ANALISIS REAL I. (M4) untuk setiap a R, a 0 terdapat R sedemikian hingga a. = 1 dan. a =

Transkripsi

1 ANALISIS REAL I BAB I BILANGAN REAL Pd bb ii dibhs sift-sift petig dri sistem bilg rel R, seperti sift-sift ljbr, urut, d ketksm. Seljuty, k diberik beberp pegerti seperti bilg rsiol, hrg mutlk, himpu terbuk, d pegerti liy yg berkit deg bilg rel.. Sift-sift Aljbr d Urut dlm R Sebelum mejelsk tetg sift-sift R, diberik terlebih dhulu tetg struktur ljbr dri sistem bilg rel. Ak diberik pejels sigkt megei sift-sift dsr dri pejumlh d perkli, sift-sift ljbr li yg dpt dituruk dlm beberp ksiom d teorem. Dlm termiologi ljbr bstrk, sistem bilg rel membetuk lpg (field) terhdp opersi bier pejumlh d perkli bis. Sift-sift Aljbr R Pd himpu semu bilg rel R terdpt du opersi bier, diotsik deg + " d ". " yg disebut deg pejumlh (dditio) d perkli (multiplictio). Opersi bier tersebut memeuhi sift-sift berikut: (A) + b = b + utuk semu, b R (sift komuttif pejumlh) (A) ( + b) + c = + (b + c) utuk semu, b, c R (sift sositif pejumlh) (A3) Terdpt 0 R sedemiki higg 0 + = d + 0 = utuk semu R (eksistesi eleme ol) (A4) Utuk setip R terdpt R sedemiki higg + ( ) = 0 d ( ) + = 0 (eksistesi eleme egtif tu ivers pejumlh) (M). b = b. utuk semu (sift komuttif perkli) (M) (. b). c =. (b. c)tuk semu, b, c R (sift sositif perkli) (M3) terdpt R sedemiki higg. = d. = utuk semu R (eksistesi eleme uit ) (M4) utuk setip R, 0 terdpt R sedemiki higg. = d. = (eksistesi ivers perkli) (D). (b + c) = (. b) + (. c) d (b + c). = (b. ) + (c. ) utuk semu, b, c R (sift distributif perkli ts pejumlh) Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried (AC047)

2 Sift-sift di ts telh umum dikethui. Sift (A)-(A4) mejelsk sift pejumlh, sift (M)-(M4) mejelsk sift perkli, d sift terkhir meggbugk kedu opersi. Seljuty, diberik beberp teorem tetg eleme 0 d yg telh diberik pd sift (A3) d (M3) di ts. Jug k ditujukk bhw perkli deg 0 k sellu meghsilk 0. Teorem... () Jik z, R deg z + =, mk z = 0. (b) Jik u d b 0 eleme R deg u. b = b, mk u =. (c) JIk R, mk.0 = 0 Bukti. () Megguk ksiom (A3), (A4), (A), sumsi z + =, d (A4), diperoleh z = z + 0 = z + ( + ( ) = (z + ) + ( ) = + ( ) = 0 (b) Megguk ksiom (M3), (M4), (M), sumsi u. b = b, d (M4), diperoleh u = u. = u. b. = (u. b). = b. = (c) Kre +.0 = =. ( + 0) =. =, mk.0 = 0 Deg demiki, mk teorem terbukti. Teorem... Jik R, mk Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried (AC047)

3 () ( ). = (b) ( ) = (c) ( ). ( ) = Seljuty diberik du sift petig dri opersi perkli, yitu sift ketuggl eleme iversy d bhw perkli du bilg itu hsily ol pbil slh stu fktory dlh ol. Teorem..3. () Jik + b = 0, mk b = (b) Jik 0 d b R sedemiki higg. b =, mk b = (c) Jik. b = 0, mk = 0 tu b = 0 Bukti. () Kre + b = 0, mk + b ( ) + ( + b) = ( ) + 0 ( ) + + b = (A d A3) 0 + b = b = (b) Kre. b =, mk (A4) (A3). b = (. b) =.. (b) =. b = b = (c) Dikethui. b = 0, mk. b = 0 (. b) =. 0. (b) = 0. (b) = 0. b = 0 b = 0 Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 3 (AC047)

4 Deg cr yg sm, kedu rus diklik deg, mk diperoleh = 0. Deg demiki teorem terbukti. Teorem tersebut dits mejelsk beberp sift ljbr sederh dri system bilg rel. beberp kibt dri teorem tersebut diberik sebgi bh ltih sol di bgi khir subbb ii. Opersi pegurg (substrctio) didefiisik deg b = + ( b) utuk, b R. Sm hly deg opersi pembgi (divisio), utuk, b R deg b 0 didefiisik =.. Utuk seljuty,. b cukup ditulisk deg b, d peulis utuk, utuk ( ), d secr umum didefiisik = ( ) utuk N. Lebih ljut, =, d jik 0, mk dpt ditulis = d utuk, d jik N, dpt ditulis utuk. Bilg Rsiol d Irrsiol Telh dikethui bhw himpu N d Z dlh subset dri R. Eleme R yg dpt ditulisk dlm betuk dim, b Z d 0 disebut deg bilg rsiol (rsiol umbers). Himpu semu bilg rsiol di R diotsik deg Q. Dpt ditujukk bhw pejumlh d perkli du bilg rsiol dlh bilg rsiol. Lebih ljut, sift-sift lpg jug berlku utuk Q. Ak tetpi, tidk semu eleme R merupk eleme Q. Seperti yg tidk dpt diytk kedlm betuk. Eleme R yg buk eleme Q disebut bilg Irrsiol (irrsiol umbers). Ak ditujukk bhw tidk terdpt bilg rsiol yg kudrty dlh. Utuk membuktiky diguk istilh gep d gjil. Sutu bilg sli disebut gep pbil bilg itu mempuyi betuk utuk sutu N, d disebut gjil pbil bilg itu mempuyi betuk utuk sutu N. Teorem..4. tidk d eleme r Q sedemiki higg r =. Bukti. Adik d r Є Q sedemiki higg r =. Kre r Є Q, mk r dpt ditulisk sebgi p deg p d q tidk mempuyi fktor berserikt seli, sehigg q p diperoleh tu p = q. Kre q gep, mk p gep. Akibty p jug gep, q sebb jik gjil, mk p = m - utuk sutu m Є N, tu m 4m 4m m m p yg berrti bhw p gjil. Jdi, p hruslh Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 4 (AC047)

5 gep. Kre p gep, mk p= k utuk sutu k Є N, sehigg p k 4k. Di li pihk dikethui p = q d p gep, kibty q gjil sebb jik q gep, mk fktor berserikt p d q buk. Jdi, q hruslh gjil. Sehigg diperoleh p q 4k q k q yg berrti q gep. Meghsilk kotrdiksi bhw q gjil. Jdi, pegdi slh, yg ber dlh tidk d r Є Q sedemiki higg r =. Sift-sift Urut pd R Sift urut mejelsk tetg kepositif (positivity) d ketksm (iequlities) di tk kosog tr bilg-bilg rel. Ad subset P R, yg disebut deg himpu bilg-bilg rel positif tegs, yg memeuhi sift-sift berikut: i. Jik, b Є P, mk + b Є P ii. Jik, b Є P, mk b Є P iii. Jik Є P, mk memeuhi tept stu kodisi berikut: Є P, = 0, - Є P Sift pertm d kedu pd teorem di ts mejelsk P tetg sift tertutup terhdp opersi pejumlh d perkli. Sift yg ketig R ke dlm tig jeis eleme yg berbed. Hl ii mejelsk bhw himpu {-: Є P} dri bilg rel egtive tidk mempuyi eleme yg sm deg himpu bilg rel positif. Lebih ljut, R merupk gbug tig himpu slig sig tersebut, yitu R = P {-: Є P} {0} Defiisi..5. i. Jik Є P, ditulis > 0, rtiy dlh bilg rel positif ii. Jik Є P {0}, ditulis 0, rtiy dlh bilg rel oegtive. iii. Jik Є P, ditulis < 0, rtiy dlh bilg rel egtive. iv. Jik Є P {0}, ditulis 0, rtiy dlh bilg rel opositif. Defiisi..6. Diberik, b Є R. Jik b Є P, mk ditulis > b tu b < b. Jik b Є P {0}, mk ditulis b tu b Sift Trikotomi di ts berkibt bhw utuk, b Є R memeuhi tept stu kodisi berikut: > b, = b < b. Seljuty, jik b d b, mk = b. jik < b < c, mk rtiy bhw < b d b < c. Teorem..7. Diberik sebrg, b, c Є R. Jik > b d b > c, mk > c Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 5 (AC047)

