6.3 PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
|
|
- Sucianty Tan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 6.3 PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
2 Pengaturan dengan urutan Sering kali kita perlu menghitung banyaknya cara pengaturan obyek tertentu dengan memperhatikan urutan maupun tanpa memperhatikan urutan. Contoh 1. Ada berapa cara untuk memilih 3 mahasiswa dari kelompok beranggota 5 orang untuk berbaris dalam pengambilan foto? Ada berapa panitia beranggotakan 3 orang yang dapat dibentuk dari kelompok beranggotakan 4 orang? 2
3 Contoh 2 Ada berapa cara kita dapat memilih 3 mahasiswa dari suatu kelompok beranggotakan 5 mahasiswa untuk berbaris dalam pembuatan foto? Ada berapa cara kita dapat mengatur ke-5 mahasiswa tersebut untuk berbaris dalam pembuatan foto? Solusi. Perhatikan bahwa urutan dalam pemilihan akan mempengaruhi pengaturan. Terdapat 5 cara untuk memilih mahasiswa pertama untuk berdiri di awal barisan. Setelah mahasiswa ini dipilih, ada 4 cara untuk memilih mahasiswa kedua di barisan. Setelah mahasiswa pertama dan kedua dipilih, terdapat 3 cara untuk memilih mahasiswa ketiga dalam barisan. Dengan menggunakan aturan perkalian, terdapat = 60 cara untuk memilih 3 mahasiswa dari kelompok beranggotakan 5 mahasiswa untuk berbaris dalam pengambilan foto. Untuk mengatur 5 mahasiswa dalam barisan, kita memilih mahasiswa pertama dengan 5 cara, mahasiswa kedua dengan 4 cara, ketiga dengan 3 cara, keempat dengan 2 cara dan kelima dengan 1 cara. Akibatnya, terdapat = 120 cara untuk mengatur 5 mahasiswa dalam pengambilan foto. 3
4 Permutasi Contoh 2 menggambarkan bagaimana pengaturan terurut dari obyek dapat dihitung. Permutasi dari suatu himpunan adalah pengaturan yang memperhatikan urutan dari anggota himpunan tersebut. Permutasi-r : pengaturan r buah anggota suatu himpunan secara terurut. Contoh 3. Misal S = {1,2,3}. Maka 3,1,2 adalah suatu permutasi dan 1,3 adalah suatu permutasi-2 dari S. 4
5 P(n,r) P(n,r) = Banyaknya permutasi-r dari suatu elemen. himpunan dengan n Teorema 1. P(n,r) = n(n-1)(n-2) (n-r+1) Bukti. Ada n cara untuk memilih elemen pertama dari permutasi. Untuk memilih elemen kedua ada (n-1) cara, karena tinggal n- 1 elemen dalam himpunan yang dapat digunakan sebagai elemen kedua. Dengan cara yg sama, ada (n-2) cara untuk memilih elemen ketiga. Ada tepat (n-r+1) cara utk memilih elemen ke-r. Menurut aturan perkalian, P(n,r) = n(n-1)(n-2) (n-r+1). P( n, r) n! ( n r)! 5
6 Contoh 4 Ada berapa banyak permutasi dari huruf-huruf ABCDEFGH yang memuat string ABG? yang memuat string ABG dan EH? Solusi Karena ABG harus terjadi dalam satu blok maka masalahnya menjadi mencari banyaknya permutasi dari 6 objek, yaitu blok ABG dan huruf C,D,E,F,H. Karena keenam objek tsb dapat terjadi dengan sebarang urutan, maka ada 6! = 720 permutasi dari ABCDEFGH yang memuat ABG. 6
7 Pemilihan Tak Terurut Contoh 5. Ada berapa penitia beranggotakan 3 mahasiswa yang dapat dibentuk dari kelompok dengan 4 mahasiswa? Solusi. Untuk menjawab pertanyaan ini, hanya perlu dicari banyaknya subhimpunan dengan 3 anggota dari himpunan beranggotakan 4 mahasiswa. Dapat dilihat bahwa terdapat 4 subhimpunan yang demikian, 1 untuk setiap 4 mahasiswa, karena memilih 3 mahasiswa sama dengan memilih satu dari 4 mahasiswa untuk meninggalkan kelompok tersebut. Artinya, terdapat 4 cara memilih 3 mahasiswa untuk panitia, di mana urutan pemilihan mahasiswa tidak berpengaruh. 7
8 Kombinasi Kombinasi-r dari suatu himpunan adalah pengaturan r buah elemen tanpa memperhatikan urutan. Contoh 6. Misal S = {1,4,5,6}. Maka, 1,5,6 suatu kombinasi-3 dari S. Sedangkan 4,5 adalah suatu kombinasi-2 dari S. Ada 4 macam kombinasi-2 dari S. C(n,r): banyaknya kombinasi-r dari himpunan dengan n elemen. n C( n, r) Koefisien binomial r 8
9 C(n,r) Teorema 2 C(n,r) = n!/(n-r)!r!, bila 0 r n. Bukti. Permutasi-r dari suatu himpunan dengan n elemen dapat diperoleh dengan cara membentuk kombinasi-r dan kemudian mengurutkan elemen pada setiap kombinasi-r tsb (dapat dilakukan dalam P(r,r) cara). Jadi, P(n,r) = C(n,r).P(r,r) Ini berarti bahwa C(n,r) = P(n,r)/P(r,r). Akibat 1. C(n,r) = C(n,n-r). 9
