RELASI. Matriks. Matriks. Relasi & Fungsi 10/6/2011. Sesi 06

Transkripsi

1 // Sesi Relsi & Fungsi RELASI Mtriks Mtriks dlh dlh susunn sklr elemen-elemen dlm bentuk bris dn kolom. Mtriks A yng berukurn dri m bris dn n kolom (m n) dlh: Mtriks bujursngkr dlh mtriks yng berukurn n n. Dlm prktek, kit lzim menuliskn mtriks dengn notsi ringks A = [ ij ]. Contoh Di bwh ini dlh mtriks yng berukurn : = mn m m n n A L M M M L L = A Mtriks Mtriks simetri dlh mtriks yng ij = ji untuk setip i dn j. Contoh Di bwh ini dlh contoh mtriks simetri. Mtriks zero-one (/) dlh mtriks yng setip elemenny hny bernili tu. Contoh Di bwh ini dlh contoh mtriks /: 8 7 7

2 // Crtesin Product Contoh Crtesin Product Produk krtesis dri himpunn S dn himpunn T dlh himpunn S xt berikut ini. Produk krtesis Psngn terurut/ dri S dn T ordered tuple (b,c) S xt = { (b, c) l b S c T } b nggot himpunn S c nggot himpunn T S = {,, } T = {, b} S x T =? b SxT = { (,), (,b), (,), (,b), (,), (,b) } T x S =? b TxS = { (,), (,), (,), (b,), (b,), (b,) } 5 7 Relsi Relsi ntr himpunn A dn himpunn B dlh himpunn bgin dri produk krtesis A x B Himpunn A disebut derh sl (domin) dri R, dn himpunn B disebut derh hsil (rnge) dri R. Relsi ntr himpunn disebut jug relsi biner R:AxB menytkn bhw R merupkn relsi biner dri A ke B R:AxB AxB R b dlh notsi untuk (, b) R, yng rtiny dihubungnkn dengn b oleh R R b dlh notsi untuk (, b) R, yng rtiny tidk dihubungkn oleh b oleh relsi R. 8 Contoh Relsi Biner Diberikn himpunn S = {,} dn T = {,b} Butlh semu relsi yng mungkin dri himpunn S dn T Jwb: S x T = {(,), (,b), (,), (,b)} Setip himpunn bgin dri S x T merupkn sebuh relsi ntr S dn T. Mk dpt dibut = relsi ntr S dn T. R = φ R 7 = {(, ), (, )} R = {(, ), (, b), (, b)} R = {(, )} R 8 = {(, ), (, b)} R = {(, ), (, ), (, b)} R = {(, b)} R 9 = {(, b), (, )} R 5 = {(, b), (, ), (, b)} R = {(, )} R 5 = {(, b)} R = {(, ), (, b)} R = {(, b), (, b)} R = {(, ), (, b), (, ), (, b)} R = {(, ), (, b)} R = {(, ), (, b), (, )}

3 // Relsi pd Sebuh Himpunn Relsi (biner) dri himpunn A ke diriny sendiri disebut relsi pd himpunn A. Relsi pd himpunn A dlh relsi dri A A. Relsi pd himpunn A dlh himpunn bgin dri A A. Contoh: Pd himpunn B = {,, 9, } dibut relsi ADD5 dengn definisi : ADD5 = { (x,y) x B y B y = x+5 } Mk ADD5 = { (,), (,7), (,8), (,9), (5,) } Mislkn R dlh relsi pd A = {,,, 8, 9} yng didefinisikn oleh (x, y) R jik x dlh fktor prim dri y. Mk R = {(, ), (, ), (, 8), (, ), (, 9) 9 Domin dn Rnge Domin = derh sl relsi Domin dri R dinytkn dengn Dom.R Rnge = derh jeljh relsi Rnge dri R dinytkn dengn Rn. R Contoh: ρ = {(,), (,), (,), (9,), (,), (5,5)} Dom.ρ = {,,,9,,5} Rn. ρ = {,,,,,5} KD menytkn relsi keliptn du pd Z KD = {(b,c) b Z c Z b = c*} Dom.KD = {,,,, 8,,,, } Rn.KD = Z Representsi Relsi() Representsi Relsi dengn Digrm Pnh Representsi Relsi() Representsi Relsi dengn Mtriks Mislkn R dlh relsi dri A = {,,, m } dn B = {b, b,, b n }. Relsi R dpt disjikn dengn mtriks M = [m ij ], Representsi Relsi dengn Tbel : Kolom pertm tbel menytkn derh sl, sedngkn kolom kedu menytkn derh hsil yng dlm hl ini, m = ij, (, b ) R i (, b ) R i j j