6 Bukti. b. Jik > b, mk + c > b + c c. Jik > b d c > 0, mk c > cb Jik > b d c < 0, mk c < cb d. Jik > 0, mk 0 Jik < 0, mk 0. Dikethui > b d b > c,, b, c Є R. Kre > b, mk b Є P. Kre b > c, mk b c Є P. Meurut sift urut, mk + b Є P, sehigg diperoleh ( b) + ( b + c) b + b c Є P ( c) + ( - b + b) Є P ( c) + 0 Є P c Є P > c b. Jik b Є P, mk ( + c) (b c) = b Є P. Sehigg dipeoleh bhw + c > b + c. c. Jik b d c Є P, mk c cb = c ( b) Є P. Akibty c > cb utuk c > 0. Guk lgkh yg sm utuk c < 0 d. Coblh d buktik sediri Oleh kre itu, dpt diliht bhw bilg sli jug merupk bilg rel positif. Sift ii diperoleh dri sift ds urut, berikut ii diberik teoremy. Teorem..8. Jik Є R d 0, mk > 0 b. > 0 c. Jik Є N, mk > 0 Teorem..9. Jik,b Є R d <b, mk b b Bukti. Kre < b, mk + < + b < + b, diperoleh + b < b + b + b < b, diperoleh bhw b b. b. kre < b, mk Dpt ditujukk bhw tidk d bilg rel positif yg terkecil, sebb jik diberik > 0, d kre 0, mk diperoleh 0. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 6 (AC047)

7 Seljuty, utuk membuktik bhw sutu himpu 0 dlh sm deg ol, mk hrus ditujukk bhw sellu lebih kecil dri sebrg bilg positi yg diberik. Teorem..0. Jik sedemiki higg 0 < ε utuk setip ε >0, mk =0. Bukti. Adik > 0, mk 0. Dimbil 0 (ε 0 bilg rel positif tegs), mk > ε 0 > 0. Kotrdiksi deg peryt 0 < ε utuk setip ε > 0. Jdi, pegdi slh, yg ber dlh = 0. Perkli tr du bilg positif hsily dlh positif. Ak tetpi, hsil perkli yg positif belum tetu setip fktory positif. Teorem... Jik b > 0, mk berlku i. > 0 d b > 0, tu ii. < 0 d b < 0 Akibt... Jik b < 0, mk berlku i. < 0 d b > 0, tu ii. > 0 d b < 0 Ketksm (Iequlities) Seljuty, k ditujukk bgim sift urut dpt diguk utuk meyelesik sutu ketksm. Perhtik cotoh di bwh ii. Cotoh..3.. Tetuk himpu A dri bilg rel x sedemiki higg x Jwb. Dikethui x Є A d x + 3 6, mk x 3 6 x 3 x Jdi, 3 A x R : x 3 b. Diberik B = { x x Є R: x + x > }. Tetuk betuk li dri B Jwb. Dikethui x Є B d x + x > tu x + x > 0 tu (x )(x + ) > 0. Sehigg diperoleh bhw (i) x > 0 d x + > 0, tu (ii) x < 0 d x + < 0. Utuk ksus (i) diperoleh bhw x > d x < -, yg berrti x < -. Jdi, himpuy dlh B = { x x Є R: x>} {x Є R: x < -} Teorem..4. Jik 0 d b 0, mk. b b b b. b b b Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 7 (AC047)

8 Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 8 (AC047)..5. Ketksm Beroulli Jik x > -, mk ( + x) + x utuk semu Є N. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k b t b t b b b t b b b t b t b t b t b t b t b t t F t t F t tb tb tb t F F sb sb sb sedemiki higg s jik terdpt hy jik d b b mk semu b tidk jik Seljuty b tu b b b b b b mk b b d Jik x x k x k x kx kx x k kx x kx x kx x x x k kx x k x x x x R.Seljuty, utuk setip 0, bhw Jels R,... berikut : R sebgi R : Didefeisi k fugsi.,...,, R 0,, R,,...,,,...,. utuk semu bhw terbukti Jdi,. ber utuk yg berrti, mk 0, Kre yitu :, ber utuk.ak dibuktik yitu, Mislk ber utuk (peryt ber) mk, Utuk megguk iduksi. Ak dibuktik Bukti. Bukti...6.Ketksm Cuchy IgtbhwpersmA + Bt + Ct 0 jik d hy jik(b) 4AC 0, yg berkibt B AC.Sehigg diperoleh bhw b Degdemikiterbukti. SOAL LATIHAN SUBBAB.. Jik, b R,tujuk bhw :

9 . ( + b) = ( ) + ( b). b. ( b) = b c. b = jik b 0.. S elesikpersmberikut. (). x + 5 = 8. (b). x = x. 3. jik 0 d b 0, tujukk bhw () = 4. Buktikbhwtidkdbilgrsiolt sedemiki higg t = Buktikbhwjik > 0, mk ) =. ( 6. Jik, b R, tujuk bhw + b = 0 jik hy jik = b = 0 7.Buktikbhw () ( + b ), utuk semu, b R. 8. Tujukbhwjik Rd, N, mk = d ( ) =. (Gukiduksimtemtik)... NiliMutlkdGrisBilg Rel Dri sifttrikotomi,dptditrikkesimpulbhwjik R d 0, mk tu merupk bilg rel positif. Nili mutlk dri 0 didefiisik sebgi ili positif dri du bilg tersebut. Defiisi.. Nilimutlk (bsolute vlue) drisutubilgrel, diotsik deg, didefiisiksebgi jik 0. 0 jik 0. jik 0. () Sebgicotohy, 3 = 3 d -9 = 9. Dptdilihtdridefiisi di tsbhw 0 utuksemu R, d bhw 0jikdhyjik = 0. Jug bhw utuksemu R. Berikutiidiberikbeberpsiftilimutlk. Teorem... b b utuksemu R. (b) utuksemu R. (c) Jik c 0, mk c jikdhyjik c c. (d) utuksemu R. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 9 (AC047)

10 Bukti. ) Jik b 0, mkterbukti. Jik > 0 d b > 0, mkb > 0, sehigg b b b b. Jik > 0d b < 0, mk b < 0, sehigg b b b. b) (b)kre 0, mk = = = =. c) (c) Jik c, mk cd- c yg berrti-c c. Sebliky, jik-c c, mkdiperoleh cd- c. Jdi, c. d) Guk lgkh yg sm seperti pd (c) deg megmbil c=. Berikut ii diberik sebuh teorem yg disebut deg Ketksm Segitig (Trigle Iequlity)...3. KetksmSegitig Jik, bεr, mk +b + b. Bukti. Dri Teorem..(d), dikethui - d - b b b. Deg mejumlhk kedu ketksm diperoleh -( + b ) +b + b. Megguk Teorem..(c) diperoleh bhw +b + b. Akibt..4 Jik,bεR, mk () - b -b. (b) -b + b. Bukti. () Tulis = -b+b d msukk ke dlm Ketksm Segitig. Sehigg = (-b)+b -b + b. Kurgk kedurus deg b, diperoleh - b b. Guk cr yg sm utuk b=b-+, diperoleh- -b - b.kombisik kedu ketksm tersebut, diperoleh - -b - b -b. Megguk Teorem..(c) diperoleh bhw - b -b. (b) Gtilh b pd Ketksm Segitig deg b, sehigg diperoleh b b. Kre b b, mkdi peroleh bhw b b. Ketksm segitig di ts dpt diperlus sehigg berlku utuk sebrg bilg rel yg byky berhigg. Akibt..5. Jik,,..., dlh sebrg bilg rel, mk Cotoh Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 0 (AC047)

11 Diberik fugsi f yg didefiisik deg Tetuk kostt Mse demiki higg f x 3x ( x) x f utuk,3 ( x) M, utuk setip x,3. x. Dikethui x 3x x 3x f ( x). x x x 3x x 3x x 3 x (3) 3(3) d 8 x x () 3 Sehigg f ( x) x 3x x 8 3.Jdi, deg megmbil M 8, didpt 3 f ( x) M, utuk setip x,3. Gris Bilg Rel (The Rel lie) Iterpetsi geometri yg dikel di try gris bilg rel (rel lie). Pd gris rel, ili mutlk dri sutu eleme dlh jrk ke 0. Secr umum,jrk (distce) tr eleme d b di dlh b. Perhtik gmbr berikut () 3 Gmbr.. Jrk tr d b. Defiisi..6 Diberik didefiisik sebgi himpu. d 0. Persekitr - ( -eighborhood) dri V ( ) { x ; x } (, ). () V Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried (AC047)

12 Gmbr.. Pesekitr V (). Dpt diliht bhw x V () jik d hy jik x. Persekitr jug serig disebut deg kitr. Teorem..7. Diberik mk x=.. Jik x berd dlm persekitr V () utuk setip 0, Bukti. Jik x memeuhi x utuk setip 0, mk berdsrk Teorem..0 diperoleh bhw x 0, yg berkibt x 0... SOAL LATIHAN SUBBAB. Jik,b R d b 0, tujuk bhw : ) = b) =. Jik x,y,z R d x z, tujuk bhw x y z jik d hy jik x-y + y-z = x-z 3. Jik <x<b d <y<b, tujuk bhw x-y <b- 4. Crilh semu ili x R sedemiki higg x+ +x- = 7 5. Butlh skets grfik persm y = x - x- 6. Diberik ε > 0 d δ >0, d R. Tujuk bhw v () ()v d v () v () merupk persekitr y dri utuk sutu ili y. 7. Tujuk bhw jik,b R d b, mk terdpt terdpt persekitr-ε U dri d V dri b sedemiki higg U V = 8. Tujuk bhw jik,b R, mk ) mx{,b}= (+b+ -b ) d mi {,b}= (+b- -b ) b) mi{,b,c} = mi{mi{,b},c}.3.sift legkp R Pd bgi ii k diberik slh stu sift dri R yg serig disebut demg sift legkp (completeess property). Tetpi sebelumy, perlu dijelsk terlebih dhulu kosep supreum d ifimum. Supremum d ifimum Berikut ii diperkelk kosep tetg bts ts d bts bwh dri sutu himpu bilg rel. Defiisi.3. diberik subset tk kosog S Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried (AC047)

