Khazanah. Matematika 3. untuk Kelas XII SMA dan MA. Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Rosihan Ari Y. Indriyastuti

Transkripsi

1 PUSAT PERBUKUAN Deprtemen Pendidikn Nsionl

2 i Khznh Mtemtik untuk Kels XII SMA dn MA Progrm Ilmu Pengethun Sosil Rosihn Ari Y. Indriystuti

3 ii Hk Cipt Pd Deprtemen Pendidikn Nsionl Dilindungi Undng-undng Khznh Mtemtik untuk Kels XII SMA dn MA Progrm Ilmu Pengethun Sosil Penulis : Rosihn Ari Y. Indriystuti Perncng kulit : Agung Wibwnto Perncng tt letk isi : Agung Wibwnto Pent letk isi : Bonwn Ilustrtor : Kusdirgo Preliminry : vi Hlmn isi : 40 hlm. Ukurn buku : 7,6 x 5 cm ROS k ROSIHAN Ari Y Khznh Mtemtik : untuk Kels XII SMA / MA Progrm Ilmu Pengethun Sosil / penulis, Rosihn Ari Y, Indriystuti ; ilustrtor, Kusdirgo. -- Jkrt : Pust Perbukun, Deprtemen Pendidikn Nsionl, 009. vi, 40 hlm, : ilus. ; 5 cm Bibliogrfi : hlm. 6-7 Indeks ISBN (No. Jil. Lengkp) ISBN Mtemtik-Studi dn Pengjrn I. Judul II. Indriystuti III. Kusdirgo Hk Cipt Buku ini dibeli oleh Deprtemen Pendidikn Nsionl dri Penerbit Wngs Jtr Lestri, PT Diterbitkn oleh Pust Perbukun Deprtemen Pendidikn Nsionl Thun 009 Diperbnyk oleh...

4 iii Smbutn Puji syukur kmi pnjtkn ke hdirt Allh SWT, berkt rhmt dn kruni-ny, Pemerinth, dlm hl ini, Deprtemen Pendidikn Nsionl, pd thun 009, telh membeli hk cipt buku teks peljrn ini dri penulis/penerbit untuk disebrluskn kepd msyrkt mellui situs internet (website) Jringn Pendidikn Nsionl. Buku teks peljrn ini telh dinili oleh Bdn Stndr Nsionl Pendidikn dn telh ditetpkn sebgi buku teks peljrn yng memenuhi syrt kelykn untuk digunkn dlm proses pembeljrn mellui Perturn Menteri Pendidikn Nsionl Nomor 8 Thun 008 tnggl Desember 008. Kmi menympikn penghrgn yng setinggitingginy kepd pr penulis/penerbit yng telh berkenn menglihkn hk cipt kryny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl untuk digunkn secr lus oleh pr sisw dn guru di seluruh Indonesi. Buku-buku teks peljrn yng telh dilihkn hk ciptny kepd Deprtemen Pendidikn Nsionl ini, dpt diunduh (down lod), digndkn, dicetk, dilihmedikn, tu difotokopi oleh msyrkt. Nmun, untuk penggndn yng bersift komersil hrg penjulnny hrus memenuhi ketentun yng ditetpkn oleh Pemerinth. Dihrpkn bhw buku teks peljrn ini kn lebih mudh dikses sehingg sisw dn guru di seluruh Indonesi mupun sekolh Indonesi yng berd di lur negeri dpt memnftkn sumber beljr ini. Kmi berhrp, semu pihk dpt mendukung kebijkn ini. Kepd pr sisw kmi ucpkn selmt beljr dn mnftknlh buku ini sebik-bikny. Kmi menydri bhw buku ini msih perlu ditingktkn mutuny. Oleh kren itu, srn dn kritik sngt kmi hrpkn. Jkrt, Juni 009 Kepl Pust Perbukun

5 iii Prkt Penulis mengucpkn selmt kepd klin yng telh nik ke kels XII Progrm Ilmu Pengethun Sosil (IPS). Tentu klin sngt bngg. Semog klin terpcu untuk lebih semngt lgi dlm beljr. Teruslh rjin beljr, gigih, pntng menyerh, dn jngn lup berdo kepd Tuhn gr cit-cit klin tercpi. Ingt, sebentr lgi klin kn menghdpi ujin nsionl. Aplgi bgi klin yng kn melnjutkn ke jenjng pendidikn yng lebih tinggi. Klin kn menghdpi ujin yng didkn pergurun tinggi tersebut. Klin hrus lebih git lgi dlm beljr sehingg menjdi orng yng sukses dn membnggkn. Buku Khznh Mtemtik ini kn membntu klin dlm mempeljri mtemtik. Buku ini disusun dengn urutn penyjin sedemikin rup sehingg klin kn mers senng untuk mendlminy. Buku ini kn membntu klin dlm beljr. Dlm pembeljrnny, buku ini menuntut klin untuk ktif dn bertindk sebgi subjek pembeljrn. Klin dituntut untuk mengobservsi, mengonstruksi, mengeksplorsi, dn menemukn sendiri konsep-konsep mtemtik sehingg klin kn menjdi orng yng dpt berpikir kritis, kretif, dn inovtif. Di kels XII Progrm IPS ini, klin kn mempeljri mteri-mteri berikut: Integrl Progrm Liner Mtriks Brisn dn Deret Penulis berhrp semog buku ini dpt membntu klin dlm mempeljri konsep-konsep mtemtik. Akhirny, semog klin sukses. Solo, Februri 008 Penulis

6 iv Diunduh dri BSE.Mhoni.com v Dftr Isi Smbutn iii Prkt iii Dftr Isi iv Semester Bb I Integrl A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu 4 C. Integrl Tertentu 0 D. Pengintegrln dengn Substitusi 0 E. Integrl Prsil 5 F. Penggunn Integrl Tertentu 0 Rngkumn 44 Tes Kemmpun Bb I 45 Bb II Progrm Liner A. Sistem Pertidksmn Liner 5 B. Nili Optimum Sutu Fungsi Objektif 6 Rngkumn 7 Tes Kemmpun Bb II 7 Bb III Mtriks A. Pengertin, Notsi, dn Ordo Mtriks 8 B. Kesmn Du Mtriks 90 C. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks 9 D. Perklin Sutu Sklr dengn Mtriks 00

7 vi E. Perklin Mtriks 05 F. Invers Sutu Mtriks G. Penyelesin Sistem Persmn Liner dengn Mtriks 8 Rngkumn 8 Tes Kemmpun Bb III 9 Ltihn Ulngn Umum Semester 45 Semester Bb IV Brisn dn Deret A. Brisn dn Deret 55 B. Brisn dn Deret Aritmetik 59 C. Brisn dn Deret Geometri 69 D. Penerpn Konsep Brisn dn Deret 84 E. Notsi Sigm 88 F. Deret dlm Hitung Keungn 97 Rngkumn Tes Kemmpun Bb IV 4 Ltihn Ujin Nsionl 0 Dftr Pustk 6 Lmpirn 8 Glosrium 6 Indeks Subjek 9 Kunci Sol-Sol Terpilih 40

8 Bb I Integrl Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. merncng turn integrl tk tentu dri turn turunn;. menghitung integrl tk tentu dri fungsi ljbr;. menjelskn integrl tentu sebgi lus derh pd bidng dtr; 4. menghitung integrl tentu dengn menggunkn integrl tk tentu; 5. menghitung integrl dengn rumus integrl substitusi; 6. menggmbrkn sutu derh yng dibtsi oleh beberp kurv; 7. merumuskn integrl tentu untuk lus sutu derh; 8. menghitung integrl yng menytkn lus sutu derh. Integrl Sumber: Motivsi Pernhkh klin memerhtikn bentuk kwt-kwt bj yng menggntung pd jembtn gntung? Perhtikn gmbr jembtn Amper yng melintsi Sungi Musi di ts. Jik klin perhtikn, lengkungn yng terbentuk menyerupi lengkungn (kurv) prbol. Jik kit mengethui persmn lengkungn tersebut, kit kn dpt dengn mudh menentukn lus derh yng dibtsi oleh kurv itu dn bdn jln bhkn kit jug dpt menentukn pnjng lengkungn itu. Ilmu hitung integrl dpt digunkn untuk menyelesikn ksus-ksus semcm itu.

