Bilangan Stirling dan Hubungannya dengan Beberapa Konsep Matematika

Transkripsi

1 Vol. 10, No. 2, , Jauari 2014 Bilaga Sirlig da Hubugaya dega Beberapa Kosep Maemaia Fifi Asui 1, Loey Haryao 2 da Hasmawai Basir 3 Absra Dalam ulisa ii dibahas aalogi, euivalesi da eeraia aara bilaga-bilaga Sirlig dega osep maemaia yag lai: himpua, permuasi, fugsi, faorial (uru da ai), deermia- 1 da dere Maclauri. Pada hususya aalogi aara diferesi da urua bisa diurua dega megguaa bilaga-bilaga Sirlig. Juga euivalesi beberapa defiisi bilaga Sirlig berdasara osep parisi pada permuasi da pada himpua sera ierpreasiya, juga disajia. Pada peerapa osep deermia-1, diberia dua relasi reuresi yag berbeda eapi euivale. Relasi reuresi yag perama meghasila sebuah barisa eige sedaga relasi reuresi yag edua meghasila barisa eige yag sama, eapi diurua dega meerapa deermia-1. Kaa Kuci : bilaga Sirlig jeis perama da edua, faorial uru, parisi, relasi reuresi, deermia-1. Absrac This paper preses mahemaical aalogues, equivaleces ad oher relaioships bewee Sirlig umbers ad oher mahemaical coceps: ses, permuaios, fucios, (fallig or raisig) facorial, differeces, derivaives, Maclauri series ad 1-deermia. I paricular a aalogy bewee differeces ad derivaives ca be esablished by meas Sirlig umbers. Also, some equivale defiiios of Sirlig umbers based o pariio over a permuaio ad over a se ogeher wih heir ierpreaios, are provided. A he applicaios of 1-deermia, wo differe bu equivale recurrece relaios are iroduced. The firs recurrece relaio forms a eige sequece, ad he secod recurrece relaio derives he same eige sequece, bu is derivaio maes use 1-deermia. Key Words : Sirlig s umbers of he firs ad he secod id, fallig facorial, pariios, recurrece relaios, 1-deermia. 1. Pedahulua Salah sau beu peeliia di dalam maemaia adalah melaua geeralisasi erhadap suau perumusa aau dalil maemais da membua aalogi erhadap perumusa aau dalil maemais ersebu. Kosep bilaga Sirlig didefiisia berdasara geeralisasi erhadap beberapa perumusa aau dalil yag sudah lebih dulu dieahui da dipelajari oleh baya maemaiawa. Di dalam maemaia disri misalya, salah sau geeralisasi dierjaa dega cara memperlemah syara bilaga bula a egaif di dalam espresi oefisie biomial 4 1 Program S1 Jurusa Maemaia FMIPA Uiversias Hasauddi 2 Jurusa Maemaia FMIPA Uiversias Hasauddi 3 Jurusa Maemaia FMIPA Uiversias Hasauddi 1,2,3 Jurusa Maemaia FMIPA Uiversias Hasauddi Maassar, Jl. Periis Kemerdeaa Km.10 Maassar