4 // Representsi Relsi() Representsi Relsi() Representsi Relsi dengn Mtriks Contoh: A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF, IF5, IF, IF} Relsiny dpt dinytkn sebgi Representsi Relsi dengn Grf Berrh Relsi pd sebuh himpunn dpt direpresentsikn secr grfis dengn grf berrh (directed grph tu digrph) Grf berrh tidk didefinisikn untuk merepresentsikn relsi dri sutu himpunn ke himpunn lin Representsi Relsi dengn Grf Berrh Tip elemen himpunn dinytkn dengn sebuh titik (disebut jug simpul tu vertex), dn tip psngn terurut dinytkn dengn busur (rc) Jik (, b) R, mk sebuh busur dibut dri simpul ke simpul b. Simpul disebut simpul sl (initil vertex) dn simpul b disebut simpul tujun (terminl vertex). Psngn terurut (, ) dinytkn dengn busur dri simpul ke simpul sendiri. Busur semcm itu disebut gelng tu klng (loop). Contoh Mislkn R = {(, ), (, b), (b, ), (b, c), (b, d), (c, ), (c, d), (d, b)} dlh relsi pd himpunn {, b, c, d}. R direpresentsikn dengn grf berrh sbb: c d b Relsi Invers () Relsi Invers () Definisi: Jik M dlh mtriks yng merepresentsikn relsi R ρ dlh relsi invers driρjik (, b) ρ (b, ) ρ. Contoh: σ = { (,), (,b)} mk σ - = { (,), (b,)} ρ = { (, b) = b} mk ρ = { (b, ) b = } Beberp teorem pd relsi invers: Dom.(ρ ) = Rn.ρ Rn.(ρ ) = Dom.ρ Jikρdlh relsi ntr himpunn B dn himpunn C, mk ρ dlh sebuh relsi ntr C dn B. (ρ ) = ρ mk mtriks yng merepresentsikn relsi R, mislkn N, diperoleh dengn melkukn trnspose terhdp mtriks M ρ σ ρ σ

5 // 7 Sift-sift Relsi Biner Refleksif Kels Relsi Irrefleksif Simetri Anti Simetri Asimetri Trnsitif 8 Refleksif Sebuh relsi R pd A bersift refleksif jik A, berlku ( R ). Contoh: relsi kenl dengn bersift refleksif relsi menggumi tidk refleksif Relsi yng bersift refleksif mempunyi Mtriks yng elemen digonl utmny semu bernili, tu m ii =, untuk i =,,, n O Grf berrh dri relsi yng bersift refleksif dicirikn dny gelng pd setip simpulny Irrefleksif Sebuh relsi R pd A bersift irrefleksif jik A berlku ( R ) Contoh: relsi nk dri bersift irrefleksif Irrefleksif bukn berrti Tidk Refleksif!!! Contoh: A = {,b,c,d} ρ = { (,d), (b,c), (c,b), (d,d) } tidk refleksif dn jug tidk irrefleksif Refleksif, Irrefleksif Contoh relsi refleksif: =, `puny krdinlits sm,, <=, >=, Contoh relsi irrefleksif: <, >, `puny krdinlits berbed, 9 5