10 Bukti Kombinatorial Bukti kombinatorial dari suatu persamaan adalah bukti yang menggunakan argumen counting untuk membuktikan bahwa kedua sisi persamaan menghitung obyek yang sama, tetapi dengan cara yang berbeda (bukti double counting) atau bukti yang menunjukkan bahwa terdapat bijeksi antara dua himpunan obyek yang dihitung oleh kedua sisi persamaan (bukti bijektif) 10
11 Bukti Kombinatorial dari Teorema 2 Akan digunakan bukti bijektif untuk menunjukkan bahwa C(n, r) = C(n, n r) untuk setiap bilangan bulat n dan r dengan 0 r n. Misalkan S adalah himpunan dengan n anggota. Fungsi yang memetakan subhimpunan A dari S ke A adalah bijeksi antara subhimpunan S dengan r anggota dan subhimpunan dengan n r anggota. Maka persamaan C(n, r) = C(n, n r) benar karena terdapat bijeksi antara dua himpunan hingga. Bukti bijektif ini dapat diformulasikan kembali sebagai bukti double counting. Dari definisi, banyaknya subhimpuan S dengan r anggota adalah C(n, r). Tetapi setiap subhimpunan A dari S juga ditentukan dengan menentukan elemen mana yang bukan merupakan anggota A. Karena komplemen dari suatu subhimpunan dengan r anggota memiliki n r anggota, maka terdapat C(n, n r) subhimpunan dari S dengan r anggota. Akibatnya C(n, r) = C(n, n r). 11
12 Contoh 7 Ada berapa banyak string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1? Solusi. Bila kita memperhatikan semua kemungkinan posisi r angka 1 dalam string, maka mereka akan membentuk suatu kombinasi-r dari {1,2,3,,n}. Jadi terdapat C(n,r) string biner panjang n yang memuat tepat r buah angka 1. 12
13 Soal 1 a. Hitunglah banyaknya lintasan terpendek dari A ke B. b. Ada berapa cara untuk 8 pria dan 5 wanita berdiri dalam suatu barisan sehingga tidak ada 2 wanita yang berdiri bersebelahan? 13
14 6.4 BINOMIAL COEFFICIENTS AND IDENTITIES 14
15 Ekspresi Binomial Ekspresi binomial adalah jumlahan dari 2 variabel, seperti x + y. Contoh 1. Ekspansi (x + y) 3 dapat ditemukan dengan menggunakan penjelasan kombinatorik, selain dengan mengalikan tiga jumlahan x + y. Ketika (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) dijabarkan, semua suku merupakan hasil kali satu suku di jumlahan pertama, satu suku di jumlahan kedua, dan satu suku di jumlahan ketiga. Dengan demikian muncul suku dalam bentuk x 3, x 2 y, xy 2, dan y 3. Untuk memperoleh suku dalam bentuk x 3, x harus dipilih dari setiap jumlahan, dan ini dapat dilakukan hanya dengan 1 cara. Jadi, suku x 3 memiliki koefisian 1. Untuk memperoleh suku dalam bentuk x 2 y, x harus dipilih dalam 2 dari 3 jumlahan (dan akibatnya y di jumlahan lainnya). Akibatnya banyaknya 3 suku dalam bentuk demikian adalah banyaknya 2-kombinasi dari 3 obyek,. 2 15
16 Contoh 1 (2) Dengan cara serupa, banyaknya suku dalam bentuk xy 2 adalah banyakanya cara untuk memilih 1 dari 3 jumlahan untuk memperoleh x (dan akibatnya memilih y dari 2 3 jumlahan lainnya). Ini dapat dilakukan dengan 1 cara. Akhirnya, satu-satunya cara untuk memperoleh bentuk y 3 adalah dengan memilih y dari setiap jumlahan, dan ini dapat dilakukan dengan tepat 1 cara. Akibatnya, (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) = (xx + xy + yx + yy)(x + y) = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3. 16
17 Teorema Binomial Teorema Binomial (x+y) n = C(n,0)x n + C(n,1)x n-1 y + C(n,2)x n-2 y C(n,n-1)xy n-1 + C(n,n)y n. Bukti. Menghitung banyaknya x n-j y j, untuk suatu j=0,1,2,,n, sama dengan memilih (n-j) buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya dalam perkalian adalah y). Jadi koefisien x n-j y j adalah C(n,n-j).
18 Akibat C(n,j) = C(n,n-j). Koefisien Binomial 2. C(n,0) + C(n,1) + + C(n,n) = 2 n n k 0 n k 0 ( 1) 2 k k C( n, k) C( n, k) 3 n 0 Bukti. 1. Banyaknya cara memilih j dari n elemen sama dengan banyaknya meninggalkan n-j dari n elemen. 2. Pilih x = y = Pilih x = -1 dan y = Pilih x = 1 dan y = 2.
