Variansi yang tepat mengenai ungkapan diatas, disebut pertaksamaan MARKOV dan pertaksamaan CHEBYSHEV.

Transkripsi

1 TEOREMA MARKOV DAN CHEBYSHEV Variansi dari variabel random mengendalikan penyebaran distribusinya disekitar mean. Variansi kecil menunjukan besar deviasi disekitar mean adalah mustahil. Variansi yang tepat mengenai ungkapan diatas, disebut pertaksamaan MARKOV dan pertaksamaan CHEBYSHEV. Pertaksamaan ini, sangat baik sekali manfaatnya; karena tidak memerlukan bantuan distribusi peluang. Yang diperlukan hanya μ dan σ Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 1

2 TEOREMA PERTAKSAMAAN MARKOV Jika adalah variabel random yang hanya mengambil nilai-nilai yang non-negatif, maka untuk a > 0, a R berlaku : P ( a) E ( ) a Bukti, di bahas dikelas Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT

3 TEOREMA PERTAKSAMAAN CHEBYSHEV JIKA ADALAH VARIABEL RANDOM DENGAN MEAN μ DAN VARIANSI σ, MAKA UNTUK SUATU NILAI k >0; k R, BERLAKU : { μ } P k = σ k Bukti, di bahas di lembar berikutnya Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 3

4 BENTUK EKUIVALENSI Bentuk ekuivalensi dari pertidaksamaan Chebyshev, Sebagai berikut : JIKA variabel random mempunyai mean μ dan variansi σ, maka untuksuatukonstantac dank berlaku: 1 a. P ( μ k σ ) k 1 b. P ( μ < kσ ) 1 k σ c. P ( μ c ) c Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 4

5 MARKOV INEQUALITY Jika pa/rv yang hanya mengambil nilai-nilai non negatif, maka untuk a > 0, a R BUKTI : E ( ) = x f x d x 0 a 0 P a ( ) = + E( ) a xf( x) dx xf( x) dx x f( x) dx a a Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 5

6 MARKOV INEQUALITY af( x) dx= a ( ) a f ( x) dx= a P a a ( ) JADI : P a E( x) a Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 6

7 CHEBYSHEV S INEQUALITY Jika pa/rv dengan mean (rataan( rataan) μ dan variance (variansi/ragam) σ, maka untuk suatu nilai k > 0 ; k R berlaku : { μ } P k Bukti : Karena ( - μ ) adalah pa/vr yang non negatif maka pertidaksamaan MARKOV dapat dipakai yaitu dengan mengambil nilai a = k σ k Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 7

8 CHEBYSHEV S INEQUALITY INGAT : E( ) ( a) P a {( ) } μ P k E ( μ) k Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 8

9 TEOREMA CHEBYSHEV ( ) μ k <====> μ k JADI : ( μ ) P k ( μ σ ) P k σ Selanjutnya apabila k diganti dengan kσ, maka : k k 1 Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 9

10 TEOREMA CHEBYSHEV VR mempunyai mean : μ variansi : σ Untuk suatu konstanta c dan k berlaku :... 1 k ( μ ) x σ P k atau ( μ ) < σ 1 P k atau ( μ ) P c σ c 1 k KETIGA BENTUK DIATAS EKUIVALEN Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 10

11 SOAL - SOAL 1. Dengan menggunakan CHEBYSHEV-INEQ Carilah Lower Bound pada : P < 4 < 0 ( ) dimana vr mempunyai : Mean μ = 8 dan Var = 9 Solusi :. Diberikan VRD dengan pmf : x p(x) -1 1/8 0 6/8 1 1/8 p( x) Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 11

12 SOAL - SOAL Dengan menggunakan CHEBYSHEV-INEQ ( μ σ ) P k Carilah Upper Bound, untuk k =. Selanjutnya hitung melalui probabilitas biasa, bandingkan hasil perhitungan ini dengan CHEBYSHEV-INEQ k 1 Solusi : Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 1

13 SOAL untuk dikerjakan sendiri Diberikan VR dengan pdf sebagai berikut : f 1 < x< () x = x 3ataux 3 Pertanyaan : ( 3) P ( ) P?; Bandingkan perhitungan diatas (Exact Prob) dengan Upper Bound yang diperoleh dengan CHE-INEQ SOLUSI Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 13

14 SOAL untuk dikerjakan sendiri Andaikan VR hanya mengambil harga x = 1 dan x = -1 masing-masing dengan peluang = 0.5. Tentukan Lower Bound pada : P < 1 < 1 Melalui ( ) Melalui CHE-INEQ Bandingkan dengan EACT/ACTUAL PROBABILITY Solusi : Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 14