9 Khz Mtemtik SMA IPS Pet Konsep Integrl mempeljri Integrl Tk Tentu Integrl Tentu untuk menentukn Fungsi Aljbr Lus Volume Bend Putr diselesikn dengn Rumus Dsr Integrl Substitusi Prsil Kt Kunci bts ts integrl Riemnn kurv bts bwh integrl tk tentu lus bidng diferensil integrl tentu mengelilingi grdien intervl sumbu putr integrble intervl tertutup volume bend putr integrl konstnt

10 Integrl Hitung integrl sngt ert kitnny dengn klkulus diferensil tu turunn sutu fungsi. Sebenrny hitung integrl ditemukn terlebih dhulu bru kemudin ditemukn diferensil tu turunn. Nmun demikin, hitung integrl kn dpt dimengerti dn diphmi dengn mudh mellui turunn sutu fungsi. Mteri tentng turunn telh klin peljri di kels XI. Tentu klin msih ingt, bukn? Nmun, d bikny sebelum membhs integrl, cob klin ingt kembli konsep turunn dengn cr mengerjkn sol-sol berikut. Prsyrt Kerjkn di buku tugs. Tentukn turunn pertm dri fungsi y = x 4 5x + dn y = x.. Tentukn grdien gris singgung pd kurv y = (4x + 5)(x + 4) di x =. Tentukn pul grdienny di x =.. Sutu home industry memproduksi kotk tnp tutup yng terbut dri tripleks dengn volume cm. Jik ukurn pnjng kotk du kli lebrny, tentukn ukurn kotk itu gr bhn yng digunkn seminimum mungkin. Setelh klin mmpu mengerjkn sol-sol di ts, mri kit lnjutkn ke mteri berikut. A. Pengertin Integrl Setip hri, tentulh kit melkukn ktivits, seperti menghirup udr dn melepskn udr. Meleps udr merupkn opersi keblikn (invers) dri menghirup udr. Dlm mtemtik, kit jug mengenl opersi keblikn (invers), contohny pengurngn dengn penjumlhn, perklin dengn pembgin, pemngktn dengn penrikn kr, dn sebginy. Pd subbb ini kit kn mempeljri invers dri diferensil, yitu integrl. Kit telh mempeljri rti diferensil tu turunn di kels XI. Jik kit mempunyi f(x) = x + 4, turunnny dlh f'(x) = x. Dri contoh fungsi tersebut, kit dpt menentukn sutu fungsi yng turunnny f'(x) = x, yng disebut sebgi ntiturunn tu ntidiferensil tu pengintegrln. Jdi, pengintegrln merupkn opersi keblikn dri pendiferensiln. Mislny dikethui f'(x) = x, fungsi ini merupkn turunn dri f(x) = x + 0, f(x) = x log, tu f(x) = x + 5.

11 4 Khz Mtemtik SMA IPS B. Integrl Tk Tentu. Notsi Integrl Tk Tentu Terliht fungsi-fungsi ini hny berbed konstntny sj. Secr umum, dpt dituliskn bhw f(x) = x + c merupkn ntiturunn dri f'(x) = x, dengn c dlh bilngn rel sembrng. Dri urin di ts dpt didefinisikn sembgi berikut. Fungsi F(x) disebut ntiturunn dri f(x) pd sutu domin d jik dx [ Fx ( )] = f(x). Mislkn diberikn fungsi-fungsi berikut. y = x + x + 5 y = x + x Kedu fungsi itu memiliki turunn yng sm, yitu dy = x +. dx Sekrng, tinju blik. Mislkn diberikn dy = x +. Jik dx dicri integrlny, kn diperoleh fungsi-fungsi y = x + x + 5, y = x + x, bhkn y = x + x + 0, y = x + x log, dn sebginy. Dengn demikin, fungsi yng memiliki turunn dy dx = x + bukn sj du fungsi di ts, tetpi bnyk sekli. Wlupun demikin, fungsi-fungsi itu hny berbed dlm hl bilngn tetp sj (seperti 5,, 0, log, dn seterusny). Bilngnbilngn ini dpt disimbolkn dengn c. Kren nili c itulh hsil integrl ini disebut integrl tk tentu. Perhtikn kembli definisi integrl tk tentu di ts. Secr umum, jik F(x) menytkn fungsi dlm vribel x, dengn f(x) turunn dri F(x) dn c konstnt bilngn rel mk integrl tk tentu dri f(x) dpt dituliskn dlm bentuk f ( x) dx = F( x) + c dibc integrl fungsi f(x) ke x sm dengn F(x) + c.

12 Integrl 5 Keterngn: f ( x) dx = notsi integrl tk tentu F(x) + c = fungsi ntiturunn f(x) = fungsi yng diintegrlkn (integrn) c = konstnt dx = diferensil (turunn) dri x. Rumus Dsr Integrl Tk Tentu Pd subbb ini, kn dibhs integrl fungsi ljbr sj. Oleh kren itu, klin hrus ingt kembli turunn fungsi ljbr yng telh klin peljri di kels XI. Pd pembhsn klkulus diferensil tu turunn, dikethui bhw turunn dri x n+ + c ke x dlh d dx [xn + + c] = (n + ) x (n + ) = (n + )x n. Dengn menglikn, untuk n pd kedu rus, n + diperoleh d n + dx [xn + + c] = n + (n + ) xn = x n. Jdi, d dx [ n + xn + + c] = x n... () Kuis Kerjkn di buku tugs ( ) dx =... x. x + c b. x x + c c. x x + c d. x + c e. x + c UMPTN 989 Jik persmn () dituliskn dlm bentuk integrl, klin kn memperoleh n x dx = x n + n+ + c; n Bgimn jik n = 0? Ap yng klin peroleh? Tentu sj untuk n = 0, persmn di ts menjdi dx = x + c. Pd mteri diferensil, klin telh mengethui jik y = F(x) + G(x) mk turunnny dlh dy = f(x) + g(x), dengn dx f(x) turunn dri F(x) dn g(x) turunn dri G(x). Dengn demikin, dpt dinytkn bhw [ f ( x) + g( x)] dx = f ( x) dx + g( x) dx.

13 6 Khz Mtemtik SMA IPS Hl ini jug berlku untuk opersi pengurngn. Dri urin di ts, kit dpt menuliskn rumus-rumus dsr integrl tk tentu sebgi berikut. ) dx = x + c ) f ( x) dx = f ( x) dx n ) x dx = n 4) x dx = n + n+ x n + x + c; n n+ + c; n 5) [ f ( x) g( x)] dx = f ( x) dx + + g( x) dx 6) [ f ( x) g( x)] dx = f ( x) dx g( x) dx Contoh : Tentukn hsil integrl fungsi-fungsi berikut.. 5 dx b. 4x 5 dx c. xdx Jwb:. 5 dx = 5 dx = 5x + c b. 4x 5 dx = 4 x 5 dx = x5 + + c 4 = x 6 + c = x 6 + c 6 c. xdx = x dx = = 6 4 = x + c x + c x x + c

14 Integrl 7 Contoh : Selesikn setip pengintegrln berikut. 4. x x dx b. ( x + ) dx Jwb: 4 4. x x dx = x x dx b. ( x + ) dx 4 = x dx = = x + c 4 + = ( x + 6x + 9) dx x c = x + x + 9x + c Sol Kompetensi Tentukn hsil pengintegrln berikut. Kerjkn di buku tugs. (x + ) dx 8 5. ( 4x + x + ) dx 0. dx x 4 4. ( 5 x x ) dx 5. ( x + 5) dx 6. ( x + )( x 4) dx 7. x ( x ) dx 8. ( x x) x dx 9. x ( x x)(x ) dx 0. x ( x ) dx.. x x x dx 6xx ( 4)( x + 4) dx x. 5x x dx 4. x 4 (x + 4x ) dx 5. ( x )(x + )(x ) dx 6. x( x x+ x) dx 7. 6t t 4 t+ 4 dt 8. 5x ( x ) dx 0 x s s s ds s m ( m 4) dm m

15 8 Khz Mtemtik SMA IPS. Menentukn Persmn Kurv Di kels XI, klin telh mempeljri grdien dn persmn gris singgung kurv di sutu titik. Jik y = f(x), grdien gris dy singgung kurv di sembrng titik pd kurv dlh y' = = dx f'(x). Oleh kren itu, jik grdien gris singgungny sudh dikethui mk persmn kurvny dpt ditentukn dengn cr berikut. y = f '( x) dx = f(x) + c Jik slh stu titik yng mellui kurv dikethui, nili c dpt dikethui sehingg persmn kurvny dpt ditentukn. Contoh : Dikethui turunn dri y = f(x) dlh dy = f '(x) = x +. dx Jik kurv y = f(x) mellui titik (, 6), tentukn persmn kurv tersebut. Jwb: Dikethui f '(x) = x +. Dengn demikin, y = f(x) = ( x + ) dx = x + x + c. Kurv mellui titik (, 6), berrti f() = 6 sehingg dpt kit tentukn nili c, yitu + + c = 6 c =. Jdi, persmn kurv yng dimksud dlh y = f(x) = x + x +. Contoh : Grdien gris singgung kurv di titik (x, y) dlh x 7. Jik kurv tersebut mellui titik (4, ), tentuknlh persmn kurvny. Jwb: Grdien gris singgung dlh f '(x) = dy = x 7 sehingg dx y = f(x) = ( x 7) dx = x 7x + c. Kren kurv mellui titik (4, ) mk f(4) = 4 7(4) + c = + c = c = 0 Jdi, persmn kurv tersebut dlh y = x 7x + 0.

