SISTEM BILANGAN. Bab I Sistem Aksioma

Transkripsi

1 Bb I SISTEM BILANGAN. PengntrlogikdnHimpunn Mtemtik mempunyi bhs dn turn yng terdefinisi dengn bik, penlrn yng jels dn sistemtik, dn struktur yng sngt kut. Dengn berbgi keungguln ini mtemtik digunkn sebgi sutu cr pendektn dlm mempeljri ilmu pengethun dn teknologi dn dlm menyelesikn mslh yng rumit. Mtemtik jug merupkn lt bntu dlm menyelesikn mslh dlm berbgi disiplin ilmu. Dengn Mtemtik, sutu mslh nyt dpt diliht dlm sutu model yng strukturny jels, tept dn bentukny kompk (singkt dn pdt). Unsur utm dlm pekerjn mtemtik dlh penlrn deduktif dn induktif.penlrn deduktifbekerj dengn berbgi sumsi, tidk dengn pengmtn. Sedngkn penlrn induktif bekerj berdsrkn fkt dn fenomen yng muncul untuk smpi kepd sutu perkirn tertentu. Tetpi perkirn yng diperoleh tidk dpt diterim begitu sj, hrus diykinkn kebenrnny tu dibuktikn secr deduktif.proses induktif-deduktif dpt digunkn sebgi slh stu cr dlm mempeljri sutu konsep mtemtik.... Sistem Aksiom Mtemtik dibngun berdsrkn sutu sistem yng memut beberp istilh dsr dn sift yng kebenrnny diterim tnp pembuktin. Sutu sistem mtemtik merupkn penerpn berbgi metode secr ksiomtik dri logik ts sekelompok unsur, relsi dn opersi. Pemilihn beberp sift dsr yng dibut konsisten kn menentukn sutu sistem secr utuh. Dlm proses

2 penlrn mtemtik, sutu rumus (Teorem) mtemtik terdiri dri beberp hipotesis dn kesimpuln. Penlrn diblik sistem logik dpt diphmi berdsrkn sift sistem dn opersi yng dirncng didlmny. Sistem Aksiom terdiri dri empt bgin penting yitu istilh tk terdefinisi, terdefinisi, ksiom dn Teorem. Istilh tk terdefinisi Istilh dsr (primitif) yng digunkn untuk membngun istilh lin, rti istilhny sendiri tidk didefinisikn, tetpi deskripsiny d. Pd sutu sistem mtemtik tertentu, kit mengenl istilh tk terdefinisi, seperti titik, gris, bidng, himpunn dn sebginy. Istilh terdefinisi Istilh yng digunkn dlm sistem, bukn istilh dsr, dn dirumuskn dri istilh dsr sehingg mempunyi rti tertentu dn perumusnny menjdi sutu pernytn yng benr. Dlm sutu definisi, istilh jik - mk berrti jik dn hny jik. Sutu definisi yng bik mempunyi ciri berikut : jels, tept dn mempunyi sutu mkn; hny menggunkn istilh dsr tu yng telh d sebelumny konsisten, dlm setip ksus mempunyi rti yng sm jngkunny cukup lus untuk dpt memut sebnyk mungkin objek dri sistem. Aksiom tu Postult Aksiom dlh sutu pernytn yng dindikn benr pd sutu sistem dn diterim tnp pembuktin. Aksiom hny memut istilh dsr dn istilh terdefinisi, tidk berdiri sendiri dn tidk diuji kebenrnny. Sekelompok ksiom dlm sutu sistem hrus konsisten, dpt membngun sistem tersebut dn tidk sling bertentngn. Teorem Teorem dlh sutu pernytn mtemtik yng dirumuskn secr logik dn dibuktikn dengn memnftkn istilh dsr, istilh terdefinisi, ksiom dn pernytn benr linny. PernytnSutu pernytn mtemtik (disingkt pernytn) dlh rngkin kt yng dpt ditentukn nili kebenrnny, yitu benr tu slh.dintr

