Contoh Solusi PR 2 Statistika & Probabilitas. 1. Semesta dari kejadian adalah: pemilihan 5 soal dari 10 soal. Jumlah kemungkinannya ( 10 = 252.

Transkripsi

1 Contoh Solusi PR Statistika & Probabilitas Semesta dari kejadian adalah: pemilihan soal dari soal Jumlah kemungkinannya ( ) = (a) Kemungkinannya dapat dihitung dengan memilih soal tes dari soal yang anak tersebut ketahui Banyak kemungkinannya adalah ( ) = Jadi, peluangnya adalah (b) Jika siswa tersebut berhasil menjawab tepat soal, kemungkinannya dapat dihitung dengan memilih soal tes dari soal yang diketahui dari soal tes dari soal yang tidak diketahui Banyak kemungkinannya adalah ( ( ) ) = Jadi peluang yang diminta pada soal adalah + = (Catatan (!): Urutan kemunculan soal pada tes boleh masuk ke dalam perhitungan Perbedaannya hanya pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan! =, namun nilai ini saling menghilangkan, sehingga memberikan hasil yang sama persis) Poin: (a) poin (b) poin Perhitungan salah / tidak selesai: maksimal Nilai untuk cara hitung yang salah Mohon baca Catatan (!) sebelum memeriksa TOTAL: poin

2 Definisikan kejadian: A: pesawat yang hilang ditemukan, B: pesawat yang hilang memiliki emergency locator Semua informasi mengenai kejadian ini adalah sebagai berikut: P (A) = 7 (dan juga P (A c ) = ) P (B A) = (dan juga P (B c A) = ) P (B c A c ) = 9 (dan juga P (B A c ) = ) Peluang pesawat yang tidak memiliki emergency locator berhasil ditemukan adalah P (A B c ) = P (Bc A)P (A) P (B c ) = P (B c A)P (A) P (B c A)P (A) + P (B c A c )P (A c ) = = 8 Mendefinisikan kejadian dan probabilitas (kondisional) masing-masing kejadian: poin Menggunakan aturan Bayes dengan benar: poin TOTAL: poin

3 Misalkan kejadian A: terambil kotak pertama, B: terambil kelereng biru Berdasarkan pengambilan acak, diperoleh informasi-informasi berikut: (a) Peluang terambil kelereng biru adalah P (A) = (dan juga P (A c ) = ) P (B A) = dan P (B c A) = P (B A c ) = dan P (B c A c ) = P (B) = P (B A)P (A) + P (B A c )P (A c ) = + = (b) Diketahui terambil kelereng merah, peluang terambil kotak pertama adalah P (A B c ) = P (Bc A)P (A) P (B c ) = P (Bc A)P (A) P (B) = = 8 Mendefinisikan kejadian dan probabilitas (kondisional) kejadian: Menggunakan aturan yang benar untuk (a): Menggunakan aturan yang benar untuk (b): poin poin poin TOTAL: poin

4 (a) Misalkan X adalah hasil pelemparan pertama dan X hasil pelemparan kedua Perhatikan tabel daftar jumlah X dan X sebagai berikut: X + X Kita tahu bahwa X = X + X dan tabel pmf untuk X adalah a others P (X = a) Ekspektasi untuk X adalah E[X] = a ap (X = a) = + + = = 7 (b) Misalkan X dan X berturut-turut hasil pelemparan dadu pertama dan kedua, maka diperoleh tabel berikut max{x, X } Dari daftar tersebut, karena Y = max{x, X }, diperoleh pmf sebagai berikut: P (Y = a) Ekspektasi untuk Y adalah E[Y ] = a a ap (X = a) = = 7 (c) Dari kedua daftar, kita peroleh joint pmf untuk X dan Y sebagai berikut Y : X Dari tabel (a), (b), dan (c), jelas bahwa X dan Y bukan variabel acak yang independen karena P (X = )P (Y = ) = = P (X =, Y = ) (d) Kita tahu bahwa Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] Nilai E[XY ] perlu dicari, yaitu E[XY ] = x,y 7 xyp (X = x, Y = y) = + + = Akibatnya Cov(X, Y ) = 7 7 = 9 9

5 Bagian (a): Tabel: poin, Ekspektasi: poin Nilai parsial untuk masing-masing maksimal Bagian (b): Tabel: poin, Ekspektasi: poin Nilai parsial untuk masing-masing maksimal Bagian (c): Tabel: poin, Penjelasan yang benar bahwa tidak independent: poin Nilai parsial untuk tabel dipilih dari 8,, atau Menjawab independent mendapat poin Penjelasan yang parsial maksimal poin Bagian (d): Menghitung kovariansi dengan benar: poin TOTAL: +++=

6 Diberikan cdf demikian, diperoleh pdf sebagai berikut f X (x) = a + bx, x (a) Syarat pdf adalah selalu non-negatif dan integral seluruh daerahnya adalah Dari syarat integral, diperoleh f X (x) = F X () = a + b = Karena ekspektasi dari variabel acak adalah, maka diperoleh xf X (x)dx = ax + bx dx = [ a x + b ] x = a + b = Dari kedua persamaan terakhir, diperoleh b = dan a = Jadi, diperoleh pdf dari variabel acak X adalah f X (x) = + x, x Jelas bahwa pdf ini selalu non-negatif (b) Kita tahu bahwa V ar(x) = E[X ] E[X], di mana E[X] = Sekarang, E[X ] = x f X (x)dx = Jadi, V ar(x) = = 7 (c) Kita peroleh P ( X ) = x + [ x dx = x + ] x = + [ xdx = x + ] x = = (d) Misalkan A dan B adalah variabel acak yang menyatakan kedua bilangan yang dihasilkan Karena A dan B dihasilkan secara independen, maka joint cdf untuk A dan B adalah F A,B (a, b) = F A (a)f B (b) Kejadian bahwa maksimum dari A dan B lebih dari berkomplemen dengan kedua nilai A dan B kurang dari Dengan kata lain P (max{a, B} > ) = P (A, B ) = F A ()F B () 79 Bagian (a): Mendapatkan a + b = : poin Mendapatkan persamaan = : poin Memperoleh nilai a dan b: poin Bagian (b): menghitung ekspektasi X : poin menghitung variansi: poin Bagian (c): Menghitung dengan benar: poin

7 Nilai parsial maksimal poin Bagian (d): Mendapatkan joint pdf (atau joint cdf) karena independence: poin Melakukan perhitungan dengan benar: poin TOTAL: = poin 7