Geometri dalam Ruang, Vektor

Transkripsi

1 Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 15, 2011

2 satelit dengan menentukan hal-hal berikut ini: 3. posisi 4. Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan 13.5 Kelengkungan (curvature) adalah suatu bilangan yang Kelengkungan menyatakan seberapa tajam suatu kurva melengkung. Sebuah dan Percepatan garis mempunyai kelengkungan 0, sementara sebuah kurva yang melengkung tajam tentu mempunyai kelengkungan yang besar. c Kelengkungan besar Kelengkungan kecil Gambar: 1 Kelengkungan kurva Kita akan mempelajari suatu bilangan yang dise seberapa tajam suatu kurva melengkung. Sebua sebuah kurva yang melengkung tajam tentu mem Agar sampai ke suatu definisi yang tepat, kit terdahulu dan memperkenalkan beberapa gaga Untuk a :,; t:'; b, misalkan ret) = f(t)i + g(t P = pet) pad a bidang. Kita andaikan r'(t) ada Maka (lihat Subbab 6.4), ketika t meningkat, P 2), dan panjang lintasan s = h(t) dari Pea) ke s = h(t) = L ~[J'(u)f + Laju titik yang bergerak adalah ds dt = Ir'(t) Karena r'(t) *" 0, maka Iv(t)1 > 0, sehingga s ak Teorema Fungsi lovers (Teorema 7.2B), s = h dt ds ds/d Misalkan T(t), yang disebut vektor singgung sa sebagai

3 Untuk a t b, misalkan r(t) = f(t)i + g(t)j = f(t), g(t) adalah vektor posisi untuk titik P = P (t) pada bidang. Kita andaikan r (t) ada dan kontinu, dan r (t) 0 pada selang (a, b). Maka ketika t meningkat, P akan membentuk sebuah kurva mulus dan panjang lintasan s = h(t) dari P (a) ke P (t) dinyatakan dengan t t s = h(t) = [f (u)] 2 + [g (u)] 2 du = r (u) du 196 a BAS 13 Geometri pada Bidang, Vektor a y ~ PCb) r'( T(t) = Ir'( " """ Pet) S~ = n\t)~ Pea) r(t) Gambar: 2 Kelengkungan kurva x Ketika pet) bergerak di sepanjang kurva, vekto 3). Tingkat perubahan T terhadap panjang b kelengkungan (curvature vector) di P. Akhimy di P sebagai besaran dari dtlds, yaitu 1C = Id Jadi, dt ds dt dt

4 Laju titik yang bergerak adalah ds dt = r (t) = v(t) Karena r (t) 0, maka v(t) > 0, sehingga s akan meningkat ketika t meningkat. Selanjutnya, s = h(t) mempunyai invers t = h 1 (s) dan dt ds = 1 ds/dt = 1 v(t)

5 Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan 196 BAS 13 Geometri Komponen pada Bidang, Normal Vektor dan Komponen Singgung pad Misalkan T(t), yang y disebut vektor singgung satuan (unit ~ PCb) tangent vector) di P (t), didefinisikan " """ Pet) T(t) = r (t) r (t) = v(t) S~ v(t) = n\t)~ Pea) r(t) Ketika P (t) bergerak di sepanjang kurva, vektor satuan T(t) akan mengubah arahnya. Tingkat x perubahan T terhadap panjang busur s, dalam hal ini dt/ds, disebut vektor Gambar 2 kelengkungan (curvature vector) di Jadi, P. r'(t T(t) = Ir'(t) Ketika pet) bergerak di sepanjang kurva, vektor 3). Tingkat perubahan T terhadap panjang bu kelengkungan (curvature vector) di P. Akhimya di P sebagai besaran dari dtlds, yaitu 1C = IdT dt ds dt d dt d y 1C = IdTl = IT ds Iv x Penyeiesaian Hal ini segera dapat dibukti vektor konstan. Tetapi untuk mengilustrasikan m Gambar: Vektor singgung Vektor satuan singgung T(t) demonstrasi satuan aljabar. T(t) Misalkan P dan Q adalah Gambar 3 8eberapa Penting Untuk meyakin di atas masuk akal, kita akan melihat beberapa CONTOH 1 Tunjukkan bahwa kelengkungan a = op dan b = PQ. Maka sebuah bentuk vekt