13 () Himpu S diktk terbts ke ts (bouded bove) jik terdpt sutu bilg u sedemiki higg s u utuk semu s S deg bts ts (upper boud) dri S.. Setip bilg u seperti ii disebut (b) Himpu S diktk terbts ke bwh (bouded below)jik terdpt sutu bilg w sedemiki higg w s utuk semu s S. Setip bilg w seperti ii disebut deg bts bwh (lower boud) dri S. (c) Sutu himpu diktk terbts (bouded) jik terbts ke ts d terbts ke bwh. Jik tidk, mk diktk tidk terbts (ubouded). Sebgi cotoh, himpu S : { x : x } ii terbts kets, sebb bilg d sebrg bilg lebih dri merupk bts ts dri S. Himpu ii tidk mempuyi bts bwh, jdi himpu ii tidk terbrs kebwh. Jdi, S merupk himpu yg tidk terbts. Defiisi..3 diberik S subset tk kosog. () Jik S terbts ke ts, mk sutu bilg u disebut supremum (bts ts terkecil) dri S jik memeuhi kodisi berikut: () u merupk bts ts S, d () Jik v dlh sembrg bts ts S, mk u v. Ditulis u sup S (b) Jik S terbts ke bwh, mk sutu bilg u disebut ifimum.(bts bwh terbesr) dri S jik memeuhi kodisi berikut : () w merupk bts bwh S, d () Jik t dlh sebrg bts bwh S, mk t w. Ditulis w if S. Mudh utuk diliht bhw jik diberik sutu himpu S subset dri, mk hy terdpt stu supremum, tu supremumy tuggl. Jug dpt ditujuk bhw jik bts ts dri sutu himpu tk kosog u' dlh sebrg S, mk sup u, sebb sup s merupk bts ts terkecil dri S. sutu subset tk kosog S mempuyi empt kemugki,yitu i. Mempuyi supremum d ifimum, ii. iii. iv. Hy mempuyi supremum, Hy mempuyi ifimum, Tidk mempuyi ifimum d supremum Setip bilg rel merupkbts ts d sekligus jug merupk bts bwh himpu kosog. Jdi, himpu tidk mempuyi supremum d ifimum Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 3 (AC047)

14 Lemm.3.3 Sutu bilg u merupk supremum dri subset memeuhi kodisi berikut:. x u utuk semu s S,. jik v < u, mk terdpt s ε S sedemiki higg x < s. Lemm.3.4 Diberik subset kosog S S jik d hy jik u. u = sup S jik d hy jik uuk setip ε > 0 terdpt s S sedemiki higg u ε < s. b. w = if S jik hy jikutuk setip ε > 0 terdpt s u ε < s. S sedemiki higg Bukti ) => Dikethui u = sup S d diberik ε > o.kre u- ε < u,mk u-ε buk merupk bts ts S. Oleh kre itu, terdpt s S yg lebih besr dri Cotoh.3.5 u- ε, sehigg u- ε < s. <= Dikethui u- ε < s, Jik u merupk bts ts S, d jik memeuhi v < u, mk dimbil ε = u v. Mk jels ε > 0,d diperoleh bhw u= sup S. b) Cob buktik sediri. () Jik sutu himpu tk kosog S mempuyi eleme sebyk berhigg, mk dpt diliht bhw S mempuyi eleme terbesr, mk u, d eleme terkecil, mk w. Mk u = sup S d w = if S, d keduy merupk eleme S. (b) Himpu S :=x : 0 x mempuyi bts ts. Ak dibuktik bhw ' merupk supremumy. Jik v <, mk terdpt s S sedemiki higg v < Oleh kre itu, v buk merupk bts ts S d kre v merupk sebrg v <, mk dpt disimpulk bhw sup S =. Deg cr yg sm dpt ditujukk bhw if S = 0. Sift Legkp Ak ditujukk bhw subset tk kosog yg terbts ke ts psti mempuyi bts ts terkecil. Sift seperti ii disebut Sift Legkp. Sift Legkp jug serig disebut deg Aksiom Supremum Sift Legkp Jik subset tk kosog S yg terbts ke ts, mk supremumy d, yitu terdpt u sedemiki higg u sup S. ' s. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 4 (AC047)

15 Akibt.3.7. Jik subset tk kosog terdpt w sedemiki higg w if S. Bukti Mislk himpu T terbts ke bwh, S terbts ke bwh, mk ifimumy d, yitu T. Dibetuk himpu S t : t T, mk S terbts ke ts d tidk kosog. Meurut Aksiom Supremum, sup S d, mk u sup S, mk u if T. SOAL LATIHAN SUBBAB.3. Diberik S = {x Ʀ x > 0}. Apkh S mempuyi bts bwh d bts ts? Apkh if S d sup S d? Buktik jwbmu.. Diberik T ( ) Ɲ. crilh if Td sup T. 3. Diberik S subset tk kosog Ʀ yg terbts kebwh. Buktik bhw if S = sup s s S. 4. Tujuk bhw jik A d B subset terbts dri Ʀ, mk A B merupk himpu terbts. Tujuk bhw sup (A B) = sup {sup A, sup B} 5. Diberik S Ʀ d mislk s sup S dlm S. jik u S, tujuk bhw sup (S {u}) = sup {s, u}. 6. Tujuk bhw himpu berhigg S Ʀ memut supremumy. 7. Jelsk d buktik lemm Peggu Sift Aksiom Supremum Pd subbb ii dibhs beberp kibt dri ksiom supremum. Teorem.4.. Diberik subset tk kosog S Ʀ yg terbts ke ts d sebrg Ʀ. Diferesik himpu +S { + s: s S}, mk berlku sup ( + S) = + sup (S). Bukti. Jik diberik u sup S, mk x u utuk semu x S, sehigg + x + u. Oleh kre itu, + u merupk bts ts dri himpu + S. Akibty sup ( + S) + u. Seljuty, mislk v dlh sebrg bts ts + S, mk α + x v utuk semu x S. Akibty x v utuk semu x S, sehigg v merupk bts ts S. Oleh kre itu, u = sup S v. Kre v dlh sebrg bts ts + S, mk deg meggti v deg u = sup S, diperoleh sup S. Di li pihk dikethui sup S u S= u = sup S. u. Akibty terbukti bhw sup Teorem.4.. Diberik subset tk kosog S R yg terbts d sebrg bilg rel > 0. Didefiisik himpu S : s : s S, mk berlku if if S. S = Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 5 (AC047)

16 Bukti. Tulis u if S d v if S. Ak dibuktik bhw u v. Kre u if S, mk u s,utuk setip s S. Kre v if S, mk v s utuk setip s S. Akibty v s utuk setip s S. Berrti v merupk bts bwh S. Kre u bts bwh terbesr S, mk u v u. Kre u s utuk setip s S, mk diperoleh s utuk setip u s S (sebb > 0). Kre v if S, mk v yg berkibt u v. Di li pihk dikethui v u. Akibty u v. Jdi, terbukti bhw if S = if S. Teorem.4.3. Jik A d B subset tk kosog R d memeuhi b utuk semu A d b B, mk sup A if B. Bukti. Dimbil sebrg b B, mk b utuk semu A. Artiy bhw b merupk bts ts A, sehigg sup A b. Seljuty, kre berlku utuk semu b B,mk sup A merupk bts bwh B. Akibty diperoleh bhw sup A if B. Sift Archimedes Berikut ii diberik slh stu sift yg megitk hubug tr bilg rel d bilg sli. Sift ii meytk bhw pbil diberik sebrg bilg rel x,mk sellu dpt ditemuk sutu bilg sli yg lebih besr dri x Sift Archimedes. Jik x R, mk terdpt N sedemiki higg x. Bukti. Ambil sebrg x R. Adik tidk d N sedemiki higg x, mk x, utuk setip N. Deg kt li, x merupk bts ts N. Jdi, N R, N, d N terbts ke ts. Meurut ksiom supremum,mk sup N d, tulis u sup N. Kre u u, mk terdpt m N deg sift u m. Akibty u m deg m N. Timbul kotrdiksi deg u sup N. Berrti u bts ts N, yitu d m N sehigg u m (buk u buk bts ts N). Jdi, pegdi slh, yg ber dlh d Akibt.4.5. Jik S:= N :,mk if S = 0. N sedemiki higg x. Bukti. Kre S terbts ke bwh oleh 0, mk S mempuyi ifimum, tulis w : if S. Jels bhw w 0. Utuk sebrg ε > 0, megguk Sift Archimedes, terdpt N sedemiki higg <, kibty < ε. Oleh kre itu, diperoleh bhw 0 w < ε. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 6 (AC047)