16 Integrl 9 Kuis Kerjkn di buku tugs Problem Solving Biy mrginl sutu perushn ditunjukkn oleh fungsi M C = Q 6Q + 4, dengn Q = quntity dn biy tetp k = 4, k dlh konstnt integrl. Fungsi biy totl dlh.... Q Q + 4Q + 4 b. Q Q + 4Q + 4 c. Q Q + 4Q + 4 d. Q Q + 4Q + 4 e. Q Q + 4Q UN 007 Biy mrginl sutu perushn ditunjukkn oleh M C = 4Q Q + 5, dengn Q = bnyk unit dn biy tetp k =, k dlh konstnt integrl. Tentukn persmn biy totl (C). Jwb: Fungsi biy mrginl M C = 4Q Q + 5. M C = dc dq dengn kt lin dc = M dq C C = MC dq = ( 4Q Q + 5) dq = 4 Q Q + 5Q + k Oleh kren itu, C = 4 Q Q + 5Q +. Sol Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Grdien gris singgung kurv y = f(x) di sembrng titik dy (x, y) dlh = 4x +. Jik kurv mellui titik (0, 5), dx tentuknlh persmn kurvny.. Tentukn f(x) jik dikethui sebgi berikut.. f'(x) = x + 5 dn f() = 6 b. f'(x) = 6x + 6 dn f() = 0 c. f'(x) = x + 6x + 6 dn f() = 5 d. f'(x) = x + b; f() = 0 dn f( ) = 4, dn f() = 8. e. f'(x) = x; f(0) f( ) = dn f() f(0) = 5. Sutu kurv memiliki titik (, 0) dn (, 4). Grdien di setip titik pd kurv dpt ditentukn dengn persmn m = x 4x 5. Tentukn persmn kurv itu. 4. Biy mrginl (M C ) merupkn biy tmbhn kibt dny tmbhn produksi stu unit. Secr mtemtik, biy ini merupkn turunn (diferensil) dri biy totl (C) terhdp x unit produksi. Mislkn dikethui biy mrginl per unit M C (x) = x dn biy totl bulnn Rp ,00. Ketik x = 00 unit produksi per buln. Tentukn fungsi biy totl dlm memproduksi x unit brng per buln.

17 0 Khz Mtemtik SMA IPS 5. Diberikn fungsi dc = 8x 5 sebgi fungsi biy mrginl. Biy untuk memproduksi 0 unit brng dlh dx Rp80.000,00. Bgimnkh bentuk fungsi biy totlny? 6. Sutu pbrik memproduksi brng sebnyk x unit dengn biy mrginl dirumuskn dengn dc = 64 0, 05x dx (C dlh fungsi biy). Untuk membut unit brng, diperlukn biy Rp6.500,00. Berp biy totl untuk membut brng sebnyk 50 unit? 7. Dikethui sebuh pbrik memproduksi brng sebnyk t unit dengn biy mrginl dirumuskn dengn C' = 0 0,5t. (C dlh fungsi biy). Untuk membut unit brng diperlukn biy Rp.500,00. Berp biy totl untuk membut brng sebnyk 500 unit? 8. Diberikn dc = 6x 0 sebgi fungsi biy mrginl. dx Biy untuk memproduksi 5 unit brng dlh Rp00.000,00. Tentukn bentuk fungsi biy totlny. C. Integrl Tertentu. Pengertin Integrl sebgi Lus Sutu Bidng Dtr Y O Gmbr. y = f(x) b X Klin psti sudh pernh mempeljri perhitungn lus bngun dtr. Bngun dtr p sj yng sudh klin kenl? Bngun dtr yng klin kenl psti merupkn bngun dtr berturn, mislny segitig, segi empt, lingkrn, dn sebginy. Perhtikn Gmbr.. Apkh gmbr derh yng dirsir tersebut merupkn bngun dtr yng sudh klin kenl? Termsuk bngun pkh gmbr derh tersebut? Dptkh klin menentukn lus bngun dtr tersebut dengn rumus yng sudh klin kenl? Tentu sj tidk. Derh tu bngun dtr pd Gmbr. merupkn bngun dtr yng dibtsi kurv y = f(x), sumbu X, sert gris x = dn y = b. Untuk memhmi pengertin integrl sebgi lus sutu bidng dtr, perhtikn Gmbr.. Derh yng dirsir dlh sutu derh yng dibtsi kurv y = f(x) dn sumbu X dri smpi b. Dimislkn fungsi y = f(x) terdefinisi pd intervl tertutup [, b].

18 Integrl Bgilh intervl tertutup tersebut menjdi n buh subintervl yng sm lebr sehingg terdpt n buh titik tengh, yitu x, Gmbr. x, x,..., x n, dengn x = (t0 + t ), x = (t + t ),..., x n = (tn + t n ) (perhtikn Gmbr.). Dimislkn ujung pling kiri intervl dlh t 0 = dn ujung pling knn dlh t n = b dengn < t < t... < t n < b. Mislkn pnjng tip subintervl dlh t i t i = x. Pd tip subintervl [t i, t i ], temptkn sebuh titik x (tidk hrus di tengh, boleh sm dengn titik ujungny). Domin fungsi y = f(x) dibgi menjdi n buh subintervl dengn ls x dn tinggi f(x i ) sehingg membentuk pis-pis persegi pnjng. Lus msing-msing persegi pnjng dlh f(x i ) x. Jik semu lus persegi pnjng dijumlhkn mk diperoleh J = f(x ) x + f(x ) x + f(x ) x f(x n ) x. = (f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x n )) x n = f( xi )x r = dengn merupkn notsi jumlh yng berurutn. J disebut dengn jumlhn Riemnn. Notsi ini pertm kli digunkn oleh Bernhrd Riemnn. Jik bnyk pis n mendekti tk berhingg (n ), jumlhn Riemnn itu mendekti lus derh dri Gmbr.. Oleh sebb itu, lus L dpt ditulis dlm bentuk Gmbr. L = lim f( xi )x n n i=... () Jik n mk x 0. b Integrl tertentu f dri smpi b dinytkn dengn f ( x) dx dn oleh Riemnn niliny didefinisikn sebgi b ( dx = lim f ( x i ) x x = f x) n 0 i... () b Dri definisi integrl tertentu di ts dpt diktkn f ( x) dx menytkn lus derh yng dibtsi oleh gris x =, gris x = b, kurv y = f(x), dn sumbu X.

19 Khz Mtemtik SMA IPS Perhtikn bhw substitusi () dn () menghsilkn b L = f ( x) dx... () Sekrng kit mislkn f (x) dx = F(x) + c. Lus L di ts merupkn fungsi dri x dengn x [, b] berbentuk Gmbr.4 L(x) = x f( x) dx = F(x) + c Jik nili t d pd intervl [, b], yitu {x x b} kit dpt mendefinisikn lus L sebgi fungsi dri t berbentuk t L(t) = f ( x) dx = F(t) + c Akibt dri pemisln di ts, kn diperoleh L() = f ( x) dx = F() + c = 0. Sebb lus derh dri x = hingg x = berbentuk rus gris sehingg lusny sm dengn nol. Kren L() = 0 mk diperoleh F() + c = 0 tu c = F()... (4) Akibt lin dri pemisln itu, kn diperoleh b L(b) = f ( x) dx = F(b) + c... (5) Hsil substitusi dri persmn (4) ke (5), diperoleh b L(b) = f ( x) dx = F(b) F() Dengn demikin, dpt disimpulkn bhw jik L dlh lus derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x = dn gris x = b mk. Pengertin Integrl Tertentu Klin thu bhw b L = f ( x) dx = F(b) F() b f ( x) dx = F(b) F()

20 Integrl menytkn lus derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b. Mislkn f kontinu pd intervl tertutup [, b] tu x b. Jik F sutu fungsi sedemikin rup sehingg F'(x) = f(x) untuk semu x pd [, b], berlku b f x) b ( dx = f( x) [ ] = F(b) F() Gmbr.5 F(x) dlh ntiturunn dri f(x) pd x b. Menggmbr Derh yng Dibtsi oleh Kurv Tentu klin msih ingt bgimn menggmbr grfik fungsi liner, fungsi kudrt, mupun fungsi trigonometri. Grfik fungsi-fungsi tersebut bnyk dibhs di sini, berkitn dengn pencrin lus derh yng btsi oleh kurv. Bgimn cr menggmbrkn derh itu? Mislkn kit kn menggmbr derh yng dibtsi oleh kurv f(x) = x dri x = 0 smpi x =, sumbu X, dn gris x =. Lngkh pertm dlh menggmbr grfik f(x) = x. Kemudin, trik gris btsny, yitu dri x = 0 smpi x = hingg memotong kurv. Arsir derh yng berd di bwh kurv f(x) = x dri x = 0 smpi x = dn di ts sumbu X. Hsilny tmpk seperti gmbr di smping. Bgimn jik derh yng kn digmbr dibtsi oleh du kurv? Pd dsrny sm dengn cr di ts. Mislkn kit kn menggmbr derh yng dibtsi oleh grfik f(x) = x dn g(x) = x dri x = 0 smpi x = dn gris x =. Terlebih dhulu, kit gmbr f(x) = x dn g(x) = x pd bidng koordint. Trik gris btsny, yitu x = 0 dn x = hingg memotong kedu grfik. Kemudin, rsir derh yng dibtsi oleh grfik itu dri x = 0 smpi x =. Hsilny tmpk seperti gmbr di smping. Coblh klin gmbr derh yng dibtsi oleh kurv-kurv berikut.. f(x) = x dn sumbu X. f(x) = x dn g(x) = x. f(x) = x dn g(x) = x