2 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 103! ( 1) ( 1) (1)!( )!! mejadi bilaga real di dalam espresi ( 1) ( 1). (2)! Dalam ulisa ii, aa dibahas beu geeralisasi lebih jauh dari geeralisasi oefisie biomial (1) da (2) sera aiaya dega beberapa osep maemaia yag lai. 2. Bilaga Sirlig Jeis Perama da Kedua Geeralisasi beu (1) mejadi beu (2) membawa geeralisasi permuasi P(, ) ( 1)...( + 1) e beu yag serupa di maa syara sebagai bilaga bula a egaif diiadaa da digai oleh syara yag lebih lemah: sembarag bilaga real. Jadi beu permuasi P(, ) dibawa e beu yag didefiisia da diberi lambag ( 1) ( + 1). (3) Beu ii diamaa faorial uru (Charalambides, 2002). Dalam asus, ( 1) (1)!. Secara alamiah, selai faorial uru didefiisia juga osep faorial ai ( + 1) ( + 1). (4) Seperi halya defiisi faorial ol 0! 1, di sii juga didefiisia Jia faor-faor di ruas aa (4) dibaca dega urua erbali, diawali dari faor ( + 1), ilai faor-faor ersebu meuru sehigga diperoleh esamaa ( + 1) (5) yag ruas aaya faorial uru sedaga ruas iriya faorial ai.kesamaa ii meyaaa bahwa seiap faorial ai adalah faorial uru,demiia pula sebaliya, seiap faorial uru adalah juga faorial ai. Dega demiia, cuup diguaa faorial uru di dalam defiisi beriu. Defiisi 2.1 Bilaga Sirlig jeis perama, diberi lambag s(,), adalah oefisie dari jumlaha di ruas aa esamaa s(, ) 0 (6) sedaga bilaga Sirlig jeis edua, diberi lambag S(,), adalah oefisie di ruas aa esamaa S(, ) 0 (7) Bilaga Sirlig jeis perama a berada adalah ilai mula dari bilaga Sirlig jeis perama da diberi lambag s(,). yaiu Dari espresi (3) diurua ( 1) ( + 2)( + 1) [( 1) ( ( 1) + 1)]( + 1) sedaga dari espresi (4) diurua 1 ( + 1) (8)

3 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 104 yaiu ( + 1) ( + 2)( + 1) [( + 1) ( + ( 1) 1)]( + 1). 1 ( + 1) (9) Relasi reuresi suau barisa adalah sebuah osep peig pada pembahasa barisa yag memilii sifa reursif area relasi reuresi bisa diguaa sebagai defiisi aleraif dari barisa ersebu. Dega aa lai, dua barisa adalah sama jia eduaya memeuhi relasi reuresi yag sama. Teorema 2.1 Bilaga-bilaga Sirlig jeis perama s(,) dega 0, 1, 2, da 0, 1,, memeuhi relasi reuresi s(, ) s( 1, 1) ( 1) s( 1, ) (10) dega ilai ilai baas s(0,0) 1, s(,0) 0 apabila > 0; da s(,) 0 apabila > 1 da >. Bui. Uu 1, esamaa (10) jelas bear. Jia > 1, uraia edua ruas esamaa (8) 1 ( + 1) emudia dega megguaa (5), diperoleh 1 s(, ) ( 1) s( 1, ) s( 1, ) ( 1) s( 1, ) s( 1, 1) ( 1) s( 1, ) 1 0 (seelah rasformasi ides 1). Persamaa erahir ii meyaaa 1 s(,0) s(, ) s(, ) s( 1, 1) s( 1, 1) ( 1) s( 1, ) s( 1,0) 1 1 Dari syara baas diperoleh s(,0) s( 1,0) 0 da megiga s(, ) adalah oefisie suu di dalam uraia ruas iri da ruas aa espresi (6) maa s(, ) 1 s( 1, 1) da 1 1 s(, ) 1 1 s( 1, 1) ( 1) s( 1, ). 1 1 Dari defiisi esamaa dua poliom, esamaa (10) erbui. Relasi reuresi uu bilaga Sirlig jeis edua dibuia dega baua lemma beriu. Lemma 2.2 Bui. 1 S(, ) S( 1, ) 0 0 (11)