17 Ak tetpi kre ε > 0 sebrg, mk berdsrk Teorem..0 berkibt bhw w = 0. Terbukti bhw if S = 0. Akibt.4.6. Jik t > 0, mk terdpt t N sedemiki higg 0 t. t Bukti. Kre if N : = 0 d t >0, mk t buk bts bwh himpu Akibty terdpt N sedemiki higg 0 t. t t N :. Akibt.4.7. Jik y > 0, mk terdpt, Ɲ sedemiki higg < y <. Bukti. Sift Archimedes mejmi bhw subset E {m Ɲ: y < m} dri Ɲ tidk kosog. Megguk Sift Urut, E mempuyi eleme yg plig kecil, yg diotsik deg. Oleh kre itu, buk eleme E. Akibty diperoleh bhw < y <. Eksistesi Bilg Rel d Desits Bilg Rsiol di Ʀ Slh stu peggu Sift Supremum dlh dpt diguk utuk memberik jmi eksistesi bilg-bilg rel. Berikut ii k ditujukk bhw d bilg rel positif x sedemiki higg x =. Teorem.4.8. Ad bilg rel positif x sedemiki higg x =. Bukti. Dibetuk himpu S = {s Ʀ s 0 d s < }. Jels bhw S sebb 0 S d S. S terbts ke ts deg slh stu bts tsy dlh. Jik t, mk t 4. Jdi, t = S. Megguk Aksiom Supremum, S Ʀ, S, d S terbts ke ts, mk S mempuyi supremum. Nmk x = sup S, deg x Ʀ. Ak dibuktik bhw x =. Adik x, mk x < tu x >. Kemugki I : Utuk x <. Kre x <, mk x > 0. Kre, mk x + = x + x + x + (x + ). Kre x > 0 d x + > 0, mk > 0. Meurut kibt Sift Archimedes, dpt ditemuk Ɲ sehigg Akibty, d < (x + ) < x Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 7 (AC047)

18 x + < x + (x + ) < x + x = Diperoleh bhw x + <, yg berrti bhw + S. Kotrdiksi deg x = sup S. Oleh kre itu tidk mugki x <. Kemugki II: x >. Kre x >, mk x > 0. Perhtik bhw x = x + > x. Kre x > 0 d x > 0, mk dipilih m N sedemiki higg Akibty x m m > tu < x. > x x m > x (x ) =. Diperoleh bhw x >. Berrti x S, yitu x bts ts. Kotrdiksi deg x = sup S. Oleh kre itu tidk mugki x >. Jdi pegdiy slh, yg ber dlh x = Teorem Desits (The Desity Theorem) Jik x, y R deg x < y, mk d bilg rsiol q Q sedemiki higg x < q < y. Bukti.Degtidkmegurgikeumum(without loss of geerlity), di mbil x < y, mk y > 0. Akibty >0, sehigg dpt dipilih N sedemiki higg > Utuk di ts, berlkuy-x>,yitux+<y. Krex>0, mkdpt di pilihm Nsehigg m- x<m Bilgm di tsjugmemeuhim<y, sebbdrim- x, diperolehm x+<y. Jdi x<m<y Akibtyutuk q= mempuyisiftx< =q<y.jditerdptbilgrsiol q= degsift x<q<y BerikutiidiberikkibtTeoremDesits, yituditrdubilg rel pstidptditemukbilgirrsiol Akibt.4.0.jikx,y R deg x<y, mk d bilg irrsiol r sedemikihigg x<r < y Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 8 (AC047)

19 Bukti.MeggukTeoremDesits, dbilg rel d deg bilg rsiol q degsift < q <. Akibty, x<q <y d q merupkbilgirrsiol. SOAL LATIHAN SUBBAB.4. Diberik himpu tk kosog X d f : X R mempuyi rge terbts di R. Jik ɑϵr, tujukk bhw : () sup{ ɑ + f(x) : xϵ X } = ɑ + sup { f(x) : xϵ X }. (b) if{ ɑ + f(x) : xϵ X } = ɑ + if { f(x) : xϵ X }.. Diberik subset tk kosog A d B dri R. Dibetuk himpu A+B = {ɑ + b : ɑϵa d bϵb }. Buktik bhw sup ( A+B ) = sup A+sup B d if( A+B ) = if A + if B. 3. Jik diberik sebrg xϵ R, tujukk bhw terdpt deg tuggl ϵ Z sedemiki higg - x. 4. Jik y> 0, tujukk bhw terdpt ϵ N sedemiki higg <y. 5. Jik u> 0 dlh sebrg bilg rel d x<y, tujukk bhw terdpt bilg rsiol r sedemiki higg x<ru<y..5. INTERVAL DALAM R Jik diberik ɑ,bϵ R deg ɑ<b, mk itervl terbuk yg ditetuk oleh ɑ d b dlh himpu (ɑ,b) = { xϵr : ɑ<x< b }. Titik ɑ d b disebut titik ujug ( edpoits) itervl. Titik ujug tidk termut dlm itervl terbuk. Jik kedu titik ujug digbugk ke dlm itervl terbuky, mk disebut itervl tertutup, yitu himpu [ɑ,b] = { xϵr : ɑ<x <b }. Itervl setegh terbuk tu seteg tertutup dlh itervl yg memut slh stu titik ujugy. Gbug itervl terbuk deg titik ujug ɑ, ditulis [ɑ,b), d gbug itervl terbuk deg titik ujug b, ditulis (ɑ,b]. Msig-msig itervl tersebut terbts d mempuyi pjg( legth) yg didefiisik deg b-ɑ. Jik =b, mk itervl terbuky berkorespodesi deg himpu kosog, ᴓ,d itervl tertutupyberkorespodesideghimpu sigleto,. Berikutiidiberiklimjeis itervl tidkterbts.simbol tu d diguksebgi symbol titikujugy yg tkberhigg.itervlterbuktkterbtsdlhhimpudegbetuk, : x R : x d, b: x R : x b. Himpupertmtidkmempuyibtstsd kedutidkmempuyibtsbwh.himpu, yg serigjugdisebutdegsirterbuk(ope ry).diberikitervl tertutuptkterbts,yitu Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 9 (AC047)

20 , : x R : xd, b: x R : x b. Himpu, serigdisebutdegsirtertutup(close ry).himpu R dptditulisksebgi, : R. Perhtikbhw d bukeleme R..5..TeoremKrkteristik Itervl Jik s dlh subset R yg memut plig sedikitdutitikdmempuyisift : mk S merupksutu itervl. Itervl susut(nsted Itervls) jik x, y S d x y. mkx, y S. Telhdikethuibhwbrisdlhfugsi f:n f : A ᴓ.Jik A dlhhimpu itervlitervl,mkterbetukbris itervli. Utukmempersigktpeulis,brisI cukupditulis I. Defiisi.5..(Itervl Sudut)Bris I. diktk itervl susut (ested itervls) Jik Cotoh.5.3. I... I I 3 I I... () Diberik I = 0,, N, Yitu I = [0,], I = 0,, I 3 =,, Mk I I I 3... (ested) d I = {0}(mempuyi titik berserikt). () Diberik I = 0,, N. Diperoleh bhw I I +, utuk setip N. Tetpi I =. Jdi, itervl susut belum tetu mempuyi titik berserikt. Sebb, dik terdpt x I, mk x I utuk setip N. Kre x > 0, mk terdpt N sedemiki higg > x. Kotrdiksi deg pegdi. Jdi pegdi slh, yg ber dlh I =. (3) Diberik I 0,, mk I = [0,], I =, 0, I 3 =,, Diperoleh I. (Ad tk higg byk [0,]). Perhtik Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 0 (AC047)

21 bhw if + : ε N=.5.4. Sift Itervl Susut (Nested Itervl Property) Jik I = [, b ]. ε N itervl tertutup terbts d I I + utuk setip ε N (itervl susut), mk I, Yitu terdpt R sedemiki higg I utuk setip ε N. Seljuty, jik Pjg I = b memeuhi if {b : ε N} = 0, mk eleme berserikt tersebut tuggl. Bukti.Dibetuk himpua = { : N}. Jels A sebb A, d A R. Himpu A terbts ke ts, sebb I I utuk setip N. Sehigg diperoleh bhw b Utuk setip N, yg berrti b bts ts A. Megguk Sift Legkp R, mk supremum Ad, yitu terdptξ R sedemiki higg ξ sup A. Jels bhw ξ Utuk setip m N. Seljuty utuk sebrg m, N berlku Hl ii berkibt b b tu b sup{ : N} b tu ξ b Kre ξdξ b, mk diperoleh ξ b utuk setip m N, berrti ξ I = [, b ], utuk setip N. Sehigg Yg berkibt I. ξ I,. jikη = if{b : N}, mk deg cr yg sm (sebelumy), Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried (AC047) diperolehη I utuk setip m N. Sehigg diperoleh η I Ak dibuktikketuggly, yituη = ξ : N} = 0, mkterdpt N sehigg 0 η ξ b < ε tu 0 η ξ < ε. Kreberlkusebrgℇ > 0.mkη ξ = 0 I tuggl. Himpu Terhitug (Coutble).Dimbilsebrgℇ > 0. jikif{b tu η = ξ. jdi, terbuktibhwη = ξ

