Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 1

Transkripsi

1 Kunci Jawaban Quis (Bab,2 dan 3) tipe. Tentukan representasi deret Taylor dari f(x) = ln( + x) di sekitar a =. Tuliskan sampai turunan ke 5. Kemudian estimasilah ln(.2) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. 2. Tinjau fungsi f(x) = ln x + x. Dengan metoda bagi dua, tentukan nilai x sehingga f(x) = 5, dengan [a, b] = [3.2, 4.]! Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma. 3. Hitunglah Answer : (2 + sin(2 x))dx dengan menggunakan aturan trapesium dengan lebar sub-selang h =.. Ubah mode dalam kalkulator anda menjadi radian.. Cari f(x), f (x), f (x), f (x), f iv (x) dan f v (x) lalu hitung f(), f (), f (), f (), f iv () dan f v (). f(x) = ln( + x), f (x) = + x, f (x) = ( + x) 2, f (x) = 2( + x) 3, Lalu, kita dapatkan, f iv (x) = 6( + x) 4, f v (x) = 24( + x) 5. f() =, f () =, f () =, f () = 2, f iv () = 6, f v () = 24. Maka deret Taylor dari f(x) = ln( + x) di sekitar a = adalah f(x) = ln( + x) = f() + f ()(x ) + f () 2! + fiv () 4! (x ) 4 + fv () (x ) ! (x ) 2 + f () (x ) 3 3! = + ()x + 2! x ! x ! x ! x = x 2 x2 + 3 x3 4 x4 + 5 x5 + + ( )n x n +... n Untuk menghitung ln(.2) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita substitusi.2 ke dalam persamaan yang terakhir. ln(.2) = ln( +.2) (.2) 2 (.2)2 + 3 (.2)3 4 (.2)4 + 5 (.2) Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) =, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x) + x = 5. Pertama-tama, kita hitung nilai ln(x) + x 5 saat x = 3.2 dan saat x = 4., b(3.2) = , b(4.) = , Maka kita akan dapatkan tabel dibawah ini

2 k a k c k b k b(c k ) Jadi, dengan menggunakan metoda bagi dua sampai dengan 4 iterasi, didapatkan nilai x = dimana nilai b(x) = atau nilai f(x) = ln(x) + x = Pertama-tama kita hitung banyaknya sub-selang. n = batas atas batas bawah lebar sub selang =. =. Jadi terdapat buah sub-selang, artinya terdapat titik (x, x,...,x ) = (,.,.2,..., ) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan trapesium, (2 + sin(2 x))dx h 2 (f(x ) + 2f(x ) + 2f(x 2 ) + + 2f(x 9 ) + f(x )). (f() + 2f(.) + 2f(.2) + + 2f(.9) + f())

3 Kunci Jawaban Quis (Bab,2 dan 3) tipe 2. Tentukan representasi deret Taylor dari f(x) = + x di sekitar a =? Hitunglah sampai turunan ke 4. Kemudian estimasilah. dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. 2. Tinjau fungsi f(x) = lnx + x. Dengan metoda Newton, tentukan nilai x sehingga f(x) = 5, dengan tebakan awal x = 3.2. Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma.. 3. Hitunglah Answer : x 2 e x dx dengan menggunakan aturan Simpson dengan jumlah sub-selang n = 8.. Cari f(x), f (x), f (x), f (x), f iv (x) lalu hitung f(), f (), f (), f (), f iv (). f(x) = + x, f (x) = 2 (+x) /2, f (x) = 4 (+x) 3/2, f (x) = 3 8 (+x) 5/2, Lalu, kita dapatkan, f iv (x) = 5 6 ( + x) 7/2. f() =, f () = 2, f () = 4, f () = 3 8, fiv () = 5 6. Maka deret Taylor dari f(x) = + x di sekitar a = adalah f(x) = + x = f() + f ()(x ) + f () 2! + fiv () (x ) ! (x ) 2 + f () (x ) 3 3! = + 2 x + 4 2! x ! x ! x = + 2 x 8 x2 + 6 x x Untuk menghitung. dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita substitusi.2 ke dalam persamaan yang terakhir.. = (.) 8 (.)2 + 6 (.) (.) Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) =, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x)+x = 5. Dengan menggunakan metoda Newton akan dicari x yang memenuhi kondisi di atas. Pertama-tama, kita cari turunan dari b(x) = ln(x) + x 5. b(x) = ln(x) + x 5, b (x) = x + 3

