Pembahasan a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon (kecepatan sesaat) b. Kecepatan rata-rata partikel saat t = 0 sekon hingga t = 2 sekon

Transkripsi

1 Soal Kinematika Gerak dan Analisis Vektor Soal No. 1 Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi terhadap waktu : r(t) = 3t 2 2t + 1 dengan t dalam sekon dan rdalam meter. Tentukan: a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon b. Kecepatan rata-rata partikel antara t = 0 sekon hingga t= 2 sekon a. Kecepatan partikel saat t = 2 sekon (kecepatan sesaat) b. Kecepatan rata-rata partikel saat t = 0 sekon hingga t = 2 sekon Soal No. 2 Sebuah benda bergerak lurus dengan persamaan kecepatan : Jika posisi benda mula-mula di pusat koordinat, maka perpindahan benda selama 3 sekon adalah... A. 10 m B. 20 m C. 30 m D. 40 m E. 50 m (Sumber soal: Marthen Kanginan 2A, Kinematika dengan Analisis Vektor) Jika diketahui persamaan kecepatan, untuk mencari persamaan posisi integralkan persamaan kecepatan tersebut terlebih dahulu, di pusat koordinat artinya posisi awalnya diisi angka nol (x o = 0 meter).

2 Masukkan waktu yang diminta Masih dalam bentuk i dan j, cari besarnya (modulusnya) dan perpindahannya Soal No. 3 Grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) berikut ini menginformasikan gerak suatu benda. Kecepatan rata-rata benda dari awal gerak hingga detik ke 18 adalah... A. 3 m/s. B. 6 m/s. C. 9 m/s. D. 12 m/s E. 15 m/s Kecepatan rata-rata adalah perpindahan dibagi dengan selang waktu. Jika disediakan grafik v terhadap t seperti soal diatas, perpindahan bisa dicari dengan mencari luas di bawah kurva dengan memberi tanda positif jika diatas sumbu t dan tanda negatif untuk dibawah sumbu t. Luas = perpindahan = Luas segitiga + luas trapesium Soal No. 4 Persamaan posisi sudut suatu benda yang bergerak melingkar dinyatakan sebagai berikut: Tentukan: a) Posisi awal b) Posisi saat t=2 sekon c) Kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 sekon hingga t = 2 sekon d) Kecepatan sudut awal e) Kecepatan sudut saat t = 1 sekon f) Waktu saat partikel berhenti bergerak g) Percepatan sudut rata-rata antara t = 1 sekon hingga t = 2 sekon h) Percepatan sudut awal i) Percepatan sudut saat t = 1 sekon

3 a) Posisi awal adalah posisi saat t = 0 sekon, masukkan ke persamaan posisi b) Posisi saat t = 2 sekon c) Kecepatan sudut rata-rata dari t = 1 sekon hingga t = 2 sekon d) Kecepatan sudut awal Kecepatan sudut awal masukkan t = 0 sekon pada persamaan kecepatan sudut. Karena belum diketahui turunkan persamaan posisi sudut untuk mendapatkan persamaan kecepatan sudut. e) Kecepatan sudut saat t = 1 sekon f) Waktu saat partikel berhenti bergerak Berhenti berarti kecepatan sudutnya NOL. g) Percepatan sudut rata-rata antara t = 1 sekon hingga t = 2 sekon h) Percepatan sudut awal Turunkan persamaan kecepatan sudut untuk mendapatkan persamaan percepatan sudut. i) Percepatan sudut saat t = 1 sekon Soal No. 5 Sebuah partikel bergerak dari atas tanah dengan persamaan posisi Y = ( 3t t + 6 ) meter. Tentukan : a) Posisi awal partikel b) Posisi partikel saat t = 1 sekon c) Kecepatan awal partikel d) Percepatan partikel

4 e) Waktu yang diperlukan partikel untuk mencapai titik tertinggi f) Lama partikel berada di udara g) Tinggi maksimum yang bisa dicapai partikel a) Posisi awal partikel b) Posisi partikel saat t = 1 sekon c) Kecepatan awal partikel d) Percepatan partikel. Turunkan persamaan kecepatan untuk mendapatkan persamaan percepatan: e) Waktu yang diperlukan partikel untuk mencapai titik tertinggi Saat mencapai titik tertinggi kecepatan partikel adalah NOL. f) Lama partikel berada di udara Partikel berada diudara selama dua kali waktu untuk mencapai titik tertinggi yaitu 4 sekon. g) Tinggi maksimum yang bisa dicapai partikel Tinggi maksimum tercapai saat 2 sekon, masukkan ke persamaan posisi. Soal No. 6 Sebuah benda bergerak sesuai persamaan berikut r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan benda untuk t = 2 sekon! Turunkan persamaan posisinya (r) untuk mendapatkan persamaan v. Biarkan i dan j nya, setelah itu masukkan waktu yang diminta.

