MAKALAH TEOREMA BINOMIAL Disusu utu memeuhi tugas mata uliah Matematia Disrit Dose Pegampu : Dr. Isaii Rosyida, S.Si, M.Si Rombel B Kelompo 2 1. Wihdati Martalya (0401516006) 2. Betha Kuria S. (0401516012) 3. Agriat Barata (0401516015) 4. Aita Sulistyawati (0401516020) PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2017
KATA PENGANTAR Puji syuur ami pajata ehadirat Tuha Yag Maha Esa yag telah memberia rahmat serta aruia-nya sehigga ami berhasil meyelesaia maalah yag berjudul Teorema Biomial ii dega bai. Maalah ii disusu utu memeuhi tugas mata uliah Matematia Disrit. Kami meyadari bahwa maalah ii masih jauh dari sempura, oleh area itu riti da sara dari semua piha yag bersifat membagu selalu ami harapa demi esempuraa maalah ii. Ahir ata, ami sampaia terima asih epada semua piha yag telah berpera serta dalam peyusua maalah ii dari awal sampai ahir. Semoga Tuha Yag Maha Esa seatiasa meridhai segala usaha ita. Ami. Peyusu 2
TEOREMA BINOMIAL Teorema biomial memberia oefisie dari perluasa espresi biomial berpagat. Espresi biomial secara sederhaa merupaa pejumlaha dari dua suu, seperti x + y (Suu-suu dapat dihasila dari osta da variabel, tetapi tida diperhatia disii). Cotoh 1 beriut megilustrasia bagaimaa oefisie dalam perluasa has dapat ditemua da meyiapa ami utu peryataa teorema biomial. Cotoh 1 Pejabara (x + y) 3 dapat ditetua megguaa ombiatorial daripada peralia tiga suu. Saat (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) dijabara, semua hasil ali suu pertama, suu edua, da suu etiga dijumlaha. Suu-suu x 3, x 2 y, xy 2, y 3 terbetu. Utu medapata suu x 3, sebuah x harus dipilih dari setiap pejumlaha, da haya dapat dierjaa dega cara ii. Jadi, suu x 3 pada hasil peralia tadi memilii oefisie 1. Utu medapata suu x 2 y, sebuah x harus dipilih dari dua dari tiga pejumlaha (da aibatya y dalam pejumlaha laiya). Bilaga seperti itu disebut bilaga ombiasi 2 dari tiga obje, diamaa ( 3 2 ). Dega cara yag sama, bilaga dari suu xy 2 adalah bilaga dari cara memilih satu dari tiga pejumlaha utu medapata sebuah x (da aibatya, ambil sebuah y dari setiap dua pejumlaha lai). Hal ii dapat diselesaia dega ( 3 1 ). Ahirya, satu-satuya cara utu medapata sebuah suu y 3 adalah memilih y utu setiap etiga pejumlaha dalam hasil aliya, da ii haya bias diselesaia dega satu cara. Aibatya, (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) = (xx + xy + yx + yy)(x + y) = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Searag ita yataa teorema Biomial. 3
Teorema 1 (Teorema Biomial) Misala x da y adalah variabel, da misala adalah bilaga bulat o egatif. Maa, (x + y) = ( j ) x j y j = ( 0 ) x + ( 1 ) x y + + ( 1 ) xy + ( ) y Buti: Kita guaa buti ombiatorial. Suu-suu dalam hasil ali saat dijabara adalah betu x j y j utu j = 0,1,2,,. Utu meghitug bilaga dega suu-suu dalam betu x j y j, catat bahwa utu medapata suu tersebut, perlu memilih j xs dari jumlah (sehigga j suu lai dalam hasil ali adalah ys). Sehigga oefisie x j y j adalah ( j ), da sama dega ( j ). Terbuti. Atau ita dapat membutia teorema ii dega idusi matematia. Buti: Utu = 0, jelas peryataa tersebut bear. Asumsia peryataa bear utu -1 > 0. Artiya, (x + y) = ( 1 ) x y Selajutya, aa ditujua peryataa bear utu. 4