6 // Simetri Sebuh relsi R pd A bersift simetri jik A dn b A berlku R b b R Relsi R pd himpunn A disebut simetri jik untuk semu, b A, jik (, b) R, mk (b, ) R. Contoh: Relsi = pd Z bersift simetri, kren,b Z, berlku =b b= Relsi pd Z tidk simetri, kren Relsi yng bersift simetri mempunyi Mtriks yng elemen-elemen di bwh digonl utm merupkn pencerminn dri elemen-elemen di ts digonl utm, tu m ij = m ji =, untuk i =,,, n Asimetri Sebuh relsi R pd A bersift simetri jik, b A berlku R b (b R ) Relsi R pd himpunn A tidk setngkup jik (, b) R sedemikin sehingg (b, ) R Contoh: Relsi < pd Z bersift simetri, sebb b, c Z berlku b < c (c < b). Relsi pd Z tidk bersift simetri, sebb ( ) bernili flse. Grf berrh dri relsi yng bersift setngkup dicirikn oleh: jik d busur dri ke b, mk jug d busur dri b ke Antisimetri Sebuh relsi R pd A bersift ntisimetri jik A dn b A berlku R b b R = b Relsi R pd himpunn A disebut ntisimetri jik untuk semu, b A, (, b) R dn (b, ) R hny jik = b Contoh: Relsi < pd Z bersift ntisimetri, kren b,c Z berlku b < c c < b b = c. Relsi pd Z tidk bersift ntisimetri, kren = bernili flse. Relsi yng bersift ntisimetri mempunyi Mtriks m ij dengn m ij = dengn i j, mk m ji = tu jik slh stu dri m ij = tu m ji = bil i j Grf berrh dri relsi yng bersift tolk-setngkup dicirikn oleh: jik dn hny jik tidk pernh d du busur dlm rh berlwnn ntr du simpul berbed Trnsitif Sebuh relsi R pd A bersift bersift trnsitif jik,b,c A berlku R b b R c R c Relsi R pd himpunn A disebut menghntr jik (, b) R dn (b, c) R, mk (, c) R, untuk, b, c A Relsi < pd Z bersift trnsitif, sebb,b,c Z berlku jik < b dn b < c mk < c.

7 // Cr mengecek sift relsi Bgimn cr mengecek sift refleksif? But gmbr dri relsi (disebut grf ) Setip elemen himpunn digmbrkn sebgi verteks Setip elemen relsi digmbrkn sebgi edge Contoh: R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Cr mengecek sift relsi Bgimn cr mengecek sift irrefleksif? Gmbrkn grf dri relsi Contoh: R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Hrus d LOOP di SETIAP verteks Tidk boleh d loop di sebuh verteks 5 Cr mengecek sift relsi Bgimn cr mengecek sift simetri? But grf dri relsi Contoh: R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} Cr mengecek sift relsi Bgimn cr mengecek sift trnsitif? But grf dri relsi Contoh: R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} SETIAP edge hrus puny edge blik. Untuk SETIAP LINTASAN dg pnjng, hrus d short cut 7 8 7

