I PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 I PENDAHULUAN 11 Ltr Belkng Pd kondisi-kondisi tertentu keheterogenn unit percobn tidk bis dikendlikn hny dengn pengelompokkn stu sisi kergmn unit-unit percobn nmun memerlukn penngnn yng lebih kompleks Kondisi ini tentuny memerlukn bentuk rncngn yng lin Slh stu rncngn yng mmpu mengendlikn komponen kergmn unit-unit percobn lebih dri stu sisi komponen dlh rncngn ltin (ltin squre) Tulisn ini menwrkn prosedur sederhn yng dpt digunkn untuk membngun sekuen (rngkin) dri petemun berpsng-psngn dintr pelku yng bersl dri populsi yng finite (terbts) dengn menggunkn rncngn ltin tersebut Proses pertemun yng dipeljri memiliki du sift, pertm rngkin dri pertemun tersebut dlh eksogen yng berrti bhw setip pelku bertemu dengn pelku yng lin tept stu kli Kedu, dlm setip periode proses ini memksimumkn bnykny dri pemsngn dlm populsi Dlm ilmu ekonomi proses pertemun berpsng-psngn dengn sift ini digunkn untuk meytkn konsep dri persingn dgng secr eksplisit Dlm mengembngkn prosedur untuk menciptkn rngkin pemsngn yng diinginkn digunkn bentuk khusus dri permutsi yng disebut involusi Dengn memnftkn beberp hsil mtemtis dri ltin, lsn untuk bekerj dengn objek mtemtik ini dlh proses pemsngn yng merupkn cr untuk membgi populsi X ke dlm himpunn gen-gen yng disjoint secr berulngulng Kren dikethui bhw pertemun yng dipndng dlh bilterl, mk proses pemsngn dpt diliht sebgi rngkin involusi dri X ke X 12 Tujun Adpun tujun dri penulisn mklh ini dlh memsngkn gen stu dengn gen linny dlm populsi yng terbts di mn setip gen bertemu dengn gen linny tept stu kli dengn mempergkn bgimn membngun ltin sedemikin rup sehingg setip bris, pd wlny dlh involusi dri bris pertm yng khirny didptkn sutu mtriks pemdnn II LANDASAN TEORI 21 Mtriks Mtriks dlh kumpuln bilngn yng disusun dlm bentuk persegi pnjng tu bujur sngkr yng tersusun dlm bris dn kolom Ukurn tu ordo dri sutu mtriks ditentukn oleh bnykny bris dn kolom yng membentukny Secr umum mtriks dpt ditulis sebgi berikut = elemen mtrik A yng terletk pd bris ke-i, kolom ke-j ; i=1,2,,m ; j=1,2,,n = ukurn tu ordo mtriks A, yitu L n A L = M M O M m1 m2 L mn [Leon 2001] 22 Bujursngkr Ltin Definisi 1 (Bujursngkr Ltin) Dikethui d n symbol berbed, ltin dlh mtriks dengn entri simbol-simbol yng dikethui yng disusun sedemikin rup sehingg setip simbol muncul tept stu kli dlm setip bris dn kolom Contoh 1 : Diberikn himpunn simbol-simbol {1, 2, 3, 4} dn {@, #, $, &}, mtriks # $ & $ # dn # $ # $ dlh du contoh dri ltin Tentu sj bil dikethui himpunn n simbol,

2 secr umum dpt diperoleh bnyk ltin yng berbed, dn jug bnykny ltin yng terbentuk kn semkin bertmbh bergntung pd n Wlupun ltin telh dipeljri secr rinci dlm mtemtik bnykny ltin yng d telh dihitung hny untuk 10 Dikethui himpunn populsi 1,, dengn n gen Ad tig prosedur pembngunn ltin yng msing-msing menghsilkn mtriks yng spesifik 221 Konstruksi Bujursngkr Ltin 1 Bujursngkr ltin ini dinotsikn dengn dn bris pertmny dlh vektor (1, 2,, n) Bris linny dri dihsilkn secr rekursif dengn cr menggeser stu tempt ke kiri bris yng sebelumny secr siklik Yng berrti bris kedu diperoleh dengn cr menggeser bris pertm stu tempt ke kiri, dlm contoh di ts bris kedu dlh (2, 3,, n, 1) dn bris ke tig dlh vektor (3, 4,, n, 1, 2) Dengn demikin dlh mtriks seperti berikut : 1 2 n 2 n L n 1 n L n 1 2 M M O M M M n 1 n L n 4 n 3 n 2 n 1 n 3 n 2 n 1 L Jik menggunkn notsi stndr untuk ltin ini mk setip entri diberikn formul sebgi berikut: j jik i = 1 dn 1 j n = i+ j 1 nχy( i+ j 1) = i+ j 1 jiki 2 dn i j n i+ 1 j ( n i) 1 jik i 2 dn n i+ 2 j n di mn χy : N {0,1} dlh fungsi krkteristik dri