19 Identitas dan Segitiga Pascal Identitas Pascal Misal n dan k bilangan bulat positif, n k. Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k). Bukti. Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, a T. Misal S = T-{a}. Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang mempunyai k elemen. Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat memuat a dan (k-1) elemen S atau memuat k elemen S tanpa memuat a. Jadi, C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).
20 Identitas Vandermonde Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka, r C( m n, r) C( m, r k) C( n, k) k 0 Bukti. Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n elemen. Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah C(m+n,r). Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A, dengan k bilangan bulat, 0 k r. Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah C(m,r-k)C(n,k). Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah r k 0 C( m, r k) C( n, k)
21 Soal 1 Buktikan C(2n,n) = C(n,0) 2 + C(n,1) C(n,n) 2 dengan 2 cara: 1. Menggunakan Identitas Vandermonde. 2. Memandang pemilihan n orang dari 2n orang yg terdiri dari n pria dan n wanita
22 6.5 GENERALIZED PERMUTATIONS AND COMBINATIONS 22
23 Perluasan permutasi dan kombinasi Permutasi dengan pengulangan Kombinasi dengan pengulangan Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan Distribusi obyek ke dalam kotak
24 Permutasi dengan Pengulangan Contoh 1. Berapa banyak string panjang n yang dapat dibentuk dari alfabet? Karena ada 26 huruf dalam alfabet dan karena setiap huruf dapat digunakan berulang maka ada 26 n string panjang n. Teorema 1. Jumlah permutasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan adalah n r.
25 Kombinasi dengan Pengulangan Contoh 2. Ada berapa cara untuk memilih 3 buah dari wadah yang berisi rambutan, duku, pisang, dan manggis, jika urutan pengambilan tidak penting, dan setidaknya ada 4 buah dalam setiap jenis buah.
26 Contoh 3 Ada berapa cara untuk memilih 5 lembar uang kertas dari kotak yg memuat lembaran $1, $2, $5, $10, $20, $50 dan $100? Asumsikan bahwa urutan pengambilan tidak penting dan ada sedikitnya 5 lembar uang kertas utk masingmasing pecahan. Solusi. Karena urutan tidak penting dan ke-7 macam uang kertas tersebut dapat dipilih hingga 5 kali, maka problem ini sama dengan menghitung kombinasi-5 dengan pengulangan dari himpunan dengan 7 elemen. Misal kotak mempunyai 7 bagian dan setiap bagian menyimpan 1 macam uang, maka bagian-bagian tersebut dipisahkan oleh 6 pemisah.
27 Contoh 3 (2) Memilih 5 uang kertas sama artinya dengan menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat (5* + 6 ). ** *** : 3 $1 + 2 $10 * * ** * : $5 + 2 $20 + $50 + $100 Jadi banyaknya cara memilih 5 uang kertas = banyaknya cara menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat = C(11,6) = 462.
28 Kombinasi dengan Pengulangan (2) Teorema 4. Terdapat C(n+r-1,r) kombinasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan anggota. Contoh 4. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 =11, jika x 1, x 2, x 3 bil bulat nonnegatif? Solusi. Menghitung solusi = menghitung cara memilih 11 bintang dari himpunan 13 elemen (11 bintang + 2 pemisah). Jadi terdapat C(13,11) macam solusi.
29 Soal 2 a. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 11, bila x 1, x 2, x 3 bilangan bulat nonnegatif? b. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 = 11, bila x 1, x 2, x 3 bilangan bulat dan x 1 1, x 2 2 dan x 3 3?
30 Permutasi dan Kombinasi dengan Pengulangan Tipe Pengulangan? Rumus r-permutasi r-kombinasi r-permutasi r-kombinasi Tidak Tidak Ya Ya n! ( n r)! n! r!( n r)! r n ( n r 1)! r!( n 1)!
31 Permutasi dengan Obyek yang Tidak dapat Dibedakan Contoh 5. Ada berapa banyak string yang dapat dibuat dengan mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS? Solusi. Karena ada beberapa huruf yg sama, maka jawabannya tidaklah sama dengan permutasi 7 huruf. Tapi, banyaknya adalah: C(7,3) utk menempatkan 3 S dalam 7 tempat; C(4,2) utk menempatkan 2 C dalam 4 tempat sisanya; C(2,1) utk menempatkan 1 U dalam 2 tempat sisanya; C(1,1) utk menempatkan 1 E dalam 1 tempat sisanya; Jadi banyak string ada: C(7,3).C(4,2).C(2,1).C(1,1) = 420.
32 Teorema 5. Jumlah permutasi dari n obyek, di mana terdapat adalah: Permutasi dengan Obyek yang Tidak dapat Dibedakan (2) n 1 obyek tipe 1, n 2 obyek tipe 2,, dan n k obyek k, n! n! n! n! 1 2 k
33 Distribusi Obyek ke dalam Kotak Contoh 6. Ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan satu set kartu pada 4 orang pemain sehingga setiap pemain mendapatkan 5 kartu? Solusi. Pemain pertama memperoleh 5 kartu dalam C(52,5) cara Pemain kedua memperoleh 5 kartu dalam C(47,5) cara Pemain ketiga memperoleh 5 kartu dalam C(42,5) cara Pemain keempat memperoleh 5 kartu dalam C(37,5) cara Jadi, secara keseluruhan banyaknya cara adalah C(52,5). C(47,5). C(42,5). C(37,5) 52! 47!5! 47! 42!5! 42! 37!5! 37! 32!5! 52! 5!5!5!5!32!