4 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 105 Espresi (7) uu ides paga 1 berbeu S( 1, ) 1 0. Dega meguraia esamaa 1, diperoleh esamaa (11). 1 Lemma 2.3 Bui. 1 1 ( 1). (12) 0 Uu 1 diperoleh 1 aau. Misala esamaa (12) bear uu ides 1, ii berari ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 1)( ( 1) ) ( )( ( 1) ) ( 1) 1 1 [( )( ( 1) )] [ ( 1) ] 1 1 [( ) ] [( )( 1) ] [ ( 1) ] [( )( 1) ( 1) ] 1 1 ( 1)( 1) 1 ( 1) Teorema 2.4 Bilaga-bilaga Sirlig jeis edua s(,) dega 0, 1, 2, da 0, 1,, memeuhi relasi reuresi S(, ) S( 1, 1) S( 1, ) (13) dega ilai ilai baas S(0,0) 1, S(,0) 0 apabila > 0; da S(,) 0 apabila > 1 da >. Bui. Uu 1, esamaa (13) jelas bear. Jia > 1, dega megguaa Lemma 2 da 3 diperoleh S(, ) S( 1, ) 1 ( 1, ) ( 1, ) S S 0 0 S( 1, 1) S( 1, ) 1 0 (seelah rasformasi 1 pada suu-suu jumlaha perama). Karea > 1 maa S(, 0) 0 S( 1, 0) da esamaa di aas mejadi

5 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 106 S(, ) S( 1, 1) S( 1, ) sehigga diperoleh relasi reuresi (13). Lemma 2.5 Jia diberia > 0 da 0, 1,,, maa bilaga Sirlig jeis perama s(,) berilai egaif jia da haya jia adalah bilaga bula gajil. Bui. Dari (6) diurua 0 s(, ) ( 1)( 2) ( + 1) ( ( 1))( ( 2)) ( ( 1))... Jia ruas aa yag berbeu peralia diuraia aas suu-suu perpagaa maa diperoleh beu pejumlaha sehigga 0 s(, ) s(,1) s(, ) ( 1)( 2) ( 1) + + ( i )( i ) ( i ) + + s(, ) s(,1) ( 1)( 2) ( 1) + + s(, ) ( 1) i i i + + s(,1) di maa pejumlaha berjala pada semua himpua {i 1, i 2,..., i } {1, 2,, } beruura yag berbeda. Jadi jelas s(, ) < 0 jia da haya jia (1) < 0 da jia da haya jia gajil. Teorema 2.6 (Charalambides, 2002) Bilaga Sirlig jeis perama a berada s(,) adalah oefisie-oefisie poliom di ruas aa ( 1) s(, ) ( + 1) 0 di maa 1, 2,. Bui. Ruas iri espresi (14) adalah ( + 1) ()( + 1)... ( + 1) (1) ( )( 1)... ( + 1) (1) ( ) (1) 0 0 s(, )( ) ( 1) s(, )( )., (14)

6 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 107 ( 1) s(, ) 0 Berdasara Lema 2.5, s(, ) < 0 jia da haya jia gajil sehigga (1) s(, ) s(, ). Sebagai aibaya, (14) erbui. Salah sau faa meari dari bilaga Sirlig jeis perama a berada adalah eyaaa bahwa bilaga-bilaga Sirlig jeis perama a berada bisa didefiisia dega lebih dari sau cara pedefiisia. Teorema 2.7 Bilaga Sirlig jeis perama a berada s(,), 1, 2,,, 2, 3,, ilaiya adalah s(,) i i i, (15) dimaa ides jumlaha berjala pada semua emugia subhimpua {i 1,i 2,...,i } {1, 2,, -1} yag berbeda da erdiri aas usur-usur. Bui. Pada hasil ali faor di ruas iri epresi (14) ( 1)( 2)...( 1) s(, ) seiap faor e-i dari peralia pada ruas palig iri berbeu p i () + i, i 0, 1, 2,..., 1 Jadi oefisie seiap beu yag erbeu diperoleh dari jumlaha suu-suu hasil peralia sebaya osaa dari i 1, i 2,..., i {1,2,..., 1}, j 1, 2,...,. Cooh: Aa dieua bilaga Sirlig jeis perama a berada s(5,2), yaiu oefisie dari moomial 2 di dalam poliom faorial ai (3) ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4) s(, 1) s(5, 2) s(,). Di sii 5 da 2 sehigga dari Teorema 2.7, oefisie s(5, 2) dari perpagaa 2 dalam poliom ii adalah hasil jumlaha semua hasil ali i 1 i 2 i 3 yag berbeda, di maa i 1,i 2,i 3 {1, 2, 3, 4}, seperi beriu: i 1 i 2 i 3 2 (2)(3)(4) , dari sema: ( 1)( 2)( 3)( 4) ; i 1 i 2 i 3 2 (1)(3)(4) , dari sema: ( 1)( 2)( 3)( 4) ; 0 i 1 i 2 i 3 2 (1)(2)(4) 2 8 2, dari sema: ( 1)( 2)( 3)( 4) ; i 1 i 2 i 3 2 (1)(2)(3) 2 6 2, dari sema: ( 1)( 2)( 3)( 4). Jadi s(5, 2) sehigga ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4) Aiba 1 Teorema 2.7 Bilaga Sirlig jeis perama s(,), 1, 2,,, 2, 3,, ilaiya adalah s(,) (1) i i i, dimaa ides jumlaha adalah semua emugia subhimpua {i 1,i 2,...,i } {1, 2,, -1} yag berbeda da erdiri aas usur-usur. Bui.