3 benr dn slh hny berlku slh stu: benr sj tu slh sj dn tidk mungkin keduny sekligus. Ukurn benr tu slhny sutu pernytn tidk didsrkn ts opini tu pendpt. Contoh. () (b) Setip segitig sm sisi dlh segitig sm kki (B) Setip persegi pnjng dlh jjrn genjng (B) (c) Jik x 9, mk x 3 (S) (d) Pd sistem bilngn riil, persmn x 3x 4 0 tidk mempunyi (e) jwb (B) Merek mhsisw Unhs (klimt terbuk, bukn pernytn) (f) x 3 8 (klimt terbuk,bukn pernytn) Klimt yng tidk dptditentuknnili kebenrnny disebut bukn pernytn (klimt nondeklrtif). Mislny klimt tny, klimt perinth, klimt hrpn, klimt terbuk (klimt yng mempunyi besrn yng tidk dikethui) semuny bukn pernytn kren tidk dpt ditentukn nili benr tu slhny. HsilpentingdlmMtemtikdisebutteorem, dnkitknmenemuknbnykteoremdlmdikttini. Teoremdptdinytkndlmbentuk jikpmkq. Seringklidisingktdengn P Q. Kit nmknpsebgihipotesisdnqsebgikesimpulnteoremtersebut.perhtiknked upernytn P Q dn Q P, kedupernytntersebuttidksetr. Sebgicontoh : JikWhyudlh orng Pinrng, mkidlh orng Indonesi, merupknpernytn yng benr, kntetpikebliknny, JikWhyudlh orng Indonesi, mkidlh orng Pinrng,merupknpernytn yng slh... Himpunn 3

4 Kemudin Slh studsrdlmmtemtik yng hrusdiphmidlhkonsepsebuhhimpunn.himpunndidefinisiknsebgikum pulnobjek-objekyng berbed.mhsisw-mhsisw yng mengmbilmtkulihmtemtikdsr, buku-buku yng dijuldlmsututoko, hewn-hewn yng d di kebunbintng, dn lin-lin dlhcontohsutuhimpunn.bisnyhimpunndinotsikndengnhurufbesrsepe rti A, B, dnseterusny.objekdlmhimpunndisebutelemen/nggothimpunn, yng disimbolkndengnhurufkecil,, b, dnlinny.untukmenytknkenggotnsutuhimpunndigunknsimbol yng dibc nggot dri. Contoh. A = {, b, c, d}menytkn sebuh himpunn yng kit sebut A dn mempunyi empt nggot yitu, b, c dn d. b A, ini berrti b merupkn nggot dri A.. SistemBilngnRiil Kit sudh cukup mengenl jenis-jenis bilngn berikut :. Bilngn Asli, ykni,, 3, 4, 5,... Dengn bilngn ini kit dpt menghitung: buku-buku kit, ung kit.himpunn bilngn sli dinytkn dengn notsi bku ykni N =,,3,.Penjumlhndubuhbilngnslidnperklindubuhbilngnslisembr ngjugsebuhbilngnsli. iniseringklidinytkndengnmengtknbhwhimpunnbilngnslitert utup di bwhopersipenjumlhndnopersiperklin.. Bilngn nol dn negtif, ykni 0 dn -, -, -3,..., bilngn ini muncul untuk mencri penyelesin persmn seperti bsembrngbilngnsli. x b Dengnpersmninidimungkinkndnyopersipengurngn Hl, dimn, yng 4