34 Distribusi Obyek ke dalam Kotak (2) Teorema 6. Banyaknya cara untuk mendistribusikan n obyek yang dapat dibedakan ke dalam k kotak yang dapat dibedakan sehingga n i buah obyek ditempatkan dalam kotak i, i=1,2,,k adalah n! n n!! n 1 2 k!
35 Soal 1. Latihan Ada berapa cara untuk memilih 8 uang logam dari sebuah celengan yang berisi 100 uang logam Rp. 500 yang identik dan 80 uang logam Rp yang identik. (Kombinasi dengan pengulangan - Solusi: 9) 2. Latihan Ada berapa string dari 10 digit terner (0,1, atau 2) yang memuat tepat dua digit 0, tiga digit 1, dan lima digit 2? (Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan - Solusi: 2520)
36 Soal 3. Latihan Ada berapa cara untuk memberi 3 pekerjaan kepada 5 pegawai, jika setiap pegawai dapat diberikan lebih dari satu pekerjaan? (Permutasi dengan pengulangan - Solusi: 125) 4. Latihan Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang lebih kecil dari dengan jumlah dari digit-digitnya adalah sama dengan 19? (Kombinasi dengan pengulangan - Solusi: 30492)
37 Soal 5. Latihan Suatu penerbit mempunyai 3000 buku Matematika Diskrit. Ada berapa cara menyimpan buku-buku tersebut ke dalam tiga gudang jika setiap buku tidak dapat dibedakan? (Kombinasi dengan pengulangan - Solusi: ) 6. Latihan Ada berapa cara untuk berjalan dari titik (0,0,0) ke (4,3,5) di ruang xyz dengan melangkah sebesar 1 satuan ke arah x positif, 1 satuan ke arah y positif, dan 1 satuan ke arah z positif. (Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan - Solusi: 27720)
38 Soal 7. Latihan Suatu toko donat menjual donat polos, donat rasa keju, coklat, stroberi, bluberi, mint, kopi, dan kacang. Ada berapa cara untuk memilih: a) 6 donat? b) selusin donat? c) dua lusin donat? d) Selusin donat dengan paling tidak satu untuk setiap jenisnya? e) Selusin donat dengan paling tidak tiga donat keju dan tidak lebih dari 2 donat kacang? (Kombinasi dengan pengulangan)
Perluasan permutasi dan kombinasi
Perluasan permutasi dan kombinasi Permutasi dengan pengulangan Kombinasi dengan pengulangan Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan Distribusi obyek ke dalam kotak Permutasi dengan pengulangan
Lebih terperinci4. Pencacahan. Pengantar. Aturan penjumlahan (sum rule) Aturan penjumlahan Yang Diperumum. Aturan Perkalian (Product Rule)
4. Pencacahan Pengantar Pencacahan (counting) adalah bagian dari matematika kombinatorial. Matematika kombinatorial berkaitan dengan pengaturan sekumpulan objek. Pencacahan berusaha menjawab pertanyaan-pertanyaan
Lebih terperinci8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 2 8/29/2014 1 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 3 8/29/2014 3 KOMBINATORIAL Tujuan 1.Mahasiswa
Lebih terperinciBAB III KOMBINATORIK
37 BAB III KOMBINATORIK Persoalan kombinatorik bukan merupakan persoalan yang baru dalam kehidupan nyata. Banyak persoalan kombinatorik yang sederhana telah diselesaiakan dalam masyarakat. Misalkan, saat
Lebih terperinciKOMBINATORIAL STRUKTUR DISKRIT K-1. Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia.
STRUKTUR DISKRIT K-1 KOMBINATORIAL Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia Suryadi MT Struktur Diskrit 1 Pendahuluan Sebuah password panjangnya 6 sampai
Lebih terperinciKOMBINATORIKA. Berapa banyak cara menyusun sebuah bilangan yang terdiri dari empat buah angka yang tidak mengandung angka yang berulang?
P a g e 1 KOMBINATORIKA Beberapa prinsip penting dalam menyelesaikan masalah kombinatorika yaitu permutasi dan kombinasi, prinsip inklusi-eksklusi, koefisien binomial, prinsip sarang merpati (pigeon hole
Lebih terperinciDEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.
KOMBINATORIAL DEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. ENUMERASI Sebuah sandi-lewat (password)
Lebih terperinciDEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.