8 // 9 Cr mengecek sift relsi Bgimn cr mengecek sift ntisimetri? But grf dri relsi Contoh: R = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} TIDAK ADA edge yng memiliki edge blik Mengkombinsikn Relsi () Kren relsi biner merupkn himpunn psngn terurut, mk opersi himpunn seperti irisn, gbungn, selisih, dn Symmetric Difference ntr du relsi tu lebih jug berlku. Jik R dn R msing-msing dlh relsi dri himpun A ke himpunn B, mk R R, R R, R R, dn R R jug dlh relsi dri A ke B. Contoh : Mislkn A = {, b, c} dn B = {, b, c, d}. R = {(, ), (b, b), (c, c)} dn R = {(, ), (, b), (, c), (, d)} R R = {(, )} R R = {(, ), (b, b), (c, c), (, b), (, c), (, d)} R R = {(b, b), (c, c)} R R = {(, b), (, c), (, d)} R R = {(b, b), (c, c), (, b), (, c), (, d)} Mengkombinsikn Relsi () Jik relsi R dn R msing-msing dinytkn dengn mtriks M R dn M R, mk mtriks yng menytkn gbungn dn irisn dri kedu relsi tersebut dlh M R R = M R M R dn M R R = M R M R Contoh : Mislkn bhw relsi R dn R pd himpunn A dinytkn oleh mtriks mk Komposisi Relsi () Mislkn R dlh relsi dri himpunn A ke himpunn B, dn S dlh relsi dri himpunn B ke himpunn C. Komposisi R dn S, dinotsikn dengn S ο R, dlh relsi dri A ke C yng didefinisikn oleh S ο R = {(, c) A, c C, dn untuk beberp b B, (, b) R dn (b, c) S } Contoh: Mislkn R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 8)} dlh relsi dri himpunn {,, } ke himpunn {,,, 8} dn S = {(, u), (, s), (, t), (, t), (8, u)} dlh relsi dri himpunn {,,, 8} ke himpunn {s, t, u}. Mk komposisi relsi R dn S dlh S ο R = {(, u), (, t), (, s), (, t), (, s), (, t), (, u) } 8

9 // Komposisi Relsi () Contoh (lnjutn) Komposisi relsi R dn S lebih jels jik dipergkn dengn digrm pnh: 8 Jik relsi R dn R msing-msing dinytkn dengn mtriks M R dn M R, mk mtriks yng menytkn komposisi dri kedu relsi tersebut dlh s t u Komposisi Relsi () Contoh Mislkn bhw relsi R dn R pd himpunn A dinytkn oleh mtriks mk mtriks yng menytkn R ο R dlh M R ο R = M R. M R M R ο R = M R M R yng dlm hl ini opertor. sm seperti pd perklin mtriks bis, tetpi dengn menggnti tnd kli dengn dn tnd tmbh dengn Relsi n-ry () Relsi n-ry () 5 Relsi biner hny menghubungkn ntr du buh himpunn. Relsi yng lebih umum menghubungkn lebih dri du buh himpunn. Relsi tersebut dinmkn relsi n-ry (bc: ener). Jik n =, mk relsiny dinmkn relsi biner (bi = ). Relsi n-ry mempunyi terpn penting di dlm bsis dt. Mislkn A, A,, A n dlh himpunn. Relsi n-ry R pd himpunn-himpunn tersebut dlh himpunn bgin dri A A A n, tu dengn notsi R A A A n. Himpunn A, A,, A n disebut derh sl relsi dn n disebut derjt. Contoh Mislkn NIM = {,, 5, 9,, 5}; Nm = {Amir, Snti, Irwn, Ahmd, Cecep, Hmdn}; MtKul = {MATDIS, ALGO, STRUKDAT, ARKOM}; Nili = {A, B, C, D, E} Relsi MHS terdiri dri 5-tupel (NIM, Nm, MtKul, Nili): MHS NIM Nm MtKul Nili Stu contoh relsi yng bernm MHS dlh MHS = {(, Amir, MATDIS, A), (, Amir, ARKOM, B), (, Snti, ARKOM, D), (5, Irwn, ALGO, C), (5, Irwn, STRUKDAT C), (5, Irwn, ARKOM, B), (9, Ahmd, ALGO, E), (, Cecep, ALGO, A), (, Cecep, ARKOM, B), (5, Hmdn, MATDIS, B), (5, Hmdn, ALGO, A, B), (5, Hmdn, STRUKDAT, C), (5, Hmdn, ARKOM, B) } 9