21 4 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh : Tentukn integrl tertentu untuk menghitung lus derh yng dirsir pd gmbr-gmbr berikut. Tugs: Inkuiri Kerjkn di buku tugs Dlm perhitungn lus sutu derh dengn menggunkn rumus integrl, terlebih dhulu klin hrus dpt menggmbr skets grfikny. Jelskn lngkhlngkh untuk menggmbr grfik fungsi liner dn fungsi kudrt. Berilh stu contoh untuk menggmbr grfik fungsi tersebut. () Gmbr.6 (b) Jwb:. Gmbr.6 () merupkn grfik gris lurus yng mellui titik (0, ) dn (, 0) mk persmn grisny dlh x + y = tu y = x. Untuk bts kiri dlh sumbu Y, berrti x = 0 dn bts knn dlh x =. Jdi, lus derhny dpt dinytkn dengn ( x) dx. 0 b. Gmbr.6 (b) merupkn sutu derh yng dibtsi oleh sumbu X dn kurv y = f(x). Kren kurv memotong sumbu X di titik (0, 0) dn (6, 0) mk y = 6x x. Untuk bts kiri dlh gris x = dn bts knn dlh x = 4. Jdi, lus derhny dpt dinytkn dengn 4 ( 6x x ) dx. Contoh : Gmbrkn derh-derh yng lusny dinytkn dengn integrl berikut. 4. ( x + ) dx b. ( 4 x ) dx 0

22 Integrl 5 Jwb:. Grfik y = f(x) = x + mempunyi titik potong (0, ) dn 4 (, 0) sehingg ( x + ) dx dpt digmbrkn seperti pd Gmbr.7. Gmbr.7 Gmbr.8 Kuis Contoh : Kerjkn di buku tugs 6 Nili dri 5x ( x ) dx =.... b. c. d. e UAS 007 b. ( 4 x ) dx 0 Dikethui f(x) = 4 x dengn bts bwh x = 0 dn bts ts x =. Kurv f(x) = 4 x merupkn prbol dengn titik potong (, 0) dn (, 0) yng membuk ke bwh. Dengn demikin, derh tersebut dpt digmbrkn seperti pd Gmbr.8. Tentukn nili-nili integrl berikut.. ( x + ) dx 4 b. ( x x) dx Jwb:. ( x + ) dx = x 4 b. ( x x) dx = x 4 + x = () + () ( ) + ( ) = x = ( 4 (4) 4 (4) ) ( 4 () 4 () ). Sift-Sift Integrl Tertentu = 54 Integrl sebenrny dpt ditentukn dengn mudh. Untuk mempermudh perhitungn integrl, klin dpt memnftkn sift-sift integrl. Agr klin menemukn sift-sift integrl, perhtikn contoh-contoh berikut.

23 6 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh : Hitunglh nili integrl dri fungsi berikut. ( ). x + 4 dx ( ) 0 b. x + 4x dx 0 ( ) c. x + 4x dx d. Ap yng dpt klin simpulkn dri hsil b dn c? Jwb:. ( x + 4) dx = x + 4x 0 [ ] [ + ] b. x + 4x dx = x + x 0 0 ( ) [ + ] = 4( ) 4( ) = (4 + 8) (4 + 8) = = 0 [ ] [ ] c. x + 4x dx = x + x ( ) [ ] = + ( ) 0 + ( 0) = (8 + 8) (0 + 0) = 6 0 [ ] [ ] [ ] = 0 + ( 0) + ( ) = 0 (8 + 8) = 6 d. Dri hsil perhitungn b dn c tmpk bhw x + 4x dx = x + 4x dx 0 ( ) 0 ( ) Contoh : Tentukn nili-nili integrl berikut.. 6x dx b. 6 x dx

24 Integrl 7 ( 4 ) c. 5x + x dx 4 d. 5x dx + x dx e. Dri nili integrl pd bgin smpi dengn d tersebut, p yng dpt klin simpulkn dri hubungn tersebut? Jwb:. 6x dx = x [ ] = [ ( ) ] [ () ] = 6 = 4 b. 6 x dx = 6 x = 6 ( ) ( ) = 6 8 = 6 7 = 4 4 c. 5x + x dx = x + x ( ) d. ) 5x 4 dx = x 5 ) xdx= x 4 5 [ ] = ( 5 + ) ( 5 + ) = (4 + 9) ( + 4 = 5 6 = 6 [ ] = 5 5 = 4 = [ ] = = 9 4 = 5 Jdi, 5x dx + x dx = + 5 = 6. e. Tmpk dri keempt nili di ts diperoleh hubungn sebgi berikut. ) 6x dx = 6 x dx 4 4 ) 5x + x dx = 5x dx + x dx ( )

25 8 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh : Tentukn nili-nili integrl berikut. 4. 4x dx b. 4x dx + 4x dx Jwb: 4. 4x dx = x c. Dri hsil dn b, p kesimpuln klin? [ ] = = 56 = b. 4x dx + 4x dx = x x 4 4 [ ] + [ ] = ( 4 4 ) + (4 4 4 ) = (6 ) + (56 6) = = 55 c. Tmpk dri hsil dn b bhw 4x dx = 4x dx + 4x dx 4 Dri contoh-contoh di ts mk dpt dituliskn sift-sift integrl sebgi berikut. Mislkn f(x) dn g(x) dlh fungsi-fungsi kontinu pd [, b], berlku sebgi berikut. 4 Tugs: Inkuiri Kerjkn di buku tugs Dengn menggunkn dsrdsr integrl yng telh klin peljri, cob buktikn sift-sift integrl tertentu di smping.. f ( x) dx = 0 b b. c b c. f( x) dx b f ( x) dx = c f ( x) dx, dengn c = konstnt = b f ( x) dx b d. [ f ( x) ± g( x)] dx = f ( x) dx ± g( x) dx c e. b b f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x) dx, dengn c b c b b

26 Integrl 9 Jendel Informsi Informsi lebih lnjut Bernhrd Riemnn (86 866) Sumber: George Friedrich Bernhrd Riemnn Tokoh yng hidup ntr thun ini dlh ilmuwn pemberi definisi modern tentng integrl tertentu. Mellui teori fungsi kompleks, di memprkrsi topologi dn geometri yng 50 thun kemudin memunck dlm teori reltivits Einstein. Slh stu kryny dlm bidng klkulus dlh integrl Riemnn. Sumber: Sol Kompetensi. Hitunglh nili dri integrl berikut. Kerjkn di buku tugs 5. ( 5x + ) dx d. ( x ) dx x b. x x dx e. ( x )(x + ) dx dx c. 4 x. Tentukn nili dri integrl berikut.. x(x ) dx = f. x ( x ) dx 0 b. 4 dx = x c. ( t) dt + ( t ) dt = 5 4. Jik x = y, tentukn nili-nili integrl berikut.. xdy c. ydx 0 b. ( x+ x ) dy 4 d. ( y y) dx 0

27 0 Khz Mtemtik SMA IPS 4. Tentukn lus derh yng dirsir pd gmbr berikut. () Gmbr.9 (b) y = x + 4x Gmbr.0 Y 4 O X D. Pengintegrln dengn Substitusi 5. Tentukn lus derh yng dibtsi oleh gris y = x + 4x + 4 dn sumbu X dri x = smpi x = 0 (perhtikn Gmbr.0). 6. Kelurg Pk Dedi ingin membeli sebidng tnh dengn bentuk seperti bidng yng dibtsi oleh f(x) = x, x = 6 dn sumbu X (dlm stun m). Jik hrg tnh tersebut Rp ,00/m, berp rupihkh ung yng hrus dibyrkn Pk Dedi untuk pembelin tnh itu? 7. Sebidng tnh berbentuk seperti bidng yng dibtsi f(x) = x +, x =, dn sumbu X (dlm stun m). Tentukn berp hrg tnh tersebut jik hrg per meter perseginy dlh Rp , Diberikn fungsi dc = 0x + 7 sebgi fungsi biy dx mrginl. Tentukn berp biy totl C(x) yng diperlukn untuk memproduksi brng ntr 0 unit smpi 0 unit. Slh stu cr untuk menyelesikn hitung integrl dlh dengn substitusi. Beberp bentuk integrl yng dpt diselesikn dengn melkukn substitusi tertentu ke dlm n fungsi yng diintegrlkn, mislny bentuk udu. Bgimn cr menyelesiknny? Untuk itu, perhtikn urin berikut. Pd pembhsn sebelumny, diperoleh x n = x n + n+ + c. Oleh kren itu, untuk menyelesikn integrl bentuk ( f( x)) n d(x) mk kit dpt menggunkn

28 Integrl n substitusi u = f(x) sehingg integrl tersebut berbentuk udu. n Dengn demikin, diperoleh udu= n + un + + c. Oleh kren itu, dpt dituliskn sebgi berikut. n n n+ ( f( x)) d( f( x)) = u du = u + c n + dengn u = f(x) dn n. Contoh : Tentukn hsil integrl berikut. 7. ( x + 6)( x + 6x + ) dx b. x 8x + )( x 4) dx ( Jwb: 7. ( x + 6)( x + 6x + ) dx 7 = ( x + 6x + ) (x + 6) dx Cr : du Mislkn u = x + 6x + = x + 6 dx du = (x + 6) dx. Oleh kren itu, ( x + 6 x+ ) 7 ( x+ 6 ) dx = u 7 du = 8 u 8 + c = 8 (x + 6x + ) 8 + c Cr : 7 ( x + 6)( x + 6x + ) dx 7 = ( x + 6x + ) d(x + 6x + ) = 8 (x + 6x + ) 8 + c b. x 8x + )( x 4) dx ( Cr : Mislkn u = x 8x +. du = x 8 du = (x 4) dx dx