22 Diberik J = {,,3,...,}, N. Du himpu A d B diktk ekuivle, ditulis A~B jik d fugsi bijektif f : A B. Cotoh:. Mislk A={,,3} d B={,b,c}, mk A~B.. Mislk f : A C deg C = {w,x,y,z}, mk A C. Sutu himpu diktk tk berhigg (ifiite) jik himpu tersebut ekuivle deg slh stu himpu bgi sejtiy. Jik tidk demiki, mk himpu tersebut diktk berhigg(fiite), yitu ekuivle deg J. Cotoh:. Himpu A ={,,3} berhigg.. N={,,3,...}, T ={,4,6,...} N. fugsi f: N T f () = Jdi, N tk berhigg, T jug tk berhigg. Sutu himpu D diktk deumerble jik D~N. sutu himpu diktk terhitug (coutble) jik himpu tersebut berhigg tu deumerble. Jik tidk, mk diktk himpu tk terhitug (ucoutble tu o deumerble), yitu himpu yg tidk ekuivle deg N. Jik himpu A terhitug, mk A dpt disjik sebgi A ={x, x, x,...} deg x x utuk i j. Cotoh:. Himpu terhitug berhigg.. Himpu N terhitug tk berhigg. 3. Himpu A = {,,3} terhitug berhigg. Dpt ditujukk bhw Rmerupk himpu tk terhitug. Utuk membuktiky cukup hy deg membuktik I = [0,] tk terhitug. Berikut ii diberik teoremy. B deg 0 B. V E (0) = (-ε, ε ). jik dipilih ε sgt kecil, mk 0 < <ε. jdi, 0 merupk titik cluster Teorem.5.5. himpui =[0,] tk terhitug. Bukti. AdikIterhitug, mk dpt ditulis deg I={x, x, x 3,, X, } Dikostruksik itervl tertutup, terbts, susut (ested), d if {b : } = 0. Itervl I = [0,] di bgi mejdi tig sm pjg, yitu [0, /3], [ /3, /3], d [/3, ] Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried (AC047)

23 Titik x I termut dlm plig byk du sub itervl. Pilih sub itervl yg tidk memut x, mk I = [, b ]. Jdi, x I. Seljuty, I dibgi mejdi tig sm pjg, yitu: [,, + /9], [ Kemudi pilih sub itervl yg tidk memut, mk. Jdi, Jik proses diterusk, diperoleh bris itervl tertutup, terbts, I I I 3 I deg if {b - : } = if {/3 }. Megguk sift Nested Itervl, mk terdpt deg tuggl y = I. berrti y I, yitu y = x utuk sutu. Akibty x = I yitu x I. Sedgk dri kostruksi diperolehx I. Timbul kotrdiksi, yg ber dlh I = [0,] tk terhitug, sehigg R jug tk terhitug. Teorem Bolzo-Weirrstrss Sebelum dijelsk tetg teorem Bolzo-Weirrstrss terlebih dhulu dijelsk megei titik cluster. Berikut diberik defiisiy. Defiisi.5.6 (Titik Cluster) Diberik subset tk kosog S R. Titik x R disebut titik cluster (cluster poits) jik setip persekitr V (x) = (x ε, x + ε) memut plig sedikit stu titik ggot S yg tidk sm deg x. Titik cluster serig disebut deg titik kumulsi tu titik limit. Deg kt li, x titik cluster S jik utuk setip ε > 0 berlku (V (x) S) {x} tu (V (x) {x} S. Ekuivle deg megtk bhw x titik cluster S jik utuk setip N, terdpt S ε S sedemiki higg 0 < S x <. Cotoh.5.7 () Diberik S = (0,). Apkh 0 merupk titik cluster? Jwb. Dimbil ε > 0, mk V (0) = (0 ε, 0 + ε) = ( ε, ε). Megguk Teorem Desits, mk 0 merupk titik cluster S d 0 S. Demiki jug bhw merupk titik cluster S d S. () Diberik A = [,] {4}. Apkh 4 titik cluster? Jwb. Persekitr ε dri 4 dlh V (4) = (4 ε, 4 + ε). Misl dimbil ε =, mk V (4) = 4, 4 + = 3, 4. sehigg diperoleh bhw 3, 4 [,] {4} =. Jdi, 4 buk titik cluster. (3) Diberik B = : N =,,,,.. Tujukk bhw 0 titik cluster B deg 0 B. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 3 (AC047)

24 Jwb. Megguk Sift Archimedes, jik diberik sebrg ε > 0, mk terdpt N sedemiki higg 0 < < ε. Persekitr titik 0 dlh V ( 0) (, ). Jikdipilih sgtkecil, mk 0. Jdi 0 merupktitik cluster Bdeg0B.5.8 Teorem Bolzo-Weierstrss Setip subset R yg tidk berhigg( ifiite) dterbts, mempuyi plig sedikitstutitik cluster. Bukti. Diberik sebrg subset S R tidk berhigg d terbts. Kre S terbts, mk terdpt itervl I =[,b] degpjgl(i )=b-. Kemudi b b bgilhi mejdidubgi, yitu, d,. b KreS tk berhigg, mk slh stu itervl tersebut memut tk higg byk titik ggot S, sebb pbil keduy memut berhigg byk ggot S, mk berrti himpu S berhigg. Nmk bgi yg memut tkhigg byk titik ggot S deg I.Pjgy L (I )= b. SeljutyI, dibgi mejdi du bgi seperti lgkh di ts, mk slh stu bgi yg memut tkhigg byk ggots. Nmk bgi tersebut b deg I 3.PjgyL (I 3 )=. Apbil proses diterusk, mk diperoleh bris itervl susut(ested) MeurutSift Itervl Susut, mk I I I3... I... I, tu terdpt x Ak ditujukk bhw x titikcluster S. Dimbil sebrg 0 I, mkterdpt N b sedemiki higg,,dpersekitry V ( x) ( x, x ) Kre xi b dl(i )=, mk I V (x). KreI, memut tk higg byk titik ggots,mk V (x) memut tkhigg byk titik ggots yg tidk sm deg x. Jdi, x. merupk titik cluster S. Himpu Terbuk d Tertutup Defiisi.5.9. i. Himpu G R diktk terbuk dlm R jik utuk setip x G, terdpt persekitr V (x) sedemiki higg V (x) G. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 4 (AC047)

25 ii. Himpu F R diktk tertutup dlm R jik kompleme F, yitu F terbuk dlm R. Cotoh.5.0. ) Himpu R = (-, ) terbuk, sebb utuk setip x R, terdpt V (x) = (x, x + ) R. ) Himpu A = (0,) terbuk, sebb jik dimbil ε = mi, utuk setip x A, mk V (x) = (x ε, x + ε) A. 3) Himpu B = [,] tertutup, sebb jik dimbil x =, mk utuk setip ε > 0, V () = ( ε, + ε) B d ε B. Dpt ditujukk jug bhw B terbuk, yitub = (, ) (, ) terbuk..5.. Sift Himpu Terbuk ) Jik A himpu ideks (berhigg tu tk berhigg) d G terbuk utuk setipλ A, mk G terbuk. b) Jik G, G,, G msig-msig merupk himpu terbuk, mk G terbuk. Bukti. ) Nmk G = G. Dimbil sebrg xε G, mk terdpt λ ε A sedemiki higg xε G. Kre G terbuk, mk terdpt V (x) G G. Jdi, terbukti bhw utuk setip x G, terdpt V (x) G, Yg berrti G = G terbuk. ( b ) Nmk H =. G.Ak ditujukkk bhw H terbuk. Dimbil sebrg xε H, mk xε G, i =,,,. Kre xε G d G terbuk, mk terdpt ε 0 sehigg V (x) G. Kre xε G d G terbuk, mk terdpt ε 0 sehigg V (x) G. Demiki seterusy. Kre xε G d G terbuk, mk terdpt ε 0 sehigg V (x) G. Nmk = mi{ε,ε,,ε }, jels bhw ε 0. MkV (x) V (x) G. utuk setip i =,,,, yg berkibt bhw V (x) H =. terbukti bhw G terbuk. G.Jdi Berikut ii diberik kibt dri sift himpu terbuk, yitu sift utuk himpu tertutup. Akibt.5.. (). Jik Ahimpu ideks (berhigg tu tk berhigg) d G tertutup utuk setip λε A, mk G tertutup. (b). Jik G, G,. G, msig msig merupk himpu tertutup, mk Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 5 (AC047)