7 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 108 Sebab uu seiap 0, 1, 2,, berlau s(, ) < 0 jhj gajil sehigga s(, ) (1) s(, ). Seelah disubsiusi pada persamaa (Error! Referece source o foud.), Aiba 1 ii erbui. Aiba 2 Teorema 2.7 (Charalambides, 2002) Bilaga-bilaga Sirlig jeis perama a berada s(,) dega 1, 2,, da 2, 3,, memeuhi relasi reuresi s(, ) s( 1, 1) + ( 1) s( 1, ) (16) dega ilai ilai awal s(0,0) 1 s(1, 1) da s(1,0) 0. Bui. Dalam pembuia Teorema 2.7, oefisie s(, ) adalah oefisie uu yag diperoleh dari hasil ali ( + 1)( + 2) ( + 1)... + s(, ) +, yaiu s(, ) i i i di maa ides jumlaha sesuai isi Teorema 2.7. Sedaga dalam pembuia Aiba 1 Teorema 2.7, oefisie s(, ) adalah oefisie uu yag diperoleh dari hasil ali ( 1)( 2) ( + 1)... + s(, ) +. yaiu s(, ) (1) i i. Aibaya, ilai s( 1, 1) da ( 1) s( 1, ) di i dalam relasi reuresi (16) berbeda ada (sau posiif yag lai egaif), sebab ides eduaya berselisih 1. Dega aa lai, s( 1, 1) da ( 1)s( 1, ) berada sama. Agar ilai mula dari s(, ) s( 1, 1) ( 1)s( 1, ) sama dega s(, ) sesuai Defiisi 2.1, maa sau-sauya emugia adalah s(, ) s( 1, 1) + ( 1) s( 1, ). Defiisi 2.2 Bilaga Sirlig jeis perama a berada s(,) adalah bayaya permuasi obye yag diyaaa sebagai hasil ali sebaya silus-silus yag salig lepas da ida osog. Dalam defiisi di aas, jelas. Teorema 2.8 (Charalambides, 2002) Kedua defiisi bilaga Sirlig jeis perama a berada yag didefiisia oleh Defiisi 2.1 (sebagai ilai mula dari s(, )) da yag didefiisia oleh Defiisi 2.2 adalah euivale sau sama lai. Bui. Uu membuia bahwa edua Defiisi 2.1 da Defiisi 2.2 euivale sau sama lai, aa diujua bahwa eduaya memeuhi relasi reuresi yag sama dega ilai awal yag sama. Karea jelas eduaya memeuhi s(0, 0) 1 da uu > 0 berlau s(, 0) 0 da s(, ) 1, iggal dibuia bahwa uu seiap pasag bilaga asli > 0 da 0, relasi reuresi (16) s(, ) s( 1, 1) + ( 1) s( 1, ) di dalam Aiba 2 Teorema 2.7 juga bisa diurua melalui Defiisi 2.2. Ambil sembarag permuasi s pada himpua S {1, 2,..., }. Kemudia eapa a {1, 2,...,} da permuasi pada himpua T S {a} sehigga T 1. Berdasara Defiisi 2.2, s(, ) adalah bayaya cara yag berbeda uu meulisa permuasi s