29 Khz Mtemtik SMA IPS Oleh kren itu, ( x 8x + )( x 4) dx = u. du = u du = ( u ) + c = 4 u + c = 4 (x 8x + ) + c Tntngn Inkuiri Kerjkn di buku tugs Cob kmu jelskn lngkh-lngkh menyelesikn integrl berikut.. (x + x) 6 (x + ) dx 4 ( x + ) 4 b. dx x Jik d cr lin, cob kmu tunjukkn cr itu. Cr : ( x 8x + )( x 4) dx = ( x 8x + ) d( x 8 x + ) = ( ( x 8 x + ) d x 8 x + ) = ( (x 8x + ) ) + c = 4 (x 8x + ) + c Contoh : Tentukn integrl berikut.. x x dx b. x dx x + Jwb:. x x dx Mislkn u = x du = x dx sehingg x dx = du x x dx = u du = u du

30 Integrl = = u + 4 = u u + c + c + + c = ( u ) u + c b. x dx x + Mislkn u = x + du = 6x dx sehingg x dx = du. x dx = x + = du u u du = u + = ( u ) + c = u + c = x + + c + + c Bgimn jik integrl yng kn ditentukn dlh integrl tertentu? Crny sm sj dengn integrl tk tentu. Hny, yng perlu diperhtikn dlh bts integrsiny. Bts integrsi dpt digunkn vribel sebelum substitusi mupun vribel substitusi. Untuk lebih jelsny, perhtikn contoh berikut. Contoh : Tentukn nili dri x x dx. 0 Jwb: Mislkn u = x du = x sehingg du = xdx.

31 4 Khz Mtemtik SMA IPS Penentun bts integrsi Bts bwh: Untuk x = 0 mk u = 0 =. Bts ts: Untuk x = mk u = = 0. 0 x x dx = u du 0 = 0 = udu = u + u [ ] = u = 0 ( ) = Jik klin menggunkn vribel sebelum substitusi, yitu x mk terlebih dhulu dicri integrlny. Setelh itu, substitusikn nili x itu. Jdi, setelh diperoleh hsil x x dx = ( x ), substitusikn bts-bts x. ( x ) 0 Klin kn memperoleh hsil yng sm. Cob klin uji. Sol Kompetensi 4 Tentukn integrl berikut.. ( x 5) 4 dx. ( x ) dx. ( ( x) ) dx 4. ( x x)( x x + 0) dx 5. x 5 x dx 6. x x dx Kerjkn di buku tugs

32 Integrl 5 Tntngn Kretivits Kerjkn di buku tugs Tentukn integrl berikut.. ( x+ )( x + x+ ) 4 dx b. 4x dx x x dx x x 5+ 4x dx x dx 5 ( x + 9) 0. ( x+ ) + xdx Untuk sol nomor 5, tentukn nili integrl berikut.. ( 8x+ ) 5 dx 0. ( x ) xdx. ( x ) x x+ dx 0 4. ( x+ ) x+ dx 5. 4x 4 ( 6+ x ) dx E. Integrl Prsil Kdng-kdng, bentuk integrl u dv, dengn u dn v merupkn fungsi-fungsi dlm vribel x, sngt sulit dikerjkn, sedngkn v du lebih mudh dikerjkn. Jik kit menjumpi bentuk seperti itu mk kit perlu mengethui hubungn ntr kedu integrl tersebut untuk memperoleh penyelesin u dv. Mislny y = uv dengn y = y(x), u = u(x), dn v = v(x) merupkn fungsi diferensibel. Jik fungsi y diturunkn mk diperoleh dx dy = u dx dv + v dx du dy = u dv + v du d(uv) = u dv + v du

33 6 Khz Mtemtik SMA IPS Jik kedu rus persmn di ts diintegrlkn mk diperoleh d (uv) = u dv + v du uv = u dv + v du Dengn demikin, diperoleh sutu rumus sebgi berikut. u dv = uv v du Dri rumus di ts terliht bhw integrl dipish menjdi bgin, yitu u dn dv (yng mengndung dx) sehingg disebut sebgi integrl prsil. Untuk menggunkn rumus integrl prsil, perlu diperhtikn bhw bgin yng dipilih sebgi dv hrus dpt diintegrlkn dn v du hrus lebih sederhn (lebih mudh dikerjkn) dripd u dv. Agr lebih memhmi integrl prsil, perhtikn contoh berikut. Contoh : Tentukn x x dx. Jwb: Berdsrkn rumus integrl prsil mk integrl tersebut dibgi menjdi du bgin, yitu u dn dv. Untuk menentukn bgin u dn dv d beberp kemungkinn sehingg hrus dipilih yng pling tept sesui dengn kidh di ts. Kemungkinn yng dpt terjdi untuk memilih u dn dv dlh sebgi berikut.. Mislkn u = x x dn dv = dx. Oleh kren itu, du = x x dx dn v = x sehingg x x x x dx = x x( x) x( x ) dx x Dri integrl di ts terliht bhw bentuk tersebut sulit untuk ditentukn penyelesinny. Oleh kren itu, untuk pemisln u dn dv di ts ditolk. b. Mislkn u = x dn dv = x dx. Dengn demikin, diperoleh du = v = x dx = x x dx dn

34 Integrl 7 sehingg x x dx = x x x dx x = x x x dx 4 x Dri bentuk integrl di ts mk terliht bhw bentuk tersebut jug sulit ditentukn penyelesinny. Jdi, untuk pemisln u dn dv di ts ditolk. c. Mislkn u = x dn dv = x dx. Untuk u = x du = dx Untuk dv = x dx dv = x dx Oleh kren itu, v = x x dx = x x x dx x = 5 + x x c + + = x x + c 5 = 6 5 = 5 5 x + c x x + c Contoh : Tentukn x + x dx. Jwb: Mislkn u = x du = dx. dv = + xdx dv = ( + x) dx v = ( + x)

35 8 Khz Mtemtik SMA IPS Oleh kren itu, x + x dx = x x ( + ) ( + x ) dx = x( + x) ( + x) + c Ad sutu metode yng mempermudh pengerjn integrl prsil yng disebut dengn turn Tnzlin. Aturn Tnzlin digunkn untuk menyelesikn u dv pbil turunn ke-k dri fungsi u(x) bernili nol dn integrl ke-k dri fungsi v = v(x) d. Perhtikn contoh-contoh berikut. Contoh : Tentukn hsil integrl 8x ( x + ) 4 dx. Tugs: Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Gunkn turn integrl prsil untuk mengerjkn kembli contoh di smping. Bndingkn hsilny. Menurut klin, cr mn yng lebih mudh? Ap lsnklin? Jwb: 8x ( x + ) 4 dx 8 x ( x+ ) 4 dx Untuk integrl di ts, bgin yng lebih mudh didiferensilkn dlh x. Jdi, u = x dn dv = (x + ) 4 dx. Kit gunkn turn Tnzlin untuk mengerjkn integrl tersebut. Didiferensilkn Diintegrlkn x + (x + ) 4 x + ( x + ) ( 6 x + ) 0 ( 6 x + )

36 Integrl 9 8x 4 dx ( x + ) = 8 x ( ( x+ ) ) x ( (x + ) ) + 6 ( (x + ) )] + c = x ( x+ ) x( x+ ) ( x + ) + c Sol Kompetensi 5 Kerjkn di buku tugs. Hitunglh integrl-integrl berikut. 4. x ( x ) dx d. ( x) dx b. 0x (5x + ) dx e. 0x( 4 x ) dx c. 4x dx f. x( 5 x) dx x + 5. Dengn menggunkn lebih dri stu kli rumus integrl prsil, tentukn nili-nili integrl berikut.. x x + 5 dx d. x x 9 dx b. x x dx e. x x dx c. x + x dx. Gunkn turn Tnzlin untuk menentukn nili integrl berikut.. x x dx d. (x ) x dx b. x ( x) dx e. 5 c. x x + dx 4. Tentukn nili integrl berikut. 5. x x+ dx b x ( x + ) 5. Tentukn hsil dri integrl-integrl berikut.. x x dx 0 4 dx x dx ( x+ 4) x+ 4 c. ( x) xdx 0 4 b. x x + 5 dx 0

37 0 Khz Mtemtik SMA IPS F. Penggunn Integrl Tertentu Pd pembhsn sebelumny, kit telh mempeljri teoriteori yng berhubungn dengn integrl tertentu. Sekrng kit kn mempeljri beberp penggunn integrl tertentu, yitu untuk menentukn lus sutu derh dn volume bend putr jik sutu derh diputr mengelilingi sumbu tertentu.. Lus Derh yng Dibtsi oleh Kurv y = f(x), Sumbu X, Gris x =, dn Gris x = b. Untuk f(x) 0 pd Intervl x b Mislkn L dlh lus derh pd bidng Crtesius yng dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x = dn gris x = b seperti gmbr di smping. Lus derh L ditentukn oleh rumus berikut. Gmbr. b L = f ( x) dx Contoh: Sutu derh dibtsi oleh kurv y = x, x =, x =, dn sumbu X. Lukislh kurv tersebut dn rsir derh yng dimksud, kemudin tentukn lusny. Jwb: Kurv derh yng dimksud seperti Gmbr.. L = ( x ) dx = x x Gmbr. = () () = = 9 + =