10 // Relsi n-ry () Contoh (lnjutn) Relsi MHS di ts jug dpt ditulis dlm bentuktbel Relsi n-ry () Intro Bsis Dt Bsis dt (dtbse) dlh kumpuln tbel. Slh stu model bsisdt dlh model bsis dt relsionl (reltionl dtbse). Model bsis dt ini didsrkn pd konsep relsi n-ry. Pd bsis dt relsionl, stu tbel menytkn stu relsi. Setip kolom pd tbel disebut tribut. Derh sl dri tribut dlh himpunn tempt semu nggot tribut tersebut berd. Setip tbel pd bsis dt diimplementsikn secr fisik sebgi sebuh file. Stu bris dt pd tbel menytkn sebuh record, dn setip tribut menytkn sebuh field. Atribut khusus pd tbel yng mengidentifiksikn secr unik elemen relsi disebut kunci (key). Opersi yng dilkukn terhdp bsis dt dilkukn dengn perinth pertnyn yng disebut query 7 8 Relsi n-ry (5) Relsi n-ry (5) 9 Intro Bsis Dt (Lnjutn) Query terhdp bsisdt relsionl dpt dinytkn secr bstrk dengn opersi pd relsi n-ry. Ad beberp opersi yng dpt digunkn, dintrny dlh seleksi, Opersi seleksi memilih bris tertentu dri sutu tbel yng memenuhi persyrtn tertentu. Opertor: σ Contoh : Mislkn untuk relsi MHS kit ingin menmpilkn dftr mhsisw yng mengmbil mt kulih Mtemtik Diskrit. Opersi seleksiny dlh σ Mtkul= MATDIS (MHS) Hsil: (, Amir, MATDIS, A) dn (5, Hmdn, MATDIS, B) Intro Bsis Dt (Lnjutn) proyeksi Opersi proyeksi memilih kolom tertentu dri sutu tbel. Jik d beberp bris yng sm niliny, mk hny dimbil stu kli. Opertor: π Contoh : π NIM, Nm (MHS)

11 // Relsi n-ry () Intro Bsis Dt (Lnjutn) Join Opersi join menggbungkn du buh tbel menjdi stu bil kedu tbel mempunyi tribut yng sm. Opertor: τ Contoh : MHS MHS FUNGSI τ NIM, Nm (MHS, MHS) Fungsi () Mislkn A dn B himpunn. Relsi biner f dri A ke B merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm A dihubungkn dengn tept stu elemen di dlm B. Jik f dlh fungsi dri A ke B kit menuliskn f : A B yng rtiny f memetkn A ke B. A disebut derh sl (domin) dri f dn B disebut derh hsil (codomin) dri f. Nm lin untuk fungsi dlh pemetn tu trnsformsi. Fungsi () Kit menuliskn f() = b jik elemen di dlm A dihubungkn dengn elemen b di dlm B. Jik f() = b, mk b dinmkn byngn (imge) dri dn dinmkn pr-byngn (pre-imge) dri b. Himpunn yng berisi semu nili pemetn f disebut jeljh (rnge) dri f. Perhtikn bhw jeljh dri f dlh himpunn bgin (mungkin proper subset) dri B. A f B b