5 merupknkeblikndriopersipenjumlhn, dimnkitdptmenulisknx = b = b + ( ). Himpunn yng nggotny bilngn sli, bilngn negtif dn nol dinmkn himpunn Bilngn Bult. Himpunn bilngn bult dinytkn dengn notsi bku ykniz = {, 3,,,0,,,3, }. 3. Bilngn rsionl ykni hsil bgi (rsio) dri bilngn-bilngn bult yitu bilngn-bilngn seperti 3 4, 7 9, 6, 7 3,. Bilngn ini muncul untuk memechkn persmn seperti bx =, dimn dn b dlh bilngn bult dn b 0. Dengnpersmninidimungkinkndnyopersipembgin yng merupknkeblikndriopersiperklin, kitdptmenuliskn x = b = b, disebut pembilng dn b disebut penyebut. Himpunn bilngn rsionl dinytkn dengn notsi bku, yitu Q = m n m, n Z, n Apkh bilngn-bilngn rsionl berfungsi mengukur semu pnjng? Tidk. Fkt yng mengejutkn ini ditemukn oleh orng Yunni Kuno beberp bd sebelum msehi. Merek memperlihtkn bhw meskipun merupkn pnjng sisi miring sebuh segi tig siku-siku dengn sisisisi tegk, bilngn ini tidk dpt dituliskn sebgi sutu hsil bgi dri du bilngn bult. jdi dlh sutu bilngn tk rsionl. Demikin jug 3, 5, π dn sekelompok bilngn lin. Gbungn ntr bilngn rsionl dn bilngn tk rsionl disebut Bilngn Riil.Himpunn bilngn riil dinytkn dengn notsi R.Bilngn-bilngn ini dpt dipndng sebgi lbel untuk titik-titik sepnjng sebuh gris mendtr tupun tegk (gris riil). Dri pengenln beberp bilngn, mk diperoleh bhw bilngn sli termut pd bilngn Bult, kemudin bilngn bult termut dlm bilngn rsionl, 5

6 dn bilngn riil memut ketig himpunn tersebut. Hl ini cukup dinytkn sebgi N Z Q R, disini dlh lmbng himpunn bgin, dibc dlh himpunn bgin dri. Opersi Aritmetik Diberikn du bilngn relx dn y, kit dpt menmbhkn tu menglikn keduny untuk memperoleh du bilngn rel bru, ykni x + y dn xy. Penmbhn dn perklin mempunyi sift-sift berikut (yng kit kenl dengn sift-sift medn). Sift-sift Medn. Sift komuttif, x + y = y + x dn xy = yx.. Siftsositif, x + y + z = x + y + z dn x yz = xy z. 3. Siftdistributif, x y + z = xy + xz. 4. Unsuridentits, hnybilngnriil 0 dn yng memenuhix + 0 = x dn x = x. 5. Blikn (invers), setip bilngn x mempunyi blikn penmbhn, yitu x. Jug untuk setip bilngn. Setip bilngn x mempunyi blikn penmbhn, ykni x, yng memenuhi x ( x) 0. Jug, setip bilngn x 0 mempunyi blikn perklin, x yng memenuhi x x =. Pengurngn dn Pembgin didefinisikn dri opersi tmbh dn kli yng dijbrkn dri sift medn. Jdi yng dimksud dengn x y dlh x + ( y) dn x = y xy. Urutn Bilngn-bilngn rel tk nol dpt dipish menjdi du himpunn terpish, ykni bilngn rel positif dn bilngn rel negtif. Fkt ini memungkinkn kit 6

7 memperkenlkn relsi urutn (dibc kecil dri tu kurng dri ). Bilngn x kecil dri y menytkn bhw y x dlh sebuh bilngn positif. Tfsirn geometri bhw gris riil mendtr. x y berrti bhw x berd di sebelh kiri y pd Sift-sift urutn du buh bilngn dpt disebutkn ntr lin:. Trikotomi, jik x dn y dlh bilngn riil, mk psti stu dintr berikut berlku: x < y tu x = y tu y < x.. Trnsitif,jik x < y dn y < z, mk x < z. 3. Memperthnkn urutn untuk opersi tmbh.jik x < y, mk untuk sembrng z bilngn riil berlku x + z < y + z. 4. Memperthnkn urutn untuk opersi kli dengn sebuh bilngn positif. Mislkn z positif, jik x < y, mkxz < yz. Mengubh urutn untuk perklin dengn sebuh bilngn negtif. Jik x < y, mk untuk z negtif berlku yz < xz. Relsi urutn yng lin mengdopsi sift urutn di ts. Mislkn relsi dibc kurng dri tu sm dengn didefinisikn x y jik dn hny jik y x positif tu nol. Cr lin untuk menytkn bilngn riil dlh dengn menggmbrkn sebuh gris bilngn. Himpunn bgin dri bilngn riil kn ditndi sebgi segmen gris tu selng/intervl.ketidksmn x b mendeskripsikn selng buk yng terdiri dri semu bilngn ntr dn b, tidk termsuk titik-titik ujung dn b. Selng ini dilmbngkn dengn notsi (, b). Seblikny, ketksmn x b mendeskripsikn sebuh selng tutup yng nili-nili x yng mungkin dlh semu bilngn di ntr dn b, termsuk titik ujung dn b. Selng tutup ini dilmbngkn oleh [, b]. Contoh.3 A = {x < x < 5}menytkn sebuh himpunn semu bilngn riil yng lebih besr dri tpi lebih kecil dri 5, hl ini sm sj dinytkn dengn selng 7