himpunn 1, 2, dengn χy( k) = 1jik k Ydn χy( k) = 0 jik k Y Contoh 2 St 4 konstruksi ini kn menghsilkn ltin L = Konstruksi Bujursngkr Ltin 2 Mislkn notsi untuk ltin ini dlh Mtriks ini memiliki bris pertm (1, 2,, n) dn konstruksiny dibut secr rekursif tept seperti cr pertm, tetpi stu-stuny perbedn terletk pd cr penggesernny yng ke rh knn bukn ke rh kiri Hl ini berrti bris kedu dri diperoleh dengn cr menggeser bris pertm ke knn secr siklik, dlm contoh, bris ke du dlh vektor (n, 1,, n-2, n-1), dn bris ketig dlh vektor (n-1, n, 1,, n-2), dn seterusny Bujursngkr ltin yng terbentuk dlh 1 2 L n 2 n 1 n 1 L n 3 n 2 n 1 + n 1 n L n 4 n 3 n 2 L = M M O M M M 3 4 L n n 1 n 1 L Dengn notsi mk formul untuk entri dri dlh j jik i= 1dn1 j n = n+ 1 + j i nχy( n+ 1+ j 1) = ( n i) + j+ 1 jik i 2 dn1 j i 1 j i+ 1 jik i 2 dn i j n

3 Contoh 3 Di mn st 4 kit mendptkn ini sebnyk 1 mk diperoleh ltin seperti berikut : L + = Konstruksi Bujursngkr Ltin 3 Bujursngkr ltin dinotsikn dengn di mn bris pertm dlh (n, n-1, 1) dn bris linny dibentuk dengn cr mengikuti prosedur rekursif dengn cr menggeser bris pertm stu tempt ke kiri, sehingg bris ke du yng terbentuk dlh (n-1,n-2,, 1, n) Dengn mengulng proses n n 1 L 2 1 n 1 n 2 L 1 n M M O M M L = n 1+ i n i L n i+ 3 n i+ 2 M M O M M 2 1 M n M 3 2 Dengn mk formul untuk entri dri L dlh n+ 1 j jik i= 1dn1 j n = n+ 1 ( i+ j 1) + nχy( i+ j 1) = n+ 2 i j jiki 2dn1 j n i+ 1 2n i+ 2 j jiki 2dnn i+ 2 j n Contoh 4 St 4 ltin L dlh seperti berikut : L = Berdsrkn dri ketig konstruksi ltin di ts mk untuk sembrng populsi berukurn n terdpt beberp ltin yng dpt dibentuk ltin yng dpt dibentuk dri populsi berukurn n dpt diliht dri Tbel 1 berikut: Tbel 1 Bnyk ltin dri populsi berukurn n sebrng Ukurn Contoh A B C B C A A B C D B C D A A B C D E B A E C D A B C D E F B C F A D E A B C D E F G B C D E F G A ABCN BCDA ltin stndr C A B C D A B C D A E B C F B E A D C D E F G A B CDEB D A B C D E B A C D E A B F C D E F G A B C E C D B A E A D F C B F D E C B A E F G A B C D F G A B C D E ltin stndr ltin yng terbentuk G A B C D E F PAB(P-1) ! 1! ltin stndr [Montgomery 2001]

4 23 Fungsi Definisi 2 (Fungsi) Fungsi (pemetn) f dri himpunn A ke himpunn B, dinotsikn, dlh sutu relsi dri A ke B yng setip nggot dri A muncul hny sekli sebgi komponen pertm dri psngn terurut kenggotn relsi yng bersngkutn Kurtz 1992] Dri definisi di ts, jik,, mk dpt ditulis b = f () Dlm hl ini b disebut imej dri dibw oleh f, sedngkn disebut preimej dri b oleh f Penulisn ringks dengn menerpkn lmbng logik dri definisi di ts dpt dinytkn sebgi berikut jik dn hny jik!,tu f : A B jik dn hny jik ( A) [ b = f ( ) c = f( )] mk b = c Contoh 5 Mislkn 1,2,3 dn,,,, perhtikn bhw 1,, 2,, 3, dlh fungsi dri A ke B, sedngkn 1,, 2, dn 1,, 2,, 2,, 3, bukn merupkn fungsi dri A ke B Definisi 3 (Fungsi Injektif) Fungsi f disebut fungsi injektif (stu-stu) pbil f tidk pernh mencpi nili yng sm du kli; ykni, jik mk [Stewrt 2001] Contoh 6 Mislkn 1,2,3 dn B = {,b,c,d,e} fungsi 1,, 2,, 3, dlh injektif, sedngkn fungsi 1,, 2,, 3, bukn merupkn fungsi injektif Perhtikn Contoh 6 di ts komponen ke du dri semu nggot f muncul hny sekli, sehingg f dlh fungsi injektif Sekrng perhtikn fungsi, unsur muncul du kli sebgi komponen ke du di dlm kenggotn, sehingg tidk injektif Definisi 4 (Fungsi Surjektif) Sutu fungsi : disebut fungsi surjektif, jik, rtiny [Kurtz 1992] Contoh 7 Jik 1,2,3,4 dn,,, 1,, 2,, 3,, 4, dn 1,, 2,, 3,, 4, dlh du fungsi surjektif dri A ke B, sedngkn fungsi 1,, 2,, 3,, 4, tidk surjektif Dlm Contoh 7 terliht bhw semu nggot B muncul sebgi komponen ke du di dlm ke nggotn f 1 dn f 2, sehingg f 1 dn f 2 dlh