Eksplorasi Pertidaksamaan Chernoff Dalam Menghampiri Peluang Suatu Selang

Transkripsi

1 Eksplorasi Pertidaksamaan Chernoff Dalam Menghampiri Peluang Suatu Selang TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Matematika Disusun Oleh : Anggun Oktari PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

2 Eksplorasi Pertidaksamaan Chernoff Dalam Menghampiri Peluang Suatu Selang Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Bandung, Oktober 2007 Telah diperiksa dan disetujui oleh Dr. Udjianna S. Pasaribu NIP Dosen Pembimbing I Ir. G.A Putri Saptawati M.Comm NIP Dosen Pembimbing II PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

3 ABSTRACT In data analysis, to calculate the probability of a random variable X in a point P(X=c) or an interval P(a<X<b), the information of the distribution of X is needed. However, in reality scientists consider that the exact calculation is impractical. They prefer the simple calculation, especially for discrete distribution, even the result is only a bound. This matter will be more useful when there is only a part of the information of the distribution of X is known, such as mean and variance. Inequality can be used to calculate this bound. This final thesis will be discuss about Markov s, Chebyshev s, and Chernoff s inequalities. Chernoff s inequality can give the most accurate bound, near the real value. This inequality also can be prime alternative to give a bound in the probability of an interval, especially in data mining. Key words: Bound, Markov s Inequality, Chebyshev s Inequality, Chernoff s Inequality ii

4 ABSTRAK Dalam analisis data, untuk mendapatkan besar peluang dari suatu peubah acak X pada suatu titik P(X=c) atau selang P(a<X<b) secara tepat, dibutuhkan informasi menyeluruh dari distribusi dari X. Namun, pada kenyataannya banyak para pemakai statistik (praktisi) menganggap bahwa perhitungan eksak tersebut tidak praktis. Mereka mengharapkan bentuk perhitungan yang lebih sederhana, khususnya untuk distribusi diskrit, meskipun terbatas hanya sebagai hampiran. Hal ini akan lebih bermanfaat ketika hanya sebagian informasi dari distribusi X yang diketahui, misalnya rataan atau variansi. Dalam mencari hampiran ini dapat digunakan pertidaksamaan. Dalam tugas akhir ini dipelajari mengenai pertidaksamaan Markov, Chebyshev, dan Chernoff. Pertidaksamaan Chernoff dikatakan menghasilkan nilai batas yang paling dekat dengan nilai sebenarnya. Pertidaksamaan ini juga menjadi alternatif utama dalam menghampiri peluang dari suatu selang, khususnya dalam masalah-masalah yang muncul di data mining. Kata kunci : Batas, Pertidaksamaan Markov, Pertidaksamaan Chebyshev, Pertidaksamaan Chernoff. iii

5 PRAKATA Alhamdulillahirabil alamin. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT sehubungan dengan terselesaikannya tugas akhir ini. Tugas akhir yang berjudul Eksplorasi Pertidaksamaan Chernoff dalam Menghampiri Peluang Suatu Selang ini bertujuan untuk mempelajari penggunaan pertidaksamaan, terutama Pertidaksamaan Chernoff, dalam menghampiri nilai batas atas dari peluang peubah acak di suatu selang. Selain itu, tugas akhir ini juga disusun untuk memenuhi persyaratan sidang sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Penyusunan tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Keluarga besar Oos Kosasih yang selalu mendukung dan memberikan kasih sayang tak henti-hentinya. Besar harapan penulis untuk bisa membahagiakan kalian. Semoga ini merupakan salah satu jalannya. 2. Dr. Udjianna S Pasaribu selaku dosen pembimbing yang selalu membantu dan memberi masukan dalam pengerjaan tugas akhir ini. Terima kasih atas nasehat, bimbingan, dan kesempatan yang telah diberikan. 3. Ir. G.A. Putri Saptawati, M.Comm selaku dosen pembimbing kedua dan dosen penguji dalam seminar 2 tugas akhir ini. Terima kasih atas gagasannya mengenai topik tugas akhir dan bimbingan-bimbingannya selama ini. 4. Dr. Hilda Assiyatun sebagai dosen wali penulis dan telah menjadi orang tua penulis selama menjalani perkuliahan di Program Studi Matematika. 5. Dr. Dumaria Tampubolon selaku dosen penguji pada seminar 1 untuk tugas akhir ini 6. Dr. Sutawanir Darwis selaku dosen penguji dalam seminar 2 tugas akhir ini. 7. Karyawan Program Studi Matematika khususnya Ibu Diah yang selalu membantu administrasi penulis dalam perkuliahan. 8. Kawan seperjuangan, Amru dan Lydia yang selalu siap menerima keluh kesah dan tawa selama bimbingan. Mas Haryono, Teh Utri, dan Teh Rini yang telah menjadi bagian pula dalam proses bimbingan tugas akhir ini. iv