8 buk(,5). Pd gris bilngn, mk selng itu dlh segmen gris yng berd di ntr titik dn titik Himpunn semu nili xyng lebih besr tu sm dengn dinytkn oleh {x x} tu dlm bentuk selng [, ) (notsi buknlh merujuk ke sebuh bilngn tertentu). Bentuk selngny di gris riil dpt diliht sebgi berikut: 0 Jik selngny dlh selng buk, mk ditndi dengn bultn putih pd ujungny. Seblikny jik selngny dlh selng tutup, mk ujungny diberi bultn hitm. Untuk beberp referensi lin, yng dipki dlh tnd kurung bis untuk selng buk dn tnd kurung siku untuk selng tutup. Tbel. memperlihtkn sejumlh besr kemungkinn selng dlm notsi himpunn, intervl tupun grfikny pd gris riil. Tbel.. Selng Berhingg Notsi Himpunn Notsi Selng Grfik {x: < x < b}, b b {x x < b} [, b) b {x < x b} (, b] b {x x b} [,b] b 8

9 Untuk menggmbrkn selng dengn slh stu ujungny mempunyi titik bts dpt diliht pd contoh.3 dn tbel.memberikn du bentuk selng dengn slh stu ujungny tidk mempunyi bts. Tbel.. Selng Berhingg Notsi Himpunn Notsi Selng Grfik {x: < x}, {x x} [, ) Nili Mutlk Konsep nili mutlk sngt bergun dlm klkulus, oleh krenny perlu termpil dlm bekerj dengnny. Nili mutlk sutu bilngn relx, dinytkn dengn x dn didefinisikn sebgi x = x, jik x 0 x, jik x < 0 Mislny, 5 5, 0 0, 5 ( 5) 5.Dri definisi terliht bhw, untuk setip bilngn rel x, berlku x 0. Slh stu cr terbik untuk membyngkn nili mutlk dlh jrk (tk berrh). Khususny, x dlh jrk ntr x dengn titik sl, 0. Demikin jug, x dlh jrk ntr x dengn. Sift-sift nili mutlk 9

10 i. Nili mutlk dri perklin du bilngn sm dengn perklin nili ii. iii. iv. mutlk msing-msing bilngn, b = b. Nili mutlk dri pembgin du bilngn sm dengn pembgin nili mutlk kedu bilngn, b = b. Penjumlhn du bilngn yng dimutlkkn sellu kurng dri tu sm dengn penjumlhn nili mutlk kedu bilngn (dikenl dengn nm ketksmn segitig), + b + b. Nili mutlk dri selisih du bilngn sm dengn nili mutlk dri selisih nili mutlk kedu bilngn, b = b. Hl yng penting untuk diingt mengeni nili mutlk dlh x < berrti sebuh selng buk dri nili-nili x yng titik-titik ujungny dlh dn, < x <. Seblikny, bentuk < x mengndung mkn bhw x < tu < x. Kit dpt menggunkn fkt tersebut untuk menyelesikn ketksmn yng menyngkut nili mutlk. Contoh.4 Selesikn ketksmn x 4 <. Penyelesin: x 4 < berrti bhw < x 4 <. Kemudin msingmsing rus ditmbhkn 4 mk ketidksmn menjdi < x < 6. Hl ini berrti nili-nili x yng memenuhi ketksmn dlh semu bilngn yng terletk di selng buk (,6). Himpunn penyelesinny dlh x < x < 6. Contoh.5 Selesikn ketksmn 3x 5 0