Perhatia bahwa, (x + y) = (x + y)(x + y) = (x + y) ( 1 ) x y = x ( 1 ) x y + y ( 1 ) x y = ( 1 ) x+1 y + ( 1 ) x y 2 = ( 1 1 ) x + ( 1 ) x+1 y + ( 1 ) x y 2 =1 + ( 1 0 ) y = x + ( 1 ) x+1 y + ( 1 ) x y + y Gati +1 dega pada suu edua, diperoleh (x + y) = x + ( 1 1 ) x y =1 Setelah disederhaaa, didapat =1 + ( 1 ) x y + y =1 (x + y) = x + {( 1 1 ) + ( 1 )} x y + y =1 Berdasara idetitas Pascal, maa. (x + y) = x + ( =1 ) x y + y = ( ) x y Jadi, peryataa bear utu. Terbuti. Cotoh 2 Bagaimaa pejabara dari (x + y) 4? Peyelesaia: Dari teorema biomial, maa 5
4 (x + y) 4 = ( 4 j ) x4 j y j = ( 4 0 ) x4 + ( 4 1 ) x3 y + ( 4 2 ) x2 y 2 + ( 4 3 ) xy3 + ( 4 4 ) y4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 Cotoh 3 Apaah oefisie dari x 12 y 13 dalam pejabara (x + y) 25? Peyelesaia: Dari teorema biomial, maa oefisie dari x 12 y 13 adalah ( 25 13 ) = 25! 13!12! = 5,200,300. Cotoh 4 Apaah oefisie dari x 12 y 13 dalam pejabara (2x 3y) 25? Peyelesaia: Pertama, catat bahwa (2x 3y) 25 = (2x + ( 3y)) 25. Dega megguaa teorema biomial, 25 (2x + ( 3y)) 25 = ( 25 j ) (2x)25 j ( 3y) j Aibatya, oefisie x 12 y 13 dalam pejabaraya aa diperoleh saat j = 13, yaitu ( 25 13 ) 225 13 ( 3) 13 = ( 25 13 ) 212 ( 3) 13 = 25! 13!12! 212 3 13. Searag ita dapat membutia beberapa idetitas yag bergua megguaa teorema biomial, yaitu Aibat 1, Aibat 2, da Aibat 3. Aibat 1 Misala bilaga bulat o egatif. Maa, ( ) = 2. 6
Buti: Megguaa teorema biomial dega x = 1 da y = 1, maa 2 = (1 + 1) = ( ) 1 1 = ( ) Terbuti.. Selai megguaa pembutia, tersebut, dapat juga megguaa pembutia beriut ii. Buti: Sebuah himpua dega usur memilii total 2 subset berbeda. Setiap subset memilii ol usur, satu usur, dua usur, atau usur di dalamya. Ada ( 0 ) subset dega ol usur, ( 1 ) subset dega satu usur, ( 2 ) subset dega dua usur, da ( ) subset dega usur. Sehigga, ( ) meghitug total bayaya subset dari sebuah himpua dega usur. Dega meyamaa rumus tersebut dega yag telah ita puyai sebelumya, yaitu rumus bayaya subset sebuah himpua dega usur, maa ( ) = 2 Aibat 2 Misala adalah bilaga bulat positif. Maa ( 1) ( ) = 0. Buti: Kita guaa teorema biomial dega x = 1 da y = 1, maa 0 = 0 = (( 1) + 1) = ( ) ( 1) 1 = ( ) ( 1). Terbuti. 7
Tadai: Aibat 2 megaibata bahwa ( 0 ) + ( 2 ) + ( 4 ) + = ( 1 ) + ( 3 ) + ( 5 ) + Aibat 3 Misala adalah bilaga bulat o egatif. Maa 2 ( ) = 3 Buti: Kita megeal ruas iri dari rumus ii adalah pejabara dari (1 + 2), sehigga dega teorema biomial, (1 + 2) = ( ) 1 2 = ( ) 2. Sehigga, 2 ( ) = 3 Terbuti. IDENTITAS LAIN MENGENAI KOEFISIEN BINOMIAL TEOREMA 3 (IDENTITAS VANDERMONDE) Misala m,, da r bilaga bulat o egatf dega r tida lebih dari m ataupu. Maa r m + ( ) = ( m r r ) ( ) Buti: Padag dua himpua A dega m eleme da B dega eleme. m + Maa bayaya cara utu memilih r eleme dari AUB adalah ( ). r Cara lai utu memilih r eleme dari AUB adalah dega memilih eleme dari B da emudia r- eleme dari A, dega bilaga bulat, 8