4 Maka dengan menggunakan rumus Newton berikut ini: x k+ = x k b(x k) b (x k ) kita akan dapatkan tabel dibawah ini k x k f(x k ) f (x k ) Jadi, dengan menggunakan e metoda Newton sampai dengan 3 iterasi, didapatkan nilai x = dimana nilai b(x) = e 3 atau nilai f(x) = ln(x) + x = e Pertama-tama kita hitung lebar setiap sub-selang. h = batas atas batas bawah banyak sub selang = 4 8 =.5. Karena ada 8 buah selang, maka ada 9 titik (x, x 2,..., x 8 ) = (,.5,,..., 4) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan Simpson, x 2 e x dx h 3 (f(x ) + 4f(x ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + 2f(x 4 ) + 4f(x 5 ) + 2f(x 6 ) + 4f(x 7 ) + f(x 8 )).5 3 (f() + 4f(.5) + 2f() + 4f(.5) + 2f(2) + 4f(2.5) + 2f(3) + 4f(3.5) + f(7))

5 Kunci Jawaban Quis (Bab,2 dan 3) tipe 3. Tentukan representasi deret Taylor dari f(x) = cos(x) di sekitar a = π 3? Hitunglah sampai turunan ke 4. Kemudian estimasilah cos(63 ) dengan menggunakan deret Taylor yang didapat. Hitunglah sampai 5 angka di belakang koma. Ubah mode dalam kalkulator anda menjadi radian. 2. Tinjau fungsi f(x) = ln x + x. Dengan metoda bagi dua, tentukan nilai x sehingga f(x) = 5, dengan tebakan awal x = 3.2 dan x = 4.. Hitunglah sampai dengan 4 iterasi. Tuliskan pula sampai 7 angka di belakang koma. 3. Hitunglah Answer :.25 lebar sub-selang h =.25 x dx dengan menggunakan aturan trapesium dengan. Cari f(x), f (x), f (x), f (x), f iv (x) lalu hitung f(), f (), f (), f (), f iv (). f(x) = cosx, f (x) = sinx, f (x) = cosx, f (x) = sin x, f iv (x) = cosx. Lalu, kita dapatkan, f( π 3 ) = 2, f ( π 3 ) = 2 3, f () = 2, f () = 2 Maka deret Taylor dari f(x) = cosx di sekitar a = π 3 adalah 3, f iv () = 2. f(x) = cosx = f( π 3 ) + f ( π 3 )(x π 3 ) + f ( π 3 ) (x π 2! 3 )2 + f ( π 3 ) (x π 3! 3 )3 + fiv ( π 3 ) (x π 3 ) ! = 2 2 3(x π 3 ) 2 2! (x π 3 ) ! + 2 4! (x π 3 ) (x π 3 )3 Untuk menghitung cos62 dengan menggunakan deret Taylor yang didapat, kita ubah 62 ke dalam bentuk radian menjadi Kemudian kita substitusikan π 3 + π 9 cos π 3 + π 9 62 = = π 3 + π 9 ke deret Taylor yang didapat. 2 π 3( π 9 π 3 ) 2 2! (π 3 + π 9 π 3 )2 + π 3( 2 3! 3 + π 9 π 3 ) ! (π 3 + π 9 π 3 )4 2 π 3( 2 9 ) 2 2! ( π 9 )2 + π 3( 2 3! 9 ) ! ( π 9 )

6 2. Karena kita ingin menghitung x sehingga ln(x) + x = 5, maka kita tinjau fungsi baru yaitu b(x) = ln(x) + x 5. Jika kita mendapatkan x sehingga b(x) =, maka didapatkan pula x sehinggal ln(x) + x = 5. Pertama-tama, kita hitung nilai ln(x) + x 5 saat x = 3.2 dan saat x = 4., b(3.2) = , b(4.) = , Maka kita akan dapatkan tabel dibawah ini k a k c k b k b(c k ) Jadi, dengan menggunakan metoda bagi dua sampai dengan 4 iterasi, didapatkan nilai x = dimana nilai b(x) = atau nilai f(x) = ln(x) + x = Pertama-tama kita banyaknya sub-selang. n = batas atas batas bawah lebar sub selang = = 5. Karena ada 5 titik (x, x 2,..., x 5 ) = (.25,.5,.75,..., 4) yang mesti dihitung. Berdasarkan aturan trapesium,.25 x dx h 2 (f(x ) + 2f(x ) + 2f(x 2 ) + + 2f(x 4 ) + f(x 5 )).25 (f(.25) + 2f(.5) + 2f(.75) + + 2f(3.75) + f(4))