26 G terutup. SOAL LATIHAN SUBBAB.5, di =, b itervl tertutup dlmr, tujuk bhw. JikI = b I I jik dhy jik db b. JikS R tidk kosog, tujuk bhws terbts jik d hy terdpt itervl tertutup terbts Isedemiki higgs I 3. JikS R tidk kosog d terbts, di = [if S, sups], tujuk bhw S I. seljuty, jikj dlh sebrg itervl tertutup terbts yg memut S, tujuk bhwi J. 4. DiberikK = utuk N. buktik bhw k =. 5. Jik S himpu terbts di Rd T S tidk kosog, buktik bhw 6. Buktik Akibt IfS ift sup T sup S. BAB BARISAN DAN DERET Pd bb ii dibhs megei pegerti bris d deret. Seljuty, dibhs tetg limit d kovergesi dri sutu bris, Di try dlh Teorem Koverge Mooto, Teorem Bolzo-Weierstrss, d Kriteri Cuchy utuk bris yg koverge... Bris d limit bris bris (sequece) pd himpu S dlh sutu fugsi deg domi N d mempuyi rge dlm S. Pd subbb ii k dibhs megei bris di R d kovergesi dri sutu bris. Defiisi... Bris bilg rel dlh sutu fugsi yg didefiisik pd himpu N deg rge dlm R. Deg kt li, bris dlm R megwk setip bilg sli =,,3, kepd sutu bilg rel, jik X : NR merupk bris, mk bisy ditulisk deg ili dri X pd deg otsi x Bris serig diotsik deg X tu (x ) tu(x N) tu {x } tu {x }( )pbil dikethui sutu bris Y, rtiy Y = (y ) Cotoh... () Bris (x ) deg x = ( ) dlh bris,,,,,,, ( ), Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 6 (AC047)

27 (b) Bris (x ) deg x = (, : N ) =,,,,, (c) Bris kost (k ) deg k = 3 dlh 3,3,3,3,. (d) Bris =,,,,, Defiisi..3.Diberikbrisbilgrel (x )d (y ), d αε R. Mk dpt didefiisik (i) (x ) ± (y ) = (x ± y ). (ii) α(x ) = (αx ). (iii) (x ) (y ) = (x y ). (iv) ( ) ( ) =, slky 0 Defiisi..4. (Limit Bris) Dikethui(x ) bris bilg rel. Sutu bilg rel x di ktk limitbris(x ) jik utuk setip ε > 0 terdpt K(ε)ϵ N sedemiki higg utuk setip ε N deg K (ε) berlku x x < ε. Jikx dlh limit sutu bris (x ), mk di ktk (x )kovergekex,tu (x ) mempuyi limit x. Dlm hl ii ditulis lim (x ) = x tu lim(x ) = xtu (x ) x. Jik (x ) tidk koverge, mk (x ) diktk diverge. Teorem..5.Jikbris(x )koverge, mk(x ) mempuyi plig byk stu limit (limity tuggl). Bukti.Adik lim (x ) = x d lim (x ) = x " deg x x ". Mk utuk seberg ε > 0 terdpt K sedemiki higg x x < ε utuk setip K, d terdpt K " sedemik higg x x " < ε utuk setip K ". Dipilih K = mx K, K ". Megguk Ketksm Segitig, mk utuk K diperoleh l x x x l x l x x x x x x Kre berlku utuk setip >0,mk x l x 0 yg berrti Kotrkdiksi deg pegdi.jdi terbukti bhw limity tuggl. Teorem..6. Jik x bris bilg rel d x R,mk empt peryt berikut ekuivle. ). Bris x koverge ke x. b). Utuk setip >0 terdpt K N sedemiki higg utuk setip K berlku x x. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 7 (AC047)

28 c). Utuk setip >0 terdpt K N sedemiki higg utuk setip K berlku x x x. d). Utuk setip persekitr V (x) dri x, terdpt KN sedemiki higg utuk setip Bukti. K berlku V (x). x () (b) Jels (dri defiisi). (b) (c) x x x x x x x. (c) (d) x x x x ( x, x ) x V ( x). (d) () x V ( x) x x x x x. Cotoh..7. () Tujukk bhw lim = 0 Jwb.Ak ditujukkbhw (x ) = koverge ke 0, yitu 0. Hrusdibuktikbhwutuksetip 0 terdpt() sedemikihiggutuksetipdeg () berlku 0. Ambilsembrg 0, mk 0.MeurutSift Archimedes, mkterdptk () N sedemikihigg (), tu K <. AkibtyutuksetipK () () berlku 0 = = <. Jdi, terbuktibhwutuksetip 0 terdpt() () sedemikihiggutuksetipdeg() berlku 0, tulim = 0. (b) Tujukbhwlim = 0 Jwb. Ak ditujukkbhwutuksetip 0 terdptk () N sedemikihiggutuksetipdeg() berlku 0. Dimbilsebrg 0, mk > 0, kibty sedemikihigg <K () tu berlku 0 = () > 0. Meurut Sift Archimedes, terdpt K () N () <, diperoleh () <. Akibtyutuksetip() <. Jdi, terbuktibhwutuksetipterdptk () N sedemikihiggutuksetipdeg() berlku 0, tulim Cotoh..8.tujukkbhw diverge. = 0. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 8 (AC047)

29 Jwb.Adik koverge, berrtiterdptbilg rel x sehiggutuksetip ε > 0 terdptkn sedemiki higg utuk setip K berlku x gep, mk, diperoleh x < - < - x <, ygberkibt x > 0. Utuk Kd gjil, mk, diperoleh x < - < - - x <, <.Utuk K d ygberkibt x < 0. Timbulkotrdiksi, yitu x > 0 d x < 0.Jdipegdislh, yg ber diverge. Teorem..9.Diberikbrisbilg rel X : N x d m N.Mk X m xm : kovergejikdhyjik X koverge.dlmhlii lim X m lim X. Bukti.Perhtikbhwutuksebrg p N, elemeke- p dri X m dlhelemeke- p mdri X. Smhly, jik q > m, mkbetukelemeke- q dri X dlhelemeke- q mdri X. Disumsikbhw X kovergeke x. Diberiksebrgε > 0, pdbris X utuk K (ε) berlku x x <ε,mkpd X m utuk k K (ε) m berlku x k x <ε. Dptdimbil K m (ε) = K (ε) m, sehigg X m kovergeke x. Sebliky, jikpd X utuk k K m (ε) berlku x k x <ε, mkpd X utuk K m (ε) m berlku x x < ε. Dptdimbil K (ε) K m (ε) m. Degdemikiterbuktibhw X kovergeke x jikdhyjik X m kovergeke x. Teorem..0.Diberikbrisbilg rel (x )dx R. Jik ( )dlhsutubrisbilg rel positifdeglim( ) = 0 djikutuk c>0 dm N berlku mklim(x ) = x. x x c utuksemu m, Bukti.Dimbilε > 0, mk > 0. Kre lim( ) = 0, mkterdptk( ε c) N sedemiki higgg utuk setip K( ε c ) berlku 0 < ε c. Akibty utuk setip K(ε c ) berlku x x c < c. = εtu x x < ε. Terbukti bhw lim(x ) = x. Cotoh...Jik> 0, tujukkbhwlim = 0. Jwb.Kre> 0, mk 0 << + yg berkibtbhw Diperoleh 0 < < =. 0 = <. =. m utuk setip N. utuk setip N. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 9 (AC047)

30 Kretelhdikethuibhwlim = 0, mk meurut Teorem..0 d deg megmbil c = > 0 berkibt bhw lim = 0 SOAL LATIHAN SUBBAB.. Tulisklimbilgpertmdribris(x )utukx berikut. () x = (). (b) x =.. Tetukrumuske- utuk bris berikut. () 5, 7, 9,, (b),,,, 3. Utuksebrgb R, buktikbhwlim = Tujukk (meggukdefiisi limit bris). () lim = (b) lim =. 5. Tujukkbhwlim(x ) = 0jikdhyjiklim( x ) = Tujukkbhwjikx 0 utuk semu N d lim(x ) = 0, mk limx = Buktikbhwjiklim(x ) = x d jik x > 0, mk terdpt M N sedemiki higg x > 0 utuk semu M. 8. Tujukkbhwlim 9. Tujukkbhwlim = 0.! = Jiklim(x ) = x > 0, tujukk bhw terdpt K N sedemiki higg jik K, mk x < x < x.. Teorem-teorem Limit Pdsubbbiikdibhsmegeibeberpteorem yg berkitdeg limit pdbrisbilg rel, sepertibristerbtsdkekovergebris. Defiisi...Brisbilg rel X = (x ) diktkterbtsjikterdptbilg rel M>0 sedemikihigg x Mutuksemu N. Olehkreitu, bris (x ) terbtsjikdhyjikhimpu {x : N} merupk subset terbtsdlm R. Teorem... JikX = (x ) koverge, mk X = (x ) terbts. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 30 (AC047)