8 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 109 sebagai peralia silus (ermasu silus uggal) yag salig lepas. Ada dua jeis permuasi berbeu peralia silus yag bisa diperoleh, masig-masig diurua dari: a. Permuasi-permuasi pada S yag erdiri aas usur da silus, salah sau silus adalah (a). Jelas bayaya permuasi sama dega baya permuasi pada T yag erdiri aas 1 usur da 1 silus (silus (a) di aggap ida ada). b. Permuasi-permuasi yag diperoleh dari permuasi pada T yag erdiri aas silus, eapi haya dari 1 usur-usur T. Permuasi pada T ii emudia diubah mejadi permuasi pada S dega meyisipa a e sebelah aa seiap usur T. Sebelum disisipi a, baya permuasi adalah s( 1, ) area ada 1 usur T, ada 1 cara peyisipa yag meghasila ( 1)s( 1, ) permuasi berbeda yag diperoleh dega cara ii. Karea semua permuasi yag diperoleh dari cara a da b berbeda sau sama lai maa baya cara peyajia berbeda uu permuasi s pada S, yaiu s(,), adalah baya permuasi yag diperoleh dari cara a diambah baya permuasi yag diperoleh dari cara b. Berdasara Defiisi 2.2 bayaya permuasi yag diperoleh dari cara a adalah s( 1, 2). Cara b diawali dega memilih permuasi q pada S di aara permuasi yag erbeu da memasua a e dalam q, baru emudia dibeu permuasi aas silus yag salah sauya adalah silus yag memua a. Uu seiap permuasi q, berdasara Defiisi2.2, baya permuasi yag diperoleh dari cara ii adalah s( 1, 1). Teapi area ada 1 bilaga di dalam S, oal ada sebaya ( 1) s( 1, 1) permuasi dalam beu peralia silus yag berbeda. Ii membuia rumus reuresi di aas: s(, ) s( 1, 2) + ( 1) s( 1, 1). 3. Barisa Eige Uu Bilaga Sirlig Jeis Kedua Deermia- (Jajić, 2012) adalah ala uu meyajia suau relasi reuresi dalam oasi maris. Di sii pembicaraa dibaasi pada asus 1. Persisya, deermia-1 adalah deermia dari maris beruura r r p p p r p 1 p r p P p p p , 1 1, r 2, 1 2, r r1, r1 r1, r rr,. (17) Eri-eri p 21, p 32,..., p r,r1 dari P semuaya berilai 1, sedaga uu seiap ides s >, p s+1, 0. Dega ilai awal a 1, secara reursif didefiisia a 2 p 11 a 1, a 3 p 12 a 1 + p 22 a 2,... a r+1 p 1r a 1 + p 2r a p rr a r. Lebih jauh, didefiisia maris baris beruura r (r + 1) B r [a 1 a 2... a r, a r+1 ] Jajić (2012) membuia bahwa r a r+1 a 1 de(p) pi, rai (18) i1

