktik hw perigkt sutu mtriks simetris mirig dlh sutu ilg gep Tujukk hw jik A dlh sutu mtriks simetris mirig d dlh gjil, mk A tidk iversiel Yg mkh dri peryt di wh ii yg er? Berik ls () Determi dri sutu mtrik simetris rel dlh sellu tk egtif () Jik A dlh mtriks rel, mk det(aa T ) ³ () Jik A dlh mtriks rel persegi, mk det(aa T ) ³ Hitug lus derh segitig deg titiktitik (, ), (, ), (, ) Hitug lus derh jjr gejg deg titiktitik (, ), (,), (, ), (, )

34

35 INDEKS A djoi, D determi, 9, Vdermode, 8 E ekspsi Lple, 9 mior, ekuivle ris, H homogeits ris determi, kolom determi, I ivers, K kofktor, M mtriks ris elemeter, mior, 9 O opersi ris elemeter, kolom elemeter, 8 ortogol, P perigkt, 9 S sigulr,