11 Peyelesin: Ketksmn ini dpt ditulis secr berurutn sebgi 3x 5 tu 3x 5 3x 4 tu 3x 6 x 4 tu x. 3 Jdi Himpunn penyelesinny dlh berup gbungn du buh selng yitu, 4 3,. Contoh.6 Mislkn sutu bilngn positif. Crilh bilngn positif sehingg x 3 < δ 6x 8 < ε. Penyelesin: Kit kn mencri bilngn δ yng bergntung pd ε. Perhtikn bhw 6x 8 dpt dibut sebgi perklin du bentuk bilngn dlm nili mutlk, yitu 6 x 3 tu 6 x 3. Kren untuk ε positif berlku 6x 8 < ε mk 6 x 3 < ε. Sehingg dengn memilih δ dlh semu bilngn yng lebih kecil dri ε dn positif berrti pernytn x 3 < δ 6x 8 < ε menjdi klimt yng benr. Akr kudrt Mislkn dlh bilngn riil tk negtif. Akr dri (ditulis: ) dlh bilngn tk negtif yng kudrtny sm dengn. Kren hny d stu bilngn tk negtif yng memenuhi ini, definisi ini diktkn well-defined. Jngn mendefinisikn dengn 0 sebgi penyelesin dri x = 0. Kren penyelesin persmn ini bis bernili negtif, yitu x = dn x =. Tetpi kit bis mendefinisiknny sebgi penyelesin tk negtif

12 dri persmn tersebut. Perhtikn pul bhw setip bilngn non negtif, berlku 0 dn =. Sift-sift Akr kudrt i. Perklin du bilngn riil tk negtif dlm kr sm sj dengn menglikn kr-kr dri kedu bilngn, b = b. ii. < b jik dn hny jik < b. Contoh.7 Mnkh bilngn yng terbesr dn terkecil dri ketig bilngn rel berikut? 3,, 3 3 Penyelesin: Untuk menjwb pertnyn ini, Perhtikn bentuk ketig bilngn di bwh Urutn ketig bilngn itu dlh 4 9,, 3. 3 < 4 9 <, Setelh kit krkn ketig bilngn tersebut, mk urutn dri kr ketig bilngn tidk berubh (liht sift ii dri kr kudrt), 3 3 < 3 <. Berikut kenytn penting yng bermnft untuk diingt x = x. Kudrt

13 Berlih ke kudrt, kit perhtikn bhw x = x, hl ini berdsrkn sift bhw x senntis tk negtif dn x. x = x x. Apkh opersi pengkudrtn memperthnkn ketksmn? Secr umum jwbnny dlh tidk. Mislny 3 < tetpi 3 >. Seblikny < 3 dn < 3. Jdi untuk dn b bilngn-bilngn tk negtif,berlku < b < b. Slh stu vrin dri bentuk ini dlh x < y x < y. LATIHAN. Bilngn dn 7 yng dpt dinytkn sebgi hsil bgi bilngn bult 4 disebut bilngn?. Ap yng disebut bilngn riil? 3. Sederhnkn bentuk berikut: b c Sederhnkn bentuk berikut:. b. c Cri nili dri 0/0, 0/5, dn /0, jik tidk d ktkn demikin. 6. Mislkn 0, perlihtkn bhw /0tidk mempunyi rti (tk terdefinisi) dn 0/0 tidk tentu. 7. Tentukn nili kebenrn dri klimt mtemtik berikut:. 3 < 7 3

14 b. 3 < /7 c. 5 > 6 8. Tunjukkn msing-msing selng berikut pd gris riil.. [,] b. 4, (,3] c. 4,,3 d. (, 0] 9. Tuliskn dlm notsi selng, himpunn-himpunn berikut:. {x x 5} b. {x x } c. x < x < 5 6 x 8 0. Crilh himpunn penyelesin. x < 4 b. 3x + 4 < 8 c. d. x 3 6 3x