Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24
Daftar Isi 1 Teknik Pengintegralan Ke-2 Substitusi yang Merasionalkan Integrasi dengan substitusi trigonometri Latihan Soal Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 2 / 24
Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswa memiliki kejelian melihat bentuk soal. sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang diinginkan. Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akan InsyaAllah menuai kesuksesan. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 3 / 24
Substitusi yang Merasionalkan Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita berusaha menghindarinya. Seringkali substitusi yang tepat akan mersionalkan integran tersebut. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 4 / 24
Substitusi yang Merasionalkan Jika n ax + b muncul dalam suatu integral, substitusi u = n ax + b akan menghilangkan akar. Contoh Carilah dx x x. Misalkan u = x, sehingga u 2 = x dan 2u du = dx. Maka dx x x = 2u du u 2 u = 2 = 2 ln u 1 + C = 2 ln x 1 + C du u 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 5 / 24
Substitusi yang Merasionalkan Contoh Carilah x x + 2 dx. Misalkan u = x + 2, sehingga u 2 = x + 2 dan 2u du = dx. Maka x (u x + 2 dx = 2 2 ) ( u (2u du) = 2 u 4 2u 2) du [ u 5 = 2 5 2 ] 3 u3 + C = 2 5 (x + 2)5/2 4 3 (x + 2)3/2 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 6 / 24
Substitusi yang Merasionalkan Contoh Carilah x 3 x 4 dx. Misalkan u = 3 x 4, sehingga u 3 = x 4 dan 3u 2 du = dx. Maka x 3 x 4 dx = [ u 7 = 3 7 + u4 (u 3 + 4 ) u (3u 2 du ) (u = 3 6 + 4u 3) du ] + C = 3 7 (x 4)7/3 + 3 (x 4) 4/3 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 7 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Integrasi yang melibatkan merasionalkan a 2 x 2, a 2 + x 2, dan x2 a 2 untuk tiga ekspresi ini, kita boleh mengasumsikan bahwa a positif dan membuat substitusi trigonometri berikut. Akar Substitusi Pembatasan pada t a2 x 2 x = a sin t π/2 t π/2 a2 + x 2 x = a tan t π/2 < t < π/2 x2 a 2 x = a sec t 0 t π, t = π/2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 8 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusi ini. 1 a2 x 2 = a 2 a 2 sin 2 t = a 2 cos 2 t = a cos t = a cos t. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusi ini. 1 a2 x 2 = a 2 a 2 sin 2 t = a 2 cos 2 t = a cos t = a cos t. 2 a2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a 2 sec 2 t = a sec t = a sec t. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusi ini. 1 a2 x 2 = a 2 a 2 sin 2 t = a 2 cos 2 t = a cos t = a cos t. 2 3 a2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a 2 sec 2 t = a sec t = a sec t. x2 a 2 = a 2 sec 2 t a 2 = a 2 tan 2 t = a tan t = ±a tan t. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Contoh Carilah 4 x 2 dx Kita gunakan substitusi x = 2 sin t dengan π/2 t π/2 maka dx = 2 cos t dt dan 4 x 2 = 4 4 sin 2 t = 2 cos t. Jadi, 4 x 2 dx = 2 cos t 2 cos t dt = 4 cos 2 t dt = 2 (1 + cos 2t) dt = 2 (t + 12 ) sin 2t + C = 2t + 2 sin t cos t + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 10 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Sekarang x = 2 sin t ekuivalen dengan x/2 = sin t, maka diperoleh ( t = sin 1 x ) 2 dengan menggunakan segitiga siku - siku Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 11 / 24
dengan a = 2 dan menggunakan segitiga siku-siku di samping maka ( x 2 sin t cos t = 2 2) ( ) 4 x 2 = x 4 x 2 2 2 jadi ( 4 x 2 dx = 2 sin 1 x ) + x 4 x 2 2 2 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 12 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Contoh Carilah dx 9 + x 2 Misalkan x = 3 tan t, π/2 t π/2. Maka dx = 3 sec 2 t dt dan 9 + x2 = 9 + 9 tan 2 t = 3 sec t. dx 3 sec = 2 t dt = 9 + x 2 3 sec t = ln sec t + tan t + C sec t dt Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 13 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri karena tan t = x 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 14 / 24
maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t = 9+x 2 3. Jadi, dx 9 + = ln x2 + x 9 + x 2 3 + C = ln 9 + x 2 + x ln 3 + C = ln 9 + x 2 + x + K Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 15 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Contoh x Carilah 2 4 dx. x Misalkan x = 2 sec t, di mana 0 t < π/2.selanjutnya dx = 2 sec t tan t dt. Perhatikan x 2 4 = 4 sec 2 t 4 = 4 tan 2 t = 2 tan t = 2 tan t sehingga x 2 4 dx = x 2 tan t 2 sec t 2 sec t tan t dt = 2 tan 2 t dt = 2 (sec 2 t 1 ) dt = 2 [tan t t] + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 16 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Dengan menggunakan segitiga dapat diperoleh bahwa ( ) x2 4 tan t = dan t = tan 1 x2 4. Maka 2 2 x 2 4 dx = 2 [tan t t] + C x = x 2 4 2 tan 1 ( x2 4 2 ) + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 17 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Melengkapi kuadrat. Apabila ekspresi kuadrat berjenis x 2 + Bx + C muncul di bawah tanda akar dalam integran, metode melengkapi kuadrat akan mempermudah dilakukannya substitusi trigonometri. Contoh Carilah dx x2 + 2x + 26. Penyelesaian : x 2 + 2x + 26 = x 2 + 2x + 1 + 25 = (x + 1) 2 + 25. Misalkan u = x + 1 dan du = dx. Maka dx x2 + 2x + 26 = du u2 + 25 Selanjutnya misalkan u = 5 tan t, π/2 t π/2. Maka du = 5 sec 2 t dt dan u 2 + 25 = 25(tan 2 t + 1) = 5 sec t Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 18 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri sehingga, du 5 sec u2 + 25 = 2 t dt = 5 sec t = ln sec t + tan t + C sec t dt Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 19 / 24
Perhatikan gambar segitiga ini, Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 20 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri Jadi diperoleh, du u2 + 25 = ln sec t + tan t + C u2 + 25 = ln + u 5 5 + C = ln u 2 + 25 + u ln 5 + C = ln x 2 + 2x + 26 + x + 1 + K Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 21 / 24
Latihan Soal Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telap dipelajari, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 x x + 1 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telap dipelajari, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 x x + 1 dx 2 x 3 x + π dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telap dipelajari, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 x x + 1 dx 2 x 3 x + π dx 3 t dt 3t + 4 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telap dipelajari, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 x x + 1 dx 2 x 3 x + π dx 3 t dt 3t + 4 4 x 2 + 3x x + 4 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telap dipelajari, cobalah beberapa soal di bawah ini Lakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini. 1 x x + 1 dx 2 x 3 x + π dx 3 t dt 3t + 4 4 x 2 + 3x x + 4 dx 5 2 1 dt t + e im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal 1 4 x 2 x dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal 1 2 4 x 2 dx x x 2 dx 16 x 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal 1 2 3 4 x 2 dx x x 2 dx 16 x 2 dx (x 2 + 4) 3/2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal 1 2 3 4 4 x 2 dx x x 2 dx 16 x 2 dx (x 2 + 4) 3/2 dx x2 + 2x + 5 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal 1 2 3 4 5 4 x 2 dx x x 2 dx 16 x 2 dx (x 2 + 4) 3/2 dx x2 + 2x + 5 2x 1 x2 + 4x + 5 dx im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Daftar Pustaka Varberg, Purcell, Rigdon, Kalkulus Ninth Edition, 2, 2007, Pearson Education, Inc. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 24 / 24