38 Integrl Gmbr. b. Kurv f(x) 0 pd Intervl x b Mislkn L dlh lus derh pd bidng Crtesius yng dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b seperti Gmbr.. b Dri gmbr di smping, nili integrl tertentu f ( x) dx kn bernili negtif. Pdhl lus sutu derh hrus bernili positif sehingg rumus untuk menghitung lus derh di bwh sumbu X sebgi berikut. b L = f ( x ) dx = f ( x ) dx b Contoh: Tentukn lus derh yng dibtsi oleh. y = f(x) =, sumbu X, gris x = dn x = 5; b. y = f(x) = x, sumbu X, gris x =, dn x =. Jwb:. y = f(x) = dpt digmbrkn seperti Gmbr.4. Kren derh yng dimksud berd di bwh sumbu X mk b L = f ( x) dx Gmbr.4 Tntngn Penlrn Kerjkn di buku tugs Mislny diberikn sutu fungsi turunn dy = x +. dx Fungsi y = f(x) mellui titik (, ). Bgimn cr menentukn lus derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, sumbu Y, dn gris x =? Berpkh lus derh yng dimksud? 5 = 5 dx = dx = [ x ] 5 = (5) () = b. Kurv y = x tmpk seperti Gmbr.5. Kren derh yng kn dicri lusny berd di bwh sumbu X mk lusny dlh ( ) L = f x = ( x ) dx = x x = () ( ) = = Gmbr.5

39 Khz Mtemtik SMA IPS c. Untuk f(x) 0 pd Intervl x c dn f(x) 0 pd Intervl c x b Mislkn L lus derh yng dibtsi oleh y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b seperti gmbr di smping. Lus derh L tidk dpt dihitung menggunkn rumus Gmbr.6 b f ( x) dx kren lus derh L terbgi menjdi du bgin, yitu di ts dn di bwh sumbu X sehingg kn memberikn hsil yng slh. Cr menghitung lus derh L dlh dengn membgi lus derh L menjdi du bgin, yitu L sebgi lus derh yng berd di ts sumbu X dn L sebgi lus derh yng berd di bwh sumbu X. Oleh kren itu, lus seluruh bgin yng dirsir dlh c L = f ( x ) dx f ( x ) dx b = f ( x) dx + c c c b f ( x) dx L L Gmbr.7 Contoh: Tentukn lus derh yng dibtsi oleh kurv y = x + 4x +, sumbu X, sumbu Y, dn x =. Jwb: Gmbr kurv y = x 4x + tmpk di smping. Grfik memotong sumbu X sehingg diperoleh titik potong (, 0) dn (, 0). Derh yng dimksud dlh derh yng dirsir. Kit bgi derh tersebut menjdi du bgin yitu L dn L. Kren L terletk di bwh sumbu X (bernili negtif), L diberi tnd negtif (gr menjdi positif). Oleh kren itu, lus derh yng dicri dlh sebgi berikut. Lus = L + L = 0 f ( x) dx f ( x) dx = ( x 4x + ) dx + ( x 4x+ ) dx 0 = x x + x + x x + x 0 = () () + () 0 + () () + ()

40 Integrl () () + () = + = stun lus. Lus Derh ntr Du Kurv Gmbr.8 Mislkn L dlh lus derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x) dn y = g(x), dengn f(x) > g(x), x =, dn x = b seperti pd Gmbr.8. Lus derh tersebut dpt dihitung dengn cr berikut. L = Lus TURS Lus TUQP b b = f ( x) dx g ( x) dx b = { f ( x) g( x)} dx b = ( y y ) dx Jdi, lus derh ntr du kurv y = f(x), y = g(x), x =, dn x = b dlh sebgi berikut. Kuis Kerjkn di buku tugs Contoh: Titik-titik A(, b), B(b, ), dn C(c, 4) terletk pd kurv y = x. Lus derh ABC =... stun lus. 0 d b. e. 7 0 c. 9 5 Kompetisi Mtemtik DKI, 000 Tentukn lus derh yng dibtsi oleh kurv y = x dn y = x +. Jwb: Bts-bts x diperoleh dengn menentukn titik-titik potong kedu kurv, yitu x = x + x x = 0 (x + )(x ) = 0 x = tu x = Untuk x = mk nili y =. Gmbr.9 Untuk x = mk nili y = 4. Jdi, titik potong kedu kurv, yitu x = dn x = merupkn bts pengintegrln.

41 4 Khz Mtemtik SMA IPS L = ( y y ) dx = ( x + x ) dx = x + x x = ( ) ( + ) 7 9 = = stun lus 6 Mri Berdiskusi Inovtif Sutu derh yng dibtsi oleh du kurv (liner-kudrt tu kudrt-kudrt) dpt ditentukn lusny dengn cr berikut. Mislny D menytkn diskriminn dri persmn kudrt gbungn yng berbentuk, x + bx + c = 0. lus = D D 6 Persmn kudrt gbungn diperoleh dri y y = 0, slkn y > y. Tugs klin bersm temn-temn klin berkresi dengn rumus yng telh klin phmi untuk mencri dri mn rumus itu diperoleh. Problem Solving Tentukn lus derh yng dibtsi prbol y = x dn gris x y + = 0. Jwb: y = x dn x y + = 0 y = x +. y y = 0 x (x + ) = 0 x x = 0 =, b =, dn c =. D = ( ) 4 ( ) = 4 + = 6 Lus = D D = = = stun lus (Cob klin tunjukkn derh yng dimksud dengn menggmbrknny pd bidng koordint.)

42 Integrl 5 Mri Berdiskusi Inkuiri Butlh sembrng persmn gris lurus pd bidng Crtesius. Dri ketig gris yng klin but, dptkh ditentukn sebuh bidng dtr? Dptkh ditentukn lusny dengn menggunkn integrl? Sol Kompetensi 6 Kerjkn di buku tugs. Hitunglh lus derh yng dirsir pd gmbr berikut. Kuis Kerjkn di buku tugs () (b) Lus persegi pnjng terbesr yng dpt dibut dlm derh yng dibtsi kurv y= x 6 dn y = 4 dlh stun b. stun c. 8 stun d. stun e. stun Kompetisi Mtemtik DKI, 000 (c) Gmbr.0. Dengn membut skets gmbr terlebih dhulu, tentukn lus derh yng dibtsi oleh kurv-kurv di bwh ini.. y = x + 6, gris x =, gris x =, dn sumbu X. b. y = 4 x, gris x =, gris x =, dn sumbu X. c. y = x, gris x = 0, gris x =, dn sumbu X. d. y = x 4, gris x =, sumbu Y, dn sumbu X. e. y = x x 6, gris x =, gris x =, dn sumbu X.. Tentukn lus derh yng dibtsi oleh du kurv berikut.. y = x dn y = 5 c. y = x x dn y = x + 8 b. y = x dn y = 4x x d. y = x dn y = x (d)

43 6 Khz Mtemtik SMA IPS 4. Dikethui lus bidng yng dibtsi oleh gris y = x, y = 500 x, dn sumbu X ntr x = dn x = b menytkn bnykny krywn sutu pbrik yng berpenghsiln ntr ribu rupih dn b ribu rupih. Jik = 00 dn b = 400 mk tentukn bnykny krywn yng berpenghsiln di ts 400 ribu rupih. 5. Dikethui grfik fungsi f '(x) = x + 5. Grfik fungsi f(x) mellui titik (, 0). Tentukn lus derh yng dibtsi kurv y = f(x), sumbu X, sumbu Y, dn gris x = 4 dn x = Pk Snjy memiliki tnh yng letkny di tepi sungi. Tnh Pk Snjy menyerupi bentuk sutu bidng yng dibtsi oleh kurv y = x, y = 0, x = 0, dn x = 8. Pk Snjy menghendki keuntungn dri penjuln per m - ny sebesr Rp60.000,00. Jik keinginn itu tercpi, berp keuntungn totl yng diperoleh Pk Snjy? 7. Pk Fery memiliki sebuh perkebunn kret yng bentukny seperti bgin dirsir pd Gmbr.. Berpkh lus perkebunn kret milik Pk Fery itu? Y 4 y = 4x x O 8 Gmbr. X 8. Sebuh krton memiliki bentuk seperti Gmbr. yng dirsir. Bentuk krton itu berup bngun dtr yng dibtsi oleh kurv y = 4x 4x dn y = x x dri x = 0 smpi dengn x =. (Setip stun mewkili dm). Tentukn lus krton itu. Y y = 4x 4x y = x x O 0,5 Gmbr. X