fungsi surjektif Sekrng perhtikn fungsi, d nggot B yitu z yng tidk muncul sebgi komponen ke du di dlm kenggotn, sehingg tidk surjektif Definisi 5 (Fungsi Bektif) f fungsi bektif jik dn hny jik f fungsi injektif dn f fungsi surjektif [Kurtz 1992] Contoh 8 Jik 1,2,3 dn,,, 1,, 2,, 3, dlh fungsi bektif kren merupkn fungsi injektif dn surjektif Contoh 9 Jik 1,2,3 dn,,,, 1,, 2,, 3, bukn fungsi bektif kren merupkn fungsi injektif tetpi tidk surjektif 24 Permutsi Definisi 6 (Permutsi) Permutsi dri himpunn terbts X yng tidk kosong dlh fungsi bektif dri X ke X [Biggs 1989] Dlm pemsngn dri nggot X ke X yng bis dumpi permutsi dpt dipndng sebgi sutu susunn yng dpt dibentuk dri sekumpuln objek yng dpt dipilih sebgin tu seluruhny Jik d n bend yng berbed mk bnykny susunn yng berbed (permutsi) dri n bend tersebut dlh:,! Permutsi merupkn penyusunn kembli sutu kumpuln objek dlm urutn yng berbed dri urutn yng semul Sebgi contoh, kt-kt dlm klimt sebelumny permutsi merupkn penyusunn kembli sutu kumpuln objek dlm urutn yng

5 berbed dri urutn yng semul dpt disusun kembli sebgi "merupkn Permutsi sutu urutn yng berbed urutn yng kumpuln semul objek penyusunn kembli dlm dri" Proses mengemblikn objek-objek tersebut pd urutn yng bku (sesui ketentun) disebut sorting Jik terdpt sutu unti bjd bcd, mk unti itu dpt dituliskn kembli dengn urutn yng berbed: cbd, dcb, dn seterusny Selengkpny d 24 cr menuliskn ke empt huruf tersebut dlm urutn yng berbed stu sm lin Setip unti bru yng tertulis mengndung unsurunsur yng sm dengn unti semul bcd, hny sj ditulis dengn urutn yng berbed Mk setip unti bru yng memiliki urutn berbed dri unti semul ini disebut dengn permutsi dri bcd Contoh 10 Berikut ini dlh permutsi dri bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb bcd bdc bcd bcd bdc bdc cbd cdb cbd cbd cdb cdb dbc dcb dbc dbc dcb dcb [Wikipedi Indonesi 2008] 25 Involusi Definisi 7 (Aturn pemdnn bilterl) Aturn pemdnn bilterl untuk populsi X dlh fungsi yng memenuhi rtiny o untuk semu, dengn yng merupkn pemetn identits pd X Berdsrkn definisi di ts, jik merupkn turn pemdnn bilterl, mk fungsi invertible dn dlh permutsi dri X kren dlh fungsi surjektif stu-stu Bgimnpun jug, merupkn bentuk khusus dri permutsi yng inversny dlh diriny sendiri Sebgi contoh ; fungsi ini dlm ilmu mtemtik kit kenl sebgi involusi Secr sederhn dpt diktkn bhw cr ppun untuk memsngkn gen-gen dlm populsi hruslh sedemikin rup sehingg psngn dri gen tersebut dlh gen itu sendiri Oleh kren itu, jik dlh turn pemdnn dn gen x dipdnkn dengn gen, mk kit sebut dlh psngn dri x Dengn cr serup, dlh psngn dri jdi himpunn, dpt disebut turn pemdnn bilterl Contoh 11 Berikut contoh sederhn dri turn pemdnn bilterl (involusi) Andikn 0, dn didefinisikn dengn Contoh 12 Misl diberikn ltin dengn L = Perhtikn mtriks L di ts, mislkn sj mtriks di ts menggmbrkn pemdnn pd populsi 4 dn disumsikn populsi gen 1,2,3,4 sehingg dri mtriks tersebut dpt diperoleh pemdnn yng setip brisny dirtikn sebgi periode pemdnnny Dengn demikin bris pertm merupkn periode pemdnn pertm di mn belum d gen yng dipdnkn Selnjutny perhtikn pd bris ke du tu periode ke du, diperoleh pemdnn {(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}, kemudin dpt diliht bhw dri pemdnn ini gen 1 dipdnkn dengn gen 2, pd bris yng sm gen 2 dipdnkn dengn gen 1 Begitu jug untuk gen 3 yng dipdnkn dengn gen 4, pd bris yng sm jug gen 4 dipdnkn dengn gen 3 Dpt diliht dengn jels bhw bris ke tig dn ke empt pd mtriks L di ts dikenkn hl yng sm seperti pd bris ke du Oleh kren itu, hl inilh yng menyebbkn mtriks L tersebut memiliki sift involusi di mn bris linny merupkn involusi dri bris pertm