12 // 5 Fungsi () Fungsi dlh relsi yng khusus: Tip elemen di dlm himpunn A hrus digunkn oleh prosedur tu kidh yng mendefinisikn f. Frs dihubungkn dengn tept stu elemen di dlm B berrti bhw jik (, b) f dn (, c) f, mk b = c. Bentuk Fungsi () Himpunn psngn terurut relsi. Contoh f = {(, u), (, v), (, w)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} dlh fungsi dri A ke B. Di sini f() = u, f() = v, dn f() = w. Derh sl dri f dlh A dn derh hsil dlh B. Jeljh dri f dlh {u, v, w}, yng dlm hl ini sm dengn himpunn B. f = {(, u), (, u), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} dlh fungsi dri A ke B, meskipun u merupkn byngn dri du elemen A. Derh sl fungsi dlh A, derh hsilny dlh B, dn jeljh fungsi dlh {u, v} f = {(, u), (, v), (, w)} dri A = {,,, } ke B = {u, v, w} bukn fungsi, kren tidk semu elemen A dipetkn ke B f = {(, u), (, v), (, v), (, w)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} bukn fungsi, kren dipetkn ke du buh elemen B, yitu u dn v Bentuk Fungsi () Fungsi Stu ke Stu () 7 Formul pengisin nili (ssignment). Contoh: f(x) = x +, f(x) = x, dn f(x) = /x. Kt-kt Contoh: f dlh fungsi yng memetkn jumlh bit di dlm sutu string biner. Kode progrm (source code) Contoh: Fungsi menghitung x function bs(x:integer):integer { if x < then bs:=-x Else bs:=x; } 8 Fungsi f diktkn stu-ke-stu (one-to-one) tu injektif (injective) jik tidk d du elemen himpunn A yng memiliki byngn sm Contoh f = {(, w), (, u), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w, x} dlh fungsi stu-ke-stu, f = {(, u), (, u), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} bukn fungsi stu-ke-stu, kren f() = f() = u.

13 // Fungsi Stu ke Stu () Contoh (lnjutn) Mislkn f : Z Z. Tentukn pkh f(x) = x + dn f(x) = x merupkn fungsi stu-ke-stu? Penyelesin: f(x) = x + bukn fungsi stu-ke-stu, kren untuk du x yng bernili mutlk sm tetpi tndny berbed nili fungsiny sm, mislny f() = f(-) = 5 pdhl. f(x) = x dlh fungsi stu-ke-stu kren untuk b, b. Mislny untuk x =, f() = dn untuk x = -, f(-) = - Fungsi pd (onto) () Fungsi f diktkn dipetkn pd (onto) tu surjektif (surjective) jik setip elemen himpunn B merupkn byngn dri stu tu lebih elemen himpunn A. Dengn kt lin seluruh elemen B merupkn jeljh dri f. Fungsi f disebut fungsi pd himpunn B. 9 5 Fungsi pd (onto) () Fungsi berkoresponden stu-ke kestu tu bijeksi (bijection) 5 Contoh f = {(, u), (, u), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} bukn fungsi pd kren w tidk termsuk jeljh dri f. f = {(, w), (, u), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} merupkn fungsi pd kren semu nggot B merupkn jeljh dri f. Mislkn f : Z Z. Tentukn pkh f(x) = x + dn f(x) = x merupkn fungsi pd? Penyelesin: f(x) = x + bukn fungsi pd, kren tidk semu nili bilngn bult merupkn jeljh dri f. f(x) = x dlh fungsi pd kren untuk setip bilngn bult y, sellu d nili x yng memenuhi, yitu y = x kn dipenuhi untuk x = y +. 5 Fungsi f diktkn berkoresponden stu-ke-stu tu bijeksi (bijection) jik i fungsi stu-ke-stu dn jug fungsi pd Contoh Fungsi f = {(, u), (, w), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} dlh fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, kren f dlh fungsi stu-ke-stu mupun fungsi pd. Fungsi f(x) = x merupkn fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, kren f dlh fungsi stu-ke-stu mupun fungsi pd