44 Integrl 7 9. Pk Ketut memiliki sebidng tnh yng terletk di tepi sungi. Bentuk permukn (derh) dri tnh itu menyerupi derh yng dibtsi oleh kurv y = x, sumbu X, gris x = 0, dn gris x = 0 (stun dlm m). Pk Ketut ingin menjul tnh itu. Pk Ketut menghrp keuntungn Rp50.000,00 per m. Berpkh totl keuntungn yng dpt diperoleh Pk Ketut jik tnh itu terjul seluruhny? 0. Sutu perushn produsen mesin-mesin cnggih merkit x unit mesin per buln. Keuntungn mrginl bulnn (dlm rtusn ribu) dinytkn oleh fungsi M(x) = 65 x, untuk (0 x < 4.000) 0 Pd st ini, perushn itu merkit.500 unit mesin per buln, tetpi berencn meningktkn produksiny. Berpkh perubhn totl keuntungn per buln jik produksi ditingktkn hingg.600 unit? Petunjuk: Perubhn totl keuntungn dpt ditentukn dengn M(.600) M(.500).. Volume Bend Putr (Pengyn) Bend putr dlh sutu bend yng terbentuk dri sutu derh tertutup pd bidng Crtesius dn diputr mengelilingi sumbu X tu sumbu Y dengn stu putrn penuh (60 o ). Mislny: segitig Bend yng terbentuk kerucut () (b) setengh lingkrn Bend yng terbentuk bol (c) Gmbr. (d)

45 8 Khz Mtemtik SMA IPS Tntngn Kretivits Kerjkn di buku tugs Andikn ls sebuh bend pejl berup bidng dtr dn terletk di kudrn I x yng dibtsi oleh y =, 4 sumbu X, dn sumbu Y. Anggplh penmpng yng tegk lurus pd sumbu X berbentuk persegi. Berpkh volume bend ini?. Derh Dibtsi Kurv y = f(x), Sumbu X tu Sumbu Y, Gris x =, dn Gris x = b ) Perputrn Mengelilingi Sumbu X Mislkn sutu derh dibtsi kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b diputr mengelilingi sumbu X seperti pd Gmbr.4 (). () Gmbr.4 (b) Jik bend putr tersebut dipotong dengn tebl potongn setebl x dri intervl x b, kn terbentuk n buh keping. Keping tersebut berup silinder dengn jrijri y = f(x i ) dn tinggi (teblny) x. Perhtikn Gmbr.4 (b). Volume keping ke-i dlh V i = y i x, sedngkn volume semu bend dlh jumlh volume keping sebnyk n buh, yitu Jik n mk V = lim n n V = y x i= i x 0 sehingg diperoleh n i= y i x b = y dx Dengn demikin, dpt kit simpulkn sebgi berikut. Volume bend putr yng terjdi dri derh yng dibtsi oleh y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o, volumeny dlh b V = y dx

46 Integrl 9 Contoh: Tentukn volume bend putr yng terjdi jik bidng dtr yng dibtsi oleh kurv y = x, sumbu X, dn gris x = diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o. Jwb: b V = y dx = x dx 0 Gmbr.5 = x 0 = () 0 = 9 stun volume ) Perputrn Mengelilingi Sumbu Y Mislkn sutu derh dibtsi kurv y = f(x), sumbu Y, gris y = c, dn y = d diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o, kn membentuk bend putr seperti gmbr di smping. Cr menentukn volume bend putr dri derh yng diputr mengelilingi sumbu Y sm seperti menentukn volume bend putr yng mengelilingi sumbu X. Gmbr.6 Jik derh yng dibtsi oleh x = f(y), sumbu Y, gris y = c, dn gris y = d diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o, volume bend putrny dlh d V = x dy c Contoh: Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh yng dibtsi oleh sumbu Y, kurv y = x, gris y =, dn gris y = 5 diputr mengelilingi sumbu Y. Jwb: d V = x dy c 5 = ( y) dy

47 40 Khz Mtemtik SMA IPS 5 = y dy = y = (5) () 5 = stun volume Gmbr.7 Gmbr.8 b. Volume Bend Putr Derh di ntr Du Kurv ) Perputrn Mengelilingi Sumbu X Dimislkn A dlh derh tertutup yng dibtsi oleh kurv-kurv y = f(x) dn b V = ( f ( x)) y = g(x) dengn f(x) g(x) pd intervl x b. Derh yng terbentuk diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o sehingg terbentuk sutu bend putr yng tenghny kosong. Perhtikn gmbr di smping. Volume bend yng terbentuk dri derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x), y = g(x), gris x = dn x = b dlh dx b ( g ( x)) dx b = (( f( x)) (( g( x)) ) dx b = (y y ) dx Dengn demikin, dpt disimpulkn sebgi berikut. Jik derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x), kurv y = g(x), gris x =, dn gris x = b, dengn f(x) g(x) diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o mk volume bend putr yng terjdi dlh b V = (y y ) dx tu V = [( f ( x)) ( g( x)) ] dx b

48 Integrl 4 Contoh: Gmbr.9 Tentukn volume bend putr yng terjdi, jik derh yng dibtsi oleh kurv y = 6x x dn y = x diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o Jwb: Perpotongn ntr kurv y = 6x x dn y = x dlh sebgi berikut. y = y 6x x = x 5x x = 0 x(5 x) = 0 x = 0 tu x = 5 Nili x = 0 dn x = 5 digunkn sebgi bts-bts integrsi volume bend putrny. Dengn demikin, diperoleh b V = ( y y ) dx 5 = [( 6x x ) x ] dx = ( x x + 5x ) dx 0 = x x + x = 0 08 stun volume Gmbr.0 ) Perputrn Mengelilingi Sumbu Y Mislkn A dlh derh tertutup yng dibtsi oleh kurvkurv x = f(y) dn x = g(y) dengn f(y) g(y) pd intervl c y d. Cr yng sm dpt diterpkn untuk mencri volume bend putr yng dibtsi du kurv x = f(y), x = g(y), gris y = c dn y = d seperti st kit menentukn volume bend putr jik diputr mengelilingi sumbu X. Dengn demikin, dpt ditunjukkn bhw volume bend putr itu dlh sebgi berikut. Jik sutu derh yng dibtsi oleh kurv x = f(y), kurv x = g(y), gris y = c, dn gris y = d dengn f(y) g(y) diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o, volume bend putr yng terjdi dlh d V = (x x ) dy tu (( f ( y)) ( g( y)) ) dy c d c

49 4 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh: Hitunglh volume bend putr yng terjdi jik derh yng dibtsi oleh kurv y = x, y = x, dn y = di kudrn pertm diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o. Jwb: Kurv y = x x = Kurv y = x x = y x = y y Gmbr. x = y Dengn demikin, volume bend putrny dlh d V = (x x ) dy c = ( y y) dy 0 = y dy 0 = y = () () 0 = stun volume 0 Sol Kompetensi 7 Kerjkn di buku tugs. Tentukn volume bend putr dri derh yng dirsir berikut jik diputr mengelilingi. sumbu X sejuh 60 o ; () Gmbr. (b)

50 Integrl 4 b. sumbu Y sejuh 60 o. () Gmbr.. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh-derh yng dibtsi oleh kurv-kurv berikut diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o.. y = x +, sumbu Y, dn sumbu X b. y = 9x x dn sumbu X c. y = x dn y = x + d. y = x + dn y = e. y = x 6 dn y = x f. y = x dn y = x. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh-derh yng dibtsi oleh kurv diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o.. y = x, sumbu Y, y =, dn sumbu X b. y = x, sumbu Y, dn gris y = c. y = x + 6, gris y =, dn gris y = 6 d. y = x, y = x, dn sumbu Y (Petunjuk: bgilh derh lusn menjdi du bgin) e. y = x, gris x =, dn sumbu X f. y = x dn y = x g. x = y dn y = x h. x = 9 y dn x = y 4. Klin tentu thu bhw volume sebuh tbung dlh V = r t, dengn r = jri-jri ls tbung dn t tinggi tbung. Cob klin tunjukkn dengn menggunkn konsep bend putr. (Petunjuk: mbillh permisln fungsi konstn) 5. Di kels X, bhkn SMP dn SD, klin telh diperkenlkn dengn volume kerucut, yitu V = r t. Dengn menggunkn konsep bend putr, cob tunjukkn kebenrn rumus itu. (Petunjuk: mbillh permisln fungsi liner). (b)

51 44 Khz Mtemtik SMA IPS 6. Mislkn diberikn persmn lingkrn x + y = r, r dri jri-jri lingkrn. Dengn menggunkn persmn ini dn terpn konsep bend putr, tunjukkn bhw volume bol dlh V = 4 r, dengn r dlh jri-jri bol. 7. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh yng dibtsi oleh prbol y = x dn y = x x yng diputr mengelilingi sumbu X sebesr 60 o. (UAN 005) 8. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik. derh yng dibtsi oleh kurv y = x + dn gris y = diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o ; b. derh yng dibtsi oleh gris y = x dn prbol y = x diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o. 9. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh ntr kurv y = x + dn y = x + diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o. (UAN 006) 0. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh yng dibtsi oleh sumbu X dn kurv y = x 9 mengelilingi sumbu X sejuh 60 o. diputr Rngkumn. Bentuk integrl f ( x) dx = F(x) + c dinmkn integrl tk tentu.. Rumus-rumus integrl tk tentu dlh sebgi berikut.. dx = x + c b. dx = x + c, konstnt c. x n dx = x n + + c, n n +. Jik F ntiturunn dri f mk rumus untuk integrl tertentu yng dinytkn sebgi lus derh yng dibtsi oleh kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b dlh b f ( x) dx = [ F ( x) ] b = F(b) F() 4. Sift-sift integrl tertentu dlh. f ( x) dx = 0 b b. cf ( x) dx = c f ( x) dx b c. f ( x) dx = d b c b b f ( x) dx = b f ( x) dx f ( t) dt e. f ( x) dx f ( x) dx b + = dengn < c < b b ± = f. [ f( x) g( x)] dx c b b f ( x) dx f ( x) dx ± b g ( x) dx