5 Bank Soal Semester Kinematika Yang masih belum faham tentang fungsi turunan, mungkin belum dijelaskan di sekolah, silakan cermati rumus turunan untuk fungsi aljabar berikut, beserta contohnya: Rumus Turunan Fungsi Aljabar Jika y adalah fungsi yang hendak diturunkan, dan y' adalah fungsi turunannya, maka hubungan keduanya Contoh 1) y = 4x 3 y' =... y' = 3 4x 3 1 = 12x 2 2) y = 2x 4 y' =... y' = 4 2x 4 1 = 8x 3 3) y =5x 2 y' =... y' = 2 5x 2 1 = 10x 1 = 10x 4) y =5x y' =... y' = 5 Kenapa 5 hasilnya? y = 5x tidak lain adalah y = 5x 1, sehingga jika diturunkan ikut rumus di atas, y' = 1 5x 1 1 = 5x 0 = 5 (1) = 5 ingat bilangan yang dipangkatkan nol hasilnya adalah 1.

6 5) y = 8 y' =... y' = 0 Kenapa 0? y = 8 tidak lain adalah y = 8x 0, sehingga jika diturunkan ikut rumus di atas, y' = 0 8x 0 1 = 0 ingat bilangan yang dikalikan nol hasilnya adalah nol. Untuk soal-soal kinematika yang berkaitan dengan integral (kebalikan dari turunan), misalnya diketahui percepatan kemudian harus mencari kecepatan, atau diketahui kecepatan kemudian harus menemukan posisinya, ada bagusnya dipelajari dasar-dasar teknik pengintegralan berikut. Pada pelajaran matematika, topik integral ini biasanya diajarkan di kelas 3 SMA (12). Soal No. 7 Sebuah partikel bermuatan listrik mula-mula bergerak lurus dengan kecepatan 100 m/s. Karena pengaruh gaya listrik, partikel mengalami percepatan yang dinyatakan dengan persamaan a = (2 10t) m/s 2, t adalah waktu lamanya gaya listrik bekerja. Kecepatan partikel setelah gaya bekerja selama 4 sekon adalah... A. 24 m/s B. 28 m/s C. 32 m/s D. 36 m/s E. 40 m/s (Dari soal Ebtanas 1997) Data soal yang diambil: Kecepatan awal partikelnya v o = 100 m/s Persamaan percepatannya a = (2 10t) m/s 2 Waktu yang diminta t = 4 sekon Yang ditanya v =... Menggunakan integral, karena dari a mau cari v. Setelah dapat integralnya, masukkan waktu yang sesuai:

7 Read more: 1. Partikel bergerak dengan posisi yang berubah tiap detik sesuai persamaan : r = (4t 2 4t + 1) i + (3t 2 + 4t 8) j. dengan r dalam m dan t dalam S. I dan j masing-masing adalah vektor satuan arah sumbu X dan arah sumbu Y. Tentukan: a. posisi dan jarak titik dari titik acuan pada t = 2s, b. kecepatan rata-rata dari t = 2s s.d t = 3s, c. kecepatan dan laju saat t = 2s! Penyelesaian r = (4t 2 4t + 1) i + (3t 2 + 4t 8) j 1. Untuk t = 2s r 2 = ( ) i + ( ) j r 2 = 9 i + 12 j jarak : r 2 = = = 15 m 1. Kecepatan rata-rata r 2 = 9 i + 12 j r 3 = ( ) i + ( ) j = 25 i + 31 j Kecepatan rata-ratanya memenuhi: = = 16 i + 19 j Besarnya : = = = 24,8 m/s 1. Kecepatan sesaat v = = {(4t 2-4t + 1)i + (3t 2 + 4t 8)j} = (8t 4)i + (6.t + 4)j untuk t = 2s: v 2 = (8.2 4)I + (6.2+4)j = (12)i + (16)j laju sesaatnya sama dengan besar kecepatan sesaat = = = 20 m/s 1. Sebuah titik partikel bergerak pada sumbu x dengan persamaan x = (3t 3 +2t 2 10t + 5) i meter. Tentukan: A. posisi awal titik partikel B. kecepatan awal titik partikel Penyeleseian i. x = (3t 3 + 2t 2 10t + 5) meter t = 0 x o = 5 meter ii. v = = {(3t 3 + 2t 2 10t+5)} = 9t 2 + 4t +10 t = 0 v 0 = 10 m/s 2. Sebuah titik partikel bergerak pada garis lurus dengan kecepatan awal 2 m/s dengan percepatan 1 m/s 2. Jika posisi awal titik partikel terhadap titik acuan = 10 m, tentukan kecepatan titik partikel pada saat t = 2 sekon