9 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 110 Diberia barisa (a ) 0. Trasformasi Sirlig adalah rasformasi yag merubah barisa (a ) 0 mejadi barisa (b ) 0 sedemiia sehigga b S(, ) a. 0 Meuru Bersei da Sloae (1995), erdapa suau barisa {e } 0 yag ivaria erhadap rasformasi Sirlig, yaiu memeuhi relasi reuresi e +1 S(, ) e (19) 0 uu 0, 1, 2,.... Masalah yag mucul di sii adalah meeua barisa {e } 0 yag ivaria ersebu (disebu barisa eige uu bilaga Sirlig). Karea persamaa (19) adalah beu husus dari persamaa (18), maa dega subsiusi barisa {e } da {S(,)} pada relasi reuresi (19) meggaia barisa {a } da {p, } pada relasi reuresi (18), ilai-ilai e bisa diperoleh dega subsiusi deermia S(0,0) S(1,0) S(2,0) S( 2,0) S ( 1,0) e 1 S(1,1) S(2,1) S( 2,1) S( 1,1) 0 1 S(2,2) S( 2, 2) S( 1,2) S( 2, 2) S( 1, 2) S( 1, 1) meggaia deermia-1, yaiu de(p); pada relasi reuresi (Error! Referece source o foud.). 4. Aalogi aara Operaor Diferesi da Operaor Turua Defiisi 24.3 Jia f adalah fugsi berilai real da x, h dega h 0, espresi f ( x h) f ( x) h f( x) : h disebu diferesi dari f di x dega perambaha (icreme) h. (20) f (x) disebu juga hasil bagi diferesi dari f di x dega perambaha h. h Pembahasa diferesi yag erai dega faorial uru (jadi erai dega facorial ai da bilaga Sirlig) bisa dilaua pada asus h 1. Dalam asus ii, diferesi 1 cuup diulis sehigga (20) mejadi f ( x): f ( x 1) f ( x) (21) Dalam Kalulus, Df(x); fugsi urua perama erhadap f didefiisia sebagai limi ( ) ( ), (jia limi ii ada). Walaupu ida berbeu limi da haya pada asus h 1, operaor memilii beberapa sifa yag mirip seali dega sifa-sifa operaor urua D : a. c 0, uu seiap fugsi osa c b. ( cf ( x)) cf ( x)

10 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 111 c. ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x) d. x x 1 x x e. 1 x x f (Carl Wager, Basic Combiaorics). Karea haya sifa d da e yag erai dega geeralisasi yag elah diuraia sebelumya, maa haya edua sifa ii yag aa dibuia. Bui sifa d diperoleh dari (Error! Referece source o foud.) da (Error! Referece source o foud.) melalui lagah-lagah beriu x ( x1) x (x + 1)[x(x 1) ( x1 1) ] [x(x 1) (x + 2)](x + 1) x2 [(x + 1) (x + 1)][x(x 1) (x + 2) 1 x. Dari (Error! Referece source o foud.) da hasil erahir ii sera sifa b diperoleh sifa e beriu: x x( x 1) ( x 1) x 1 1 x!!! 1 1 x x x! ( 1)!. 1 Keeraia dega bilaga Sirlig diperoleh apabila faorial uru pada salah sau ruas esamaa dari sifa d da e digai espresi (6). Kosep diferesi adalah aalogi berbeu disri dari osep urua yag oiyu. Jadi peerapa osep bilaga Sirlig pada osep diferesi juga bisa dierapa pada beu disri urua di dalam permusa dere Maclauri. Berdasara rumus dere Maclauri, seiap fugsi f yag erdiferesial a higga ali memilii ilai fugsi di seiap ii di seiar (cuup dea dega) ii 0 1 f ( ) D f ( ) 0! (22) 0 Jia rumus di aas dierapa uu asus f() yag merupaa poliom deraja, diperoleh D (+1) ( ) f (+2) ( ) (urua dari fugsi faorial uru yag berderaja > selalu ol) sehigga dalam asus ii, beu dere a higga dari (22) mejadi poliom 1 D! Dari persamaa Demiia pula s(, ) 1 da D 0! 0 1 s(, ) D,! 0 diperoleh (23)