6 9. Ratih, Kuneng, Adis, Arsa, Isti, Windhi.. sahabat-sahabat terbaik. Terima kasih untuk selalu ada disana tanpa keluhan dan rasa lelah. 10. Teman-teman MA 03 : Bang Onta, Novi, Opik. Terimakasih untuk segala perhatian, dukungan, dan canda tawanya. Ayo cepat lulus, kalahkan para insinyur itu! =) Uma, Witha, Dona (geng TPB), Rahma, Intan, Mega, Rity, Ani, Cica, Cima, Riswan, Yo, Iqs, Inon, Kuntet, dan teman-teman lainnya yang tidak bisa disebutkan satu-persatu. Terima kasih atas kebersamaannya selama 4 tahun. Sungguh sangat beruntung bisa ada di tengah-tengah kalian. 11. Willy dan Angga, Terima kasih telah menjadi rekan sekelompok yang hebat selama 2 bulan SP, sungguh kenangan yang tidak akan terlupakan. 12. Ilham Arisbaya atas bantuannya dalam penyusunan prakata ini dan obrolan-obrolan per-logika-annya yang mewarnai hari-hari pengerjaan TA, Billy S Prabowo atas bantuannya dalam penyusunan foto walau ternyata tak terpakai juga=), Heryana Rinaldi Hidayat beserta keluarga atas doa dan dukungannya yang tak pernah putus. 13. Keluarga besar Lingkung Seni Sunda ITB. Panuhun 4 warsih duduluran, muga baraya teu laas ku mangsa. Sunda Jaya di Buana! 14. Kawan-kawan HIMATIKA dan KM3 yang telah menjadi bagian selama 4 tahun tinggal di ITB. Penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam tugas akhir ini. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dalam penyempurnaan tulisan ini di masa yang akan datang. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi rekan sejawat maupun para pembaca. Bandung, Oktober 2007 Penulis v

7 DAFTAR ISI Halaman Pengesahan.i Abstract.ii Abstrak iii Prakata.iv Daftar Isi...vi Daftar Tabel...viii BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan masalah Tujuan Manfaat Sistematika Penulisan...3 BAB II PERTIDAKSAMAAN CHERNOFF Pendahuluan Pertidaksamaan Markov Pertidaksamaan Chebyshev Pertidaksamaan Chernoff Pertidaksamaan Chernoff untuk Beberapa Distribusi Penggunaan Pertidaksamaan Chernoff Skema Penggunaan Pertidaksamaan...22 vi

8 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI Pendahuluan Simulasi untuk Distribusi Binomial Simulasi untuk Distribusi Normal...27 BAB IV STUDI KASUS: NILAI AVL SLJJ PT TELKOM Pendahuluan Statistik Deskriptif 60 Data Nilai AVL jaringan SLJJ Penghitungan dengan Menggunakan Pertidaksamaan...34 BAB V KESIMPULAN...38 DAFTAR PUSTAKA...40 LAMPIRAN...41 vii

9 DAFTAR TABEL Tabel 1 Tabel perbandingan PX ( a) eksak dan hampiran dari pertidaksamaan Markov untuk distribusi binomial (10,1/2)...7 Tabel 2 Tabel perbandingan PX ( a) eksak dan hampiran dari pertidaksamaan Markov untuk distribusi normal (5,10)...7 Tabel 3 Tabel perbandingan PX ( a) eksak dan hampiran dari pertidaksamaan Chebyshev untuk distribusi binomial (10, 1/2)...10 Tabel 4 Tabel perbandingan P X E X a 2 2 (( [ ]) ) eksak dan hampiran dari pertidaksamaan Chebyshev untuk distribusi normal (5,10)...11 Tabel 5 Tabel pertidaksamaan Chernoff untuk beberapa distribusi...19 Tabel 6 Tabel perbandingan P( X µ a) eksak dan hampiran dari pertidaksamaan Chernoff untuk distribusi binomial (10, 0.5)...20 Tabel 7 Tabel perbandingan ( P X µ a) eksak dan hampiran dari pertidaksamaan Chernoff untuk distribusi normal (5,10)...20 Tabel 8 Data simulasi Tabel 9 Tabel informasi statistik untuk data simulasi Tabel 10 Tabel data simulasi binomial (10, 0.5)...27 Tabel 11 Data simulasi Tabel 12 Tabel informasi statistik data simulasi Tabel 13 Tabel informasi statistik untuk data AVL 60 jaringan SLJJ...32 Tabel 14 Tabel o dan e untuk data persentase kegagalan jaringan SLJJ...36 i i viii