14 // Fungsi Blikn (Invers) () Jik f dlh fungsi berkoresponden stu-ke-stu dri A ke B, mk kit dpt menemukn blikn (invers) dri f. Blikn fungsi dilmbngkn dengn f. Mislkn dlh nggot himpunn A dn b dlh nggot himpunn B, mk f - (b) = jik f() = b. Fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu sering dinmkn jug fungsi yng invertible (dpt diblikkn), kren kit dpt mendefinisikn fungsi bliknny. Sebuh fungsi diktkn not invertible (tidk dpt diblikkn) jik i bukn fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, kren fungsi bliknny tidk d Fungsi Blikn (Invers) () Contoh f = {(, u), (, w), (, v)} dri A = {,, } ke B = {u, v, w} dlh fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu. Blikn fungsi f dlh f - = {(u, ), (w, ), (v, )} Jdi, f dlh fungsi invertible. Tentukn blikn fungsi f(x) = x. Penyelesin: Fungsi f(x) = x dlh fungsi yng berkoresponden stu-ke-stu, jdi blikn fungsi tersebut d. Mislkn f(x) = y, sehingg y = x, mk x = y +. Jdi, blikn fungsi bliknny dlh f - (y) = y +. Tentukn blikn fungsi f(x) = x +. Penyelesin: f(x) = x + bukn fungsi yng berkoresponden stu-kestu, sehingg fungsi bliknny tidk d. Jdi, f(x) = x + dlh funsgi yng not invertible. 5 Komposisi Du Buh Fungsi () Mislkn g dlh fungsi dri himpunn A ke himpunn B, dn f dlh fungsi dri himpunn B ke himpunn C. Komposisi f dn g, dinotsikn dengn f ο g, dlh fungsi dri A ke C yng didefinisikn oleh (f ο g)() = f(g()) Contoh Diberikn fungsi g = {(, u), (, u), (, v)} yng memetkn A = {,, } ke B = {u, v, w}, dn fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yng memetkn B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dri A ke C dlh f ο g = {(, y), (, y), (, x) }

15 // 57 Komposisi Du Buh Fungsi () Contoh (lnjutn) Diberikn fungsi f(x) = x dn g(x) = x +. Tentukn f ο g dn g ο f. Penyelesin: (f ο g)(x) = f(g(x)) = f(x + ) = x + = x. (g ο f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) + = x - x + 58 Fungsi-Fungsi Khusus () Fungsi Floor dn Ceiling Mislkn x dlh bilngn riil, berrti x berd di ntr du bilngn bult. Fungsi floor dri x: x menytkn nili bilngn bult terbesr yng lebih kecil tu sm dengn x Fungsi ceiling dri x: x menytkn bilngn bult terkecil yng lebih besr tu sm dengn x Dengn kt lin, fungsi floor membultkn x ke bwh, sedngkn fungsi ceiling membultkn x ke ts Contoh.5 =.5 =.5 =.5 =.8 =.8 = 5.5 =.5 =.5 = Fungsi-Fungsi Khusus () Fungsi-Fungsi Khusus () Fungsi modulo Mislkn dlh sembrng bilngn bult dn m dlh bilngn bult positif. mod m memberikn sis pembgin bilngn bult bil dibgi dengn m mod m = r sedemikin sehingg = mq + r, dengn r < m. Contoh 5 mod 7 = 5 mod = mod 5 = mod 5 = 5 5 mod 7 = (sebb 5 = 7 ( ) + ) Fungsi Fktoril, n = n! = L. ( n ) n, n > Fungsi Eksponensil n, n = n =, n > L = n n Fungsi Logritmik 59 5

16 // Fungsi-Fungsi Khusus () Fungsi Rekursif Fungsi f diktkn fungsi rekursif jik definisi fungsiny mengcu pd diriny sendiri. Contoh: n! = (n ) n = (n )! n. Fungsi rekursif disusun oleh du bgin: Bsis : Bgin yng berisi nili wl yng tidk mengcu pd diriny sendiri. Bgin ini jug sekligus menghentikn definisi rekursif. Rekurens : Bgin ini mendefinisikn rgumen fungsi dlm terminologi diriny sendiri. Setip kli fungsi mengcu pd diriny sendiri, rgumen dri fungsi hrus lebih dekt ke nili wl (bsis) Referensi. Rinldi Munir.. Mteri Kulih Mtemtik Diskrit.Informtik- ITB.Bndung. Rinldi Munir.. Mtemtik Diskrit.Informtik.Bndung. -.. Mtemtik Diskrit.UPN Vetern.Jkrt n! = n ( n )!, n =, n > Bsis Rekurens