11 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir s(, ) D ( 1)! 0 0, 1,...; 0, 1, 2,.... Uu asus disri, aalogi dari rumus dere Maclauri (22) uu fugsi f pada asus oiyu bisa diperoleh dega megguaa diferesi, yaiu 1 f ( ) f ( ). 0! 0 Karea uu > berlau 0, maa 1, 0,1,... 0! 0 Dari persamaa diperoleh S(, ) 0 0, 1, 2,..., da 0, 1, 2,.... da 1 S(, )! 1, 0,1,...! Kesimpula da Sara Berdasara pembahasa da sudi lieraur erhadap osep bilaga Sirlig, diperoleh esimpula sebagai beriu: A. Terdapa berbagai euivalesi, aalogi aau perluasa osep yag diurua dari osep bilaga Sirlig. 1. Euivalesi berbagai defiisi bilaga Sirlig. Pada hususya, bilaga Sirlig jeis perama a berada bisa diafsira sebagai bayaya permuasi pada {1, 2,...,} yag erdiri aas silus, yaiu s(, ). 2. Hiug diferesi uu perhiuga secara disri adalah aalogi dari pecaria urua fugsi oiyu erdiferesial. Dega baua oasi faorial uru, bisa diujua baya asus di maa osep diferesi uu perhiuga secara disri adalah aalogi dari osep urua fugsi oiyu (erdiferesial). 3. Faorial uru x adalah aalogi dari beu paga x. Dega aalogi ii, osep fugsi pembagi faorial dibagu uu melegapi osep fugsi pembagi biasa. x 4. Faorial uru x adalah geeralisasi dari oefisie biomial. B. Berbagai osep maemaia memerlua bilaga Sirlig sebagai ala. Sebagai cooh, oefisie-oefisie dari dere Maclauri uu fugsi f(), eryaa adalah bilaga-bilaga Sirlig. Sebaliya bilaga Sirlig memerlua osep maemaia lai uu megembagaya. Pada hususya, osep deermia-1 diperlua sebagai ala uu medapaa cara aleraif meurua barisa eige 0 (24)

12 Fifi Asui, Loey Haryao, Hasmawai Basir 113 uu bilaga Sirlig jeis edua melalui relasi reuresi a r+1 pi, rai yag bisa bisa dihiug dega megguaa deermia-1. Uu pegembaga osep da apliasi bilaga Sirlig, diberia sara da reomedasi sebagai beriu: 1. Diharapa ada peeliia lajua yag lebih meeaa pada aspe aljabar dari barisa bilaga Sirlig, di luar aspe ombiaoris seperi yag dieaa di dalam ulisa ii. 2. Perlu meggali lebih jauh berbagai emugia eeraia osep bilaga Sirlig dega osep-osep maemaia yag lai, misalya dega mempelajari lebih laju osep barisa eige. 3. Karea bilaga-bilaga Sirlig memberia berbagai aalogi da geeralisasi osep-osep maemaia yag lai, perlu dielii aalogi da geeralisasi erhadap apliasi yag sudah ercaa osep-osep maemaia ersebu. 4. Dega meoda berbeda dari meoda yag dibahas di sii, Sirlig lebih dieal area berhasil meerapa pedeaa ilai! yag diguaa dalam saisi da eori peluag. Dega demiia, diharapa ada peeliia lai yag bisa meghubuga meoda pedeaa ilai! ersebu dega meoda pejabara bilaga-bilaga Sirlig jeis perama da edua di dalam ulisa ii, walaupu sejauh ii ida erliha adaya hubuga edua meoda. r i1 DAFTAR PUSTAKA [1] M. Bersei ad N.J.A. Sloae (1995), Some Caoical Sequeces of Iegers, Liear Algebra ad is Applicaios, Vol , pages [2] Charalambides A. Charalambides (2002), Eumeraive Combiaorics, CRC Press. [3] Mila Jajić (2012), Deermias ad Recurrece Sequeces, Joural of Ieger Sequeces, Volume 15, Aricle [4] Rezo Sprugoli (2006), A Iroducio omahemaical Mehods i Combiaorics, diuduh dari pada aggal 2 Mare 2010 [5] Carl Wager, Basic Combiaorics, Diuduh dari pada aggal 25 Sepember 2012.