31 Bukti.Dikethui X = (x ) koverge, mislkkovergekex. dimbilε =, mk terdpt K N sedemikihiggutuksetip Kberlku x x <. Meggukkibtketksmsegitig, mk x - x < tu x <+ x utuksemu K. NmkM = mx { x,x,,x k-, x + }, mk x M, utuksemu N. Jdi, terbukti bhw X = (x ) terbts. Teorem..3. (i) X ± Y x + y. (ii) X. Y xy. (iii) cx cx. Bukti. Jik X = (x ) x, Y = (y ) y,d c R, mk Ambil sebrg ε> 0. Kre X = (x ) mk terdpt 0 N sedemiki higg utuk setip 0 berlku x x <. kre Y=(y ) y, mk terdpt ε N sedemiki higg utuk setip berlku y y <. Pilih = mx {, }, mk kibty utuk berlku x + y (x y) = (x x) + (y y) x x + y y < + = ε. Kre berlku utuk sebrg ε > 0, mk (x + y ) koverge ke x + y. Deg cr yg sm diperoleh bhw (x y ) koverge ke x-y. Jdi terbukti bhw X ± Y x + y. (iii) Ak dibuktik bhw utuk setip ε > 0 terdpt K ε sedemiki higg utuk setip K berlku x y xy < ε. Dikethui x y xy = x y x y + x y xy x y x y + x y xy = x y y + x x y. Kre (x ) x mk (x ) terbts, kibty terdpt M > 0 sedemiki higg (x ( M, utuk semu ε N. Nmk M = mx{m, y }. Dimbil sebrg ε > 0. Kre (x ) x, mk terdpt K ε N sedemiki higg utuk setip K berlku x x <. Kre(y ) y, mk terdpt K ε N sedemiki higg utuk setip K berlku y y <. Nmk K = mx{k, K }, mk utuk setip > K berlku x y xy x y y + x x y < M. +. M = + = ε. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 3 (AC047)

32 Jdi, terbukti bhw utuk setip ε > 0 terdpt K ε N sedemiki higg utuk setip K berlku x y xy < ε. Deg kt li terbukti bhw X. Y xy (iii) Ambil sebrg Ɛ> 0. Kre (X ) x, mk terdpt K ϵn sedemiki higg utuk setip K berlku x x <. Perhtik bhw cx x = cx x + x x cx x + x x = x c + x x Kre (x ) x, mk (x ) terbts, yitu terdpt M > 0 sedemiki higg x M, utuk semu N. Akibty x c + x x < M. c + ε = (M. c ) + ε < ε Terbukti bhw utuk setip ε > 0 terdpt K ϵn sedemiki higg utuk setip K berlku cx x < ε. Deg kt li, terbukti bhw cx cx Teorem..4. Jik X = (x ) x dz = (z ) z 0 deg z 0 utuk semu ϵn, mk X Z = X Z x z Bukti. Terlebih dhulu hrus dibuktik bhw =. Dimbil α = z, mk α > 0. Kre lim(z ) = z, mk terdpt K ϵn sedemiki higg utuk setip K berlku z z < α.megguk kibt Ketksm Segitig bhw α z z z z utuk K, yg berrti K. Oleh kre = = z z. utuk K, mk diperoleh z = z α z utuk Seljuty, diberik ε > 0, mk terdpt K N sedemiki higg jik K, mk z z < ε z. Jik dimbil K(ε) = mx{k, K }, mk < ε utuk semu K(ε). Kre berlku utuk sebrg ε > 0, mk terbukti bhw lim = tu Koverge ke. Megguk Teorem..3(ii) d deg megmbil Y sebgi bris, mk X. Y = x =. Teorem..5. Jik X = (x )bris bilg rel deg x 0 utuk semu N d (x ) x, mk x 0. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 3 (AC047)

33 Bukti. Dimbil ε = x > 0. Kre (x ) x, mk terdpt K N sedemiki higg utuk setip K berlku x x < ε ε < x x < ε x ε < x < x + ε x ( x) < x < x + ( x) x < x < 0. Kotrdiksi deg peryt bhw x 0, utuk semu N. Jdi, pegdi slh, yg ber dlh x 0. Teorem..6. Jik (x ) x, (y ) y, d x y utuk semu N, mk x y. Bukti. Diberik z = y x sehigg Z = (z ) = Y X d z 0 utuk semu N. Megguk Teorem..5 d..3 diperoleh bhw 0<lim Z = lim (y ) lim (x ) tu lim (x ) lim (y ) Jdi, terbukti bhw x y Teorm..7. Jik X=(x ) koverge ke x d jik x b utuk semu ε N, mk x b Bukti. Diberik Y bris kost (b, b, b, ). Megguk Teorem..6 diperoleh bhw lim X lim Y = b. Deg cr yg sm diperoleh lim X. Jdi, terbukti bhw lim X b tu x b. Berikut ii diberik sebuh teorem yg meytk bhw jik sutu bris Y berd (terselip) ditr du bris yg koverge ke titik yg sm, mk Y jug koverge ke titik yg sm. Teorem..8. (Squeeze Theorem)Diberik bris bilg rel X=(x ) Y=(y ), d Z=(z ) sedemiki higg x y z utuk semu ε N d lim (x ) = lim (z ). Mk Y koverge d Lim (x )=lim(y ) = lim (z ). Bukti. Mislk w:=lim(x ) = lim (z ). Jik diberik ε> 0, mk terdpt K N sedemiki higg utuk setip K berlku x w < ε d z w < ε, tu deg kt li ε < x w < ε d ε < z w < ε. Kre x y z, mk x w y w z w Akibty diperoleh bhw ε < y w < ε. Kre berlku utuk semu K d ε > 0, mk terbukti bhw lim (y ) = w. Teorem..9.JikX = (x ) x, mk X = ( x ) x. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 33 (AC047)

34 Bukti.Diberikε > 0.KreX = (x ) x, mkterdptk ε Nsedemikihiggutuksetip Kberlku x x < ε.meggukkibtketksmsegitig, diperolehbhwutuksetip ε Nberlku x x x x < ε. Jdi, diperolehbhw x x < ε, tu X = ( x ) x. Terorem..0.JikX = (x ) xdx 0, mkbrisbilg rel positifx x. Bukti.Meurutteorem..5 diperolehbhwx 0.Ak ditujukkbhwteoremberutukx = 0dx > 0. Ksus I:Jikx 0, diberikε > 0. Kre(x ) x = 0, mkterdptk ε Nsedemikihiggutuksetip Kberlku 0 x = x 0 < ε. Sehiggdiperolehbhw0 x < ε.kreberlkuutuksetipε > 0, mkterbuktibhwx x. Ksus II:Jikx > 0, mk x > 0. Diberikε > 0, mkterdptk ε Nsedemikihiggutuksetip Kberlku x x < ε.perhtikbhw x x = Krex + x x > 0, mkdiperoleh =. x x x x <. Kreberlkuutuksetipε > 0, mkterbuktibhwx x. Teorem...Jik(x )brisbilg rel (tegs) deglim = L (d) dl <, mk (x )kovergedlim(x ) = 0. Bukti.Dipilihr ε RsedemikihiggL < r <.Dimbilε = r L > 0.Krelim = L, mkterdptk ε Nsedemikihiggutuksetip Kberlku L < ε. Kre mk Sehiggdiperoleh L L, L < ε. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 34 (AC047)

35 Jdi, utuksetip Kberlku L < ε < ε + L < L + r L = r x < x r, 0 < x < x r < x r < x r < < x r = r. Jikdimbil, mkdiperoleh 0 < x < cr utuksemu K. Megigtbhwlim(r ) = 0(sebb0 < r < ), mk lim(r ) = 0 lim (r ) = 0 lim(x ) = 0 lim(x ) = 0. Jdi, terbuktibhw(x )kovergedlim(x ) = 0. SOAL LATIHAN SUBBAB.. Tetukpkhbrisberikutkovergetudiverge. () x := (b) x := (c) x := (). TujukbhwjikX d Y bris bilg rel sedemiki higg X d X + Y koverge, mk Y koverge. 3. Tujukkbhwbris(( ) ) tidk koverge. 4. Diberiky := + - utuk N. Tujukk bhw (y ) d ( y ) koverge. Crilh ili limity. 5. Jik> 0, b > 0, tujukk bhw lim + ( + b) =. 6. GukTeorem Squeeze (..8) utukmeetuk limit brisberikut. (). (b) (!). 7. Diberiksebuhcotohbriskoverge(x ) deg lim = 8. Diberikbrisbilg rel positifx = (x ) deg lim = L >. Tujukk bhw X tidk terbts d tidk koverge. 9. Diberik(x ) bris koverge (y ) sedemiki higg utuk sebrg ε > 0 terdpt M N sedemiki higg utuk setip Mberlku x y < ε. Apkh (y )koverge? 0. Tujukkbhwjik(x ) d (y ) bris koverge, mk bris (u ) d (v ) yg didefiisik deg u := mxx, x d v := mix, x koverge..3. BrisMooto Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 35 (AC047)