0 r. Berdasara atura peralia, bayaya cara utu melaua pemiliha tersebut adalah ( m r ) ( ) Jadi berdasara atura peralia, bayaya cara utu memilih r eleme dari AUB adalah r ( m r ) ( ) Kita telah medapata dua espresi utu meetua bayaya cara utu memilih r usur dari gabuga himpua dega m item da himpua dega item. Meyamaa edua persamaa tersebut meghasila idetitas Vademode. COROLLARY 4 Jia bilaga bulat o-egatif, maa ( 2 ) = ( )2 Buti: Kita guaa idetitas Vadermode dega m=r= utu medapata ( 2 ) = ( ) ( ) = ( )2 Kesamaa ii diperoleh megguaa idetitas ( ) = ( ). TEOREMA 4 Misala da r bilaga bulat o-egatif dega r. Maa ( + 1 r + 1 ) = (j r ) 9
Soal 1. Tetua pejabara dari (x + y) 6! 2. Apaah oefisie dari x 101 y 99 dalam pejabara (2x 3y) 200? 3. Tetua rumus utu oefisie x dalam pejabara (x 2 1 x )100, dimaa adalah bilaga bulat! 4. Show that a oempty set has the same umber of subsets with a odd umber umber of elemets as it does subsets with a eve umber of elemets. 5. Determie a formula ivolvig biomial coefficiets for the th term of a sequece if its iitial terms are those listed. a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, Peyelesaia: 1. Dari teorema biomial, maa 6 (x + y) 6 = ( 6 j ) x4 j y j = ( 6 0 ) x6 + ( 6 1 ) x5 y + ( 6 2 ) x4 y 2 + ( 6 3 ) x3 y 3 + ( 6 4 ) x2 y 4 + ( 6 5 ) xy5 + ( 6 6 ) y6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 2. Pertama, catat bahwa (2x 3y) 200 = (2x + ( 3y)) 200. Dega megguaa teorema biomial, 200 (2x + ( 3y)) 200 = ( 200 j ) (2x)200 j ( 3y) j Aibatya, oefisie x 101 y 99 dalam pejabaraya aa diperoleh saat j = 99, yaitu ( 200 99 ) 2200 99 ( 3) 99 = ( 200 99 ) 2101 ( 3) 13 = 25! 13! 12! 2101 3 99 10
3. (x 2 1 x )100 100 = ( 100 j ) (x2 ) 100 j ( 1 x )j 100 = ( 100 j ) x200 2j ( 1) j x j 100 = ( 100 j ) x200 3j ( 1) j Karea aa dicari oefisie x, maa 200 3j = j = 200 3 Karea 0 j 100, maa 0 200 3 100 0 200 300 100 200. Sehigga diperoleh oefisie x adalah ( 100 200 ) ( 1) 200 dega 100 200 da 2 mod 3 3 3, 4. Misala terdapat himpua A yag ta osog dega usur. Dari Aibat 2 diperoleh ( 0 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 3 ) + ( 4 ) ( 5 ) + = 0 ( 0 ) + ( 2 ) + ( 4 ) + = ( 1 ) + ( 3 ) + ( 5 ) + Ruas iri memberia bayaya subset dega sejumlah geap usur, da ruas aa memberia bayaya subset dega sejumlah gajil usur. 5. a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, Barisa tersebut apabila diaita dega oefisie biomial euivale dega barisa ( 2 0 ), (3 1 ), (4 2 ), (5 3 ), (6 4 ), (7 5 ), Sehigga formula suu e adalah ( + 2 1 ) = ( + 2 2 ) b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, Barisa tersebut apabila diaita dega oefisie biomial euivale dega barisa ( 0 0 ), (2 1 ), (4 2 ), (6 3 ), (8 4 ), (10 5 ), Sehigga formula suu e adalah ( 2 2 1 ). 11