MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 12 Maret 2014
Kuliah yang Lalu 10.1 2 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R 3 11.2 4 Vektor, HasilkaliTitik, HasilkaliSilang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari Ini 10.1 2 Parabola, aaboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R 3 11.2 4 Vektor, HasilkaliTitik Titik, HasilkaliSilang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 3
MA1201 MATEMATIKA 2A 11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN GERAK SEPANJANG KURVA Menghitung limit dan turunan fungsi bernilai vektor Menentukankecepatan dan percepatandari suatu partikel yang bergeraksepanjang kurva yang diketahui persamaan posisinya 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Fungsi Bernilai Vektor Fungsi F yang memetakan tiap bilangan real t I ke suatu vektor F(t) di R 2 atau R 3 disebut sebagai fungsibernilai i vektor. / Sebagai contoh, F(t) = (cos t, sin t), 0 t 2π merupakan fungsi bernilai vektor. Daerah nilai fungsi ini adalah lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari j i1. F(π/2) 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 5 1
Limit Fungsi Bernilai Vektor Kita tuliskan lim F ( t ) L apabila tc untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 t c F ( t) L. L F(t), (), t c Secara intuitif: semakin dekat t ke c, semakin dktf(t) dekat ke L. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Teorema Misalkan F(t) () = f(t)i () + g(t)j. Maka F mempunyai limit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyai limit di c. Dalam hal ini, limf( t) tc lim tc f ( t). i limg( t). j. tc Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanya jika lim F ( t ) F ( c ). tc Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilai vektor di R 3. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Contoh/Latihan Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang di definisikan t sin t 1 e F ( t) i j, t t t menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik. 0, 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Turunan Fungsi Bernilai Vektor Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai F '( c) t c lim F ( t ) F ( c ). t c Berdasarkan teorematentangt t limit it fungsi bernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan g mempunyai turunan di c, maka F ' ( c ) f '( c ) i g'( c ) j. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Teorema Misalkan F dan G mempunyai turunan, p fungsi skalar yang mempunyai turunan, dan c skalar. Maka 1. D t [ F ( t) G ( t)] F '( t) G '( t) 2. D t [ c. F ( t )] c. F ' ( t ) 3. D t [ p( t). F ( t)] p( t) F '( t) p' ( t) F ( t) 4. D t [ F ( t) G ( t)] F '( t) G ( t) F ( t) G '( t) 5. D [ F ( p ( t ))] p' ( t ). F ' ( p ( t )) D t 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Teorema Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R 3. Jika F dan G mempunyai turunan, maka 6. D t D t [ F ( t) G ( t)] F '( t) G ( t) F ( t) G '( t) D [ c. F ( t )] c. F ' ( t ) Catatan. D t menyatakan operasi turunan terhadap t. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Contoh/Latihan Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikan sebagai t sin t 1 e F ( t) i t t j, t 0, i j, t 0, mempunyai turunan di 0. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 12
Contoh/Latihan Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t 2. Tentukan: 1. D t [p(t).f(t)] 2. D t F(p(t)) 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Integral Fungsi Bernilai Vektor Intergral dari fungsi F yang bernilai vektor di R 2 didefinisikan sebagai f ( t) dt. i g ( t) dt. j F ( t) dt F ( t) dt f ( t) dt. i a b b b a a g( t) dt Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor di R 3 didefinisikan serupa.. j 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Gerak Sepanjang Kurva Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang suatu kurva di bidang dengan persamaan r(t) = f(t)i + g(t)j, t I, yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsb adalah dlh(f() (f(t),g(t)). ()) Mk Maka, kecepatan dan percepatan partikel tsb adalah v(t) = f (t)i + g (t)j, t I, a(t) () = f (t)i () + g (t)j, t I. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Gerak Sepanjang Kurva v(t) r(t) a(t) 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Contoh Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang dengan persamaan r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0. (a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatannya. (b) Periksa bahwa v( t) r ( t) dan a( t) v( t). (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu v(t), konstan. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Soal Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/ ruang dengan r(t) menyatakan vektorposisinya pada saat t. Buktikan bahwa r(t) konstan jika dan hanya jika r(t) r (t) = 0. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 18
MA1201 MATEMATIKA 2A 11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DI RUANG Menentukan persamaan garis di ruang, baik dalam bentuk persamaan vektor, persamaan parametrik, atau persamaancartesius 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 19
Persamaan Garis di Bidang Persamaan Cartesius garis di bidang yang memotong sumbu y di P(0,c) dan mempunyai gradien m adalah y = mx + c. Persamaan garis inidapat dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik x = t, y = mt + c, Garis melalui (0,c) atau persamaan vektor dan mempunyai vektor arah (1,m). r(t) = (t, mt+c) = (0,c) + t(1,m). 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 20 c 1 m
Persamaan Garis di Bidang Dari persamaan parametrik x = t, y = mt+ c, kita dapat pula memperoleh persamaan simetrik x 0 y c. 1 m Perhatikan bh bahwa garismelalui lli P(0,c) dan mempunyai vektor arah v = (1,m) terekam dalam persamaan simetrik. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 21 c 1 m
Persamaan Garis di Ruang Persamaan garis yang melalui titik P(x 0,y 0,z 0 ) dan mempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah r(t) = (x 0,y 0,z 0 ) + t(a,b,c) persamaan vektor x = x 0 + ta, y = y 0 + tb, z = z 0 + tc p. parametrik x x a 0 y y 0 z z 0 b c... persamaan simetrik 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Contoh Diketahui sebuah garis melalui titik P(1, 2,3), dan Q(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaan parametrik, dan persamaan simetrik garis tsb. Jawab: 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Soal 1 Persamaan bidang yang melalui titik P(x 0,y 0,z 0 ) dan mempunyai vektor normal n = (n 1,n 2,n 3 ) diberikan oleh (x x 0 0, y y 0, z z 0 0) ) n = 0. Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan dua bidang: 2x y 5z = 66 dan 4x + 5y + 4z = 9. 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 24
Garis Singgung pada Kurva di Ruang Persamaan r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k menyatakan sebuah kurva di ruang. Pada saat t = t 0, vektor posisi nya adalah r(t 0 ) dan vektor singgung nya adalah r (t 0 ) = f (t 0 )i + g (t 0 )j + h (t 0 )k. r(t 0 ) r (t 0 ) 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 25
Persamaan Garis Singgung pada Kurva Persamaan parametrik garis singgung pada kurva tsb di titik P = r(t 0 ) adalah: x = f(t 0 ) + tf (t t.f 0 ), y = g(t 0 ) + t.g (t 0 ), z = h(t 0 ) + t.h (t 0 ). r(t 0 ) r (t 0 ) P 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 26
Soal 2 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva r(t) = (t, t 2, t 3 ) di titik P(1,1,1). 3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 27