8 Penyeleseian v = v 0 + v = v 0 + = (2 + t) s t = 2 sekon v = 4 m/s 3. Kecepatan suatu benda berubah tiap saat memenuhi grafik v t seperti pada Gambar 1.4. Jika mula-mula benda berada pada posisi 30 m arah sumbu x dan gerak benda pada arah sumbu x positif, maka tentukan posisi benda pada t = 8 s! Penyeleseian: Gerak benda pada arah sumbu x, berarti r (t) = x (t) x 0 = 30 m Pada t = 8s posisinya memenuhi : x = x 0 + luas (daerah terarsir) = 30 + ( ). = 270 m Sebuah gerak partikel dapat dinyatakan dengan persa-maan r = (t3 2t2) i + (3t2) j. Semua besaran memiliki satuan dalam SI. Tentukan besar percepatan gerak partikel tepat setelah 2s dari awal pengamatan! Penyelesaian r = (t 3 2t 2 ) i + (3t 2 ) j Kecepatan sesaat diperoleh: = {(t 3-2t 2 )i + (3t 2 )j} = (3t 2-4t)I + (6t)j Percepatan sesaatnya : a = = (6t 4)i + 6j Untuk t = 2s: a 2 = (6.2 4) i + 6j = 8i + 6j Jadi besar percepatannya memenuhi: a 2 = 10 m / s 2 Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = (2 3t2). a dalam m/s2 dan t dalam s. Pada saat = 1s, kecepatannya 3 m/s dan posisinya m dari titik acuan. Tentukan: 1. kecepatan pada t = 2s, 2. b. posisi pada t = 2s. Penyeleseian a = (2 3t 2 ) t = 1s, v 1 = 3 m/s dan S 1 = m t = 2s, v 2 =? dan S 2 =? A. Kecepatan partikel merupakan integral dari percepatan partikel. v = v o + = v 0 + = v 0 + 2t t 3

9 untuk t = 1s: 3 = v v = 2 m/s jadi : v = 2 + 2t t 3 dan untuk t = 2s diperoleh v(2) = = -2 m/s 3. Posisi merupakan integral dari kecepatan sehingga diperoleh: S = S 0 + = S 0 + = S 0 + 2t + t 2 - t 4 untuk t = 1s : = S berarti, S 0 = -1 m Jadi : S = t + t 2 t 4 dan untuk t = 2s diperoleh : S (2) = = 2 Sebuah partikel memiliki posisi sebagai fungsi waktu x = 5 t 3 + 2t Carilah kecepatan dan percepatannya sebagai fungsi waktu. Berapakah kecepatannya saat t = 2? Penyeleseian. v = = {(5t 3-2t)} =15t Kecepatan saat t = 2 adalah 15 (2) = 62 m. Percepatan sebagai fungsi waktu adalah: a = = (15t 2 + 2t) = 30t Percepatan saat t = 2 adalah: a = 30.(2) = 60 m/s 2 1. Benda yang bergerak melingkar kecepatan sudutnya berubah sesuai persamaan ω = (3t 2 4t + 2) rad/s dan t dalam s. Pada saat t = 1s, posisi sudutnya adalah 5 rad. Setelah bergerak selama t = 2s pertama maka tentukan: A. percepatan sudut, B. posisi sudutnya! Penyeleseian ω = (3t 2 + 4t + 2) t = 1s θ 1 = 5 rad t = 2s θ 2 =? dan α 2 =? i. Percepatan sudut sesaatnya adalah deferensial dari ω. a = a = {(3t 2 4t + 2)} = 6t 4 untuk t = 2s: a (2) = = 8 rad/s ii. Percepatan sudut sesaatnya adalah deferensial dari ω. θ = θ 0 + θ = θ 0 + = θ 0 +