52 Integrl Lus derh yng dibtsi oleh du kurv y = f(x), y = g(x), gris x =, dn gris x = b dengn f(x) g(x) dlh L = b ( y y ) dx. 6. Volume bend putr (Pengyn). Jik derh dibtsi kurv y = f(x), sumbu X, gris x =, dn gris x = b diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o, volume bend putrny dlh b V = ( f ( x)) dx b = y dx b. Jik derh yng dibtsi oleh kurv x = f(y), sumbu Y, gris y = c, dn gris y = d diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o, volume bend putrny dlh d V = ( f ( y)) c dy d = c x dy Refleksi Ap yng menurut klin menrik dri mteri ini? Adkh hl bru yng klin peroleh? Apkh setip fungsi dpt diintegrlkn? Jik d fungsi yng tidk dpt diintegrlkn, fungsi seperti pkh itu? Jelskn. Tes Kemmpun Bb I Kerjkn di buku tugs A. Pilihlh jwbn yng tept dengn memberi tnd silng (x) pd huruf, b, c, d, tu e. 5. xx ( 9) dx=.... b. c. d. e. 5 ( x 9) + c 5 5 ( x 9) + c 6 6 ( x 9) + c 6 4 ( x 9) + c 6 6 ( x 9) + c 5.. x + 6 dx =... x + 4. ( x 4) ( x+ 6) + c b. x ln x c c. x + ln x c d. x ln x c e. x + ln x c 4( x ) 5 x dx =.... 4(x )x 5 + c b. 4(x )x 4 + c c. x + 8x 9x 4 + c d. x + 8x + c e. 4x 5 + c

53 46 Khz Mtemtik SMA IPS 4. ( 5x 4 6x + 4x ) dx =... (Ebtns 99). 0x 5 x + 4x x + c b. 0x 5 x + 4x + c c. 5x 5 6x + 4x x + c d. x 5 x + x + x + c e. x 5 x + x x + c 5. Dikethui f '(x) = x + ( ). Jik f() = dn f() = 0, nili dlh.... d. b. e. c. 6. Grdien gris singgung kurv y = f(x) di sembrng titik (x, y) dlh f '(x) = 4x. Jik kurv f(x) mellui titik (, ), persmn kurv f(x) =.... x + 4x 5 b. x 4x 5 c. x x + 6 d. x x + 6 e. x x Nili ( 4 x ) dx = d. 6 b. 4 e. 6 c Lus derh yng dibtsi kurv f(x) = x + 4, x =, dn x = 0 dlh... stun lus d. 8 8 b. c e Lus derh yng dibtsi oleh kurv y = x + dn gris x = dlh... stun lus.. b. 5 c. d. 8 e. 0 m 0. Mislkn dikethui x dx = dn 0 n 0 0 ( x ) dx = 4, dengn m, n > 0. Nili (m + n) = b. 5 c. 0 d. 5 e. 0. Lus derh yng dibtsi oleh kurv y = x + dn y = x 4x 8 dlh... stun lus.. 8 b. 8 5 c. 0 d. 0 e Lus derh yng dibtsi oleh kurv y = x dn y = x dlh... (UN 004). stun lus 4 b. 5 stun lus c. 5 stun lus 6 d. stun lus e. 5 stun lus 4

54 Integrl 47. Persmn kurv fungsi yng memenuhi syrt dy = x x+ 9 dn nili dx minimum 0 dlh.... y = x 6x + 9x 4 b. y = x 6x + 9x + 4 c. y = x 6x 9x 4 d. y = x + 6x + 9x 4 e. y = x + 6x + 9x Dikethui persmn gris singgung pd sutu kurv di titik (, 0) dlh dy = 6 6 x. Andikn di titik (x, y) pd dx kurv berlku d y dx = x 0, persmn kurv itu dlh.... y = x 4 5x 4 b. y = x 4 5x + 4 c. y = x 4 + 5x + 4 d. y = x 4 + 5x 4 e. y = x 4 4x 5 5. Dikethui biy mrginl yng dikelurkn sutu perushn dirumuskn dengn C'(Q) = 6Q (dlm jut rupih). Biy totl untuk memproduksi 00 unit brng yng sm dlh 9,805 jut rupih. Fungsi biy totlny C(Q) =.... Q Q + 5 b. Q + Q + 5 c. Q Q + 5 d. Q Q 5 e. Q + Q 5 6. Dikethui F'(x) = 6x + x 4 dn F() = 0 mk F(x) =... (Ebtns 995). x + x 4x + 8 b. x + x 4x 8 c. x + x 4x d. x + x x 4 e. x + x x Akr-kr persmn x 0x + 4 = 0 dlh p dn q, dengn p q. Nili q ( x) x 4x dx =... (UAN 00) p. 4 b. 8 c. 6 d. 4 e. 8. Mislkn f '(x) turunn dri f(x). Jik f '(x) = 6x 4x + dn f() = 4 mk fungsi f(x) =.... x x + x 6 b. x x + x c. x x + x + 6 d. x x + x e. x x + x 9. Nili dri ( x 4x ) dx dlh... (Ebtns 99). 56 b. 4 c. 40 d. 4 e Pd tip titik (x, y) sebuh kurv y = f(x) berlku dy = 8x. Kurv mellui titik dx (, 0). Persmn kurv itu dlh... (Ebtns 99). y = 4x + 9x + 9 b. y = 4x x + 4 c. y = 4x x + 7 d. y = 4x + x + 8 e. y = 4x x +

55 48 Khz Mtemtik SMA IPS. Perhtikn gmbr berikut.. 4 b. 8 c. 8 Lus derh yng dirsir pd gmbr di ts dlh... stun lus (UN 006). d. 6 b. e. 9 d. 7 e Jik f(x) = (x ) 4 dn g(x) = f(x) mk lus derh yng dibtsi oleh kurv f dn g dlh...stun lus (UAN 00). 0 d. 4 s c. 5 b. e. 46. Hsil dri x ( x 6 ) dx =... (UAN 00). 4 d. b. e. 4 c. 0. Lus derh yng dibtsi prbol y = 8 x dn gris y = x dlh... (UAN 00). 6 stun lus b. 4 stun lus c. 4 stun lus d. 46 stun lus e. 46 stun lus 4. x x dx =... (UAN 00) 6 c. 6. Grdien gris singgung sutu kurv di sembrng titik P(x, y) dirumuskn dengn dy = x. Jik kurv mellui titik (, ) dx mk persmn kurv dlh... (UN 004). f(x) = x x b. f(x) = x x 5 c. f(x) = x x 5 d. f(x) = x x e. f(x) = x x 9 7. Volume bend putr yng terjdi jik sutu derh yng dibtsi kurv y = x, sumbu X, x = 0, dn gris x = 5 diputr mengelilingi sumbu Y dlh d. b. 65 e. c

56 Integrl 49 p 8. Dikethui xx ( + ) dx = 78. Nili ( p) =... (UN 007/Pket 4). 8 d. 4 b. 4 e. 8 c Lus derh tertutup yng dibtsi oleh y = x dn y = 5x 4 dlh... (UN 007/Pket 4). stun lus 6 b. 8 stun lus c. 9 stun lus d. e. 5 stun lus stun lus p 0. Dikethui ( t + 6t ) dt = 4. Nili 4p =... (UN 007/Pket 4). 6 b. 8 c. 6 d. 4 e. B. Jwblh pertnyn-pertnyn berikut dengn benr.. Tentukn integrl berikut.. ( x ( x + ) ) dx b. 9 ( x + 5)( 4x x ) dx c. xx ( 4 x+ 4) dx x x d. x x+ ( x)dx e. 6 4x dx x. Tentukn nili dn b yng memenuhi df ( x) = x + b, f(0) = + f( ), dx dn f() f(0) = 5.. Tentukn persmn kurv y = f(x) jik grdienny m = dy dx = (x ) dn kurv mellui titik A(, 0). 4. Tentukn lus derh yng dibtsi oleh kurv y = x x + dri x = 0 smpi dengn x =. 5. Mislkn derh D dlh derh yng dibtsi kurv y = x, y = 4x, dn gris y = 4. Derh D terletk di kudrn I. Jik derh D diputr mengelilingi sumbu Y, tentukn volume bend putr yng terjdi. 6. Sutu derh memiliki ngk pertumbuhn penduduk yng mengikuti pol dp = 0 + t dt 5 P dlm ribun dn t dlm thun. Jik thun ini populsiny d 0 ribu penduduk, tuliskn pol ngk pertumbuhn pendudukny. 7. Tentukn volume bend putr yng terjdi jik. derh yng dibtsi oleh kurv y = x + dn gris y = diputr mengelilingi sumbu Y sejuh 60 o. b. derh yng dibtsi oleh gris y = x dn prbol y = x diputr mengelilingi sumbu X sejuh 60 o.