6 Kelengkungan κ (kappa) di P didefinisikan sebagai besaran dari dt/ds, yaitu κ = dt/ds. Maka, berdasarkan Aturan Rantai, dt ds = dt dt dt ds = T (t) v(t) Jadi κ = dt ds = T (t) v(t) = T (t) r (t)

7 v T(t) = I Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan T(t) = b I I 1 x Tunjukkan bahwa pada tiap titik, kelengkungan sebuah lingkaran dengan jari-jari a adalah κ = 1/a. Gambar 4 CONTOH 2 Tunjukkan bahw jari a adalah 1C = 1/a (Gambar Penyeiesaian Kita dapat men persamaan vektomya dapat ditu Lingkaran \ a \ Jadi, vet) = r Iv(t)1 = [a Gambar 5 1C= I Karena 1C adalah kebalikan dari kelengkungannya.

8 Penyelesaian. Kita dapat menganggap bahwa lingkaran tersebut berpusat di titik asal. Maka persamaan vektorya dapat dituliskan dengan Jadi r(t) = a cos ti + a sin tj v(t) = r (t) = a sin ti + a cos tj v(t) = [a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t] 1/2 = a T(t) = v(t) v(t) = v(t) = sin ti + cos tj a κ = T (t) v(t) = cos ti sin tj a = 1 a Karena κ adalah kebalikan dari jari-jari, maka semakin besar suatu lingkaran, semakin kecil kelengkungannya.

9 Kelengkungan pada lingkaran ini memberikan kita ke beberapa gagasan baru kelengkungan pada kurva. Perhatikan lingkaran berikut dimana garis singgung terhadap suatu kurva berada di titik P dan mempunyai kelengkungan yang sarna di titik tersebut. Pusat lingkaran tersebut akan terletak di sisi cekung kurva tersebut. Lingkaran ini disebut lingkaran kelengkungan (circle of curvature) atau lingkaran oskulasi (osculating circle), jari-jarinya R = 1/κ disebut jari-jari kelengkungan (radius of curvature), dan pusatnya disebut pusat kelengkungan (center of curvature).

10 {,in Ii + eos T'(t) = -sin ti - cos Kecepatan, Percepatan dan Kelengkungan Lingkaran kelengkungan SUBBAB 1 singgung terhadap suatu kurva berada di titik titik tersebut. Pusat lingkaran tersebut akan t ini disebut Iingkaran kelengkungan (circle o circle), jari-jarinya R = 11K" disebut jari-jari k disebut pusat kelengkungan (center of curva Kurva Gambar 6 CONTOH 3 Tentukan kelengkungan dan j r = 8 cos 3 di titik-titik P dan Q, di mana masing-masing hiposikloid ini yang menunjukkan lingkaran Peny.eiesaian Untuk 0 < t < n, t f:. rci2, vet) = r'(t) = -24 cos Iv(t)1 = 241sin t cos tl. 2 sm t cos t. T( t=- ) 1 Isin t cos tl = { -eo, ti Hin cos tl - sm K(t) = IT'(t)1 =

11 2 Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan untuk hiposikloid r(t) = 8 cos 3 ti + 8 sin 3 tj di titik-titik P dan Q, di mana masing-masing t = π/12 dan t = 3π/4.