KOMBINATORIAL DEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. ENUMERASI Sebuah sandi-lewat (password)
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciL/O/G/O KOMBINATORIK. By : ILHAM SAIFUDIN
L/O/G/O KOMBINATORIK By : ILHAM SAIFUDIN Senin, 09 Mei 2016 1.2 Kaidah Dasar menghitung BAB 4. KOMBINATORIK 1.1 Pendahuluan 1.2 Kaidah Dasar Menghitung 1.3 Permutasi 1.4 Kombinasi 1.5 Permutasi dan Kombinasi
Lebih terperinciU n KOMBINATORIAL. A 1 atau A 2 atau... atau A n adalah (n 1 + n n n ). Dengan kata lain
KOMBINATORIAL Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek objek Solusi yang ingin kita peroleh dari kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek objek didalam kumpulanya
Lebih terperinciBab 4. Koefisien Binomial
Bab 4. Koefisien Binomial Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (a + b) n. Sepintas terlihat bahwa ekspresi
Lebih terperinciPertemuan 14. Kombinatorial
Pertemuan 14 Kombinatorial 1 Pendahuluan Sebuah kata-sandi (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan kata-sandi yang dapat dibuat? abcdef
Lebih terperinciKombinatorial. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika ITB
Kombinatorial Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika ITB 1 Pendahuluan Sebuah kata-sandi (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa
Lebih terperinci5.Permutasi dan Kombinasi
5.Permutasi dan Kombinasi Prinsip Perkalian : Jika sebuah aktivitas bisa dibentuk dalam t langkah berurutan dan langkah 1 bisa dilakukan dalam n1 cara; langkah kedua bisa dilakukan dalam n2 cara;.; langkah
Lebih terperinciKOMBINATORIAL. /Nurain Suryadinata, M.Pd
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-3615/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata, M.Pd Referensi
Lebih terperinciPendahuluan. abcdef aaaade a123fr. erhtgahn yutresik ????
Kombinatorial 1 Percobaan! Melampar dadu! Berapa saja angka yang muncul? Memilih 4 wakil dari kelas ini! Berapa kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk? Menyusun 5 huruf dari a,b,c,d,e, tidak boleh
Lebih terperinciCombinatorics dan Counting
CHAPTER 6 COUNTING Combinatorics dan Counting Kombinatorik Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek Bagian penting dari Matematika Diskrit Mulai dipelajari di abad 17 Enumerasi Penghitungan obyek dengan
Lebih terperinciKombinatorial. Matematika Diskrit Pertemuan ke - 4
Kombinatorial Matematika Diskrit Pertemuan ke - 4 Pengertian Cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek Solusi yang diperoleh : jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu dalam himpunan
Lebih terperinciKombinatorial. Pendahuluan. Definisi. Kaidah Dasar Menghitung. Sesi 04-05
Pendahuluan Kombinatorial Sesi 04-05 Sebuah sandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan sandi-lewat yang dapat dibuat? abcdef
Lebih terperinciKombinatorial. Matematika Deskrit. Sirait, MT 1
Kombinatorial Matematika Deskrit By @Ir.Hasanuddin Sirait, MT 1 Pendahuluan Sebuah sandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan
Lebih terperinciPermutasi & Kombinasi
Permutasi & Kombinasi 1 Pendahuluan Sebuah sandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan sandi-lewat yang dapat dibuat????? abcdef
Lebih terperinciKombinatorial dan Peluang Diskret Matematika Diskret (TKE072107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kombinatorial dan Peluang Diskret Matematika Diskret (TKE072107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2012/2013 Kombinatorial: cabang matematika yang mempelajari
Lebih terperinciCHAPTER 7 DISCRETE PROBABILITY
CHAPTER 7 DISCRETE PROBABILITY 1 7.1 AN INTRODUCTION TO DISCRETE PROBABILITY 2 Sejarah 1526: Cardano menulis Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance). Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk
Lebih terperinciCHAPTER 8. Advanced Counting Techniques
CHAPTER 8 Advanced Counting Techniques Banyak problem counting yang tidak dapat dipecahkan dengan menggunakan hanya aturan dasar, kombinasi, permutasi, dan aturan sarang merpati. Misalnya: Ada berapa banyak
Lebih terperinciPermutasi dan Kombinasi Peluang Diskrit
dan Kombinasi Peluang Diskrit Pengantar Permutasi -Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1.
Lebih terperinciPELUANG. n cara yang berbeda. Contoh 1: Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali?
-1- PELUANG 1. KAIDAH PENCACAHAN 1.1 Aturan Pengisian Tempat Jika beberapa peristiwa dapat terjadi dengan n1, n2, n3,... cara yang berbeda, maka keseluruhan peristiwa itu dapat terjadi dengan n n......