36 Berikut ii diberik pegerti megei bris ik d turu mooto. Defiisi.3..Diberik bris bilg rel X=(X ). (i) (ii) (iii) (iv) () (b) Bris X diktk ik (icresig) jikx x + utuk semu ε N Bris X diktk ik tegs (strictly icresig) jik x < x + utuk semu ε N Bris X diktk turu (decresig) jikx x + utuk semu ε N Bris X diktk turu tegs (strictly decresig) jikx > x + utuk semu ε N Defiisi.3..Bris X = (X ) diktk mooto jik berlku slh stu X ik tu X turu. Cotoh.3.3. Brisberikutiiik (mooto). (i) (,,3,4,...,,...). (ii) (,,,3,3,3,...). (iii) (,, 3, 4,...,,...). Brisberikutiituru (momoto). (i),,,,,. (c) (ii),,,,,,. (iii) (b,b,b 3,b 4,...,b,...). jik 0 < b < Brisberikutiitidkmooto. (i) (+,-,+,...,(-) +,...). (ii) (-,+,-3,+4,...) Teorem Kovergesi Mooto () Jik X ( x ) ik ( mooto) d terbts ke ts, mk X x koverge deg lim( x ) sup{ x : N}. (b) Jik X x ) turu mooto d terbts kebwh, mk deg Bukti. ( koverge x lim x if { x : N}. () Kre X x ) terbts ke ts, mk terdpt M N sedemiki higg x M ( utuk semu N. Nmk A = {x : N}, mk A R, terbts ke ts d tidk koso. Meurut Sift Legkp R, mk supremum A d, mk x = sup A. Dimbil ε > 0, mk terdpt K N sedemiki higg x ε < x x. kre X ik mooto, mk utuk K berlku Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 36 (AC047)

37 Atu x ε < x x x < x + ε x ε < x < x + ε x x < ε. Jdi, terbukti bhw X = (x ) koverge ke x = lim(x ) = sup{x : εn}. (b) Guk cr yg hmpei sm deg pembukti (). Cotoh.3.5. dikethui bris (y ) deg y = d y = + y,. Apkh (y ) koverge? Jik y, tetuk (y ). Jwb. Ak ditujukk megguk iduksi bhw (y ) ik mooto. Utuk =, diperoleh y = + = 3 (ber). Mislk ber utuk = k, yitu y = + y, y y. Ak dibuktik ber utuk = k +, yitu y = + y + y = y. Berrti ber utuk = k+. Jdi, meurut iduksi ( y ) ik mooto. Seljuty, ditujukk bhw ( y ) terbts ke ts (oleh 3), yitu y 3, utuk semu N. Utuk = ber, sebb y = 3. Mislk ber utuk = k, yitu y k 3. Mk y k+ = +y k +3 = 5 3 yg berrti ber utuk = k+. Jdi, meurut iduksi terbukti bhw y 3, utuk semu N. Kre ( y ) ik mooto d terbts ke ts, mk meurut Teorem.3.4 bris ( y ) koverge. Mislk y = lim( y ), mk diperoleh y = + y y = + y y y = 0 (y )(y + ) = 0. Diperoleh y = tu y =. Utuk y = jels tidk mugki, sebb y 3 utuk semu N. Jdi, terbukti bhw ( y ) koverge d lim( y ) =. SOAL LATIHAN SUBBAB.3. Diberik x > d x + = mooto. Crilh ili limity. utuk N. Tujukk bhw ( x ) terbts d. Diberik x d x + = + x utuk N. Tujukk bhw ( x ) turu d terbts ke bwh oleh. Crilh ili limity. 3. Diberik A R tk berhigg yg terbts ke ts d mislk u = sup A. Tujukk bhw terdpt bris ik ( x ) deg x A utuk semu N sedemiki higg u = lim( x ). 4. Tetuk pkh bris ( y ) koverge tu diverge, deg y = utuk N. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 37 (AC047)

38 5. Diberik x :... utuk setip. Buktik bhw ( x ) ik d terbts, sehigg ( x ) koverge. ( Petujuk : Jik k, mk ). k k ( k ) k k 6. Tetuk kovergesi d hituglh limit bris berikut. () (b) (c) (d).4 Bris Bgi Pd bgi ii k diberik kosep bris bgi (subsequeces) dri sutu bris bilg rel. Deiisi.4.. Diberik bris bilg rel X x d diberik bris bilg Bris X ' sli ik tegs k bgi tu sub bris (subsequeces) dri X. Cotoh.4.. Diberik :,,,...,, X ' (i) Bris X,,,...,,... merupk bris bgi dri X. 4 6 ' (ii) Bris X,,,,... merupk bris bgi dri X x k deg disebut deg bris ' (iii) Bris X 3,,,,... buk bris bgi dri X, sebb Teorem.4.3. Jik X x koverge ke x, mk setip bris bgi X ' x k X jug koverge ke x. Bukti. Dimbil 0. Kre x x, mk terdpt K N setip utuk setip dri sedemiki higg utuk K berlku x x. Kre utuk setip N berlku k k, mk K berlku k K Terbukti bhw X k ' koverge ke x. x k. Sehigg x k x. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 38 (AC047)

39 Teorem.4.4. Diberik bris bilg rel X x, mk peryt berikut ii ekuivle. (i). Bris x X tidk koverge ke x R. (ii). Ad 0 sedemiki higg utuk sebrg k N, terdpt k N sedemik 0 higg k k d xk x 0. (iii). Ad 0 d sutu bris bgi X 0 semu k N. Bukti. ii Jik x x k ' sedemiki higg x k x 0 utuk i tidk koverge ke x, mk utuk sutu 0 tidk mugki ditemuk kn sedemiki higg utuk setip k k berlku x k x 0 tidk ber bhw utuk setip utuk setip k N, k memeuhi x k x 0 k N terdpt k N sedemiki higg k k d x k x Akibty. Deg kt li, (ii) (iii) Diberikε > 0 sehigg memeuhi (ii) d diberik N sedemiki higg d X ε. Seljuty diberik N sedemiki higg > d X ε. Demiki seterusy sehigg diperoleh sutu bris bgix = (x ) sehigg berlku X ε utuk semu k N. iii) (i) mislkx = (x )mempuyi bris bgi X = (x ) yg memeuhi sift (iii). Mk X tidk koverge ke x, sebb jik koverge ke x, mk X = x jug koverge ke x. Hl iitidkmugki, sebbx = (x ) tidk berd dlm persekitr V (). Teorem.4.5.(KriteriDivergesi)jikbrisbilg rel X = (x ) memeuhi slh stu dri sift berikut, mk bris X diverge. (i) X mempuyidubrisbgikovergex = (x ) d X = (x ) deg limit keduy tidk sm. (ii) X tidkterbts. Cotoh.4.6.Tujukkbhwbris(,, 3,, )diverge. Jwb.Nmkbris di tsdegy = (y ), deg y = jik gep, d y = jik gjil.jels bhw Y tidk terbts.jdi, bris Y = (y )diverge. Berikut ii sebuh teorem yg meytk bhw bris bilg rel X = (x ) psti mempuyi bris bgi yg mooto. Utuk membuktik teorem ii, Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 39 (AC047)

40 diberik pegerti puck (pek), x disebut puck jik x = x utuk semu sedemiki higg m. Titik x tidk perh didhului oleh sembrg Eleme bris setelhy. Perhtik bhw bris pd bris yg meuru, setip eleme dlh puck, tetpi pd bris yg ik, tidk d eleme yg mejdi puck TeoremBrisBgiMootoJikX = (x )bris bilg rel, mk terdpt bris bgi dri X yg mooto. Bukti.Pembukti dibgi mejdi du ksus, yitu X mempuyitkhiggbykpuck, d X mempuyiberhiggbykpuck. Ksus I: X mempuyitkhiggbykpuck. Tulissemupuckberurutik, yitux, x,,x,. Mkx x x,. oleh kre itu, (x ) merupk bgi bris yg turu (mooto). Ksus II: X mempuyiberhiggbykpuck.tulissemupuckberurutik, yitux, x,, x,.mislk s m + dlh ideks pertm dri puck yg terkhir. Kre x buk puck, mk terdpt s > s sedemikihiggx < x. Jik proses ii diterusk, diperoleh bris bgi (x ) yg ik (mooto). Teorem.4.8 (Bolzo-Weierstrss) Setipbilg rel yg terbtspstimemutbrisbgi yg koverge. Bukti.Diberikbrisbilg rel terbtsx = (x ). Nmk S = {x : N} rge bris, mk S mugki berhigg tu tk berhigg. Ksus I: Dikethui S berhigg. Mislk= {x, x,, x }, mk terdpt m N deg m d bris(r : k N) deg r r r. sehigg x = x = = x, hl ii berrti terdpt bris bgi (x : k N) yg koverge ke x. Ksus II:Kre S tkberhiggdterbts, mk S mempuyititik cluster tutitik limit, mk x titik limit S. MislkU k x, x persekitrtitik x. k k Utuk k, mkterdpt x S U, xr x sedemikihigg x r x. r Utuk k,mkterdpt xr S U, xr x sedemikihigg x r x. Utuk k 3, mkterdpt xr S U 3, xr x sedemikihigg Demikiseterusy, Utuk k,mkterdpt x S U, x x sedemikihigg r r 3 3 xr x r x. 3 3 sehiggdiperoleh: x. Pegtr lisis rel I You ll ever kow till you hve tried 40 (AC047)