12 Penyelesaian. Untuk 0 < t < π, t π/2, v(t) = r (t) = 24 cos 2 t sin ti + 24 sin 2 t cos tj v(t) = 24 sin t cos t T(t) = sin t cos2 t sin t cos t i + sin2 t cos t sin t cos t j { cos ti + sin tj, 0 < t < π/2; = cos ti sin tj, π/2 < t < π. { T sin ti + cos tj, 0 < t < π/2; (t) = sin ti cos tj, π/2 < t < π. κ(t) = T (t) v(t) = 1 24 sin t cos t = 1 12 sin 2t

13 Penyelesaian. Jadi, di P kita mempunyai 1 κ(π/12) = 12 sin 2 π 12 = 1 6 dan di Q kita mempunyai κ(3π/4) = 1 12 sin 2 3π 4 = 1 12 ( π dan R = 6 12) dan R ( ) 3π = 12 4

14 Misalkan φ melambangkan sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam dari i ke T. Maka, T = cos φi + sin φj, sehingga dt dφ = sin φi + cos φj dt dt dφ adalah sebuah vektor satuan (panjang 1) dan T. dφ samping itu, κ = dt ds = dt dφ dφ ds = dt dφ dφ ds = 0. Di akibatnya κ = dφ ds Rumus untuk κ ini membantu pemahaman intuitif kita mengenai kelengkungan, yaitu mengukur tingkat perubahan φ terhadap s.

15

16 Teorema Tinjau sebuah kurva dengan persamaan vektor r(t) = f(t)i + g(t)j, yakni, dengan menggunakan persamaan parametrik x = f(t) dan y = g(t), maka κ = x y x y [(x ) 2 + (y ) 2 ] 3/2 ] Secara khusus jika kurva tersebut mempunyai grafik y = g(x) maka y κ = [1 + (y ) 2 ] 3/2 ] Bagian,utama menunjukan pendiferensialan terhadap t pada rumus pertama, dan terhadap x pada rumus kedua.

17 3 Tentukan kelengkungan elips x = 3 cos t, y = 2 sin t pada titik yang berhubungan dengan t = 0 dan t = π/2, yaitu di (3, 0) dan (0, 2). Sketsalah elips tersebut yang menunjukkan lingkaran kelengkungan yang bersesuaian.

18 Penyelesaian. Dari persamaan-persamaan berikut, Jadi κ = κ(t) = Akibatnya = x = 3 sin t, x = 3 cos t, x y x y [(x ) 2 + (y ) 2 ] 3/2 ] = 6 [5 sin 2 t + 4] 3/2 κ(0) = κ(π/2) = y = 2 cos t y = 2 sin t 6 4 3/2 = /2 = sin2 t + 6 cos 2 t [9 sin 2 t + 4 cos 2 t] 3/2

19

20 Misalkan P = P(t) adalah sebuah titik pada sebuah kurva mulus. Definisikan sebuah vektor baru N = N(t), disebut vektor normal satuan (unit normal vector) di titik P, dengan N = dt/ds dt/ds = 1 dt κ ds maka dt ds = κn Sekarang T = cos φi + sin φj, maka dt ds = dt dφ dφ ds = ( sin φi + cos φj)dφ ds di mana T N = 0. Jadi, N adalah sebuah vektor satuan yang tegak lurus terhadap T dan mengarah ke sisi cekung kurva.

21 Vektor kecepatan v memenuhi maka Jadi v = v T = ds dt T a = dv dt = d2 s dt 2 T + ds dt dt dt = d2 s dt 2 T + ds dt ds dt ds dt a = d2 s dt 2 T + ( ) ds 2 κn dt

22

23 4 Sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga vektor posisinya adalah r(t) = t 2 i t3 j, t 0. Nyatakan a(t) dalam bentuk T dan N dan hitunglah ketika t = 2.

24 Penyelesaian. κ ( ds dt v(t) = 2ti + t 2 j ds dt = v(t) = 4t 2 + t 4 = t 4 + t 2 d 2 s dt 2 = 4 + 2t2 4 + t 2 ) 2 x y x y = [(x ) 2 + (y ) 2 ] 3/2 = (2t)(2t) (t2 )(2) t 4 + t 2 = ( ) ds 2 = x y x y dt ds/dt 2t 2 t 4 + t 2 = 2t 4 + t 2

25 Penyelesaian. Jadi a(t) = d2 s dt 2 T + ( ) ds 2 κn dt = 4 + 2t2 T + 2t N 4 + t t 2 dan a(2) = 12 8 T N = 3 2T + 2N