Lebih terperinciFUNGSI DUA VARIABEL (TURUNAN PARSIAL) Kus Prihantoso Krisnawan. January 2, Yogyakarta. Pertemuan 7. Krisnawan. Fungsi. Diferensial Partial
FUNGSI DUA VARIABEL (TURUNAN PARSIAL) Kus Prihantoso January 2, 2012 Yogyakarta 2 Variabel fungsi 2 variabel: f (x, y) = x 2 + y 2 f (x, y) = cos x sin y f (x, y) = x 2 y + 3y 3 f (x, y) = x 2 sin(xy 2
Lebih terperinciPELUANG. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama: Dari n obyek terdapat n
PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! =
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIK dan KOMBINATORIK
BAB III INDUKSI MATEMATIK dan KOMBINATORIK 1. Kata pengantar Kebenaran pernyataan matematika yang berkaitan dengan bilangan bulat perlu pembuktian salah satu metode pembuktian dapat menggunakan Induksi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciBab 11 PELUANG. Contoh : 5! = = 120
PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! =
Lebih terperinciTEORI DASAR COUNTING
TEORI DASAR COUNTING ARGUMEN COUNTING Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan obyek-obyek. Solusi yang ingin diperoleh dengan kombinatorial adalah jumlah pengaturan obyekobyek
Lebih terperinciContoh. Teknik Menghitungdan Kombinatorial. Contoh. Combinatorics
Contoh Teknik Menghitungdan Kombinatorial Berapa banyak pelat nomor bisa dibuat dengan mengunakan 3 huruf dan 3 angka? Berapa banyak pelat nomor bisa dibuat dengan menggunakan 3 huruf dan 3 angka tapi
Lebih terperinciStatistika & Probabilitas
Statistika & Probabilitas Statistika Berhubungan dengan banyak angka Contoh : Numerical Description pergerakan IHSG, jumlah penduduk di suatu wilayah. Dalam dunia usaha sekumpulan data : pergerakan tingkat
Lebih terperinciGugus dan Kombinatorika
Bab 1 Gugus dan Kombinatorika 1.1 Gugus Gugus, atau juga disebut himpunan adalah kumpulan objek. Objek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur. Penulisan himpunan dapat dilakukan dengan dua cara,
Lebih terperinciPermutasi & Kombinasi. Dr.Oerip S Santoso MSc
Permutasi & Kombinasi Dr.Oerip S Santoso MSc Aturan Pejumlahan dan Perkalian Aturan Penjumlahan Himpunan S dipartisi menjadi subset S1,S2, Sm Jumlah objek di S = jumlah objek dari semua subset Contoh 1:
Lebih terperinciKombinatorial. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika ITB
Kombinatorial Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika ITB 1 Pendahuluan Sebuah kata-sandi (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa
Lebih terperinciLogika Matematika. Bab 1: Aljabar Boolean. Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika STT Telkom Lab. Sistem Komputer dan Jaringan
Logika Matematika Bab 1: Aljabar Boolean Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika STT Telkom Lab. Sistem Komputer dan Jaringan 1 Nilai fungsi Fungsi Boolean dinyatakan nilainya pada setiap variabel yaitu
Lebih terperinciPeluang Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya
2 Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam ; Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan ; Suatu Kejadian dan Penafsirannya ; Pada era demokrasi saat ini untuk menduduki suatu jabatan tertentu
Lebih terperinciRuang Sampel. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Ruang Sampel Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Ruang Sampel (Sample Space) Ruang sampel: himpunan semua hasil (outcome) yang
Lebih terperinciMatematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara. Kombinatorial. Pemodelan dan Simulasi
Matematika Diskret Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara Pemodelan dan Simulasi Kombinatorial 1 9/26/2017 Definisi Kombinatorial Kombinatorial adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari teknik menghitung
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciBEBERAPA APLIKASI SEGITIGA PASCAL
BEBERAPA APLIKASI SEGITIGA PASCAL Yulino Sentosa NIM : 13507046 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10, Bandung. E-mail : if17046@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciLECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT. Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.
LECTURE NOTES MATEMATIKA DISKRIT Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA PONDOK CINA, MARET 2004 0 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... 1 BAB I STRUKTUR ALJABAR...
Lebih terperinciPTI15004 MatematikaKomputasi
PTI15004 MatematikaKomputasi PencacahanCounting Justanintermezzo Pengelola Pantai Hanakapiai, Hawaii memperingatkan pengunjung agar tidak mendekati kawasan air, dan menegaskan peringatan tersebut dengan
Lebih terperinciStudi Tentang Kombinatorial dan Peluang Diskrit Serta Beberapa Aplikasinya
Studi Tentang Kombinatorial dan Peluang Diskrit Serta Beberapa Aplikasinya Hanif Eridaputra (13510091) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciBABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI
BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI Soal-soal osnpertamincom di download di www.osnpertamincom 1 Olimpiade Sains Nasional Perguruan Tinggi Indonesia 2010 Petunjuk : 1. Tuliskan secara
Lebih terperinci5.3 RECURSIVE DEFINITIONS AND STRUCTURAL INDUCTION
5.3 RECURSIVE DEFINITIONS AND STRUCTURAL INDUCTION Rekursif Ada kalanya kita mengalami kesulitan untuk mendefinisikan suatu obyek secara eksplisit. Mungkin lebih mudah untuk mendefinisikan obyek tersebut
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Lebih terperinciMATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN. A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan peluang.
MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Pendahuluan Ruang Sampel Kejadian Dua Kejadian Yang Saling Lepas Operasi Kejadian BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar Notasi Faktorial
Lebih terperinciPerluasan Segitiga Pascal
Perluasan Segitiga Pascal Untung Trisna S. ontongts@yahoo.com PPPPTK Matematika Yogyakarta 2011 The moving power of mathematical invention is not reasoning but imagination. Augustus De Morgan (27 Jun 1806
Lebih terperinciMendeskripsikan Himpunan
BASIC STRUCTURE 2.1 SETS Himpunan Himpunan adalah koleksi tak terurut dari obyek, yang disebut anggota himpunan Notasi. a A : a adalah anggota himpunan A a A : a bukan anggota himpunan A Contoh 1. Himpunan
Lebih terperinciCONTOH BAHAN AJAR PENDEKATAN INDUKTIF-DEDUKTIF
CONTOH BAHAN AJAR PENDEKATAN INDUKTIF-DEDUKTIF 1 2 ATURAN PERKALIAN LEMBAR KERJA SISWA KE-1 Perhatikan soal yang berkaitan dengan perjalanan berikut ini. Pak Zidan dengan mobilnya akan bepergian dari kota
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciBab 9. Peluang Diskrit
Bab 9. Peluang Diskrit Topik Definisi Peluang Diskrit Sifat Peluang Diskrit Probabilitas terbatas Konsep Teori Himpunan pada Peluang Diskrit Probabilitas Kejadian Majemuk A B dan A B DuaKejadianSalingLepas
Lebih terperinciKOMBINATORIAL DALAM HUKUM PEWARISAN MENDEL
KOMBINATORIAL DALAM HUKUM PEWARISAN MENDEL Fransisca Cahyono (13509011) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciLearning Outcomes Pencacahan Permutasi Kombinasi Sebaran Bola dalam Keranjang Kesimpulan. Kombinatorika. Julio Adisantoso.
11 Pebruari 2014 Learning Outcome Mahasiswa dapat memahami pentingnya teknik counting problem dalam Ilmu Hitung Peluang Mahasiswa mengetahui dan memahami teknik kombinatorika Mahasiswa dapat melakukan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciKata Pengantar... Daftar Isi... Apakah Matematika Diskrit Itu? Logika... 1
Daftar Isi Kata Pengantar... Daftar Isi... Apakah Matematika Diskrit Itu?... iii v xi 1. Logika... 1 1.1 Proposisi... 2 1.2 Mengkombinasikan Proposisi... 4 1.3 Tabel kebenaran... 6 1.4 Disjungsi Eksklusif...
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB 4. Aljabar Boolean
BAB 4 Aljabar Boolean 1. PENDAHULUAN Aljabar Boolean merupakan lanjutan dari matakuliah logika matematika. Definisi aljabar boolean adalah suatu jenis manipulasi nilai-nilai logika secara aljabar. Contoh
Lebih terperinciSolusi dan Penyelesaian. Kombinatorik. (b)
Solusi dan Penyelesaian Kombinatorik # Ralat Soal Soal 17. (b) (a 2b + c) 2 Soal 30. Peluang Jevon bisa mengerjakan Bagian A Solusi Solusi 1. (a) 4500 (b) 5832 Solusi 16*. 1152 Solusi 2. (a) 2240 (b*)
Lebih terperinciMatematika Logika Aljabar Boolean
Pertemuan ke-3 Matematika Logika Aljabar Boolean Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2011/2012 Definisi Aljabar Boolean merupakan aljabar yang terdiri atas : suatu
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinciPERTEMUAN Relasi dan Fungsi
4-1 PERTEMUAN 4 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 4. Relasi dan
Lebih terperinciStrategi Penemuan Pola pada Pemecahan Masalah
Strategi Penemuan Pola pada Pemecahan Masalah I Strategi Penemuan Pola dalam Penyelesaian Masalah Sehari-hari Penemuan pola adalah salah satu strategi dalam problem solving dimana kita dapat mengamati
Lebih terperinciSelamat Datang. MA 2151 Matematika Diskrit. Semester I 2008/2009
Selamat Datang di MA 2151 Matematika Diskrit Semester I 2008/2009 Hilda Assiyatun & Djoko Suprijanto 1 Referensi Pustaka Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, 5 th edition. On the
Lebih terperinciSTRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO
STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO Strategi Penyelesaian Masalah Beberapa Strategi Penyelesaian Masalah : 1. Membuat daftar Yang Teratur 2. Memisalkan Dengan Suatu
Lebih terperinciBAB V TEORI PROBABILITAS
BAB V TEORI PROBABILITAS Probabilitas disebut juga dengan peluang atau kemungkinan. Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Oleh karena
Lebih terperinciHIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O.