10 t 3 2t 2 + 2t untuk t = 1s 5 = θ berarti θ 0 = 4 rad berarti untuk t = 2s dapat diperoleh: θ = 4 + t 3 2t 2 + 2t θ = = 8 rad 2. Sebuah titik partikel melakukan gerak melingar dengan jari-jari lintasan 10 cm dan persamaan posisi sudut yang ditempuh θ = (0,5 + 2t) Radian.Tentukan posisi titik pertikel pada saat t = 2 sekon. Penyelesaian Diketahui: R = 10 cm θ = (0,5 + 2t) Radian Ditanya: r untuk t = 2 sekon Jawab: θ = 0,5 + 2t Untuk t = 2 sekon maka: θ = 0,5 + 4 θ = 4,5 rad r = (R, θ) r = (10 cm; 4,5 rad) 3. Sebuah titik partikel melakukan gerak melingkar berubah beraturan dengan jari-jari lintasan 0,5 dan persamaan posisi sudut terhadap waktu θ = (0,1 + 2t + t 2 ) rad. Tentukan percepatan total titik partikel pada saat t = 2s. Penyelesaian Diketahui: r = 0,5 m θ = (0,1 + 2t + t 2 ) Radian t = 2s Ditanya: a =? Jawab: ω = {(0,1 + 2t + t 2 )} ω = 2 + 2t untuk t = 2 sekon maka ω = = 6 rad/s a S = ω 2 R = 36. 0,5 = 18 m/s 2 a= = {(2 + t)} a = 2 rad/s a T = a. R = 2. 0,5 = 1 m/s2 a = a = = a = 18,03 m/s 2

11 Sebuah batu diikat dengan tali sepanjang 20 cm kemudian diputar sehingga bergerak melingkar dengan kecepatan sudut ω = 4t 2 2 rad/s. Setelah bergerak 2s, tentukan: 1. kecepatan linier batu, 2. percepatan tangensial batu. Penyeleseian R = 2 cm = 0,2 m ω = 4t 2 2 t = 2s A. Kecepatan sudut pada t = 2s memenuhi: ω = = 14 rad/s Berarti kecepatan liniernya sebesar: v = ω R = 14. 0,2 = 2,8 m/s B. Percepatan sudut batu memenuhi: a = = (4t 2 2) = 8t untuk t = 2s: a = 8.2 = 16 rad/s 2 Percepatan tangensialnya sebesar: a (θ) = a.r = 16. 0,2 = 3,2 m/s 2 Bola dilemparkan dengan kecepatan awal 25 m/s dari tanah dan sudut elevasinya 37 0 (sin 37 0 = 0,6). Percepatan gravitasi g = 10 m/s 2. Tentukan: 1. kecepatan bola pada 1 sekon pertama, 2. posisi bola pada 2 sekon pertama Penyeleseian A. Kecepatan pada t = 1s memenuhi: v x = v 0x = 20 m/s v y = v 0y g. t = = 5 m/s v = = = m/s B. Posisi bola pada t = 2 s memenuhi: x = v x.t = 20.2 = 40 m y = v 0y.t gt 2 = = 10 m Posisi bola dapat ditentukan seperti di bawah r = (x, y) = (40, 10) m RUMUS DIFERENSIAL DAN INTEGRAL DIFERENSIAL/TURUNAN Bila posisi r = t n maka persamaan kecepatan v = dr/dt v = d(t n )/dt v = n.t n-1 Demikian pula bila, kecepatan v = 2t n maka persamaan percepatan a = dv/dt a = d(2.tn)/dt a = 2.nt n-1 Lihat contoh dengan Klik Disini! INTEGRAL Bila percepatan a = t n maka persamaan kecepatan v = a dt v = t n dt v = (1/(n+1))x t n+1 + c

12