15 Soal-soal 1. Diberikan pmf dari variabel random sebagai berikut : x p(x) Tentukan k sehingga memenuhi sifat dari pmf!. Andaikan W suatu variabel random dengan pmf w k P(W=w) = p(w) -1 3k Pertanyaan : a. Tentukan nilai k b. Tentukan pmf dari = W + 1 k 0 3k 3 3k 1 6k Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 15

16 Soal-soal 3. Andaikan suatu variabl random dengan fungsi distribusi, sebagai berikut : 0 untuk x < 4 0,1 untuk 4 x < 5 0,4 untuk 5 x < 6 F(x) = 0,7 untuk 6 x < 8 0,9 untuk 8 x < 9 1 untuk x 9 Pertanyaan : a. Skets grafik F(x) b. Tentukan pmf dari berikut grafiknya c. Dengan menggunakan fungsi distribusi; tentukan : P ( 6,5 ), P( > 8,1) P ( 5 < 8 ), P (5 < 8) Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 16

17 Soal-soal 4. VR berdistribusi Binomial dengan E() = 6 dan Var =,4 Tentukan : a. P ( > 4 ) b. P ( 1 < < 7 ) 5. PDF dari suatu VR diketahui sebagai berikut : a f ( x) = 0 + bx untuk Jika E () = 0,6, tentukan nilai a dan b ; 0 x 1 x lainnya Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 17

18 Soal-soal 6. Box berisi 4 Diaode,, 6 diantaranya rusak/cacat. Jika VR yang menyatakan banyaknya Diode yang cacat dalam sampel sebanyak 5. Pertanyaan : a. Tentukan pmf dari b. Tentukan peluang paling sedikit dua diode yang cacat c. Tentukan mean dan standard deviasinya Contoh : Bagian pengendalian kualitas produksi, ingin mengetahui kualitasnya dengan mengambil sampel sebanyak enam items. Jika diketahui bahwa proporsi peluang items yang cacat adalah 0,0 Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 18

19 Contoh : Beberapa peluang dari sampel yang diambil tersebut berisi/memuat : a. Tidak ada yang cacat b. Satu item yang cacat c. Dua item yang cacat d. Empat items yang cacat f. Lebih dari tiga items yang cacat n x = 0, 1,,... n x n x Data diatas p( x) = p Σ = 1 p x n = 6 Selanjutyna : a. p (0) p = 0,0 b. p (1) c. p () Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 19

20 Contoh : Box berisi 4 diode memuat 6 diode yang cacat. Jika menyatakan banyaknya diode yang cacat dalam sampel yang berjumlah 5. a. Tentukan pmf dari dari b. Tentukan paling sedikit dua yang cacat; serta μ dan σ Apabila : (i). WR (ii) WOR Pembahasan : 6 1 (i) WR ~ BIN (n, p) N = 4 p = = ; n = 5 p ( x) = 5 x 4 ()() 1 x 3 5 x ; x = 0,1, Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 0

21 P μ σ ( ) = 1 P( < ) = E( = Var σ = 1 = 1 = 1 0,638 = ) = = = B(1; F(1; np = npq 5, 5, 5. = 0,5) 1 4 0,5) = 1,5 0,9375 =... = 1 F 0,367 (1) (1,5)(0,75) = 0,9375 Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 1

22 A telephone exchange receives calls at random with an avarage of incoming calls perminute. What is the probability that : a. No calls arrive in a 1 minute interval? b. More than calls arrive interval c. Less than 3 calls arrive in a 5 minute interval d. More than 8 calls arrive in a 5 minute interval? e. Betweenn 3 and 8 calls inclusive arrive in a 5 minute interval Solution : λ = calls/minute λ x e λ p ( x ) = P = x = ; x = x! No calls x = 0 ( ) 0, 1,,... 0 e x = 0 p (0) = = e 0, 1353 o! Sisanya dibahas dikelas Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT

23 Contoh : Jika : ~ HYP ( N, D, n) D maka : μ = E( ) = n N = D D N n Var σ = n 1 N N N 1 D Apabila: = p, maka: μ = np N σ = Jika npq N N n 1 : ~ BIN ( n, p ) maka : μ = np, σ = npq finite population correction Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 3

24 lim N D N D p D x N n N n x D = = n p BIN p x q n ( n, p ) x n, N, D n 0 N n D λ N e λ x λ x! Sabtu, 5 Nopember 006 [MA 513] PROBSTAT 4