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O. BOX BLS 21 YOGYAKARTA55281 lmnas@ugm.ac.id http://lmnas.fmipugm.ac.id
Lebih terperinciI. LAMPIRAN TUGAS. Mata kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Sistem Informasi PA-31 Dosen Pengasuh : Ir. Bahder Djohan, MSc
I. LAMPIRAN TUGAS. Mata kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Sistem Informasi PA- Dosen Pengasuh : Ir. Bahder Djohan, MSc Tugas ke Pertemuan TIK Soal-soal Tugas. Mendefinisikan Proposisi Membedakan
Lebih terperinciPELATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA
MATERI PELATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA N 7 PURWOREJO 26-28 FEBRUARI 2008 DI HOTEL PAKEMSARI SLEMAN DISUSUN OLEH : HIMMAWATI PUJI LESTARI, M.Si JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciPEMBEKALAN PESERTA OLIMPIADE SMA 1 KALASAN Februari-Maret 2009 SOAL-SOAL LATIHAN
PEMBEKALAN PESERTA OLIMPIADE SMA 1 KALASAN Februari-Maret 2009 SOAL-SOAL LATIHAN 1. Wati menuliskan suatu bilangan yang terdiri dari 6 angka di papan tulis, tetapi kemudian Iwan menghapus 2 buah angka
Lebih terperinciBAB 3 Teori Probabilitas
BAB 3 Teori Probabilitas A. HIMPUNAN a. Penulisan Hipunan Cara Pendaftaran Cara Pencirian 1) A = {a,i,u,e,o} 1) A = {X: x huruf vokal } 2) B = {1,2,3,4,5} menghasilkan data diskrit 2) B = {X: 1 x 2} menghasilkan
Lebih terperinciPermutasi dan Kombinasi
Permutasi dan Kombinasi Menghitung Titik Sampel Dasar dari prinsip menghitung titik sampel sering di diartikan sebagai aturan pengalian. Aturan 1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n cara, dan dari
Lebih terperinciAplikasi Kombinatorial dan Peluang dalam Permainan Poker
Aplikasi Kombinatorial dan Peluang dalam Permainan Poker Hably Robbi Wafiyya - 13507128 Program Studi Teknik Informatika ITB, Bandung, email : harowa_aja@yahoo.com Abstract Makalah ini membahas tentang
Lebih terperinciStrategi Pembuktian. Finding proofs can be a challenging business
Strategi Pembuktian Finding proofs can be a challenging business Matematikawan memformulasikan conjecture dan kemudian mencoba membuktikan bahwa conjecture tersebut benar atau salah. Ketika dihadapkan
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinci9.1 RELATIONS AND THEIR PROPERTIES
CHAPTER 9 RELATION 9. RELATIONS AND THEIR PROPERTIES 2 Relasi Hubungan antar anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antar anggota
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi 2 PELUNG Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Salatiga, Juni Penulis. iii
KATA PENGANTAR Teori Probabilitas sangatlah penting dalam memberikan dasar pada Statistika dan Statistika Matematika. Di samping itu, teori probabilitas juga memberikan dasar-dasar dalam pembelajaran tentang
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)
MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, 2015 1 / 19 Outline 1 Kardinalitas 2 Produk
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR PELUANG
II. KONSEP DASAR PELUANG Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang lebih
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciRUANG SAMPEL DAN KEJADIAN TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-2
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-2 1 Definisi-definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek. Himpunan semua outcome yang mungkin muncul dalam suatu percobaan/pengamatan disebut
Lebih terperinciLOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-27
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-27 Babak Penyisihan Tingkat SMA Minggu, 0 Oktober HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR
Lebih terperinciAplikasi Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Permainan Dadu Cee-Lo
Aplikasi Kombinatorial dan Peluang Diskrit dalam Permainan Dadu Cee-Lo Hendy - 13507011 Jurusan Teknik Informatika, ITB, Bandung 40116, email: if17011@students.if.itb.ac.id Abstract Makalah ini membahas
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciATURAN PENCACAHAN 9/29/2014. C. Aturan Kombinasi. Soal 01W362. Latihan W22c
Latihan W22c ATURAN PENCACAHAN Kelas XI, Semester 2 C. Aturan Kombinasi Soal 01W362 Diketahui P = {a, b, c, d, e}. Berapa banyaknya cara mengambil tiga huruf dari huruf-huruf pada himpunan P jika urutannya
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Yogyakarta, November Penulis
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT atas anugrah yang diberikan sehingga penulisan Buku Diktat yang dilengkapi dengan Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester (RPKPS) dan
Lebih terperinciAplikasi Kombinatorial dan Peluang dalam Permainan Four Card Draw
Aplikasi Kombinatorial dan Peluang dalam Permainan Four Card Draw Hanifah Azhar 13509016 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi 2 PELUNG Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Informatika Nama : Sekolah Teknik Elektro dan Informatika NIM :
Program Studi Teknik Informatika Nama : Sekolah Teknik Elektro dan Informatika NIM : Institut Teknologi Bandung T.tangan: Solusi Kuis ke-2 IF2120 Matematika Diskrit (3 SKS) Relasi dan Fungsi, Aljabar Boolean,
Lebih terperinci5. Peluang Diskrit. Pengantar
5. Peluang Diskrit Pengantar Semua yang telah dipelajari di dalam teori pencacahan (counting) akan menjadi dasar dalam perhitungan peluang terjadinya suatu peristiwa. Dalam pembahasan berikut, istilah
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. KOMBINATORIAL
Aplikasi Hukum Mendel Sebagai Aplikasi dari Teori Kombinatorial Untuk Menentukan Kemungkinan Kemunculan Golongan Darah Dalam Sistem ABO Pada Sebuah Keluarga Chairuni Aulia Nusapati 13513054 Program Sarjana
Lebih terperinciDefinisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:
Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am
Lebih terperinci